【解析】安徽省滁州市定遠縣重點中學高三下學期6月模擬數(shù)學（理）試題

定遠重點中學2020屆高三下學期6月模擬考試數(shù)學（理）試題第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.設全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，∴，∴．選C．2.已知x，，i為虛數(shù)單位，且，則A.2 B. C. D.2i【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對應關系求出x，y的值，結(jié)合復數(shù)的運算求出代數(shù)式的值即可．【詳解】由，得：，所以，，所以，故選B．【點睛】本題考查了復數(shù)的運算，考查對應思想，是一道常規(guī)題．復數(shù)與相等的充要條件是且．復數(shù)相等的充要條件是化復為實的主要依據(jù)，多用來求解參數(shù)的值或取值范圍．步驟是：分別分離出兩個復數(shù)的實部和虛部，利用實部與實部相等、虛部與虛部相等列方程（組）求解．時，則輸出的范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用程序框圖和分段函數(shù)進行求解．詳解：當時，，則；當時，；綜上所述，輸出的范圍為．點睛：本題考查程序框圖等知識，意在考查分類討論思想的應用能力和基本計算能力．4.已知為所在平面內(nèi)一點，，，則的面積等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)條件得知點P在三角形中位線的延長線上，三角形ABC是以B為直角的直角三角形，記AC中點為O點，OBPC按這一順序構(gòu)成平行四邊形的四個邊，并且是菱形，邊長為2，故BC為2，此時三角形面積為故答案為B．5.【2018屆浙江省溫州市一模】如圖，正四面體中，在棱上，且，分別記二面角的平面角為，在（）A. B. C. D.【答案】D【解析】是正四面體，在棱上，且，可得為鈍角，為銳角，設的距離為的距離為的距離為的距離為，設正四面體的高為,可得，由余弦定理可得，由三角形面積相等可得到，所以可以推出所以，故選D.【方法點睛】本題主要考查二面角的求法，屬于難題.求二面角的大小既能考查線線垂直關系，又能考查線面垂直關系，同時可以考查學生的計算能力，是高考命題的熱點，求二面角的方法通常有兩個思路：一是利用空間向量，建立坐標系，這種方法優(yōu)點是思路清晰、方法明確，但是計算量較大；二是傳統(tǒng)方法，求出二面角平面角的大小，這種解法的關鍵是找到平面角，本題很巧妙的應用點到面的距離及點到線的距離求得二面角的正弦值，再得到二面角的大小關系.6.已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到數(shù)的圖象，則函數(shù)圖象的一個對稱中心是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先對函數(shù)化簡，然后利用三角函數(shù)的平移關系求出的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的對稱性進行求解即可．【詳解】，將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到數(shù)的圖象，即，由，得，，當時，，即函數(shù)的一個對稱中心為，故選C．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換和性質(zhì)，求出函數(shù)的解析式以及利用三角函數(shù)的對稱性是解決本題的關鍵．7.設F為拋物線C:的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知：直線AB的方程為，代入拋物線的方程可得：，設A、B，則所求三角形的面積為=，故選D.考點：本小題主要考查直線與拋物線的位置關系，考查兩點間距離公式等基礎知識，考查同學們分析問題與解決問題的能力.8.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】【分析】∵∴為奇函數(shù)，排除A，C，，且排除D，故選B點睛：識圖常用的方法(1)定性分析法：通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題；(2)定量計算法：通過定量的計算來分析解決問題；(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．9.設是定義在上的偶函數(shù)，，都有，且當時，，若函數(shù)（，）在區(qū)間內(nèi)恰有三個不同零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】試題分析：由得函數(shù)的圖象關于直線對稱，又是偶函數(shù)，即圖象關于直線對稱，因此它還是周期函數(shù)，且周期為，函數(shù)的零點個數(shù)就是函數(shù)與曲線的圖象交點的個數(shù)，如圖由奇偶性和周期性作出的圖象，作出的圖象，由圖象知，兩圖象只有三個交點，則有或，解得或．故選C．考點：函數(shù)的零點．【名師點睛】本題考查函數(shù)零點，函數(shù)的零點，就是方程的解，也是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標，它們個數(shù)是相同的，因此有解決零點個數(shù)問題時，常常進行這方面的轉(zhuǎn)化，把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點．在轉(zhuǎn)化時在注意較復雜的函數(shù)是確定的（沒有參數(shù)），變化的是比較簡單的函數(shù)，如基本初等函數(shù)，大多數(shù)時候是直線，這樣變化規(guī)律比較明顯，易于觀察得出結(jié)論．本題解法是數(shù)形結(jié)合思想的應用．10.設函數(shù)，若存在區(qū)間，使在，上的值域為，，則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判斷的單調(diào)性得出在，上有兩解，作出函數(shù)圖象，利用導數(shù)的意義求出的范圍．【詳解】解：，，當時，，在，上單調(diào)遞增，，在，上單調(diào)遞增，，，，在，上單調(diào)遞增，在，上的值域為，，，方程在，上有兩解，．作出與直線的函數(shù)圖象，則兩圖象有兩交點．若直線過點，，則，若直線與的圖象相切，設切點為，，則，解得．，故選：．【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的幾何意義，零點個數(shù)與函數(shù)圖象的關系，屬于中檔題．11.已知是實數(shù)，若圓與直線相切，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題設圓心到直線的距離，即，也即，因為，所以，即，解之得或，應選答案B．點睛：解答本題的關鍵是借助題設條件建立方程，然后再依據(jù)問題的特征與欲求目標之間的聯(lián)系，借助基本不等式建立了不等式，最后通過解不等式使得問題獲解．12.下列說法正確是（）A.若命題，，則，B.已知相關變量滿足回歸方程，若變量增加一個單位，則平均增加個單位C.命題“若圓與兩坐標軸都有公共點，則實數(shù)”為真命題D.已知隨機變量，若，則【答案】C【解析】若命題，，則，;已知相關變量滿足回歸方程，若變量增加一個單位，則平均減少個單位;命題“若圓與兩坐標軸都有公共點，則為真命題;已知隨機變量，若，則;所以選C.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題第21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22題第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若滿足約束條件，則最大值是__________．【答案】【解析】【詳解】【分析】,

畫出約束條件表示的可行域，如圖，平移直線，當直線經(jīng)過點時，直線在軸上的截距最小，有最大值，由可得，有最大值為，故答案為.【方法點晴】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數(shù)對應的最優(yōu)解對應點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.14.多項式展開式中所有項的系數(shù)之和為64，則該展開式中的常數(shù)項為__________．【答案】141【解析】【詳解】【分析】由展開式中所有項的系數(shù)之和為可得：，則展開式中的常數(shù)項可分為種情況個括號都取⑵個括號取，個括號取，個括號都取，⑶個括號取，個括號取，個括號取，⑷個括號取，個括號取，展開式中的常數(shù)項為15.《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問題:“今有甲持錢五百六十,乙持錢三百五十,丙持錢一百八十,凡三人俱出關,關稅百錢,欲以錢數(shù)多少衰出之,問各幾何?”其意為:“今有甲帶了560錢,乙?guī)Я?50錢,丙帶了180錢,三人一起出關,共需要交關稅100錢,依照錢的多少按比例出錢”,則乙應出(所得結(jié)果四舍五入,保留整數(shù))錢數(shù)為______.【答案】32【解析】【分析】根據(jù)甲乙丙所帶錢數(shù)，可以計算出所交關稅在全部錢中的占比，根據(jù)該比例，可算出乙應出的錢數(shù).【詳解】由題可知：甲乙丙所帶錢數(shù)的總和為：560+350+180=1090，故關稅繳納的比例為：，所以：乙應該出錢：.故答案為：32.【點睛】本題考查分層抽樣在實際問題中應用，需要注意每層的抽樣比例與整體的抽樣比例相等.16.已知函數(shù)對任意的，都有，函數(shù)是奇函數(shù)，當時，，則方程在區(qū)間內(nèi)的所有根的和為_____________．【答案】4【解析】【詳解】∵函數(shù)是奇函數(shù)∴函數(shù)的圖象關于點對稱∴把函數(shù)的圖象向右平移1個單位可得函數(shù)的圖象，即函數(shù)的圖象關于點對稱，則.又∵∴，從而∴，即∴函數(shù)的周期為2，且圖象關于直線對稱.畫出函數(shù)的圖象如圖所示：∴結(jié)合圖象可得區(qū)間內(nèi)有8個根，且所有根的和為.故答案為4.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且.（1）求角C的大?。唬?）若A=，△ABC的面積為，M為BC的中點，求AM.【答案】(1)(2).【解析】【分析】（1）利用正弦定理，結(jié)合同角三角函數(shù)的關系化簡已知的等式，得到三邊的關系式，再利用余弦定理表示出的值，可求角的大??；（2）求得，為等腰三角形，由三角形面積公式可求出的值，再利用余弦定理可得出的值.【詳解】(1)∵∴∴由正弦定理得：即∴∵C為三角形的內(nèi)角，∴(2)由（1）知，∴∴△ABC為等腰三角形，即CA=CB又∵M為CB中點∴CM=BM設CA=CB=2x則CM=BM=x∴解得：x=2∴CA=4,CM=2由余弦定理得：AM=.【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面積公式，屬于中檔題.解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷．如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．18.2012年12月18日，作為全國首批開展空氣質(zhì)量新標準監(jiān)測的74個城市之一，鄭州市正式發(fā)布數(shù)據(jù).資料表明，近幾年來，鄭州市霧霾治理取得了很大成效，空氣質(zhì)量與前幾年相比得到了很大改善.鄭州市設有9個監(jiān)測站點監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)（），其中在輕度污染區(qū)、中度污染區(qū)、重度污染區(qū)分別設有2,5,2個監(jiān)測站點，以9個站點測得的的平均值為依據(jù)，播報我市的空氣質(zhì)量.（Ⅰ）若某日播報的為118，已知輕度污染區(qū)的平均值為74，中度污染區(qū)的平均值為114，求重度污染區(qū)的平均值；（Ⅱ）如圖是2018年11月的30天中的分布，11月份僅有一天在內(nèi).組數(shù)分組天數(shù)第一組3第二組4第三組4第四組6第五組5第六組4第七組3第八組1①鄭州市某中學利用每周日的時間進行社會實踐活動，以公布的為標準，如果小于180，則去進行社會實踐活動.以統(tǒng)計數(shù)據(jù)中的頻率為概率，求該校周日進行社會實踐活動的概率；②在“創(chuàng)建文明城市”活動中，驗收小組把鄭州市的空氣質(zhì)量作為一個評價指標，從當月的空氣質(zhì)量監(jiān)測數(shù)據(jù)中抽取3天的數(shù)據(jù)進行評價，設抽取到不小于180的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.【答案】（Ⅰ）172（Ⅱ）①②見解析【解析】【分析】（Ⅰ）設重度污染區(qū)AQI的平均值為x，利用加權(quán)平均數(shù)求出x的值；（Ⅱ）①由題意知11月份AQI小于180的天數(shù)，計算所求的概率即可；②由題意知隨機變量X的可能取值，計算對應的概率值，寫出分布列，求出數(shù)學期望值．【詳解】（Ⅰ）設重度污染區(qū)的平均值為，則，解得.即重度污染區(qū)平均值為172.（Ⅱ）①由題意知，在內(nèi)的天數(shù)為1，由圖可知，在內(nèi)的天數(shù)為17天，故11月份小于180的天數(shù)為，又，則該學校去進行社會實踐活動的概率為.②由題意知，的所有可能取值為0，1，2，3，且，，，，則的分布列為0123數(shù)學期望.【點睛】本題考查了平均數(shù)與離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望計算問題，是基礎題．19.已知多面體中，四邊形為平行四邊形，，且，，，.（1）求證：平面平面；（2）若，直線與平面夾角的正弦值為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【詳解】試題分析：(1)由題意結(jié)合線面垂直的判斷定理可得平面，然后利用面面垂直的判斷定理即可證得平面平面.(2)建立空間直角坐標系，結(jié)合題意利用夾角公式可得求得直線與平面的夾角的正弦值，據(jù)此可得.試題解析：（1）∵，，∴，∴；又，，∴平面；因為平面，所以平面平面.（2）因為平面平面，平面平面，，所以平面，平面，故；以為原點，所在直線分別為軸，過點且垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，設平面的一個法向量，因為，，∴，取，，則，，設直線與平面的夾角為，故，解得（舍去），故.20.已知橢圓：的右焦點為，且點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知動直線過點，且與橢圓交于軸上是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）軸上存在點【解析】【分析】（1）利用橢圓的定義求出a的值，進而可求b的值，即可得到橢圓的標準方程；（2）先利用特殊位置，猜想點Q的坐標，再證明一般性也成立即可【詳解】（1）由題意知，根據(jù)橢圓的定義得：即，，橢圓的標準方程為（2）假設在軸上存在點，使得恒成立．①當直線的斜率為時，，．則解得．②當直線的斜率不存在時，，．則解得或③由①②可知當直線的斜率為或不存在時，使得成立．下面證明，即時恒成立．設直線的斜率存在且不為時，直線方程為，,，由，可得，綜上所述：在軸上存在點，使得恒成立．考點：1．直線與圓錐曲線的關系；2．橢圓的標準方程21.已知函數(shù).（1）當時，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）當有兩個極值點時，若極大值小于整數(shù)，求的最小值.【答案】（1）為上的減函數(shù)（2）3【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，法一、結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷導函數(shù)的符號，求出函數(shù)的單調(diào)性即可；法二、令，則，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出的極大值，即可得到結(jié)論；（2）令，則，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到有兩個實數(shù)根（），取出實數(shù)的取值范圍，進而求出的極大值，進而得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題.方法1：由于，又，所以，從而，于是為上的減函數(shù).方法2：令，則，當時，，為增函數(shù)；當時，，為減函數(shù).故在時取得極大值，也即為最大值.則.由于，所以，于是為上的減函數(shù).（2）令，則，當時，，為增函數(shù)；當時，，為減函數(shù).當趨近于時，趨近于.由于有兩個極值點，所以有兩個不等實根，即有兩不等實根（）.則解得.可知，由于，，則.而，即（）所以，于是，（*）令，則（*）可變?yōu)?，可得，而，則有，下面再說明對于任意，.又由（）得，把它代入（*）得，所以當，恒成立，故為減函數(shù)，所以.所以滿足題意的整數(shù)的最小值為3.點睛：本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.請考生在第22、23題中任選一題作答.注意：只能做選定的題目，如果多做，則按所做的第一題