2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)課件高一上學期數(shù)學人教A版

人教A版必修第一冊2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

在現(xiàn)實世界和日常生活中,大量存在著相等關系和不等關系,例如多與少、大與小、長與短、高與矮、遠與近、快與慢、漲與跌、輕與重、不超過或不少于等.類似于這樣的問題,反映在數(shù)量關系上,就是相等與不等.相等用等式表示,不等用不等式表示．問題1你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關系嗎(1)某路段限速40km/h;(2)某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應不少于2.3%;(3)三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊;(4)連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短．問題1你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關系嗎(1)某路段限速40km/h;(2)某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應不少于2.3%;設在該路段行駛的汽車的速度為vkm/h,“限速40km/h”就是v的大小不能超過40,于是0<v≤40問題1你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關系嗎(3)三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊;(4)連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短．設△ABC的三條邊為a,b,c,則a+b>c,a-b<c你能寫出其他的可能情況嗎如圖,設C是線段AB外的任意一點,CD垂直于AB,垂足為D,E是線段AB上不同于D的任意一點,則CD＜CE．ABCDE問題2:某種雜志原以每本2.5元的價格銷售,可以售出8萬本.據(jù)市場調(diào)查,若單價每提高0.1元銷售量就可能相應減少2000本.如何定價才能使提價后的銷售總收入不低于20萬元于是,不等關系“銷售總收入不低于20萬元”可以用不等式表示為設提價后每本雜志的定價為x元,則銷售總收入為求出不等式的解集,就能知道滿足條件的雜志的定價范圍如何解不等式呢與解方程要用等式的性質(zhì)一樣,解不等式要用不等式的性質(zhì).為此,我們需要先研究不等式的性質(zhì).實際上,在初中我們已經(jīng)通過具體實例歸納出了一些不等式的性質(zhì).那么,這些性質(zhì)為什么是正確的還有其他不等式的性質(zhì)嗎回答這些問題要用到關于兩個實數(shù)大小關系的基本事實．

由于數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應,所以可以利用數(shù)軸上點的位置關系來規(guī)定實數(shù)的大小關系:如圖,設a,b是兩個實數(shù),它們在數(shù)軸上所對應的點分別是A,B.那么,當點A在點B的左邊時,a＜b;當點A在點B的右邊時,a＞b．思考1:實數(shù)可以比較大小,對于兩個實數(shù)a,b,其大小關系有哪幾種可能a＞b,a=b,a＜b

思考2:任何一個實數(shù)都對應數(shù)軸上的一個點,那么大數(shù)與小數(shù)所對應的點的相對位置關系如何大數(shù)對應的點位于小數(shù)對應的點的右邊不等式基本原理不等式基本原理比較兩個實數(shù)大小的方法——作差法比較兩個實數(shù)a與b的大小,歸結為判斷它們的差a-b的符號;比較兩個代數(shù)式的大小,實際上是比較它們的值的大小,而這又歸結為判斷它們的差的符號．作差法是比較兩數(shù)(式)的大小的最基本和首選的方法：解:比較兩個數(shù)(式)的大小的方法:作差,與零比較大小.分析:通過考察這兩個多項式的差與０的大小關系,可以得出它們的大小關系．比較兩個實數(shù)(或代數(shù)式)大小的步驟(1)作差：對要比較大小的兩個數(shù)(或式子)作差；(2)變形：對差進行變形(因式分解、通分、配方等)；(3)判斷差的符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號；(4)作出結論．這種比較大小的方法通常稱為作差比較法．其思維過程：作差→變形→判斷符號→結論，其中變形是判斷符號的前提．歸納總結1、已知x>1,比較x3+6x與x2+6的大小．

解：

∵(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6

＝x2(x－1)＋6(x－1)

＝(x－1)(x2＋6)∵x>1∴(x－1)(x2＋6)>0∴x3＋6x>x2＋6

作商法:作商法比較大小一般適用于含冪式、積式、分式且符號確定的數(shù)或式的大小的比較,作商后可變形為能與1比較大小的式子.作商法探究:如右圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標,會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的,顏色的明暗使它看上去像一個風車,代表中國人民熱情好客.你能在這個圖中找出一些相等關系和不等關系嗎問題1:這會標中含有怎樣哪些幾何圖形問題2:你能否在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系BACDHEFGab問題3:四個三角形的總的面積是多少外部的正方形ABCD的面積是多少問題4:你能從左圖中從面積的角度比較這兩個數(shù)的大小嗎問題5:當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?即a=b時,正方形EFGH縮為一個點,這時四個三角形的面積和與正方形的面積之間有何關系思考：當a=b時會出現(xiàn)什么情況？正方形EFGH縮為一個點，這時有a2＋b2＝２ab一般地，?a，b∈R，有a2＋b2≥２ab，當且僅當a＝b時，等號成立．問題6:通過前面圖形的變化觀察得到a2+b2≥2ab,你能證明a2+b2≥2ab,對任意實數(shù)a,b都成立嗎

一般地,對于任意實數(shù)a、b,我們有當且僅當a=b時,等號成立.重要不等式思考:請你先梳理等式的基本性質(zhì),再觀察它們的共性.你能歸納一下發(fā)現(xiàn)等式基本性質(zhì)的方法嗎等式有下面的基本性質(zhì)：性質(zhì)1如果a=b,那么b=a;

性質(zhì)2如果a=b,b=c,那么a=c;

性質(zhì)3如果a=b,那么a±c=b±c；性質(zhì)4如果a=b,那么ac=bc;性質(zhì)5如果a=b,c≠0,那么．運算中的不變性就是性質(zhì)．探究:類比等式的基本性質(zhì),你能猜想不等式的基本性質(zhì)嗎？性質(zhì)1(對稱性):如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即性質(zhì)2(傳遞性):如果a>b,b>c,那么a>c.即性質(zhì)2(傳遞性)的證明性質(zhì)3(可加性):如果a>b,那么a+c>b+c.不等式的兩邊都加上同一個實數(shù),所得不等式與原不等式同向.不等式中任何一項可以改變符號后移到不等號的另一邊.性質(zhì)4(可乘性):如果a>b,c>0,那么ac>bc.如果a>b,c<0,那么ac<bc.性質(zhì)5(同向可加性):如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.性質(zhì)6(同向同正可乘性):如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.兩邊都是正數(shù)的同向不等式相乘，所得的不等式和原不等式同向.兩個同向不等式相加,所得不等式與原不等式同向.當不等式的兩邊都是正數(shù)時,不等式的兩邊同時乘方所得得不等式和原不等式同向.性質(zhì)7(可乘方性):反思利用不等式性質(zhì)判斷不等式是否成立的方法:(1)運用不等式的