高中數(shù)學(xué)會考知識要點總結(jié)

高中數(shù)學(xué)會考知識要點總結(jié)

數(shù)學(xué)一門難度較大的學(xué)科，學(xué)數(shù)學(xué)需要一定的根底，同時

還需要掌握一定的方法和技巧，這樣不僅學(xué)起來輕松，考高分

也不難。下面是WTT為大家整理的有關(guān)高中數(shù)學(xué)會考知識要

點，希望對你們有幫助！

高中數(shù)學(xué)會考知識要點

一、集合與簡易邏輯

1.集合的元素具有確定性、無序性和互異性.

2.對集合，時，必須注意到“極端”情況：或；求集合的

子集時是否注意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真

子集.

3.判斷命題的真假關(guān)鍵是“抓住關(guān)聯(lián)字詞”；注意：“不

'或'即'且'，不'且‘即'或'".

4.“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全

假”；“且命題”的真假特點是“一假即假，要真全真”；“非

命題”的真假特點是“一真一假”.

5.四種命題中"'逆'者'交換'也"、"'否'者’否

認'也”.

原命題等價于逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不

等價.反證法分為三步：假設(shè)、推矛、得果.

8.充要條件

二、函數(shù)

1.指數(shù)式、對數(shù)式，

2.(1)映射是“‘全部射出‘加'一箭一雕'"；映射中第

一個集合中的元素必有像，但第二個集合中的元素不一定有

原像(

中元素的像有且僅有下一個，但中元素的原像可能沒有，

也可任意個函數(shù)是“非空數(shù)集上的映射”，其中“值域是映射

中像集的子集”.

(2)函數(shù)圖像與軸垂線至多一個公共點，但與軸垂線的公

共點可能沒有，也可任意個.

(3)函數(shù)圖像一定是坐標系中的曲線，但坐標系中的曲線

不一定能成為函數(shù)圖像.

3.單調(diào)性和奇偶性

(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上假設(shè)有單調(diào)性，那么

其單調(diào)性完全一樣.

偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上假設(shè)有單調(diào)性，那么其單

調(diào)性恰恰相反.

(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點是：“同性得增，增必同性;異

性得減，減必異性

復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點是：“內(nèi)偶那么偶，內(nèi)奇同外”.

復(fù)合函數(shù)要考慮定義域的變化。(即復(fù)合有意義)

4.對稱性與周期性(以下結(jié)論要消化吸收，不可強記)

(1)函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線(軸)對稱.

推廣一：假如函數(shù)對于一切，都有成立，那么的圖像關(guān)于

直線(由“和的一半確定”)對稱.

推廣二：函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對稱.

(2)函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線(軸)對稱.

(3)函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于坐標原點中心對稱.

三、數(shù)列

L數(shù)列的通項、數(shù)列項的項數(shù)，遞推公式與遞推數(shù)列，數(shù)

列的通項與數(shù)列的前項和公式的關(guān)系

2.等差數(shù)列中

(1)等差數(shù)列公差的取值與等差數(shù)列的單調(diào)性.

(2)也成等差數(shù)列.

(3)兩等差數(shù)列對應(yīng)項和(差)組成的新數(shù)列仍成等差數(shù)列.

(4)仍成等差數(shù)列.

(5)“首正”的遞等差數(shù)列中，前項和的最大值是所有非

負項之和；“首負”的遞增等差數(shù)列中，前項和的最小值是所

有非正項之和；

(6)有限等差數(shù)列中，奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的存在必然聯(lián)

絡(luò)，由數(shù)列的總項數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定.假設(shè)總項數(shù)為偶

數(shù)，那么“偶數(shù)項和”奇數(shù)項和二總項數(shù)的一半與其公差的積;

假設(shè)總項數(shù)為奇數(shù)，那么“奇數(shù)項和-偶數(shù)項和”;此數(shù)列的中

項.

(7)兩數(shù)的等差中項惟一存在.在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)

列時，常考慮選用“中項關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解.

(8)斷定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有：定義法、中

項法、通項法、和式法、圖像法(也就是說數(shù)列是等差數(shù)列的

充要條件主要有這五種形式).

3.等比數(shù)列中：

(1)等比數(shù)列的符號特征(全正或全負或一正一負)，等比

數(shù)列的首項、公比與等比數(shù)列的單調(diào)性.

(2)兩等比數(shù)列對應(yīng)項積(商)組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)列.

(3)“首大于1”的正值遞減等比數(shù)列中，前項積的最大

值是所有大于或等于1的項的積；“首小于1”的正值遞增等

比數(shù)列中，前

項積的最小值是所有小于或等于1的項的積；

(4)有限等比數(shù)列中，奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的存在必然聯(lián)

絡(luò)，由數(shù)列的總項數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定.假設(shè)總項數(shù)為偶

數(shù)，那么“偶數(shù)項和”=“奇數(shù)項和”與“公比”的積；假設(shè)總

項數(shù)為奇數(shù)，那么“奇數(shù)項和“首項”加上“公比”與“偶數(shù)

項和”積的和.

(5)并非任何兩數(shù)總有等比中項.僅當實數(shù)同號時，實數(shù)

存在等比中項.對同號兩實數(shù)

的等比中項不僅存在，而且有一對.也就是說，兩實數(shù)要

么沒有等比中項(非同號時)，假如有，必有一對(同號時).在

遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時，常優(yōu)先考慮選用“中項關(guān)系”

轉(zhuǎn)化求解.

(6)斷定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有：定義法、中

項法、通項法、和式法(也就是說數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件

主要有這四種形式).

4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)絡(luò)

(1)假如數(shù)列成等差數(shù)列，那么數(shù)列(總有意義)必成等比

數(shù)列.

(2)假如數(shù)列成等比數(shù)列，那么數(shù)列必成等差數(shù)列.

(3)假如數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非

零常數(shù)數(shù)列；但數(shù)列是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等

比數(shù)列的必要非充分條件.

(4)假如兩等差數(shù)列有公共項，那么由他們的公共項順次

組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差

數(shù)列公差的最小公倍數(shù).

假如一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列有公共項順次組成新數(shù)

列，那么常選用“由特殊到一般的方法”進展研討，且以其等

比數(shù)列的項為主，探求等比數(shù)列中那些項是他們的公共項，并

構(gòu)成新的數(shù)列.

5.數(shù)列求和的常用方法：

(1)公式法：①等差數(shù)列求和公式(三種形式)，

②等比數(shù)列求和公式(三種形式)，

(2)分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將

“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和.

(3)倒序相加法：在數(shù)列求和中，假設(shè)和式中到首尾間隔

相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，那么常

可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差

數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法).

(4)錯位相減法：假如數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通

項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法，

將其和轉(zhuǎn)化為“一個新的的等比數(shù)列的和”求解(注意：一般

錯位相減后，其中“新等比數(shù)列的項數(shù)是原數(shù)列的項數(shù)減一的

差”！)(這也是等比數(shù)列前

和公式的推導(dǎo)方法之一).

(5)裂項相消法：假如數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的

形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和

（6）通項轉(zhuǎn)換法。

四、三角函數(shù)

1.終邊與終邊一樣（的終邊在終邊所在射線上）.

終邊與終邊共線（的終邊在終邊所在直線上）.

終邊與終邊關(guān)于軸對稱

終邊與終邊關(guān)于軸對稱

終邊與終邊關(guān)于原點對稱

一般地：終邊與終邊關(guān)于角的終邊對稱.

與的終邊關(guān)系由“兩等分各象限、一二三四”確定.

2.弧長公式：，扇形面積公式：1弧度（Irad）.

3.三角函數(shù)符號特征是：一是全正、二正弦正、三是切

正、四余弦正.

4.三角函數(shù)線的特征是：正弦線“站在軸上（起點在軸

上）”、余弦線“躺在軸上（起點是原點）”、正切線“站在點

處（起點是

）”.務(wù)必重視"三角函數(shù)值的大小與單位圓上相應(yīng)點的坐

標之間的關(guān)系，‘正弦''縱坐標'、‘余弦''橫坐標'、

‘正切''縱坐標除以橫坐標之商'”；務(wù)必記?。簡挝粓A中

角終邊的變化與值的大小變化的關(guān)系為銳角

5.三角函數(shù)同角關(guān)系中，平方關(guān)系的運用中，務(wù)必重視

“根據(jù)角的范圍和三角函數(shù)的取值，準確確定角的范圍，并進

展定號”；

6.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的本質(zhì)是：奇變偶不變，符號看象限.

7.三角函數(shù)變換主要是：角、函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)(常值)

的變換，其核心是“角的變換”！

角的變換主要有：角與特殊角的變換、角與目的角的變

換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.

8.三角函數(shù)性質(zhì)、圖像及其變換：

(1)三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、有界性

和周期性

注意：正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域;絕對值對三角函數(shù)

周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平

方，其周期性是：弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)

的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變；其他不定.如

的周期都是,但的周期為，y=|tanx|的周期不變，問函數(shù)

y=cos|x|,,y=cos|x|是周期函數(shù)嗎？

(2)三角函數(shù)圖像及其幾何性質(zhì)：

(3)三角函數(shù)圖像的變換：兩軸方向的平移、伸縮及其向

量的平移變換.

（4）三角函數(shù)圖像的作法：三角函數(shù)線法、五點法（五點橫

坐標成等差數(shù)列）和變換法.

9.三角形中的三角函數(shù)：

（1）內(nèi)角和定理：三角形三角和為，任意兩角和與第三個

角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角

形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任

意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

（2）正弦定理：（R為三角形外接圓的半徑）.

（3）余弦定理：常選用余弦定理鑒定三角形的類型.

五、向量

L向量運算的幾何形式和坐標形式，請注意：向量運算中

向量起點、終點及其坐標的特征.

2.幾個概念：零向量、單位向量（與

共線的單位向量是，平行（共線）向量（無傳遞性，是因為

有）、相等向量（有傳遞性）、相反向量、向量垂直、以及一個

向量在另一向量方向上的投影（在上的投影是）.

3.兩非零向量平行（共線）的充要條件

4.平面向量的根本定理：假如el和e2是同一平面內(nèi)的兩

個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對

實數(shù)，使a=el+e2.

5.三點共線;

6.向量的數(shù)量積：

六、不等式

1.（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形

式表示；不等式解集的端點值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不

等式有意義范圍的端點值.

（2）解分式不等式的一般解題思路是什么？（移項通分，分

子分母分解因式，x的系數(shù)變?yōu)檎?，標根及奇穿過偶彈回

（3）含有兩個絕對值的不等式如何去絕對值？（一般是根據(jù)

定義分類討論、平方轉(zhuǎn)化或換元轉(zhuǎn)化

（4）解含參不等式常分類等價轉(zhuǎn)化，必要時需分類討論.注

意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說明其解集，但假設(shè)按

未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.

2.利用重要不等式以及變式等求函數(shù)的最值時，務(wù)必注

意a,b（或a

,b非負），且“等號成立”時的條件是積ab或和a+b其

中之一應(yīng)是定值（一正二定三等四同時）.

3.常用不等式有：（根據(jù)目的不等式左右的運算構(gòu)造選用）

a、b、cR,（當且僅當時，取等號）

4.比擬大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比擬

法、商比擬法、函數(shù)性質(zhì)法、綜合法、分析為法

5.含絕對值不等式的性質(zhì):

6.不等式的恒成立，能成立，恰成立等問題

(1)恒成立問題

假設(shè)不等式在區(qū)間上恒成立，那么等價于在區(qū)間上

假設(shè)不等式在區(qū)間上恒成立，那么等價于在區(qū)間上

(2)能成立問題

(3)恰成立問題

假設(shè)不等式在區(qū)間上恰成立，那么等價于不等式的解集

為.

假設(shè)不等式在區(qū)間上恰成立，那么等價于不等式的解集

為，

七、直線和圓

1.直線傾斜角與斜率的存在性及其取值范圍；直線方向向

量的意義(或)及其直線方程的向量式((為直線的方向向量)).

應(yīng)用直線方程的點斜式、斜截式設(shè)直線方程時，一般可設(shè)直線

的斜率為k,但你是否注意到直線垂直于x軸時，即斜率k不

存在的情況？

2.知直線縱截距，常設(shè)其方程為或;知直線橫截距，常設(shè)

其方程為(直線斜率k存在時，為k的倒數(shù))或知直線過點，常

設(shè)其方程為.

(2)直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.直線兩

截距相等直線的斜率為-1或直線過原點；直線兩截距互為相

反數(shù)

直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等直

線的斜率為或直線過原點.

(3)在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時，有可能

這兩條直線重合，而在立體幾何中一般提到的兩條直線可以理

解為它們不重合.

3.相交兩直線的夾角和兩直線間的到角是兩個不同的概

念：夾角特指相交兩直線所成的較小角，范圍是。而其到角是

帶有方向的角，范圍是

4.線性規(guī)劃中幾個概念：約束條件、可行解、可行域、目

的函數(shù)、最優(yōu)解.

5.圓的方程：最簡方程；標準方程；

6.解決直線與圓的關(guān)系問題有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形

結(jié)合思想”兩種思路，等價轉(zhuǎn)化求解，重要的是發(fā)揮“圓的平

面幾何性質(zhì)(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線

長定理、割線定理、弦切角定理等等)的作用！”

(1)過圓上一點圓的切線方程

過圓上一點圓的切線方程

過圓上一點圓的切線方程

假如點在圓外，那么上述直線方程表示過點兩切線上兩

切點的“切點弦”方程.

假如點在圓內(nèi)，那么上述直線方程表示與圓相離且垂直于

（為圓心）的直線方程，（為圓心到直線的間隔）.

7.曲線與的交點坐標方程組的解；

過兩圓交點的圓（公共弦）系為，當且僅當無平方項時，為

兩圓公共弦所在直線方程.

八、圓錐曲線

L圓錐曲線的兩個定義，及其“括號”內(nèi)的限制條件，在

圓錐曲線問題中，假如涉及到其兩焦點（兩相異定點），那么將

優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義;假如涉及到其焦點、準線（一定點

和不過該點的一定直線）或離心率，那么將優(yōu)先選用圓錐曲線

第二定義;涉及到焦點三角形的問題，也要重視焦半徑和三角

形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用.

（1）注意：①圓錐曲線第一定義與配方法的綜合運用；

②圓錐曲線第二定義是：”點點距為分子、點線距為分

母”，橢圓點點距除以點線距商是小于1的正數(shù)，雙曲線點

點距除以點線距商是大于1的正數(shù)，拋物線

點點距除以點線距商是等于1.

2.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：圓錐曲線的對稱性、圓錐曲線的

范圍、圓錐曲線的特殊點線、圓錐曲線的變化趨勢.其中，橢

圓中、雙曲線中.

重視“特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點弦的最值及

其'頂點、焦點、準線等互相之間與坐標系無關(guān)的幾何性

質(zhì)'”，尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點弦最值的特點.

3.在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，有“函數(shù)方程思

想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思路，等價轉(zhuǎn)化求解.特別是：

①直線與圓錐曲線相交的必要條件是他們構(gòu)成的方程組有

實數(shù)解，當出現(xiàn)一元二次方程時，務(wù)必“判別式巳0”，尤其

是在應(yīng)用韋達定理解決問題時，必須先有“判別式20”.

②直線與拋物線（相交不一定交于兩點）、雙曲線位置關(guān)系

（相交的四種情況）的特殊性，應(yīng)慎重處理.

③在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，常與“弦”相

關(guān)，“平行弦”問題的關(guān)鍵是“斜率”、“中點弦”問題關(guān)鍵

是“韋達定理”或“小小直角三角形”或“點差法”、“長度

（弦長）”問題關(guān)鍵是長度（弦長）公式

④假如在一條直線上出現(xiàn)“三個或三個以上的點”，那么

可選擇應(yīng)用“斜率”為橋梁轉(zhuǎn)化.

4.要重視常見的尋求曲線方程的方法（待定系數(shù)法、定義

法、直譯法、代點法、參數(shù)法、交軌法、向量法等）,

以及如何利用曲線的方程討論曲線的幾何性質(zhì)（定義法、

幾何法、代數(shù)法、方程函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思

想和等價轉(zhuǎn)化思想等），這是解析幾何的兩類根本問題，也是

解析幾何的根本出發(fā)點.

注意：①假如問題中涉及到平面向量知識，那么應(yīng)從向量

的特點出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進展“摘帽子或脫靴

子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進展“摘帽子或脫靴子”

轉(zhuǎn)化.

②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，

尋求軌跡或軌跡方程時應(yīng)注意軌跡上特殊點對軌跡的“完備性

與純粹性”的影響.

③在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性

質(zhì)”數(shù)形結(jié)合（如角平分線的雙重身份）、”方程與函數(shù)性質(zhì)”

化解析幾何問題為代數(shù)問題、”分類討論思想”化整為零分化

處理、”求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.

九、直線、平面、簡單多面體

1.計算異面直線所成角的關(guān)鍵是平移（補形）轉(zhuǎn)化為兩直線

的夾角計算

2.計算直線與平面所成的角關(guān)鍵是作面的垂線找射影，或

向量法（直線上向量與平面法向量夾角的余角），三余弦公式

（最小角定理），或先運用等積法求點到直線的間隔，后虛擬

直角三角形求解.注：一斜線與平面上以斜足為頂點的角的兩

邊所成角相等

斜線在平面上射影為角的平分線.

3.空間平行垂直關(guān)系的證明，主要根據(jù)相關(guān)定義、公理、

定理和空間向量進展，請重視線面平行關(guān)系、線面垂直關(guān)系

（三垂線定理及其逆定理）的橋梁作用.注意：書寫證明過程需

標準.

4.直棱柱、正棱柱、平行六面體、長方體、正方體、正四

面體、棱錐、正棱錐關(guān)于側(cè)棱、側(cè)面、對角面、平行于底的截

面的幾何體性質(zhì).

如長方體中：對角線長，棱長總和為，全（表）面積為，

（結(jié)合可得關(guān)于他們的等量關(guān)系，結(jié)合根本不等式還可建立關(guān)

于他們的不等關(guān)系式），

如三棱錐中：側(cè)棱長相等（側(cè)棱與底面所成角相等）頂點在

底上射影為底面外心，側(cè)棱兩兩垂直（兩對對棱垂直）頂點在底

上射影