考研數(shù)學(xué)二（解答題）模擬試卷1（共180題）

考研數(shù)學(xué)二（解答題）模擬試卷1（共9套）（共180題）考研數(shù)學(xué)二（解答題）模擬試卷第1套一、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析2、設(shè)y＝，且f′(χ)＝lnχ，求y′．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析3、求星形線L(a＞0)所圍區(qū)域的面積A．標(biāo)準(zhǔn)答案：圖形關(guān)于x，y軸均對稱，第一象限部分：知識點解析：暫無解析4、求下列積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析5、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析6、求微分方程x(y2－1)dx+y(x2－1)dy=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：這是一個變量可分離的方程，分離變量后原方程化為兩邊同時積分，可求得其通解為ln｜y2－1｜=－ln｜x2－1｜+C’，即(x2－1)(y2－1)=C，其中C為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析7、已知=2x+y+1，=x+2y+3，μ(0，0)=1，求μ(x，y)及μ(x，y)的極值，并問此極值是極大值還是極小值?說明理由。標(biāo)準(zhǔn)答案：由=2x+y+1，有μ(x，y)=x2+xy+x+φ(y)，再結(jié)合=x+2y+3，有x+φ’(y)=x+2y+3，得φ’(y)=2y+3，φ(y)=y2+3y+C。于是μ(x，y)=x2+xy+x+y2+3y+C。又由μ(0，0)=1得C=1，因此μ(x，y)=x2+xy+y2+x+3y+1。知識點解析：暫無解析8、設(shè)u=f(x，y，z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，y=y(x)和z=z(x)分別由方程exy一y=0和ez一xz=0所確定，求標(biāo)準(zhǔn)答案：方程exy一y=0兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，有方程ez一xz=0兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，有于是知識點解析：暫無解析9、計算sinx2cosy2dxdy，其中D：x2+y2≤a2(x≥0，y≥0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由對稱性得I=sinx2cosy2dxdysiny2cosx2dxdy知識點解析：暫無解析10、設(shè)向量α＝(a1，a2，…，an)T，其中a≠0，A＝ααT．(1)求方程組AX＝0的通解；(2)求A的非零特征值及其對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為r(A)＝1，所以AX＝0的基礎(chǔ)解系含有n－1個線性無關(guān)的特征向量，其基礎(chǔ)解系為則方程組AX＝0的通解為k1α1＋k2α2＋…＋kn-1αn-1(k1，k2，…，kn-1為任意常數(shù))．(2)因為A2＝kA，其中k＝(α，α)＝ai2＞0，所以A的非零特征值為k，因為Aα＝ααTα＝kα，所以非零特征值志對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α．知識點解析：暫無解析11、已知線性方程組(I)及線性方程組(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系ξ1=[一3，7，2，0]T，ξ2=[一1，一2，一0，1]T求方程組(I)和(Ⅱ)的公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組(Ⅱ)的通解為k1ξ1+k2ξ2=k1[一3，7，2，0]T+k2[一1，一2，0，1]T=[一3k1一k2，7k1一2k2，2k1，k2]T．其中k1，k2是任意常數(shù)，將該通解代入方程組(I)得：3(一3k1一k2)一(7k1—2k2)+8(2k1)+k2=一16k1+16k1—3k2+3k2=0，(一3k1一k2)+3(7k1—2k2)一9(2k1)+7k2=一21k1+21k1—7k2+7k2=0，即方程組(Ⅱ)的通解均滿足方程組(I)，故(Ⅱ)的通解k1[一3，7，2，0]T+k2[一1，一2，0，1]T．即是方程組(I)，(Ⅱ)的公共解．知識點解析：暫無解析12、設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，，求曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的曲率．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)為偶函數(shù)，且滿足f’(x)+2f(x)-f(t-x)dt=-3x+2，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：則有f’(x)+2f(x)-=-3x+2，因為f(x)為偶函數(shù)，所以f’(x)是奇函數(shù)，于是f’(0)=0，代入上式得f(0)=1．將f’(x)+2f(x)-=-3x+2兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得f’’(x)+2f’(x)-3f(x)=-3，其通解為f(x)=C1ex+C2e-3x+1，將初始條件代人得f(x)=1．知識點解析：暫無解析14、設(shè)f(χ)在[0，＋∞)上連續(xù)，且f(0)＞0，設(shè)f(χ)在[0，χ]上的平均值等于f(0)與f(χ)的幾何平均數(shù)，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意得，令a＝，則有∫0χf(t)dt＝兩邊求導(dǎo)得，知識點解析：暫無解析15、設(shè)A為n階矩陣，證明：r(A*)＝，其中n≥2．標(biāo)準(zhǔn)答案：AA*＝A*A＝｜A｜E．當(dāng)r(A)＝n時，｜A｜≠0，因為｜A*｜＝｜A｜n-1，所以｜A*｜≠0，從而r(A*)＝n；當(dāng)r(A)＝n－1時，由于A至少有一個n－1階子式不為零，所以存在一個Mij≠0，進(jìn)而Aij≠0，于是A*≠O，故r(A*)≥1，又因為｜A｜＝0，所以AA*＝｜A｜E＝O，根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)有r(A)＋r(A*)≤n，而r(A)＝n－1，于是得r(A*)≤1，故r(A*)＝1；當(dāng)r(A)＜n－1時，由于A的所有n－1階子式都為零，所以A*＝O，故r(A*)＝0．知識點解析：暫無解析設(shè)方程組x3=a+3有無窮多個解，α1=，α2=，α3=為矩陣A的分別屬于特征值λ1=1，λ2=-2，λ3=-1的特征向量．16、求A；標(biāo)準(zhǔn)答案：因為方程組有無窮多個解，所以D==a2-2a+1=0，解得a=1．知識點解析：暫無解析17、求｜A*+3E｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：｜A｜=2，A*對應(yīng)的特征值為，即2，-1，-2，A*+3E對應(yīng)的特征值為5，2，1，所以｜A*+3E｜=10．知識點解析：暫無解析18、求不定積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、方程ysinx＝(sinx)y確定y是x的函數(shù)，求yˊ．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）模擬試卷第2套一、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、計算下列各題：(Ⅰ)設(shè)(Ⅱ)設(shè)(Ⅲ)設(shè)y＝，其中a＞b＞0，求y′．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析2、設(shè)f(x)對一切x1，x2滿足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，并且f(x)在x=0處連續(xù)，證明：函數(shù)f(x)在任意點x0處連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，令x2=0，則f(x1)=f(x1)+f(0)，可得f(0)=0，又f(x)在x=0處連續(xù)，則有=f(0)=0，而f(x0+△x)一f(x0)=f(x0)+f(△x)一f(x0)=f(△x)，兩邊取極限得到[f(x0+△x)一f(x0)]==0，故函數(shù)f(x)在任意點x0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析3、設(shè)A是n階矩陣，若存在正整數(shù)k，使線性方程組Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0．證明：向量組α，Aα2，…，Ak-1α是線性無關(guān)的．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)有常數(shù)λ0，λ1，¨λk-1，使得λ0α+λ1α+…+λk-1Ak-1α=0，則有Ak-1(λ0α+λ1Aα+…+λk-1Ak-1α)=0，從而得到λ0Ak-1α=0．由題設(shè)Ak-1α≠0，所以λ0=0．類似地可以證明λ1=λ2=…=λk-1=0，因此向量組α，Aα，…，Ak-1α是線性無關(guān)的．知識點解析：暫無解析4、設(shè)n＞1，n元齊次方程組AX=0的系數(shù)矩陣為(1)討論a為什么數(shù)時AX=0有非零解?(2)在有非零解時求通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)用矩陣消元法，把第n行除以n移到第一行，其他行往下順移，再第i行減第一行的i倍(i＞1)．a(chǎn)=0時r(A)=1，有非零解．下面設(shè)a≠0，對右邊的矩陣?yán)^續(xù)進(jìn)行行變換：把第2至n各行都除以a，然后把第1行減下面各行后換到最下面，得于是當(dāng)a=－n(n+1)／2時r(A)=n－1，有非零解．(2)a=0時AX=0與x1+x2+…+xn=0同解，通解為c1(1，－1，0，…，0)T+c2(1，0，－1，…，0)T+…+cn－1(1，0，0，…，－1)T，ci任意．a(chǎn)=－n(n+1)／2時，通解為c(1，2，3，…，n)T，c任意．知識點解析：暫無解析5、設(shè)f(χ)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)＝0，證明：存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)sinξ＋f(ξ)cosξ＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(χ)＝f(χ)sinχ，φ(0)＝φ(1)＝0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝f′(χ)sinχ＋f(χ)cosv，故f′(ξ)sinξ＋f(ξ)cosξ＝0．知識點解析：暫無解析6、設(shè)n為自然數(shù)，試證：標(biāo)準(zhǔn)答案：右端不等式等價于證明從而，當(dāng)x＞0時，f’(x)單調(diào)增，且當(dāng)x→+∞時，f’(x)趨于零，所以，當(dāng)x＞0時，f’(x)＜0．進(jìn)而知當(dāng)x＞0時，f(x)單調(diào)減，且當(dāng)x→+∞時，f(x)趨于零，于是，當(dāng)x＞0時，f(x)＞0．所以，對一切自然數(shù)n，恒有f(n)＞0，故有從而右端不等式成立．類似地，引入輔助函數(shù)類似可證明：當(dāng)x＞0時，g(x)＜0，從而對一切自然數(shù)n，左端不等式成立．知識點解析：暫無解析7、設(shè)f(χ)＝討論f(χ)在χ＝0處的可導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(0)＝f(0－0)＝0，f(0＋0)＝＝0，由f(0－0)＝f(0＋0)＝f(0)得f(χ)在χ＝0處連續(xù)；由＝0得f′－(0)＝0，得f′+(0)＝0，因為f′－(0)＝f′+(0)＝0，所以f(χ)在χ＝0處可導(dǎo)．知識點解析：暫無解析8、設(shè)二次型f=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3經(jīng)正交變換x=Py化成產(chǎn)f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3維列向量，P是3階正交矩陣.試求常數(shù)α，β．標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型f(x1，x2，x3)的矩陣為因為P為正交矩陣，所以即A與B相似，故A與B有相同的特征值λ1=0，λ2=1，λ3=2，這些特征值滿足｜λE一A｜=0．當(dāng)λ1=0，則由式(1)和(2)，可求得α=β=0．知識點解析：本題主要考查二次型在正交變換下的不變量．令二次型f(x1，x2，x3)的矩陣為A，由標(biāo)準(zhǔn)形f=y22+2y32，知A的特征值為0，1，2，代入A的特征方程，求得α，β．9、設(shè)A＝，問當(dāng)k取何值時，存在可逆矩陣P，使得P-1AP成為對角矩陣?并求出P和相應(yīng)的對角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：由｜λE－A｜＝＝(λ＋1)2(λ－1)＝0得A的全部特征值為λ1＝λ2＝－1，λ3＝1．故A可對角化A的屬于2重特征值λ1＝λ2＝－1的線性無關(guān)特征向量有2個方程組(－E－A)χ＝0的基礎(chǔ)解系含2個向量3－r(－E－A)＝2r(－E－A)＝k＝0．當(dāng)k＝0時，可求出A的對應(yīng)于特征值－1，－1；1的線性無關(guān)特征向量分別可取為α1＝(－1，2，0)T，α2＝(1，0，2)T，α3＝(1，0，1)T，故令P＝[α1α2α3]＝，則有P-1AP＝diag(－1，－1，1)．知識點解析：暫無解析10、設(shè)A為m階實對稱矩陣且正定，B為m×n實矩陣，BT為B的轉(zhuǎn)置矩陣，試證：BTAB為正定矩陣的充分必要條件是B的秩r(B)=n．標(biāo)準(zhǔn)答案：必要性．若BTAB為正定矩陣，則對任意的實n維列向量x≠0，有xT(BTAB)x＞0，即(Bx)TA(Bx)＞0．又A為正定矩陣，于是Bx≠0．因此齊次線性方程組Bx=0僅有零解，從而r(B)=n．充分性．因(BTAB)T=BTATB=BTAB，故BTAB為對稱矩陣．若r(B)=n，則齊次線性方程組Bx=0僅有零解．因此，對任意的n維實列向量x≠0，必有Bx≠0．由已知，A為正定矩陣，故對Bx≠0，有(Bx)TA(Bx)＞0，xT(BTAB)x＞0，故BTAB為正定矩陣．知識點解析：本題主要考查實對稱矩陣為正定矩陣的充分必要條件，齊次線性方程組僅有零解的判別．注意運用齊次線性方程組Bx=O只有零解充分必要條件是，則有Bx≠0，這是證題的關(guān)鍵．11、設(shè)f(x)，g(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，g(x)≠0且(a，b))．證明：存在常數(shù)c，使得f(x)=cg(x)，x∈(a，b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為所以存在常數(shù)c，使得，即f(x)=cg(x)(∈(a，b))．知識點解析：暫無解析12、求由曲線y=4-x2與X軸圍成的部分繞直線x=3旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：取[x，x+dx][-2，2]，則dV=2π(3-x)(4-x2)dx，V=∫-22dV=2π∫-22(3-x)(4-x2)dx=6π∫-22(4-x2)dx=12π∫02(4-x2)dx=12π×=64π知識點解析：暫無解析13、把二重積分f(x,y)dxdy寫成極坐標(biāo)下的累次積分的形式(先r后θ)，其中D由直線x+y=1，x=1，y=1圍成．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析14、求證：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在約束條件g(x,y)=下有最大值和最小值，且它們是方程k2一(Aa2+Cb2)k+(AC—B2)a2b2=0的根．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x，y)在全平面連續(xù)，為有界閉區(qū)域，故f(x，y)在此約束條件下必有最大值和最小值．設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)分別為最大值點和最小值點，令則(x1，y1)，(x2，y2)應(yīng)滿足方程記相應(yīng)乘子為λ1，λ2，則(x1，y1，λ1)滿足解得λ1=Ax12+2Bx1y1+Cy12同理λ2=Ax22+2Bx2y2+Cy22．即λ1，λ2是f(x，y)在橢圓上的最大值和最小值．又方程組①和②有非零解，系數(shù)行列式為0，即化簡得λ2一(Aa2+Cb2)λ+(AC—B2)a2b2=0，所以λ1，λ2是上述方程(即題目所給方程)的根．知識點解析：暫無解析15、已知A=，求A2016。標(biāo)準(zhǔn)答案：令，則A2016=。知識點解析：暫無解析16、已知a1，a2，…，as是互不相同的數(shù)，n維向量αi=(1，ai，ai2，…，ain-1)T(i=1，2，…，s)，求向量組α1，α2，…，αs的秩．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)s＞n時，α1，α2，…，αs必線性相關(guān)，但｜α1，α2，…，αn｜是范德蒙行列式，故α1，α2，…，αn線性無關(guān)．因而r(α1，α2，…，αs)=n．當(dāng)s=n時，α1，α2，…，αn線性無關(guān)，秩r(α1，α2，…，αn)=n．當(dāng)s＜n時，記α’1=(1，a1，a12，…，a1s-1)T，α’2=(1，a2，a22，…，a2s-1)T，…，α’s=(1，as，as2，…，ass-1)T，則α’1，α’2，…，α’s線性無關(guān)．那么α1，α2，…，αs必線性無關(guān)．故r(α1，α2，…，αs)=s．知識點解析：暫無解析17、用正交變換法化二次型f(x1，x2，x3)=-4x1x2-4x1x3-4x2x3為標(biāo)準(zhǔn)二次型．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x1，x2，x3)=XTAX，其中X=由｜E-A｜==(λ+3)(λ-3)2=0得λ1=-3，λ2=λ3=3．由(-3E-A)X=0得λ1=-3對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α1=由(3E-A)X=0得λ2=λ3=3對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α2=將α2，α3正交化得β2=知識點解析：暫無解析已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3．18、寫出二次型f的矩陣表達(dá)式；標(biāo)準(zhǔn)答案：二次型的矩陣則二次型f的矩陣表達(dá)式為f=xTAx．知識點解析：暫無解析19、用正交變換把二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的正交矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：A的特征多項式|A一λE|=一(6+λ)(1-λ)(6一λ)，則A的特征值λ1=一6，λ2=1，λ3=6．λ1=一6對應(yīng)的正交單位化特征向量λ2=1對應(yīng)的正交單位化特征向量λ3=6對應(yīng)的正交單位化特征向量令正交矩陣所求正交變換二次型f的標(biāo)準(zhǔn)形f=一6y12+y22+6y32．知識點解析：暫無解析20、證明：用二重積分證明標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)｜x2+y2≤R2，x≥0，y≥0}，S={(x，y)｜0≤x≤R，0≤y≤R}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2，x≥0，y≥0}知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）模擬試卷第3套一、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、設(shè)曲線y=ax2(x≥0，常數(shù)a＞0)與曲線y=1一x2交于點A，過坐標(biāo)原點O和點A的直線與曲線Y=ax2圍成一平面圖形D，求(I)D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積V(A);(II)a的值，使V(x)為最大。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意知，y=ax2與y=1一x2的交點為直線OA的方程為(I)旋轉(zhuǎn)體的體積(II)當(dāng)a＞0時，得V(A)的唯一駐點a=4。當(dāng)0＜a＜4時，V’(A)＞0；當(dāng)a＞4時，V’’(A)＜0。故a=4為V(A)的唯一極大值點，即為最大值點。知識點解析：暫無解析2、已知r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=k，r(α1，α2，…，αs，β，γ)=k+1，求r(α1，α2，…，αs，β－ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用定理3．6，只用看β－γ能不能用α1，α2，…，αs線性表示．由條件知，β可用α1，α2，…，αs線性表示，γ不能用α1，α2，…，αs，β線性表示，從而也就不能用α1，α2，…，αs線性表示．于是β－γ不能用α1，α2，…，αs線性表示．從而r(α1，α2，…，αs，β－γ)=k+1．知識點解析：暫無解析3、設(shè)f’(x)=arcsin(x-1)2，f(0)=0，求∫01f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01f(x)dx=∫01f(x)d(x-1)=(x-1)f(x)｜01-∫01(x-1)f’(x)dx=f(0)-∫01(x-1)f’(x)dx=-∫01(x-1)arcsin(x-1)2dx=∫01arcsin(x-1)2d(x-1)2∫01arcsintdt=∫01arcsintdt知識點解析：暫無解析4、設(shè)A為實矩陣，證明ATA的特征值都是非負(fù)實數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：ATA是實對稱矩陣，特征值都是實數(shù)．設(shè)λ是ATA的一個特征值，η是屬于A的一個實特征向量，則ATAη=λη．于是ηTATAη=AηTη，即(η，η)＞0，(Aη，Aη)≥0，因此λ≥0．知識點解析：暫無解析5、設(shè)c1，c2，…，cn均為非零實常數(shù)，A＝(aij)n×n為正定矩陣，令bij＝aijcicj(i，j＝1，2，…，n)，矩陣B＝(bij)n×n，證明矩陣B為正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：由bji＝bij，知B對稱．若χ1，χ2，…，χn不全為0，則c1χ1，c2χ2，…，cnχn不全為零，此時，(χ1，χ2，…，χn)B(χ1，χ2，…，χn)T＝accχχ＝a(cχ)(cχ)＞0，故B正定．知識點解析：暫無解析6、標(biāo)準(zhǔn)答案：令ex=t，dx=知識點解析：暫無解析7、設(shè)函數(shù)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為x∫01f(tx)dt=∫0xf(u)du，所以f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01(tx)dt+e-x=0可化為f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2∫0xf(t)dt+e-x=0，兩邊對x求導(dǎo)得f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x，由λ2+3λ+2=0得λ1=-1，λ2=-2，則方程f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解為C1e-x+C2e-2x．令f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x的一個特解為y0=axe-x，代入得a=1，則原方程的通解為f(x)=C1e-x+C2e-2x+xe-x．由f(0)=1，f’(0)=-1得C1=0，C2=1，故原方程的解為f(x)=e-2x+xe-x．知識點解析：暫無解析8、求2y－＝(χ－y)ln(χ－y)確定的函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)的微分dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：2y－χ＝(χ－y)ln(χ－y)關(guān)于χ求導(dǎo)得知識點解析：暫無解析9、標(biāo)準(zhǔn)答案：令χ＝tant，則知識點解析：暫無解析10、已知A＝可對角化，求可逆矩陣P及對角矩陣∧，使P-1AP＝A．標(biāo)準(zhǔn)答案：由特征多項式｜λE—A｜＝＝(λ－1)2(λ＋2)，知矩陣A的特征值為λ1＝λ2＝1，λ3＝－2．因為矩陣A可以相似對角化，故r(E－A)=1．而E－A＝所以χ＝6．當(dāng)λ＝1時，由(E－A)χ＝0得基礎(chǔ)解系α1＝(－2，1，0)T，α2＝(0，0，1)T．當(dāng)λ＝－2時，由(－2E－A)χ＝0得基礎(chǔ)解系α3＝(－5，1，3)T．那么，令P＝(α1，α2，α3)＝，得P-1AP＝知識點解析：暫無解析11、設(shè)，求n，c的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析假設(shè)λ為n階可逆矩陣A的一個特征值，證明：12、為A-1的特征值；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A對應(yīng)于特征值λ的特征向量為X，則知識點解析：暫無解析13、為A的伴隨矩陣A*的特征值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由上題設(shè)可知知識點解析：暫無解析14、設(shè)A為n階實對稱矩陣，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代數(shù)余子式(i，j=1，2，…，n)．二次型f(x1，x2，…，xn)=(1)記X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)寫成矩陣形式，并證明二次型f(X)的矩陣為A一1；(2)二次型g(X)=XTAX與f(X)的規(guī)范形是否相同？說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)f(X)=(x1，x2，…，xn)因秩(A)=n，故A可逆，且A一1=A*，從而(A一1)T=(AT)一1=A一1，故A一1也是實對稱矩陣，因此二次型f(X)的矩陣為(2)因為(A一1)TAA一1=(AT)一1E=A一1，所以A與A一1合同，于是g(X)與f(X)有相同的規(guī)范形．知識點解析：暫無解析15、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：令知識點解析：暫無解析16、用變量代換x=sint將方程化為y關(guān)于t的方程，并求微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：故原方程的通解為y=C1e-2arcsinx+C2e2arcsinx．知識點解析：暫無解析17、細(xì)菌的增長率與總數(shù)成正比．如果培養(yǎng)的細(xì)菌總數(shù)在24h內(nèi)由100增長到400，求前12h后的細(xì)菌總數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時刻細(xì)菌總數(shù)為S，則有＝kS，S(0)＝100，S(24)＝400，所以S＝，S(12)＝100eln2＝200．知識點解析：暫無解析18、設(shè)某種商品的需求量Q是單價p(單位：元)的函數(shù)：Q＝12000－80p；商品的總成本C是需求量Q的函數(shù)：C＝25000＋50Q；每單位商品需要納稅2元，試求使銷售利潤最大的商品單價和最大利潤額．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)L為銷售利潤額，有L＝(12000－80p)(p－2)－(25000＋50Q)＝(12000－80p)(p－2)－[25000＋50(12000－80p)]＝－80p＋16160p－649000令Lˊ＝－160p＋16160＝0，得駐點p＝101．又L〞＝－160＜0，所以，當(dāng)P＝101時，L有極大值，也是最大值，最大利潤額L｜p＝101＝167080(元)．知識點解析：暫無解析19、設(shè)一球面過點M(1，2，3)且與各坐標(biāo)面相切，求此球面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為點M(1，2，3)在第一卦限，所以球面一定在第一卦限．設(shè)球面方程(因為與坐標(biāo)面相切)為：(x－a)2＋(y－a)2＋(z－a)2＝a2，a＞0又由于點M(1，2，3)在球面上，故滿足球面方程：(1－a)2＋(2－a)2＋(3－a)2＝a2知識點解析：暫無解析20、設(shè)X1，X2均服從[0，4]上的均勻分布，且P{X1≤3，X2≤3}=9/16，求P{X1＞3，X2＞3}．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）模擬試卷第4套一、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、求極限：．標(biāo)準(zhǔn)答案：連續(xù)使用完兩次法則，又回到了起點，法則失效，正確的做法是先對式子恒等變形．分子分母同乘ex，即．知識點解析：暫無解析2、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析3、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析4、求不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析5、有一橢圓形薄板，長半軸為a，短半軸為b，薄板垂直立于水中，而其短半軸與水面相齊，求水對薄板的側(cè)壓力．標(biāo)準(zhǔn)答案：取坐標(biāo)系如圖3．17所示，橢圓方程為＝1．分割區(qū)間[0，a]，在小區(qū)間[χ，χ＋dχ]對應(yīng)的小橫條薄板上，水對它的壓力dP＝壓強(qiáng)×面積＝γχ.2γdχ＝γχdχ，其中γ為水的比重．于是從0到a積分便得到橢圓形薄板所受的壓力知識點解析：暫無解析6、當(dāng)a，b取何值時，方程組有唯一解，無解，有無窮多解?當(dāng)方程組有解時，求其解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對增廣矩陣作初等行變換，有(Ⅰ)當(dāng)a≠0，且b≠3時，方程組有唯一解(Ⅱ)當(dāng)a=0時，b方程組均無解．(Ⅲ)當(dāng)a≠0，b=3時，方程組有無窮多解+k(0，－3，2)T．知識點解析：暫無解析7、標(biāo)準(zhǔn)答案：結(jié)合圖1．3—3，可得知識點解析：暫無解析8、用變量代換x=cost(0＜t＜π)化簡微分方程(1一x2)y’’一xy’+y=0，并求其滿足y｜x=0=1，y’｜x=0=2的特解。標(biāo)準(zhǔn)答案：代入原方程，得解此微分方程，得y=C1cost+C2sint=C1x+，將y｜x=0=1，y’｜x=0=2代入，得C1=2，C2=1。故滿足條件的特解為。知識點解析：暫無解析9、設(shè)z=．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析10、設(shè)A=，已知r(A*)+r(A)=3，求a，b應(yīng)該滿足的關(guān)系．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)伴隨矩陣的秩的性質(zhì)，r(A*)+r(A)=3這個條件說明了r(A)=2．則a+2b和a-b必須有一個為0(否則r(A)=3)，但是a-b為0則r(A)＜2．于是得r(A)=2的條件是a+2b=0且a-b≠0，即a=-2b并且a≠b．或者表示為：a=-2b≠0．知識點解析：暫無解析11、已知A是m×n矩陣，B是n×P矩陣，如AB=C，且r(C)=m，證明A的行向量線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(用定義)對矩陣A按行分塊，記A=，那么AT=(α2T，α2T，…，αmT)．若k1α1T+k2α2T+…+kmαmT=0，即(α1T，α2T，…，αmT)=0，即AT=0，那么BTAT=0．于是CT=0．因為C是m×p矩陣，那么CT是p×m矩陣．由于r(CT)=r(C)=m，所以齊次方程組CTx=0只有零解．因此k1=0，k2=0，…，km=0．故α1，α2，…，αm線性無關(guān)．知識點解析：暫無解析12、設(shè)f(x)在[a，+∞)上連續(xù)，f(a)<0，而存在且大于零．證明：f(x)在(a，+∞)內(nèi)至少有一個零點．標(biāo)準(zhǔn)答案：令=k>0，取ε0=＞0，因為=k＞0，所以存在X0＞0，當(dāng)x≥X0時，有｜f(x)-k｜≤，從而f(x)≥>0，特別地，f(X0)>0，因為f(x)在[a，X0]上連續(xù)，且f(a)f(X0)＜0，所以存在ξ∈(a，X0)，使得f(ξ)=0．知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)∈C[a，b]，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)=f(b)=1．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ-η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=exf(x)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得=eη[f’(η)+f(η)]，再由f(a)=f(b)=1，得=eη[f’(η)+f(η)]，從而=(ea+eb)eη[f’(η)+f(η)]，令φ(x)=e2x，由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得即2e2ξ=(ea+eb)eη[f’(η)+f(η)]，或2e2ξ-η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．知識點解析：暫無解析14、細(xì)菌的增長率與總數(shù)成正比．如果培養(yǎng)的細(xì)菌總數(shù)在24h內(nèi)由100增長到400，求前12h后的細(xì)菌總數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時刻細(xì)菌總數(shù)為S，則有，S(0)=100，S(24)=400，知識點解析：暫無解析15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、直線y＝x將橢圓x2＋3y2＝6y分為兩塊，設(shè)小塊面積為S，求S．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、求下列極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、考慮有一保險公司設(shè)計一個險種預(yù)計賣出n個保單，設(shè)Xj是第j個保單投保人在未來一個特定時期內(nèi)發(fā)生索賠時保險公司的險賠金額，記S=X1+X2+…+Xn，則S是保險公司在這一保險期內(nèi)向這n個投保人賠付的總金額．假設(shè)Xj均服從均值為5的指數(shù)分布且相互獨立．保險公司希望確定適當(dāng)保費水平p，保證P{np≥S}=0．95，試求滿足這一要求的p關(guān)于n的函數(shù)．并分析投保人數(shù)規(guī)模n對p的影響．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、求P(Z≤1/2|X=0)；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、求Z的概率密度fZ(z)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）模擬試卷第5套一、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、設(shè)有來自三個地區(qū)各10名，15名，25名考生的報名表，其中女生的報名表分別為3價，7份，5份．隨機(jī)地取出一個地區(qū)的報名表，從中先后抽取兩份．(1)求先抽到的一份是女生表的概率p；(2)已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由全概率公式，得知識點解析：隨機(jī)試驗分為兩個階段，先要抽取一個地區(qū)，再在所抽取的地區(qū)中先后抽取兩份報名表，第二階段的結(jié)果由第一階段試驗結(jié)果所決定，因此考慮使用全概率公式進(jìn)行計算．可以設(shè)Bi表示“報名表是第i個地區(qū)考生的”i=1，2，3．P(E)=Ai表示“第j次抽到的報名表是男生表”j=1，2．重復(fù)使用全概率公式得到所求概率．2、求標(biāo)準(zhǔn)答案：屬型．先用等價無窮小關(guān)系arctan4x～x(x→0)化簡分母后再用洛必達(dá)法則得知識點解析：暫無解析3、求xn，其中xn=標(biāo)準(zhǔn)答案：作恒等變形后再作放大與縮?。河谑怯止视蓨A逼定理知知識點解析：暫無解析4、設(shè)A，B是兩個事件，且求(1)(X，Y)的概率分布；(2)Z=X2+Y2的概率分布；(3)問X，Y是否相互獨立．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析5、設(shè)(X，Y)的概率密度為f(x，y)=，一∞＜x，y＜+∞，求fX(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：．知識點解析：暫無解析6、設(shè)線性方程組與方程x1+2x2+x3=a—1(2)有公共解，求a的值及所有公共解。標(biāo)準(zhǔn)答案：把方程組(1)與方程(2)聯(lián)立，得方程組則方程組(3)的解就是方程組(1)與(2)的公共解。對方程組(3)的增廣矩陣作初等行變換，有因方程組(3)有解，所以(a—1)(a—2)=0。當(dāng)a=1時，，此時方程組(3)的通解為k(—1，0，1)T(k為任意常數(shù))，此即為方程組(1)與(2)的公共解。當(dāng)a=2時，，此時方程組(3)有唯一解(0，1，—1)T，這也是方程組(1)與(2)的公共解。知識點解析：暫無解析7、求一塊鉛直平板如圖3．1所示在某種液體(比重為γ)中所受的壓力．標(biāo)準(zhǔn)答案：液體中深度為h處所受的壓強(qiáng)為p=hγ，從深度為a到x之間平板所受的壓力記為P(x)，任取[x，x+△x]上小橫條，所受壓力為△P=P(x+△x)－P(x)≈xγ.c△x．令△x→0，得dP(x)=xγcdx．于是，總壓力為P=∫abxγcdx=(b2－a2)=(a+b)c(b－a)=γ.矩形中心的深度.矩形的面積．知識點解析：暫無解析8、設(shè)f(x)，g(x)為[a，b]上連續(xù)的增函數(shù)(0＜a＜b)，證明：∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x，y)=[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]，D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b)，因為f(x)，g(x)在[a，b]上為增函數(shù)，所以F(x，y)≥0，從而∫abdx∫abF(x，y)dy≥0，而∫abdx∫abF(x，y)dy=∫abdx∫ab[f(x)g(x)-f(x)g(y)-f(y)g(x)+f(y)g(y)]dy=(b一a)∫ab}f(x)g(x)dx—∫abf(x)dx∫abg(y)dy—∫abg(x)dx∫abf(y)dy+(b一a)∫abf(y)g(y)dy=2(b一a)∫abf(x)g(x)dx一2∫abf(x)dx∫abg(x)dx，故∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx．知識點解析：暫無解析9、設(shè)拋物線y=ax2+bx+c(a＜0)滿足：(1)過點(0，0)及(1，2)；(2)拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=一x2+2x所圍圖形的面積最小，求a，b，c的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y=ax2+bx+c過點(0，0)及(1，2)得則y=ax2+(2-a)x．令ax2+(2一a)x=一x2+2x得x=0及所圍成的圖形面積為得a=一3，且當(dāng)a＜一3時，S’(a)＜0；當(dāng)a＞一3時，S’(a)＞0，故當(dāng)a=一3時，所圍成的面積最小，此時a=一3，b=5，c=0．知識點解析：暫無解析10、設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)上可導(dǎo)且f(a)≠f(b)．試證：存在η，ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：由拉格朗日中值定理知f(b)一f(a)=f’(η)(b一a)，又由柯西中值定理知知識點解析：暫無解析11、設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)≠0，證明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=lnx，F(xiàn)’(x)=≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得由拉格朗日中值定理得，其中η∈(1，2)，f(2)-f(1)=f’(ζ)(2-1)=f’(ζ)，其中ζ∈(1，2)，故知識點解析：暫無解析12、已知下列非齊次線性方程組(I)，(II)：(1)求解方程組(I)，用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解；(2)當(dāng)方程組中的參數(shù)m，n，t為何值時，方程組(I)與(Ⅱ)同解?標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(－2，－4，－5，0)T＋k(1，1，2，1)T；(2)m＝2，n＝4，t＝6。知識點解析：暫無解析13、求函數(shù)f(x)=(2-t)e-tdt的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x)為偶函數(shù)，所以只研究f(x)在[0，+∞)內(nèi)的最大值與最小值即可．令f’(x)=2x(2-x2)=0，得f(x)的唯一駐點為x=當(dāng)x∈(0，)時，f’(x)>0，當(dāng)x∈(，+∞)時，f’(x)<0，注意到駐點的唯一性，則x=及x=-為函數(shù)f(x)的最大值點，最大值為f()=f(-)=1+因為f(+∞)=f(-∞)=∫0+∞(2-t)etdt=1及f(0)=0，所以最小值為0．知識點解析：暫無解析14、設(shè)A為4階矩陣，滿足條件AAT＝2E，｜A｜＜0，其中E是4階單位矩陣，求方陣A的伴隨矩陣A*的一個特征值．標(biāo)準(zhǔn)答案：．知識點解析：暫無解析設(shè)A為n階實對稱可逆矩陣，f(x1，x2，…，xn)=15、記X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)寫成矩陣形式；標(biāo)準(zhǔn)答案：f(X)=(x1，x2，…，xn)因為r(A)=n，所以｜A｜≠0，于是=A-1，顯然A*，A-1都是實對稱矩陣．知識點解析：暫無解析16、二次型g(X)=XTAX是否與f(x1，x2，…，xn)合同?標(biāo)準(zhǔn)答案：因為A可逆，所以A的n個特征值都不是零，而A與A-1合同，故二次型f(x1，x2，…，xn)與g(x)=XTAX規(guī)范合同．知識點解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、計算定積分∫-aa(χ－a)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、計算D2n=標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一方法二D2n=a2D2n-2-b2D2n-2=(a2-b2)D2n-2=…=(a2-b2)n．知識點解析：暫無解析20、設(shè)A，B，C，D都是n階矩陣，r(CA＋DB)＝n．(1)證明：r＝n；(2)設(shè)ξ1，ξ2，…，ξr，與η1，η2，…，ηs分別為方程組AX＝0與BX＝0的基礎(chǔ)解系，證明：ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因為n＝r(CA＋DB)＝≤n，所以＝n；(2)因為＝n，所以方程組＝0只有零解，從而方程組AX＝0與BX＝0沒有非零的公共解，故ξ1，ξ2，…，ξr，與η1，η2，…，ηs線性無關(guān)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）模擬試卷第6套一、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、求極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x→0時，sinx～x，ex一e-x=e-x(e2x一1)～2x，故原極限=2．知識點解析：暫無解析2、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，求Z=(X+Y)2的概率密度fZ(Z)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)T=X+Y，則Z=T2，由獨立條件下正態(tài)分布的性質(zhì)，T服從N(0，2)，知識點解析：解答本題的關(guān)鍵是獨立條件下正態(tài)分布的性質(zhì)．因為X和Y相互獨立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，可知X+Y服從N(0，2)，再利用分布函數(shù)法求解．3、求不定積分∫cos(lnx)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析4、求下列定積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于，故(Ⅱ)由于，故作平移變換：，則知識點解析：暫無解析5、標(biāo)準(zhǔn)答案：因為所以知識點解析：暫無解析6、設(shè)實對稱矩陣求可逆矩陣P，使P一1AP為對角矩陣，并計算行列式｜A—E｜的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：矩陣A的特征多項式為由此得矩陣A的特征值λ1=λ2=a+1，λ3=a—2．對于特征值λ=λ=a+1，可得對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T．對于特征值λ3=a一2，可得對應(yīng)的特征向量α3=(一1，1，1)T．令矩陣知識點解析：本題主要考查的知識點是把實對稱矩陣化為對角矩陣的方法，矩陣特征值、特征向量的求法及相似矩陣的性質(zhì)．由題設(shè)可求出矩陣A的3個線性無關(guān)的特征向量，于是可求出可逆矩陣P，使P一1AP為對角矩陣．由｜A—E｜=｜P一1AP—P一1P｜=｜P一1AP-E｜，可知只要求出對角矩陣P一1AP，就可以計算出｜A一E｜．7、設(shè)f(x)在閉區(qū)間[1，2]上可導(dǎo)，證明：∈(1，2)，使f(2)一2f(1)=ξf’(ξ)一f(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：把所證等式ξ改為x，得xf’(x)一f(x)=f(2)一2f(1)，兩邊同除以x2，得F(2)=F(1)=f(2)一f(1)．由羅爾定理，∈(1，2)，使F’(ξ)=0，即f(2)一2f(1)=ξf’(ξ)一f(ξ)．知識點解析：暫無解析8、已知3階矩陣A=有一個二重特征值，求a，并討論A是否相似于對角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)求a．A的特征多項式為要使得它有二重根，有兩種可能的情況：①2是二重根，即2是λ2－8λ+18+3a的根，即4－16+18+3a=0，求出a=一2，此時三個特征值為2，2，6．②2是一重根，則λ2－8λ+18+3a有二重根，λ2－8λ+18+3a=(x－4)2，求出a=－2／3．此時三個特征值為2，4，4．(2)討論A是否相似于對角矩陣．①當(dāng)a=－2時，對二重特征值2，考察3－r(A－2E)是否為2？即r(A－2E)是否為1A－2E=，r(A－2E)=1，此時A可相似對角化②當(dāng)a=－2／3時，對二重特征值4，考察3－r(A－4E)是否為2？即r(A－4E)是否為1A－4E=，r(A－4E)=2，此時A不相似于對角矩陣．知識點解析：暫無解析9、計算∫ln(1＋)dχ標(biāo)準(zhǔn)答案：令＝t，則∫ln(1＋)dχ＝∫ln(1＋t)d(t2)＝t2ln(1＋t)－dt＝t2ln(1＋t)－＝t2ln(1＋t)－＋t－ln(t＋1)＋C＝(χ－1)＋C．知識點解析：暫無解析10、證明可微的必要條件：設(shè)z=f(x，y)在點(x0，y0)處可微，則fx’(x0，y0)與fy’(x0，y0)都存在，且=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)z=f(x，y)在點(x0，y0)處可微，則等式△z=A△x+B△y+成立。令△y=0，于是，令=B，于是證明了fx’(x0，y0)與fy’(x0，y0)存在，并且dz｜(x0，y0)=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y。知識點解析：暫無解析11、設(shè)f(χ)＝sin3χ＋∫－ππχf(χ)dχ，求∫0πf(χ)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：令∫-ππχf(χ)dχ＝A，則f(χ)＝sin3χ＋A，χf(χ)＝χsin3χ＋Aχ兩邊積分得∫-ππχf(χ)dχ＝∫-ππχsinχdχ＋∫-ππAχdχ，即A＝∫-ππχsin3χdχ＝2∫0πχsin3χdχ＝π∫0πsin3χdχ＝2πsin3χdχ＝，從而f(χ)＝sin3χ＋，故知識點解析：暫無解析12、一半球形雪堆融化速度與半球的表面積成正比，比例系數(shù)為k＞0，設(shè)融化過程中形狀不變，設(shè)半徑為r。的雪堆融化3小時后體積為原來的，求全部融化需要的時間．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時刻雪堆的半徑為r，則有＝－2kπr2，V(t)＝πr3，則，于是有r＝－kt＋C0，由r(0)＝r0，r(3)＝，得C0＝r0，k＝，于是r＝－t＋r0，令r＝0得t＝6，即6小時雪堆可以全部融化．知識點解析：暫無解析13、已知A是m×n矩陣，m＜n證明：AAT是對稱陣，并且AAT正定的充要條件是r(A)=m．標(biāo)準(zhǔn)答案：由(AAT)T=(AT)TAT=AAT，所以AAT是對稱陣．必要性若AAT正定，r(AAT)=m≤r(A)，又r(Am×n)≤m，故r(A)=m．充分性若r(A)=m，則齊次方程組ATX=0只有零解，故對任意X≠0，均有ATX≠0，故XTAATX=(ATX)T(ATX)＞0，即AAT正定．知識點解析：暫無解析14、設(shè)z＝arctan，求dz．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)增加，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析設(shè)y=f(x)=16、討論f(x)在x=0處的連續(xù)性；標(biāo)準(zhǔn)答案：f(0+0)=f(0)=f(0-0)=1，由f(0)=f(0-0)=f(0+0)=1得f(x)在x=0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析17、f(x)在何處取得極值?標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＞0時，由f’(x)=2x2x(1+lnx)=0得x=；當(dāng)x＜0時，f’(x)=1＞0．當(dāng)x＜0時，f’(x)＞0；當(dāng)0＜x＜時，f’(x)＜0；當(dāng)x＞時，f’(x)＞0，則x=0為極大點，極大值為f(0)=1；x=為極小點，極小值為知識點解析：暫無解析18、設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且證明：存在，使得f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2。標(biāo)準(zhǔn)答案：令則F(1)=F(0)=0。在區(qū)間上分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，知識點解析：暫無解析19、已知y＝sin4x＋cos4x，求y(n)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、求解下列微分方程：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）模擬試卷第7套一、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、求極限：．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析2、試證：當(dāng)T＞0時，(x2－1)lnx≥(x－1)2．標(biāo)準(zhǔn)答案：構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)＝(x2－1)lnx－(x－1)2，或，利用單調(diào)性；也可對lnx在1與x之間用拉格朗日中值定理和單調(diào)性；或直接用泰勒公式來證明．知識點解析：暫無解析3、設(shè)總體X～(μ，σ2)，X1，X2，…，X2n是一個樣本，，S2分別為樣本均值和樣本方差，設(shè)C1，…，Cn是不全相等的常數(shù)，且所服從的分布；(2)求。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：綜合考查正態(tài)總體常用統(tǒng)計量的分布與數(shù)字特征，由于=0，故可將Y的形式化簡，再利用獨立條件下正態(tài)分布的運算性質(zhì)判斷出Y的分布．又與S2獨立，從而．4、求其中D是由圓x2+y2=4和(x+1)2+y2=1所圍成的平面區(qū)域(如圖l-4-2)。標(biāo)準(zhǔn)答案：令D1={(x，y)｜x2+y2≤4}，D2={(x，y)｜(x+1)2+y2≤1}(如圖1—4—23所示)。知識點解析：暫無解析5、求函數(shù)y=excosx的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析6、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，3]上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．試證：必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)f(x)在[0，3]上連續(xù)，則f(x)在[0，2]上連續(xù)，那么其在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M，由介值定理知，至少存在一點η∈[0，2]，使得于是便有f(η)=1=f(3)，滿足羅爾定理條件，于是存在ξ∈(η，3)(0，3)，使f’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析7、設(shè)f(x)=標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析8、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，以T為周期，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)方法一由上可得方法二其中代入上式得(2)以T為周期(3)只需注意是f(x)的一個原函數(shù)．知識點解析：暫無解析9、設(shè)f(x)為連續(xù)正值函數(shù)，x∈[0，+∞)，若平面區(qū)域Rt={(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤f(x)}(t＞0)的形心縱坐標(biāo)等于曲線y=f(x)在[0，t]上對應(yīng)的曲邊梯形面積與之和，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)列方程．按平面圖形的形心公式，形心的縱坐標(biāo)為而相應(yīng)的曲邊梯形的面積為∫0tf(x)dx．見圖6．2．按題意即∫0tf2(x)dx=2[∫0tf(x)dx]2+∫0tf(x)dx(x≥0)．①(Ⅱ)轉(zhuǎn)化．將方程①兩邊求導(dǎo)，則方程①<=>f2(t)=4f(t)0tf(x)dx+f(t)<=>f(t)=40tf(x)dx+1②(①中令x=0，等式自然成立，不必另加條件)．f(x)實質(zhì)上是可導(dǎo)的，再將方程②兩邊求導(dǎo)，并在②中令t=0得方程①<=>方程②<=>③(Ⅲ)求解等價的微分方程的初值問題③．這是一階線性齊次方程的初值問題，兩邊同乘μ(t)=e－∫4dte－4t得[f(t)ee－4t]’=0，并由初始條件得f(t)=e4t，即f(x)=e4x．知識點解析：暫無解析10、∫χ2arctanχdχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析設(shè)A是三階實對稱矩陣，且A2+2A=O，r(A)=2．11、求A的全部特征值；標(biāo)準(zhǔn)答案：由A2+2A=O得r(A)+r(A+2E)=3，從而A的特征值為0或-2，因為A是實對稱矩陣且r(A)=2，所以λ1=0，λ2=λ3=-2．知識點解析：暫無解析12、當(dāng)k為何值時，A+kE為正定矩陣?標(biāo)準(zhǔn)答案：A+kE的特征值為k，k-2，k-2，當(dāng)k＞2時，A+kE為正定矩陣．知識點解析：暫無解析13、設(shè)A是n×n矩陣，對任何n維列向量X都有AX=0，證明：A=O．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于對任何x均有AX=0，取X=[1，0，…，0]T，由得a11=a21=…=am1=0．類似地，分別取X為e1=[1，0，…，0]T，e2=[0，1，0，…，0]T，…，en=[0，0，…，1]T代入方程，可證每個aij=0，故A=0.知識點解析：暫無解析14、設(shè)向量組證明：向量組α1，α2，…，αs線性相關(guān)(線性無關(guān))的充要條件是齊次線性方程組有非零解(唯一零解)．標(biāo)準(zhǔn)答案：α1，α2，…，αs(線性無關(guān))線性相關(guān)(不)存在不全為0的x1，x2，…，xs，使得x1α1+x2α2+…+xsαs=0成立有非零解(唯一零解)．知識點解析：暫無解析15、設(shè)z＝f(2z－y，ysinχ)，其中f(u，v)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：＝2f′1＋ycosχf′2，＝2(－f〞11＋sinχf〞12)＋cosχf′2＋ycosχ(－f〞21＋sinχf〞22)＝－2f〞11＋(2sinχ－ycosχ)f〞12＋cosχf′2＋ysinχcosχf〞22知識點解析：暫無解析16、設(shè)a1＜a2＜…n，且函數(shù)f(x)在[a1，a2]上n階可導(dǎo)，c∈[a1，a2]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．證明：存在ξ∈(a1，an)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)c=ai(i=1，2，…，n)時，對任意的ξ∈(a1，an)，結(jié)論成立；設(shè)c為異于a1，a2，…，an的數(shù)，不妨設(shè)a1＜c＜a2＜…＜an．令k=構(gòu)造輔助函數(shù)φ(x)=f(x)-k(x-a1)(x-a2)…(x-an)，顯然φ(x)在[a1，an]上n階可導(dǎo)，且φ(a1)=φ(c)=φ(a2)=…=φ(an)=0，由羅爾定理，存在，φ’(x)在(a1，an)內(nèi)至少有n個不同零點，重復(fù)使用羅爾定理，則φ(n-1)(x)在(a1，an)內(nèi)至少有兩個不同零點，設(shè)為c1，c2∈(a1，an)，使得φ(n-1)(c1)=φ(n-1)(c2)=0，再由羅爾定理，存在ξ∈(c1，c2)(a1，a2)，使得φ(n)(ξ)=0．而φ(n)(x)=f(n)(x)-n!k，所以f(ξ)=n!k，從而有知識點解析：暫無解析17、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上可微，且滿足f(1)=xf(x)dx(0＜λ＜1)，證明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=xf(x)，由積分中值定理得f(1)=.cf(c).λ=cf(c)，其中c∈[0，λ]，從而φ(c)=φ(1)，由羅爾中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=f(x)+xf’(x)，故f’(ξ)=知識點解析：暫無解析18、設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)和[a，b]上存在二階導(dǎo)數(shù)，并且g〞(x)≠0，f(a)＝f(b)＝g(a)＝g(b)＝O，試證(1)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)g(x)≠0；(2)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點ε，使標(biāo)準(zhǔn)答案：證：將欲證的等式變形為f(ε)g〞(ε)－f〞(ε)g(ε)＝0，由此可啟發(fā)我們構(gòu)造輔助函數(shù)φ(x)＝f(x)gˊ(x)－fˊ(x)g(x)．(1)用反證法．若存在c∈(a，b)，使g(c)＝0，對g(x)在[a，c]和[c，b]上應(yīng)用羅爾定理，知存在ε1∈(a，c)，ε2∈(c，d)，使gˊ(ε1)＝gˊ(ε2)＝0．gˊ(x)再在[ε1，ε2]上應(yīng)用羅爾定理，應(yīng)存在ε3∈(ε1，ε2)，使g〞(ε3)＝0，這與條件g〞(x)≠0矛盾．故在(a，b)內(nèi)g(x)≠0．(2)令φ(x)＝f(x)gˊ(x)－fˊ(x)g(x)，則φ(a)＝φ(b)＝0，由羅爾定理知，存在ε∈(a，b)，使φˊ(ε)＝0，即fˊ(ε)gˊ(ε)＋f(ε)g〞(ε)－f〞(ε)g(ε)－fˊ(ε)gˊ(ε)＝0即f(ε)g〞(ε)＝f〞(ε)g(ε)因g(ε)≠0，g〞(ε)≠0，故得知識點解析：暫無解析19、求下列不定積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析20、若，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）模擬試卷第8套一、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、設(shè)x的概率密度為f(x)=，F(xiàn)(x)是x的分布函數(shù)，求Y=F(x)的分布函數(shù)和概率密度。標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件，當(dāng)x＜1時，F(xiàn)(x)=0；當(dāng)1≤x＜8時，F(xiàn)(x)=．當(dāng)x≥8時，F(xiàn)(x)=1；綜合上述討論．可得Y的取值范圍為[0，1]，當(dāng)y＜0時，F(xiàn)Y(y)=0；y≥1時，F(xiàn)Y(y)=1；0≤y＜1時，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y}=P{F(x)≤y}=P{一1≤y}=F((y+1)3)=y知識點解析：本題考查隨機(jī)變量函數(shù)Y=F(X)的概率分布，由于沒有直接給出函數(shù)的表達(dá)式，需要先確定F(x)=∫-∞x(t)dt的具體形式，再求Y=F(X)的分布函數(shù)．2、設(shè).標(biāo)準(zhǔn)答案：．知識點解析：暫無解析3、已知f(x)=x2一x∫02f(x)dx+2∫01f(x)dx，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令∫02f(x)dx=A，∫01f(x)dx=B，則f(x)=x2一Ax+2B，兩邊在[0，2]上積分得知識點解析：暫無解析4、f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，=+∞，且f(x)的最小值f(x0)＜x0，證明：f[f(x)]至少在兩點處取得最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)一x0，則F(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，且F(x)＜0，b＞x0，使得F(b)＞0，于是由零點定理知x2∈(x0，b)，使得F(x2)=0，即有x1＜x0＜x2，使得f(x1)=x0=f(x2)，從而得f[f(x1)]=f(x0)=f[f(x2)]．知識點解析：暫無解析5、設(shè)n階矩陣(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩陣P，使得P一1AP為對角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)b=0或n=1時，A=E，于是A的特征值為λ1=…=λn=1，任意非零列向量均為特征向量；對任意n階可逆矩陣P，均有P一1AP=E．下面考慮b≠0且n≥2的情形．由得A的特征值為λ=1+(n—1)b，λ=…=λ=1一b．(1)對于λ1=1+(n一1)b，考慮齊次線性方程組(λ1E一A)x=0，對λ1E－A施以初等行變換，得解得基礎(chǔ)解系為ξ1=(1，1，…，1)T，所以A的屬于λ1的全部特征向量為k1ξ1=k(1，1，…，1)T(k1為任意非零常數(shù))．對于λ2=…=λn=1一b，考慮齊次線性方程組(λ2E一A)x=0．對λ2E-A施以初等行變換，得解得基礎(chǔ)解系為ξ2=(1，一1，0，…，0)T，…，ξn=(1，0，0，…，一1)T，故A的屬于λ2的全部特征向量為k2ξ2+k3ξ3+…+knξn(k2，k3，…，kn是不全為零的常數(shù))．(2)令P=(ξ1，ξ2，…，ξn)，則知識點解析：本題主要考查含參數(shù)的矩陣的特征值、特征向量的計算問題．計算過程中涉及行列式的計算、齊次線性方程組的求解以及矩陣對角化問題，因而是一道綜合性較強(qiáng)的試題．由矩陣A的特征多項式｜λE一A｜，求出特征值，然后通過解齊次線性方程組(λE一A)x=0，求特征向量，進(jìn)而求出P．6、設(shè)0＜x＜1，證明：＜4。標(biāo)準(zhǔn)答案：在＜4兩邊同時取對數(shù)得＜2ln2。令F(x)=一2ln2，則F(1)=0。原命題等價于當(dāng)0＜x＜1時，F(xiàn)(x)＜0恒成立。對F(x)求導(dǎo)，得當(dāng)0＜x＜1時，φ(x)＜φ(0)=0，即F’’(x)＜0，于是F’(x)＞F’(1)=0，從而有F(x)＜F(1)=0。命題得證。知識點解析：暫無解析7、設(shè)4元線性方程組(Ⅰ)為，又已知某齊次線性方程組(Ⅱ)的通解為k1(0，1，1，0)＋k2(－1，2，2，1)．(1)求線性方程組(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系；(2)問線性方程組(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，則求出所有的非零公共解，若沒有，則說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由系數(shù)矩陣的初等行變換：令χ3＝1，χ4＝0，得ξ1＝(0，0，1，0)T；令χ3＝0，χ4＝1，得ξ2＝(－1，1，0，1)T，則ξ1，ξ2就是(Ⅰ)的一個基礎(chǔ)解系．(2)若χ是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解，則存在常數(shù)λ1，λ2，λ3，λ4，使由此得λ1，λ2，λ3，λ4滿足齊次線性方程組解此齊次線性方程組，得其參數(shù)形式的通解為λ1＝C，λ2＝C，λ3＝C，λ4＝C，其中C：為任意常數(shù)．故(Ⅰ)和(Ⅱ)有非零公共解，全部非零公共解為C(0，0，1，0)T＋C(－1，1，0，1)T＝C(－1，1，1，1)T，其中C為任意非零常數(shù)．知識點解析：暫無解析8、設(shè)矩陣A＝可逆，向量α＝是矩陣A*的一個特征向量，λ是α對應(yīng)的特征值，其中A*是A的伴隨矩陣．試求a、b和λ的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A可逆知A*可逆，于是有λ≠0，｜A｜≠0．由題設(shè)，有A*α＝λα，兩端左乘A并利用AA*＝｜A｜E，得｜A｜α＝λAα，或Aα＝即b＝1或b＝－2，將a＝2代入矩陣A得｜A｜＝4。于是得λ＝，所以，a＝2，b＝1，λ＝1；或a＝2，b＝－2，λ＝4．知識點解析：暫無解析9、設(shè)f(χ)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)＝f(b)＝0，證明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝2ξf(ξ)．(2)存在η∈(a，b)，使得ηf′(η)＋f(η)＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令φ(χ)＝f(χ)，因為f(a)＝f(b)＝0，所以φ(a)＝φ(b)＝0，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝[f′(χ)－2χf(χ)]且≠0，故f′(ξ)＝2ξf(ξ)．(2)令φ(χ)＝χf(χ)，因為f(a)＝f(b)＝0，所以φ(a)＝φ(b)＝0，由羅爾定理，存在η∈(a，b)，使得φ′(η)＝0，而φ′(χ)＝χf′(χ)＋f(χ)，故ηf′(η)＋f(η)＝0．知識點解析：暫無解析10、求證：ex+e-x+2eosx=5恰有兩個根．標(biāo)準(zhǔn)答案：即證f(x)=ex+e-x+2cosx-5在(-∞，+∞)恰有兩個零點．由于f’(x)=ex-e-x-2sinx，f’’(x)=ex+e-x-2cosx＞2-2cosx≥0(x≠0)，f’(x)在(-∞，+∞)↑．又因f’(0)=0f(x)在(-∞，0]單調(diào)下降，在[0，+∞)單調(diào)上升．又f(0)=-1＜0，=+∞，因此f(x)在(-∞，0)與(0，+∞)各唯一零點，即在(-∞，+∞)恰有兩個零點．知識點解析：暫無解析11、設(shè)f(t)在[0，π]上連續(xù)，在(0，π)內(nèi)可導(dǎo)，且∫0πf(χ)cosχdχ＝∫0πf(χ)sinχdχ＝0．證明：存在ξ∈(0，π)，使得f′(ξ)＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(χ)＝∫0χf(t)sintdt，因為F(0)＝F(χ)＝0，所以存在χ1∈(0，π)，使得F′(χ1)＝0，即f(χ1)sinχ1＝0，又因為sinχ1≠0，所以f(χ1)＝0．設(shè)χ1是f(χ)在(0，π)內(nèi)唯一的零點，則當(dāng)χ∈(0，π)且χ≠χ1時，有sin(χ－χ1)f(χ)恒正或恒負(fù)，于是∫0πsin(χ－χ1)f(χ)dχ≠0．而∫0πsin(χ－χ1)f(χ)dχ＝cosχ1∫0πf(χ)sinχdχ－sinχ1∫0πf(χ)cosχdχ＝0，矛盾，所以f(χ)在(0，π)內(nèi)至少有兩個零點．不妨設(shè)f(χ1)＝f(χ2)＝0，χ1，χ2∈(0，π)且χ1＜χ2，由羅爾中值定理，存在ξ∈(χ1，χ2)(0，π)，使得f′(ξ)＝0．知識點解析：暫無解析12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析設(shè)A，B為n階矩陣，P=13、求P.Q；標(biāo)準(zhǔn)答案：PQ==｜A｜｜B｜E知識點解析：暫無解析14、證明：當(dāng)P可逆時，Q也可逆．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為｜P｜=｜A｜｜B｜，所以當(dāng)P可逆時，｜A｜｜B｜≠0，而PQ=｜A｜｜B｜E，即PQ=E，于是Q可逆且Q-1=知識點解析：暫無解析15、設(shè)α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn線性無關(guān)，而向量組α1，α2…，αm，γ線性相關(guān)．證明：向量γ可由向量組α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn線性表示．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為向量組α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn線性無關(guān)，所以向量組α1，α2，…，αm也線性無關(guān)，又向量組α1，α2，…，αm，γ線性相關(guān)，所以向量γ可由向量組α1，α2，…，αm線性表示，從而γ可由向量組α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn線性表示．知識點解析：暫無解析16、構(gòu)造齊次方程組，使得η1=(1，1，0，-1)T，η2=(0，2，1，1)T構(gòu)成它的基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：所求AX=0要滿足：4維向量η是AX=0的解η可用η1，η2線性表示．設(shè)η=(c1，c2，c3，c3)T，(η1，η1｜η)=于是η可用η1，η2線性表示c2-c1-2c3=0且c4+c1-c3=0η是齊次方程組的解．這個齊次方程組滿足要求．知識點解析：暫無解析17、設(shè)向量組α1，α2，…，αs(s≥2)線性無關(guān)，且β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1，討論向量組β1，β2，βs的線性相關(guān)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一設(shè)x1β1+x2β2+…+xnβn=0，即(x1+xs)α1+(x1+x2)α2+…+(xs-1+xs)αs=0．因為α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則其系數(shù)行列式當(dāng)s為奇數(shù)時，|A|=2≠0，方程組只有零解，則向量組β1，β2，…，βs線性無關(guān)；當(dāng)s為偶數(shù)時，|A|=0，方程組有非零解，則向量組β1，β2，…，βs線性相關(guān)．方法二顯然因為α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則r(β1，β2，…，βs)≤min{r(α1，α2，…，αs)，r(K)}=r(K)．①r(K)=s|K|=1+(一1)αs+1≠0，即s為奇數(shù)時，r(β1，β2，…，βs)=s，則向量組β1，β2，…，βs線性無關(guān)；②r(K)|K|=1+(一1)s+1=0，即s為偶數(shù)時，r(β1，β2，…，βs)1，β2，…，βs線性相關(guān)．知識點解析：暫無解析18、設(shè)α是n維單位列向量，A＝E－ααT．證明：r(A)＜n．標(biāo)準(zhǔn)答案：A2＝(E－ααT)(E－ααT)＝E－2ααT＋ααT.ααT，因為α為單位列向量，所以αTα＝1，于是A2＝A．由A(E－A)＝O得r(A)＋r(E－A)≤n，又由r(A)＋r(E－A)≥r[A＋(E－A)]＝r(E)＝n，得r(A)＋r(E－A)＝n．因為E－A＝ααT≠0，所以r(E－A)＝r(ααT)＝r(α)＝1，故r(A)＝n－1＜n．知識點解析：暫無解析19、求曲面x2+y2+z2=x的切平面，使其垂直于平面x—y—z=2和標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)切點為M0(x0，y0，z0)，令F(x，y，z)=x2+y2+z2一x，則切平面的法向量為n=(Fx’，F(xiàn)y’，F(xiàn)z’)M0=(2x0-1，2y0，2z0)，又已知知識點解析：暫無解析20、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，π]上連續(xù)，且∫0πf(x)sindx=0，∫0πf(x)cosxdx=0。證明在(0，π)內(nèi)f(x)至少有兩個零點。標(biāo)準(zhǔn)答案：反證法，如果f(x)在(0，π)內(nèi)無零點(或有一個零點，但f(x)不變號，證法相同)，即f(x)＞0(或＜0)，由于在(0，π)內(nèi)，有sinx＞0，因此，必有∫0πf(x)sinxdx＞0(或＜0)。這與假設(shè)相矛盾。如果f(x)在(0，π)內(nèi)有一個零點，而且改變一次符號，設(shè)其零點為a∈(0，π)，于是在(0，a)與(a，π)內(nèi)f(x)sin(x一a)同號，因此∫πf(x)sin(x一a)dx≠0.但是，另一方面∫0πf(0)sin(x一a)dx=∫0πf(x)(sinxcosa一cosxsina)dx=cos∫0πf(x)sinxdx一sina∫0πf(x)cosxdx=0。這個矛盾說明f(x)也不可能在(0，π)內(nèi)只有一個零點，因此它至少有兩個零點。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（解答題）模擬試卷第9套一、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)1、設(shè)存在，求a．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析2、設(shè)f(x)可導(dǎo)，y=f(cos2x)，當(dāng)x=處取增量△x=一0．2時，△y的線性部分為0．2，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析3、設(shè)A為正交矩陣，且｜A｜=一1，證明：λ=一1是A的特征值。標(biāo)準(zhǔn)答案：要證λ=一1是A的特征值，需證｜A+E｜=0。因為｜A+E｜=｜A+ATA｜=｜(E+AT)A｜=｜E+AT｜｜A｜=一｜A+E｜，所以｜A+E｜=0，故λ=一1是A的特征值。知識點解析：暫無解析4、設(shè)，其中