考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷5（共268題）

考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷5（共9套）（共268題）考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設(shè)x1，x2，x3，x4是來自總體X～N(1，2)的簡單隨機樣本，且k(Xi一4)2服從χ2(n)分布，則常數(shù)k和x2分布的自由度n分別為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由正態(tài)分布的性質(zhì)可知故選C．2、設(shè)隨機變量X～N(0，1)和Y～N(0，2)，并且相互獨立，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：X+Y～N(0，3)，故選C．3、設(shè)X1，X2，…，Xn是來自總體X～N(μ，σ2)的樣本，則μ2+σ2的矩法估計量為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：μ2+σ2=E2(X)+D(X)=E(X2)．故選D．4、設(shè)X1，X2，…，Xn是來自均值為θ的指數(shù)分布總體的樣本，其中θ為未知，則下列估計量不是θ的無偏估計的為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：經(jīng)計算有E(T1)=θ，E(T3)=θ，E(T4)=θ，E(T2)=2θ≠θ．故選B．5、設(shè)必為θ2的()．A、無偏估計B、一致估計C、有效估計D、有偏估計標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由+θ2≠θ2．故選D．6、已知一批零件的長度X(單位為cm)服從正態(tài)總體N(μ，1)，從中隨機抽取16個零件，測得其長度的平均值為40cm，則μ的置信度為0．95的置信區(qū)間是(注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值Ф(1．96)=0．975，Ф(1．645)=0．95)()．A、(39．51，40．49)B、(39．59，40．41)C、(一∞，39．95)D、(40．49，+∞)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：單正態(tài)總體N(μ，σ2)，在σ2已知時，μ的置信區(qū)間為，μ1—α/2表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的下1一=40，σ=1，n=16，μ0．975=1．96代入即得．故選A．7、設(shè)總體X～N(μ，σ2)，其中σ2已知，若已知樣本容量和置信度1—α均不變，則對于不同的樣本觀測值，總體均值μ的置信區(qū)間的長度()．A、變長B、變短C、不變D、不能確定標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：此時μ的置信區(qū)間為．從而其長度L=分位數(shù)，顯然L與樣本值的變化無關(guān)．故選C．8、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(0，σ2)，X1，X2，…，X10是來自X的簡單隨機樣本，統(tǒng)計量Y=(1＜i＜10)服從F分布，則i等于()．A、4B、2C、3D、5標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：即i=2．故選B．9、設(shè)X1，X2，…，Xn是來自正態(tài)總體X～N(μ，σ2)的簡單隨機樣本，為使D=(Xi+1一Xi)2成為總體方差的無偏估計量，則應(yīng)選k為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：Xi+1一Xi～N(0，2σ2)，于是E(Xi+1一Xi)2=D(Xi+1一Xi)+E2(Xi+1一Xi)=2σ2．E(D)=(Xi+1—Xi)2=2(n一1)σ2k．要D為σ2的無偏估計，即E(D)=σ2，故k=．故選C．10、設(shè)總體X～N(μ，σ2)，μ未知，則σ2的置信度為1一α的置信區(qū)間為(注：(n)等均為上分位數(shù)記號)()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因μ未知，應(yīng)選取樞軸量，從而σ2的置信度為1一α的置信區(qū)間為選項(B)．故選B．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)11、設(shè)X1，X2，…，Xn，…相互獨立同分布，其分布函數(shù)記為F(x)，密度函數(shù)記為f(x)，并且F(x)嚴(yán)格單調(diào)，f(x)連續(xù)，根據(jù)中心極限定理，當(dāng)n充分大時，F(xiàn)(Xi)近似服從__________分布，參數(shù)為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：正態(tài)，知識點解析：易知F(Xi)，i=1，2，…，n相互獨立同分布，且其分布為[0，1]上的均勻分布，故E[F(Xi)]=．12、設(shè)隨機變量X～F(n，n)，則P(X＞1)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：13、設(shè)總體X～N(0，σ2)，X1，X2，X3為取自X的樣本，則Y=服從的分布為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：F(1，1)知識點解析：三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)14、設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為(1)常數(shù)a，b，c的值；(2)Y=eX的數(shù)學(xué)期望與方差．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由∫—∞+∞f(x)dx=1，即∫02axdx+∫24(cx+b)dx=1，得2a+2b+6c=1，①由E(X)=∫02ax2dx+∫24(cx+b)xdx=2，得知識點解析：暫無解析15、設(shè)(X，Y)的概率分布為已知Cov(X，Y)=一，其中F(x，y)表示X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)．求常數(shù)a，b，c的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、在線段[0，1]上任取n個點，試求其中最遠(yuǎn)兩點的距離的數(shù)學(xué)期望．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Xi為在[0，1]中任取的第i個點的坐標(biāo)，i=1，2，…，，2．則X1，X2，…，Xn獨立同分布，且都服從(0，1)上的均勻分布，即其分布函數(shù)為則最遠(yuǎn)兩點的距離為X=X(n)一X(1)，從而E(X)=E[X((n))]一E[X(1)]．知識點解析：暫無解析17、設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且均服從[0，2]上的均勻分布，令U=｜X—Y｜，試求D(U)．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖3—13所示，易知X與Y的聯(lián)合密度為f(x，y)=其中區(qū)域B={(x，y)｜0≤x，y≤2}．知識點解析：暫無解析18、設(shè)某種商品每周的需求量X是服從區(qū)間[10，30]上均勻分布的隨機變量，而經(jīng)銷商店進貨量為區(qū)間[10，30]中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位商品可獲利潤500元．若供大于求則削價處理，每處理一單位商品虧損100；若供不應(yīng)求，則可從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時每單位僅獲利潤300元．為使商店所獲利潤期望值不少于9280元，試確定最少進貨量．標(biāo)準(zhǔn)答案：X的概率密度函數(shù)為f(x)=令Ma表示“進貨量為a單位時，商店所獲利潤”，則于是期望利潤為(Ma為X的函數(shù)，記為g(X))E(Ma)=E[g(X)]=∫—∞+∞g(x)f(x)dx知識點解析：暫無解析19、檢查員逐個地檢查某產(chǎn)品，每次花10秒鐘檢查一個，但也可能有的產(chǎn)品需要再花10秒鐘重復(fù)檢查一次，假設(shè)每個產(chǎn)品需要重復(fù)檢查的概率為0．5，求在8小時內(nèi)檢查員檢查的產(chǎn)品個數(shù)多于1900個的概率是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Xi表示“檢查第i個產(chǎn)品花費的時間”(單位為秒)，即i=1，2，…，1900．易知X1，X2，…，Xn相互獨立且同分布，X=為檢查1900個產(chǎn)品所花費的時間，且E(Xi)=10×0．5+20×0．5=15，D(Xi)=E(Xi2)一E2(Xi)=25．由林德伯格一列維中心極限定理得≈Ф(1．376)≈0．91559．所以在8小時內(nèi)檢查員檢查的產(chǎn)品個數(shù)多于1900個的概率為0．91559．知識點解析：暫無解析20、假設(shè)隨機變量X1，X2，…，X5獨立同服從正態(tài)分布N(0，22)，且Y=aX12+b(2X2+3X3)2+c(4X4一5X5)2．問常數(shù)a，b，c取何值時隨機變量Y服從χ2分布?自由度為多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：由正態(tài)分布的線性性質(zhì)得2X2+3X3～N(0，52)，4X4—5X5～N(0，164)，知識點解析：暫無解析21、設(shè)總體X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn為取自正態(tài)總體X的簡單隨機樣本，且，求E(X1Sn2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于X1，X2，…，Xn相互獨立且同分布，故E(X1Sn2)=E(X2Sn2)=…=E(XnSn2)．知識點解析：暫無解析22、設(shè)X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，其中總體X有密度標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析23、設(shè)總體X服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為f(x)=其中λ＞0是未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn為取自總體X的樣本．(1)求λ的最大似然估計量；(2)求的最大似然估計量；(3)判斷的最大似然估計的無偏性；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、設(shè)總體X的分布律為其中0＜θ＜l，X1，X2，…，Xn為來自總體的簡單隨機樣本．(1)求θ的最大似然估計量；(2)判斷的無偏性和一致性．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)總體X的分布律可以表示為P(X=k)=C2k+1(1一θ)k—1θ3—k，k=1，2，3．似然函數(shù)L(x1，x2，…，xn；θ)=P(X=x1)P(X=x2)．…．P(X=xn)知識點解析：暫無解析25、設(shè)總體x的概率密度函數(shù)為f(x，θ)=，一∞＜x＜+∞，其中θ＞0是未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn是取自總體X的簡單隨機樣本．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析26、設(shè)總體X～N(0，σ2)，X1，X2，…，X9為來自X的簡單隨機樣本，試確定σ的值，使得概率P(1＜．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析27、設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，X1，X2，…，Xn為取自總體X的簡單隨機樣本，的相關(guān)系數(shù)，i≠j，i，j=1，2，…，n．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析28、設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x，θ)=其中θ＞0為未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn為來自X的樣本，Yn={Xi}．(1)證明：都是θ的無偏估計量；(2)比較這兩個估計量，哪一個更有效?標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析29、設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x)=其中θ＞0，θ，μ為未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn為取自X的樣本．(1)求μ，σ的矩估計；(2)求μ，σ的最大似然估計．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因為E(X)=μ+θ，E(X2)=μ2+2θ(μ+θ)，于是，令知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)A，B，C為隨機事件，A發(fā)生必導(dǎo)致B與C最多一個發(fā)生，則有A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：B與C最多有一個發(fā)生就是B與C不可能同時發(fā)生，即BC==Ω，故選(C)．2、將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件：A1=｛擲第一次出現(xiàn)正面｝，A2=｛擲第二次出現(xiàn)正面｝，A3=｛正、反面各出現(xiàn)一次｝，A4=｛正面出現(xiàn)兩次｝，則A、A1，A2，A3相互獨立．B、A2，A3，A4相互獨立．C、A1，A2，A3兩兩獨立．D、A2，A3，A4兩兩獨立．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：試驗的樣本空間有4個樣本點，即Ω={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，顯然A1A4，A2A4且A3與A4互不相容，依古典型概率公式，有P(A1)=P(A2)=P(A3)=，P(A4)=，P(A1A2)=P(A1A3)=P(A2A3)=，P(A3A4)=0．計算可見P(A1A2)=P(A1)P(A2)，P(A1A3)=P(A1)P(A3)，P(A2A3)=P(A2)P(A3)，P(A3A4)=0，P(A1A2A3)=0．因此，A1，A2，A3兩兩獨立但不相互獨立，而A2，A3，A4中由于A3與A4不獨立，從而不是兩兩獨立，更不可能相互獨立，綜上分析，應(yīng)選(C)．3、設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)，則下列函數(shù)中一定可以作為概率密度的是A、f(2x)．B、2f(x)．C、｜f(一x)｜．D、f(｜x｜)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：根據(jù)概率密度的充要條件逐一判斷．對于(A)：∫－∞＋∞f(2x)dx=≠1，故(A)不對．對于(B)：∫－∞＋∞2f(x)dx=2∫－∞＋∞f(x)dx=2≠1，故(B)不對．對于(C)：｜f(一x)｜=f(一x)≥0，且∫－∞＋∞｜f(－x)｜dx=∫－∞＋∞f(－x)dx=－∫＋∞－∞f(t)dt=∫－∞＋∞f(t)dt=1，故(C)滿足概率密度的充要條件，選(C)．對于(D)：∫－∞＋∞f(｜x｜)dx=∫－∞0f(－x)dx＋∫0＋∞f(x)dx=－∫＋∞0f(t)dt＋∫0＋∞f(x)dx=2∫0＋∞f(x)dx，由于2∫0＋∞f(x)dx不一定等于1，故不選．4、設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)f(x)在x=1處有駐點，且f(1)=1，則X服從分布A、N(1，1)．B、C、D、N(0，1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：正態(tài)分布N(μ，σ2)的概率密度函數(shù)為f(x)=，－∞＜x＜＋∞：由于f(x)的駐點是x=μ，且f(μ)=，所以X～，故選(B)．5、設(shè)隨機變量X1，X2，…，Xn相互獨立，Sn=X1+X2+…+Xn，則根據(jù)列維-林德伯格中心極限定理，當(dāng)n充分大時Sn近似服從正態(tài)分布，只要X1，X2，…，Xn。A、有相同期望和方差．B、服從同一離散型分布．C、服從同一均勻分布．D、服從同一連續(xù)型分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為列維一林德伯格中心極限定理的條件是，X1，X2，…，Xn獨立同分布而且各個隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差存在，顯然4個選項中只有選項(C)滿足此條件：均勻分布的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，選項(A)不成立，因為X1，X2，…，Xn有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不滿足列維-林德伯格中心極限定理的條件；而選項(B)和(D)雖然滿足同分布，但數(shù)學(xué)期望和方差未必存在，因此也不滿足列維-林德伯格中心極限定理的條件，故選項(B)和(D)一般也不能保證中心極限定理成立．6、設(shè)Xn表示將一枚勻稱的硬幣隨意投擲n次其“正面”出現(xiàn)的次數(shù)，則A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由于Xn～，因此根據(jù)“二項分布以正態(tài)分布為極限分布”定理，有=φ(x)．故選(C)．7、假設(shè)總體X的方差DX存在，X1，…，Xn是取自總體X的簡單隨機樣本，其樣本均值和樣本方差分別為，S2，則EX2的矩估計量是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：按定義，EX2的矩估計量是，由于s2=，所以為EX2的矩估計量，選(D)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)8、重復(fù)獨立擲兩個均勻的骰子，則兩個骰子的點數(shù)之和為4的結(jié)果出現(xiàn)在它們點數(shù)之和為7的結(jié)果之前的概率為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：設(shè)A表示“點數(shù)之和4出現(xiàn)在點數(shù)之和7之前”；B表示“第一次試驗出現(xiàn)點數(shù)之和4”；C表示“第一次試驗出現(xiàn)點數(shù)之和7”；D表示“第一次試驗沒出現(xiàn)點數(shù)之和4與點數(shù)之和7”，則B，C，D構(gòu)成一個完備事件組，且A=A(B+C+D)，易知，總樣本數(shù)為62=36，P(B)=(因B中有3個樣本點：(1，3)，(2，2)，(3，1))，P(C)=(因C中有6個樣本點)，P(D)=，且P(A｜B)=1，P(A｜C)=0，P(A｜D)=P(A)．由全概率公式，得P(A)=P(B)P(A｜B)+P(C)P(A｜C)+P(D)P(A｜D)=P(B)+P(D)P(A)=，所以，P(A)=．9、設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，22)，已知3P{X≥1．5}=2P{X＜1．5}，則{｜X一1｜≤2}=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0.6826知識點解析：求正態(tài)分布隨機變量X在某一范圍內(nèi)取值的概率，要知道分布參數(shù)μ與σ，題設(shè)中已知σ=2，需先求出μ，由于10、已知某零件的橫截面是一個圓，對橫截面的直徑進行測量，其值在區(qū)間(1，2)上服從均勻分布，則橫截面面積的數(shù)學(xué)期望為________，方差為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：設(shè)橫截面的直徑為X，則X在區(qū)間(1，2)上服從均勻分布，概率密度為fX(x)=．設(shè)橫截面的面積為S，則S=，根據(jù)隨機變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)與方差的計算公式，可得E(S)=．由于D(S)=E(S2)一[E(S)]2，而E(S2)=，由隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定義式(4．4)可知，隨機變量Z=g(X)=X4的數(shù)學(xué)期望為E(X4)=∫－∞＋∞x4fX(x)dx=∫12x4dx=，于是E(S2)=．故D(S2)=E(S2)一[E(S)]2=．11、設(shè)試驗成功的概率為，現(xiàn)獨立重復(fù)地試驗直到成功兩次為止，則所需進行的試驗次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：設(shè)X表示試驗成功兩次時所進行的試驗次數(shù)，Y表示第一次試驗成功所進行的試驗次數(shù)，Z表示從第一次成功之后到第二次成功所進行的試驗次數(shù)，則X=Y+Z，且Y與Z都服從同一幾何分布，其概率分布為P{Y=k}=P{Z=k}=(k=1，2，…)，從而有E(Y)=E(Z)=，于是E(X)=E(Y+Z)=E(Y)+E(Z)=．12、設(shè)隨機變量X1，…，Xn相互獨立同分布，EXi=μ，DXi=8(i=1，2，…，n)，則概率P{μ一4＜＜μ+4}≥________，其中．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由于X1，…，Xn相互獨立同分布，因此有，應(yīng)用切比雪夫不等式，有13、設(shè)(2，1，5，2，1，3，1)是來自總體X的簡單隨機樣本值，則總體X的經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：將各觀測值按從小到大的順序排列，得1，1，1，2，2，3，5，則經(jīng)驗分布函數(shù)為14、設(shè)總體X的密度函數(shù)f(x)=，S2分別為取自總體X容量為n的樣本的均值和方差，則；ES2=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由于，ES2=DX，由題設(shè)有EX=∫－∞＋∞xf(x)dx=∫－11x｜x｜dx=0．DX=EX2－(EX)2=∫－∞＋∞x2f(x)dx=∫－11x2｜x｜dx=2∫01x3dx=，所以．三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)15、某人衣袋中有兩枚硬幣，一枚是均勻的，另一枚兩面部是正面．(Ⅰ)如果他隨機取一枚拋出，結(jié)果出現(xiàn)正面，則該枚硬幣是均勻的概率為多少；(Ⅱ)如果他將這枚硬幣又拋一次，又出現(xiàn)正面，則該枚硬幣是均勻的概率為多少．標(biāo)準(zhǔn)答案：兩小題都是求條件概率，因此需用貝葉斯公式，設(shè)B=“取出的硬幣是均勻的”，Ai=“第i次拋出的結(jié)果是正面”，i=1，2，則(Ⅰ)所求概率為P(B｜A1)，(Ⅱ)所求概率為P(BA1A2)．(Ⅰ)由貝葉斯公式得P(B｜A1)=．(Ⅱ)由貝葉斯公式得P(B｜A1A2)=．知識點解析：暫無解析設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)=，試求：16、常數(shù)C；標(biāo)準(zhǔn)答案：由1=∫－∞＋∞f(x)dx=2∫044Cxdx=8C．知識點解析：暫無解析17、概率P｛＜x＜1｝；標(biāo)準(zhǔn)答案：．知識點解析：暫無解析18、X的分布函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：分布函數(shù)F(x)=∫－∞xf(t)dt，由于f(x)是分段函數(shù)，該積分在不同的區(qū)間上被積函數(shù)的表達式各不相同，因此積分要分段進行，要注意的是不管x處于哪一個子區(qū)間，積分的下限總是“一∞”，積分∫－∞xf(t)dt由(一∞，x)的各個子區(qū)間上的積分相加而得．當(dāng)x≤0時，F(xiàn)(x)=∫－∞xf(t)dt=∫－∞x0dt=0；當(dāng)0＜x≤2時，F(xiàn)(x)=∫－∞xf(t)dt=∫－∞00dt+；當(dāng)x＞2時：F(x)=∫－∞xf(t)dt=∫－∞00dt+∫02dt+∫2x0dt=1，因此F(x)=知識點解析：暫無解析19、設(shè)某地段在一個月內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)X服從泊松分布，其中重大事故所占比例為α(0＜α＜1)，據(jù)統(tǒng)計資料，該地段在一個月內(nèi)發(fā)生8次交通事故是發(fā)生10次交通事故概率的2．5倍，求該地段在一年內(nèi)最多有一個月發(fā)生重大交通事故的概率(假定各月發(fā)生交通事故情況互不影響并設(shè)α=0．05)．標(biāo)準(zhǔn)答案：先確定X的分布參數(shù)λ，由于P｛X=8｝=2．5P｛X=10｝，即=36，λ=6(負(fù)根舍去)．我們可以計算出Y服從參數(shù)為λα的泊松分布，即P{Y=m}=e－0．3(m=0，1，2，…)．一個月內(nèi)無重大交通事故的概率p=P{Y=0}=e－0．3．一年內(nèi)最多有一個月發(fā)生重大交通事故就是一年內(nèi)至少有11個月無重大交通事故，其概率為P{Z=11}+P{z=12}=C1211e－3．3(1一e－0．3)+e－3．6=0．142．知識點解析：此題首先應(yīng)該計算一個月內(nèi)該地段發(fā)生重大交通事故次數(shù)Y的概率分布，據(jù)此可求出概率p=P{Y=0}，如果用Z表示一年內(nèi)無重大交通事故的月份數(shù)，顯然各個月是否有重大交通事故互不影響，因此Z服從二項分布B(12，p)．20、設(shè)二維正態(tài)隨機變量(X，Y)的概率密度為f(x，y)，已知條件概率密度fX｜Y(x｜y)=．試求：(I)常數(shù)A和B；(Ⅱ)fX(x)和fY(y)；(Ⅲ)f(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅲ)f(x，y)=fX｜Y(x｜y)．fY(y)=．知識點解析：(Ⅰ)由性質(zhì)∫－∞＋∞fX｜Y(x｜y)dx=1可以定出常數(shù)A，也可以更簡單地把看成形式．(Ⅱ)由于，從而將x，y的函數(shù)分離．(Ⅲ)由f(x，y)=fX｜Y(x｜y)．fY(y)即可求得f(x，y)．21、設(shè)隨機變量Yi(i=1，2，3)相互獨立，并且服服從參數(shù)為P的0-1分布，令Xk=求隨機變量(X1，X2)的聯(lián)合概率分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：易見隨機變量(X1，X2)是離散型的，它的全部可能取值為(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，現(xiàn)在要計算出取各相應(yīng)值的概率，注意到事件Y1，Y2，Y3相互獨立且服從同參數(shù)P的0-1分布，因此它們的和Y1+Y2+Y3Y服從二項分布B(3，P)，于是P{X1=0，X2=0}=P{Y1+Y2+Y3≠1，Y1+Y2+Y3≠2}=P{Y=0}+P{Y=3}=q3+P3，(q1一p)P{X1=0，X11}=P{Y1+Y2+Y3≠1，Y1+Y2+Y3=2}=P{Y=2}=3p2q，P{X1=1，X2=0}=P{Y1+Y2+Y3=1，Y1+Y2+Y3≠2}=P{Y=1}=3pq2，P{X1=1，X2=1}=P{Y1Y2+Y3=1，Y1+Y2+Y3=2}=P{}=0．由上計算可知(X1，X2)的聯(lián)合概率分布為知識點解析：暫無解析22、已知隨機變量X與Y相互獨立且都服從參數(shù)為的0-1分布，即P{X=0}=P{X=1}=，定義隨機變量Z=求Z的分布；(X，Z)的聯(lián)合分布；并問X與Z是否獨立．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于(X，Y)是二維離散隨機變量，故由邊緣分布及相互獨立可求得聯(lián)合分布；應(yīng)用解題一般模式，即可求得Z及(X，Z)的分布，進而判斷X、Z是否獨立．由題設(shè)知(X，Y)～，則Z(X，Z)的分布為由此可知Z服從參數(shù)ρ=的0-1分布；(X，Z)的聯(lián)合概率分布為因P{X=i，Z=j}==P{X=i}P{Z=j}(i，j=0，1)，故X與Z獨立．知識點解析：暫無解析假設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，如果X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，Y的概率分布為P{Y=一1}=，求：23、Z=XY的概率密度fZ(z)；標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意P{Y=一1}=，X～N(0，1)且X與Y相互獨立，于是Z=XY的分布函數(shù)為FZ(z)=P{XY≤z}=P{Y=一1}P{XY≤z｜Y=一1}+P{Y=1}P{XY≤z｜Y=1}=P{Y=一1}P{一X≤z｜Y=一1}+P{Y=1}P{X≤z｜Y=1}=P{Y=一1}P{X≥一z}+P{Y=1}P{X≤z}即Z=XY服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度為fZ(z)=φ(z)=．知識點解析：由于Y為離散型隨機變量，X與Y獨立，因此應(yīng)用全概率公式可得分布函數(shù)，進而求得概率密度．24、V=｜X—Y｜的概率密度fV(ν)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于V=｜X—Y｜只取非負(fù)值，因此當(dāng)ν＜0時，其分布函數(shù)FV(ν)=P{｜X—Y｜≤ν}=0；當(dāng)ν≥0時，F(xiàn)V(ν)=P{一ν≤X—Y≤ν}=P{Y=一1}P{一ν≤X—Y≤ν｜y=一1}+P{Y=1}P{一ν≤X一Y≤ν｜y=1}綜上計算可得FV(ν)=由于FV(ν)是連續(xù)函數(shù)，且除個別點外，導(dǎo)數(shù)存在，因此V的概率密度為fZ(z)=知識點解析：暫無解析假設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)f(x)=ce－λ｜x｜(λ＞0，一∞＜x＜+∞)，Y=｜X｜．25、求常數(shù)c及EX，DX；標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)用∫－∞＋∞f(x)dx=1求c；應(yīng)用公式及充要條件解答其他問題．由于∫－∞＋∞f(x)dx=1，所以c∫－∞＋∞e－λ｜x｜dx=2c∫0＋∞e－λxdx=．又f(x)是偶函數(shù)，且反常積分∫－∞＋∞xf(x)dx收斂，所以EX=∫－∞＋∞xf(x)dx=0，DX=DX2=∫－∞＋∞x2f(x)dx=2．∫0＋∞x2e－λxdx=(應(yīng)用指數(shù)分布某些結(jié)果)．知識點解析：暫無解析26、問X與Y是否相關(guān)?為什么?標(biāo)準(zhǔn)答案：由于f(x)是偶函數(shù)，故EXY=EX｜X｜=∫－∞＋∞x｜x｜f(x)dx=0，而EX=0，所以EXY=EX．EY，故X與Y不相關(guān)．知識點解析：暫無解析27、問X與Y是否獨立?為什么?標(biāo)準(zhǔn)答案：下面我們應(yīng)用事件關(guān)系證明X與Y=｜X｜不獨立，因為{｜X｜≤1}{X≤1}，又P{｜X｜≤1}=∫－11f(x)dx≠0，P{X≤1}=∫－∞1f(x)dx≠1，所以{｜X｜≤1}與{X≤1}不獨立(包含關(guān)系不獨立)，故X與Y=｜X｜不獨立．知識點解析：暫無解析28、(Ⅰ)設(shè)X與Y相互獨立，且X～N(5，15)，Y～χ2(5)，求概率P{X一5＞}；(Ⅱ)設(shè)總體X～N(2．5，62)，X1，X2，X3，X4，X5是來自X的簡單隨機樣本，求概率P{(1．3＜＜3．5)∩(6．3＜S2＜9．6)}．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(Ⅱ)因與S2相互獨立，故有P=P{(1．3＜＜3．5)∩(6．3＜S2＜9．6)}=P{1．3＜＜3．5}P{6．3＜S2＜9．6}，而～N(2．5，62／5)，即有P{6．3＜S2＜9．6}==P｛0．7＜χ2(4)＜1．067｝=P{χ2(4)＞0．7}一P{χ2(4)＞1．067}=0．95—0．90=0．05．于是所求概率為P=0．3179×0．05=0．0159．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)A，B，C三個事件兩兩獨立，則A，B，C相互獨立的充分必要條件是()．A、A與BC獨立B、AB與A∪C獨立C、AB與AC獨立D、A+B與A+C獨立標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由命題3．1．4．4和A，B，C兩兩獨立知，A，B，C相互獨立P(ABC)=P(A)P(B)P(C)．對于選項(A)，因A與BC獨立，且B與C獨立，故P(ABC)=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C)．僅(A)入選．注：命題3．1．4．4A，B，C相互獨立的充分必要條件是A，B，C兩兩獨立，且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)．2、設(shè)A，B，C是三個相互獨立的隨機事件，且0＜P(C)＜1，則在下列給定的四對事件中不相互獨立的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由命題3．1．4．5知，多個事件相互獨立有下述性質(zhì)：對于相互獨立的隨機事件A，B，C，它們中不含相同事件的任何部分事件組經(jīng)運算(和，差，積，逆)后所得到的事件都分別與其他另一部分事件C或其求逆事件C都是相互獨立的，因而不相互獨立的事件僅為僅(B)入選．注：命題3．1．4．5在相互獨立的隨機事件A1，…An中，不含相同事件的事件組經(jīng)某種運算(和、差、積、逆等)后所得到的事件與其他部分的事件或它們的運算結(jié)果都是相互獨立的．3、設(shè)F1(x)與F2(x)分別為隨機變量X1與X2的分布函數(shù)，為使F(x)=aF1(x)=bF2(x)是某一隨機變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組值中應(yīng)取()．A、a=3／5，b=－2／5B、a=2／3，b=2／3C、a=－1／1，b=3／1D、a=1／2，b=－3／2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：解一由命題3．2．1．3知，僅(A)入選．因a=3／5＞0，－b=(－1)(－2／5)=2／5＞0，且a+(－b)=3／5－(－2／5)=1．解二利用分布函數(shù)的性質(zhì)有因而得到對比以上四個選項，只有(A)中的a，b之值滿足a－b=1．僅(A)入選．注：命題3．2．1．3若F1(x)，F(xiàn)2(x)，…，F(xiàn)n(x)均是分布函數(shù)，則也為分布函數(shù)，其中常數(shù)ai≥0，且4、假設(shè)隨機變量X服從指數(shù)分布，則隨機變量Y=min(X，2)的分布函數(shù)()．A、是連續(xù)函數(shù)B、至少有兩個間斷點C、是階梯函數(shù)D、恰好有一個間斷點標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：解一首先由分布函數(shù)的定義求出分布函數(shù)FY(y)，然后判斷．FY(y)=P(Y≤y)=P(min(X，2)≤y)=1－P(min(X，2)＞y)=1－P(X＞y，2＞y)．當(dāng)y＜2時，當(dāng)y≥2時，P(X＞y，2＞y)=P(X>Y，)=P()=0，因而FY(y)=1－P(X＞y，2＞y)=1－0=1．又y≤0時，F(xiàn)Y(y)=0，故可見，F(xiàn)Y(y)在y=2處有一個間斷點．僅(D)入選．解二設(shè)X的概率密度、分布函數(shù)分別為f(x)，F(xiàn)(x)，則因當(dāng)x＜2時，Y=X，而X服從指數(shù)分布，其分布函數(shù)為而當(dāng)y≥2時，由式③知，事件(Y≤y)為必然事件，故FY(y)=P(Y≤y)=P(Ω)=1．因而因故FY(y)在y=0處連續(xù)，但因而FY(y)在y=2處不連續(xù)．于是僅(D)入選．5、設(shè)隨機變量X1，X2，…，Xn相互獨立，Sn=X1+X2+…+Xn則根據(jù)列維一林德伯格中心極限定理，當(dāng)n充分大時，Sn近似服從正態(tài)分布，只要X1，X2，…，Xn()．A、有相同的數(shù)學(xué)期望B、有相同的方差C、服從同一指數(shù)分布D、服從同一離散型分布標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：列維-林德伯格中心極限定理成立的條件之一是X1，X2，…，Xn具有相同的、有限的數(shù)學(xué)期望和非零方差，而選項(A)、(B)不能保證同分布，可排除．選項(D)雖然服從同一離散型分布，但不能保證E(Xi)與D(Xi)均存在，也應(yīng)排除．僅(C)入選．6、設(shè)X1，X2，…，Xn，…是獨立同分布的隨機變量序列，且均服從參數(shù)為λ(λ＞1)的指數(shù)分布，記Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由于隨機變量序列X1，X2，…，Xn，…獨立同分布，且服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，因此E(Xi)=1／λ，D(Xi)=1／λ2(i=1，2，…，n)．由列維-林德伯格中心極限定理知，當(dāng)n→∞時，隨機變量的極限分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即僅(C)入選．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)7、現(xiàn)有三個箱子，第一個箱子中有4個黑球、1個白球，第二個箱子中有3個黑球、3個白球，第三個箱子中有3個黑球、5個白球．現(xiàn)隨機地取一個箱子，再從這個箱子中取出一個球，這個球為白球的概率等于__________．已知取出的球是白球，此球?qū)儆诘诙€箱子的概率為____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：設(shè){取第i個箱子的事件)=Ai(i=1，2，3)，則A1，A2，A3為一完備事件組．設(shè)事件B={取出的球是白球}．由全概率公式得到該球為白球的概率等于P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)由貝葉斯公式得到該球?qū)儆诘诙€箱子的概率為8、設(shè)隨機變量X的概率密度為以Y表示對X的三次獨立重復(fù)觀察中事件{X≤1／2)出現(xiàn)的次數(shù)，則P(Y=2)=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：9／64知識點解析：先求出事件A={X≤1／2)的概率則Y～B(n，p)=B(3，1／4)．因而，由命題3．2．3．2(1)得到P(Y=2)=C32(1／4)2(3／4)3-2=9／64．注：命題3．2．3．2(1)若離散型隨機變量X～B(n，p)，則P(X=k)=Cnkpk(1－p)n-k(k=0，1，2，…，n)．9、若隨機變量X服從均值為2，方差為σ2的正態(tài)分布，且P(2＜X＜4)=0．3，則P(X<0)=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0．2知識點解析：解一由X～N(2，σ2)知，則因而故解二因X服從均值為2的正態(tài)分布，其概率密度曲線關(guān)于直線x=2對稱，則P(X＜0)+P(0＜X＜2)+P(2＜X＜4)+P(X＞4)=1．由P(X＞4)=P(X＜0)，P(0＜X＜2)=P(2＜X＜4)(對稱性)，得到2P(X＜0)+2P(2＜X＜4)=1，P(X＜0)=[1－2P(2＜X＜4)]／2=(1－0．6)／2=0．2．10、設(shè)隨機變量X的概率密度為若k使得P(X≥k)=2／3，則k的取值范圍是__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1≤k≤3知識點解析：解一由P(X≥k)=1－P(X＜k)=2／3得到P(X＜k)=1／3．這樣就與分布函數(shù)完全對應(yīng)起來了．再利用概率密度f(x)的定義就可算出有關(guān)結(jié)果．當(dāng)k＜1時，當(dāng)1≤k≤3時，當(dāng)3＜k≤6時，于是欲使P(X≥k)=2／3，即使P(X＜k)=1／3，k的取值范圍為[1，3]．解二作出f(x)的圖形，如圖3．2．4．1所示．因概率P(X≥k)在幾何意義上表示x≥k時f(x)與x軸所圍成的面積，而當(dāng)1≤k≤3時，概率密度曲線與X軸圍成的面積為即P(X≥k)=2／3，故1≤k≤3．11、在天平上重復(fù)稱量一重為a的物品．假設(shè)各次稱量結(jié)果相互獨立且同服從正態(tài)分布N(a，0．22)．若以表示n次稱量結(jié)果的算術(shù)平均值，則為使n的最小值不小于自然數(shù)___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：n≥16知識點解析：解一設(shè)各次稱量物品的重量為X，由題設(shè)有X～N(a，0．22)，則因而于是即則即n＞15．366，故所求的自然數(shù)為n≥16．解二設(shè)第i次稱量結(jié)果為隨機變量Xi，則Xi～N(a，0．22)．又設(shè)則且依題意有由列維-林德伯格中心極限定理得到因而反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到Φ(1．96)=0．975，故即n≥15．36，所以n的最小值應(yīng)不小于自然數(shù)16．注：3．2．3．2(5)若X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其分布函數(shù)為Φ(x)，則P(|x|≤a)=2Φ(a)=1，Φ(0)=0．5．12、假設(shè)隨機變量X在區(qū)間[－1，2]上服從均勻分布，隨機變量則方差D(Y)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：8／9知識點解析：解一為求E(Y)，E(Y2)，先利用命題3．2．3．2(3)求出P(Y=1)P(Y=－1)．設(shè)X的密度為fX(x)，則P(Y=1)=P(X>0)=P(02的分布律分別為故E(Y)=(－1)×(1／3)+1×(2／3)=1／3，E(Y2)=0+1×1=1，D(Y)=E(Y2)－[E(Y)]2=1－(1／3)2=8／9．解二由題設(shè)有則而P(X=0)=0，故E(Y)=1P(X=1)+0P(Y=0)+(－1)P(Y=－1)=1P(X>0)+0P(X=0)+(－1)P(X<0)=2／3－1／3=1／3，E(Y2)=12P(Y=1)+02P(Y=0)+(－1)2P(Y=－1)=12P(X>0)+02P(X=0)+(－1)2P(X<0)=2／3+1／3=1．故D(Y)=E(Y2)－[E(Y)]2=1－(1／3)2=8／9．解三用隨機變量方差的定義：求之.D(Y)=[1－E(Y)]2P(Y－1)+[0－E(Y)]2P(Y=0)+[－1－E(Y)]2P(Y=－1)=[1－E(Y)]2P(X>0)+[E(Y)]2P(X=0)+[－1－E(Y)]2P(X<0)=(4／9)×(2／3)+(1／9)×0+(16／9)×(1／3)=8／9．注：命題3．2．3．2(3)若X在區(qū)間[a，b]上服從均勻分布，即X～U[a，b]，則X落在子區(qū)間[c，d][a，b]上的概率為P(c≤X≤d)=(d－c)／(b－a)．13、設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)(σ＞0)，且二次方程y2+4y+X=0無實根的概率為1／2，則μ=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識點解析：解一設(shè)事件A表示二次方程y2+4y+X=0無實根，則△=42－4X=16－4X＜0，即A={16－4X＜0}={X＞4}．由題設(shè)有P(A)=P(X＞4)=1／2．而X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，具有性質(zhì)P(X≥μ)=P(X≤μ)=1／2，故μ=4．解二因故即μ=4．14、設(shè)隨機變量X1，X2，X3相互獨立，其中X1在[0，6]上服從均勻分布，X2服從正態(tài)分布N(0，22)，X3服從參數(shù)為λ=3的泊松分布，記Y=X1－2X2+3X3則D(Y)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：46知識點解析：依題設(shè)有D(X1)=(b－a)2／12，D(X2)=σ2=4，D(X3)=λ=3，又因X1，X2，X3相互獨立，故D(Y)=D(X1－2X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=46．15、設(shè)X表示10次獨立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射中目標(biāo)的概率為0．4，則X2的數(shù)學(xué)期望E(X2___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：18．4知識點解析：因X～B(10，0．4)，故E(X)=np=10×0．4=4，D(X)=npq=10×0．4×(1－0．4)=2．4．于是E(X2)=D(X)+[E(X)]2=18．4．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)設(shè)隨機變量X在區(qū)間(0，1)上服從均勻分布，在X=x(0＜x＜1)的條件下，隨機變量Y在區(qū)間(0，x)上服從均勻分布．求：16、隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度；標(biāo)準(zhǔn)答案：X的概率密度為因在X=x(0＜x＜1)條件下，Y在區(qū)間(0，x)上服從均勻分布，故Y的條件密度fY|X(y|x)為當(dāng)0＜y＜x＜1時，X和Y的聯(lián)合概率密度為f(x，y)=fX(x)fY|X(y|x)=1／x，在其他點(x，y)處，有f(x，y)=0，即知識點解析：暫無解析17、Y的概率密度；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)0＜y＜1時，如圖3．3．2．3所示，Y的概率密度為當(dāng)y≤0或y≥1時，fY(y)=0．因此知識點解析：暫無解析18、概率P(X+Y＞1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：所求概率為知識點解析：暫無解析一電子儀器由兩個部件構(gòu)成，以X和Y分別表示兩個部件的壽命(單位：千小時)．已知X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為19、問X與Y是否相互獨立?標(biāo)準(zhǔn)答案：解一設(shè)X，Y的分布函數(shù)分別為FX(x)，F(xiàn)Y(y)，則故當(dāng)x≥0，y≥0時，有FX(x)FY(y)=(1－e－0.5x)(1－e－0.5y)=1－e－0.5x－e-0.5y+e－0.5(x+y)=F(x，y)．而當(dāng)x＞0或y＜0時，有Fx(x)FY(y)=0=F(x，y)，所以對任意x，y，均有F(x，y)=Fx(x)FY(y)，則X與Y獨立．解二先求出(X，Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)f(x，y)及邊緣密度fX(x)，fY(y)．當(dāng)x≥0，y≥0時，有于是有因而同理，可求得易驗證對x≥0，y≥0，均有f(x，y)=fX(x)fY(y)．對x<0或y<0，也有f(x，y)=fX(x)·fY(y)=0，故對任意x，y均有f(x，y)=fX(x)fY(y)，由命題3．3．5．1(1)知，X與Y相互獨立．注：命題3．3．5．1(1)對任意二維隨機變量(X，Y)，有X，Y相互獨立對任意x，y，有F(x，y)=FX(x)FY(y)；X，Y相互獨立對任意x，y，有f(x，y)=fX(x)fY(y)．知識點解析：暫無解析20、求兩個部件的壽命都超過100小時的概α．標(biāo)準(zhǔn)答案：解一α=P(X>0．1，Y>0．1)=P(X>0．1)P(Y>0．1)(因X，Y相互獨立)=[1－P(X≤0．1)][1－P(Y≤0．1)]=[1－FX(0．1)][1－FY(0．1)]=e0.05·e0.05=e－0.1．解二因X，Y相互獨立，故解三由上題的解一知，X，Y相互獨立，且均服從參數(shù)為λ=0．5的指數(shù)分布．利用命題3．2．3．2(4)即得α=P(X>0．1，Y>0．1)=P(X>0．1)P(Y>0．1)=e－λx．eλx=(e－0.5×0.1)2=e－0.5×2e－0.1．上述三種求法都用到了X，Y的獨立性．下述兩種算法可以不用．解四由得所求概率為解五利用下述結(jié)論求之．對任意(x1，y1)，(x2，y2)，x12，y12，有P(x12，y12)=F(x2，y2)－F(x1，y2)－Fx2，y1)+F(x1，y1)．于是α=P(X>0．1，Y>0．1)=P(0．1－0.05)－(1－e－0.05)+1－e－0.05－e-0.05+e－0.1=e－0.1．注：命題3．2．3．2(4)若X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，其中λ>0，a>0，則P(X>a)=e－λa，P(X－λa．知識點解析：暫無解析21、設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布在以點(0，1)，(1，0)，(1，1)為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布，試求隨機變量Z=X+Y的方差．標(biāo)準(zhǔn)答案：解一令G={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≥1}(見圖3．4．2．1)．由題設(shè)知(X，Y)在G上服從均勻分布．由定義3．3．4．1及SG=1／2，得到其概率密度f(x，y)為注意到G及D關(guān)于y=x對稱，有利用這些性質(zhì)及命題3．4．2．1，得到故D(Z)=D(X+Y)=E[(X+Y)2]－[E(x+y)]2=11／6－16／9=1／18．解二下用求不相互獨立的兩個隨機變量X與Y之和Z=X+Y的卷積公式(3．3．3．1)式求出其概率密度f(z)．為此改寫f(x，y)．由在xOz平面上f取正值的區(qū)域為0≤x≤1，O≤z－x≤1，z≥1所圍成的區(qū)域G1={(x，y)|0≤x≤1，0≤z－x≤1，z≥1}(見圖3．4．2．2)．因而故于是D(X+Y)=D(Z)=E(Z2)－[E(Z)]2=E(X+Y)2－[E(X+Y)]2=11／6－(4／3)2=1／18．注：定義3．3．4．1設(shè)G是有界平面區(qū)域，其面積為SG，若二維隨機變量(X，Y)的概率密度函數(shù)為則稱(X，Y)在G上服從二維均勻分布．命題3．4．2．1其中f(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合概率密度.知識點解析：暫無解析設(shè)隨機變量X與Y獨立同分布，且X的概率分布為記U=max(X，Y)，V=min(X，Y)．22、求(U，V)的概率分布；標(biāo)準(zhǔn)答案：易知U，V的可能取值均為1，2，因X，y獨立且同分布，故P(U=1，V=1)=P(max(X，Y)=1，min(X，Y)=1)=P(X=1，Y=1)=P(X=1)P(Y=1)=4／9，P(U=1，V=2)=P(max(X，Y)=1，min(X，Y)=2)=P()=0．P(U=2，V=1)=P(max(X，Y)=2，min(X，Y)=1)=P(X=2，Y=1)+P(X=1，Y=2)=P(X=2)P(Y=1)+P(X=1)P(Y=2)=2／9+2／9=4／9．P(U=2，V=2)=P(max(X，Y)=2，min(X，Y)=2)=P(X=2，Y=2)=P(X=2)P(Y=2)=1／9．于是(U，V)的概率分布為知識點解析：暫無解析23、求U與V的協(xié)方差cov(U，V)．標(biāo)準(zhǔn)答案：下用同一表格法先求出E(U)，E(V)及E(UV)．由所以E(U)=1×(4／9)+2×(5／9)=14／9，E(V)=1×(8／9)+2×(1／9)=10／9，E(UV)=1×(4／9)+2×(4／9)+4×(1／9)=16／9，故cov(U，V)=E(UV)－E(U)E(V)=16／9－(14／9)×(10／9)=4／81．知識點解析：暫無解析24、設(shè)A，B是二隨機事件，隨機變量試證明隨機變量X和Y不相關(guān)的充分必要條件是A與B相互獨立．標(biāo)準(zhǔn)答案：只需證明cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)=0，即P(AB)=P(A)P(B)．記P(A)=p1，P(B)=p2，P(AB)=p12．由數(shù)學(xué)期望的定義得E(X)=1×P(A)+(－1)×P()=2p1－1．同理可得E(Y)=2p2－1．下面求E(XY)．由于XY只有兩個可能取值1和一1，而故所以E(XY)=1×P(XY=1)+(－1)×P(XY=－1)=4p12－2p1－2p2+1．于是cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)=4p12－4p1p2．因此，cov(X，Y)=0當(dāng)且僅當(dāng)p12=p1p2，即當(dāng)且僅當(dāng)P(AB)=P(A)P(B)．這就證明了X和Y不相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)事件A和B相互獨立．知識點解析：暫無解析25、一商店經(jīng)銷某種商品，每周進貨的數(shù)量X與顧客對該種商品的需求量Y是相互獨立的隨機變量，且都服從區(qū)間[10，20]上的均勻分布．商店每售出一單位商品可得利潤1000元，若需求量超過了進貨量，商店可從其他商店調(diào)節(jié)供應(yīng)，這時每單位商品獲利潤500元．試計算此商店經(jīng)銷該種商品每周所得利潤的期望值．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Z表示商店每周所得的利潤，先建立利潤與X，Y之間的函數(shù)關(guān)系：而X與Y的概率密度均為．又X與Y獨立，則又由于G1={(x，y)|X≥y}，G2={(x，y)|y>x}，Z和φ(x，y)均為分段函數(shù)，需將積分分區(qū)域G1與G2求之，歸結(jié)為計算兩個分段函數(shù)之積的二重積分：知識點解析：暫無解析某保險公司對多年來的統(tǒng)計資料表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20％，以X表示在隨意抽查的100個索賠戶中因被盜向保險公司索賠的戶數(shù)．[附表]設(shè)Φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)．26、寫出X的概率分布；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)事件A={被抽查到被盜索賠戶}，則p=p(A)=0．2．由題意知，X～B(100，0．2)．因此，分布律P(X=k)=C100k0．2k0．8100-k(k=0，1，…，100)．知識點解析：暫無解析27、利用棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理，求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值．標(biāo)準(zhǔn)答案：E(X)=np=20，D(X)=np(1－p)=16．根據(jù)棣莫弗一拉普拉斯定理知，則知識點解析：暫無解析28、設(shè)X1，X2，…，Xn來自正態(tài)總體X的簡單隨機樣本，且Y1=(X1+X2+…+X6)／6，Y2=(X7+X8+X9)／3，證明統(tǒng)計量Z服從自由度為2的t分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)X～N(μ，σ2)．由其樣本均值Y1～N(μ，σ2／6)，樣本均值Y2～N(μ，σ2／3)，則Y1－Y2～N(μ－μ，σ2／6+σ2／3)=N(0，σ2／2)，于是因由命題3．6．1．1(3)知Y2與S2獨立，且因Y2與S2獨立，Y1與S2獨立，故Y1－Y2與S2獨立，從而與2S2／σ2獨立．于是由t分布的典型模式知，即統(tǒng)計量Z服從自由度為2的t分布．注：命題3．6．1．1(3)設(shè)X1，X2，…，Xn為來自正態(tài)總體N(μ，σ2)的樣本，與S2分別為樣本均值與樣本方差，則與S2相互獨立，且知識點解析：暫無解析設(shè)總體X的概率密度為其中θ(0＜θ＜1)未知，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，是樣本均值．29、求參數(shù)θ的矩估計量；標(biāo)準(zhǔn)答案：先求E(X)得到矩估計方程，即將E(X)用樣本均值替換即得θ的矩估計量知識點解析：暫無解析30、判斷是否為θ2的無偏估計量，并說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：通過計算判斷是否等于為此先計算E(X2)，進而求出故知識點解析：暫無解析31、設(shè)總體X的概率分布為其中θ(0＜θ＜1／2)是未知參數(shù)．利用總體的樣本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估計值．標(biāo)準(zhǔn)答案：E(X)=0×θ2+1×2θ(1－θ)+2×θ2+3×(1－2θ)=3—4θ．由于θ=[3－E(X)]／4，θ的矩估計值為而=(3+1+3+0+3+l+2+3)／8=2，故θ的矩估計值為知識點解析：暫無解析32、設(shè)總體X的概率分布為其中θ(0＜θ＜1／2)是未知參數(shù)．利用總體的樣本值：3，1，3，0，3，1，2，3．求θ的最大似然估計值．標(biāo)準(zhǔn)答案：對于給定的樣本值，似然函數(shù)為L(θ)=P(X1=3)P(X2=1)P(X3=3)P(X4=0)P(X5=3)P(X6=1)P(X7=2)P(X8=3)=P(X=0)EP(X=1)]2P(X=2)[P(X=3)]4=4θ6(1－θ)2(1－2θ)4．由于0＜θ＜1／e，L(θ)＞0，因而，對L(θ)取對數(shù)得lnL(θ)=ln4+6lnθ+2ln(1－θ)+4ln(1－2θ)，對θ求導(dǎo)數(shù)，得令解方程12θ2－14θ+3=0，得因(不合題意舍去)，故θ的最大似然估計值為知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)X1，X2，…，Xn是取自正態(tài)總體N(0，σ2)的簡單隨機樣本，與S2分別是樣本均值與樣本方差，則A、～χ2(1)．B、～χ2(n—1)．C、～t(n一1)．D、～F(n一1，1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：根據(jù)正態(tài)總體抽樣分布公式知應(yīng)選D．2、設(shè)X1，…，Xn，Xn+1，…，X2n，X2n+1，…，X3n是取自正態(tài)分布總體N(μ，σ2)的一個簡單隨機樣本(n≥2)，則一定有A、～N(0，1)．B、Si2～χ2(n一1)．C、～t(n—1)．D、F1=同分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由于與Si2分別是取自正態(tài)總體N(μ，σ2)的一個容量為n的簡單隨機樣本，根據(jù)正態(tài)總體的抽樣分布知，對i=1，2，3，有因此選項A、(B)、(C)均不成立，應(yīng)選D．進一步分析，因X1，Xn，Xn+1，X2n，X2n+1，…，X3n相互獨立，因此S12，S22，S32也相互獨立．又因(n一1)Si2／σ2～χ2(n一1)，所以根據(jù)F分布的典型模式可得=F1～F(n一1，n一1)．同理F2=S22／S32～F(n一1，n一1)，即F1與F2同分布．3、設(shè)Y1，Y2，…，Yn是取自總體X的一個簡單隨機樣本，DX=σ2，是樣本均值，則下列估計量的期望為σ2的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因EX2=DX+(EX)2=σ2+μ2，+μ2，所以有應(yīng)選C．4、設(shè)X1，X2，…，Xn是取自總體X的簡單隨機樣本，記EX=μ，DX=σ2，，DS＞0，則A、ES=σB、ES2=σ2．C、E2=μ2．D、E(X2)=EX2．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：從上題知ES2=σ2，應(yīng)選B．進一步分析DS=ES2一(ES)2＞0→(ES)2≠ES2=σ2→ES≠σ，5、設(shè)是從總體X中取出的簡單隨機樣本X1，…，Xn的樣本均值，則是μ的矩估計，如果A、X—N(μ，σ2)．B、X服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布．C、P{X=m}=μ(1一μ)mm—1，m=1，2，…D、X服從[0，μ]上均勻分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：若X～N(μ，σ2)，則EX=μ，μ的矩估計為，應(yīng)選A．若X服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，則EX=；對于選項C，X服從參數(shù)為μ的幾何分布，EX=，μ=2EX，于是μ的矩估計．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)6、設(shè)隨機變量X1，X2，…，Xn，Y1，Y2，…，Yn相互獨立，且Xi服從參數(shù)為λ的泊松分布，Yi服從參數(shù)為的指數(shù)分布，i=1，2，…，n，則當(dāng)n充分大時，(Xi+Yi)近似服從___________分布，其分布參數(shù)為_________與__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：正態(tài)，μ=E[(Xi+Yi)]=2nλ，D(Xi+Yi)=n(λ+λ2)知識點解析：X1+Y1，X2+Y2，…，Xn+Yn相互獨立同分布．因EXi=DXi=λ，EYi=λ，DYi=λ2，故E(Xi+Yi)=2λ，D(Xi+Yi)=λ+λ2，當(dāng)n充分大時，(Xi+Yi)近似服從正態(tài)分布，其分布參數(shù)μ=E[(Xi+Yi)]=2nλ，D(Xi+Yi)=n(λ+λ2)．7、假設(shè)隨機變量X1，…，Xn相互獨立，服從同參數(shù)λ的泊松分布．記Sn=Xi+n，當(dāng)n充分大時，求Sn的近似分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于Xi服從泊松分布，故EXi=DXi=λ，又因X1，…，Xn相互獨立，所以根據(jù)獨立同分布的列維．林德伯格中心極限定理，當(dāng)n充分大時，Sn一n近似服從正態(tài)分布N(nλ，nλ)，因此Sn近似服從正態(tài)分布N(nλ+n，nλ)．知識點解析：暫無解析8、假設(shè)排球運動員的平均身高(單位：厘米)為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為4．求100名排球運動員的平均身高與所有排球運動員平均身高之差在(一1，1)內(nèi)的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)100名中第i名運動員身高為Xi，i=1，…，100，可以認(rèn)為X1，X2，…，X100相互獨立同分布，且EXi=μ，DXi=16，=0．16，應(yīng)用獨立同分布中心極限定理，近似服從正態(tài)分布N(μ，0．42)，于是≈2Ф(2．5)一1=0．9876．知識點解析：暫無解析9、一大袋麥種的發(fā)芽率為80％，從中任意取出500粒進行發(fā)芽試驗，計算其發(fā)芽率的偏差不超過2％的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)500粒麥種中發(fā)芽粒數(shù)為X，則X近似服從二項分布8(500，0．8)．由于n=500相當(dāng)大，根據(jù)拉普拉斯中心極限定理X近似服從正態(tài)分布N(400，80)，于是有知識點解析：暫無解析10、有100道單項選擇題，每個題中有4個備選答案，且其中只有一個答案是正確的．規(guī)定選擇正確得1分，選擇錯誤得0分．假設(shè)無知者對于每一個題都是從4個備選答案中隨機地選答，并且沒有不選的情況，計算他能夠超過40分的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)X表示100個題中他能選對的題數(shù)，則X服從二項分布B(100，0．25)，從而EX=25，DX=18．75．應(yīng)用拉普拉斯中心極限定理，X近似服從正態(tài)分布N(25，18．75)，于是P{X＞40}=1—P{X≤40}=1—≈1一Ф(3．46)=0．0003．知識點解析：暫無解析11、設(shè)某種商品的合格率為90％，某單位要想給100名職工每人一件這種商品．試求：該單位至少購買多少件這種商品才能以97．5％的概率保證每人都可以得到一件合格品?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)至少購買n件，n件中合格品數(shù)為X，易見X服從二項分布B(n，0．9)，且n≥100，根據(jù)拉普拉斯中心極限定理，X近似服從二項分布N(0．9n，0．09n)．依題意P{X≥100}=0．975，即0．975=P{X≥100}=．解方程=一1．96→n≈119．知識點解析：暫無解析12、設(shè)總體X服從參數(shù)為p的0—1分布，則來自總體X的簡單隨機樣本X1，X2，…，Xn的概率分布為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：總體X的概率分布為，此概率分布也可以表示為于是樣本X1，X2，…，Xn的概率分布為p(x1，x2，…，xn)=如果記xi，則樣本X1，X2，…，Xn的概率分布為p(x1，x2，…，xn)=13、假設(shè)總體X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，X1，X2，…，Xn是取自總體X的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量Y1=都服從___________分布，其分布參數(shù)分別為___________和___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：t分布，2和n一1知識點解析：根據(jù)簡單隨機樣本的性質(zhì)，X1，X2，…，Xn相互獨立同服從分布N(0，1)，所以X1—X2與X32+X42相互獨立，X1與Xi2也相互獨立，且有X1一X1～N(0，2)，～N(0，1)，X32+X42～χ2(2)，Xi2～χ2(n一1)，即Y1與Y2都服從t分布，分布參數(shù)分別為2和n一1．14、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(0，σ2)，而X1，X2，…，X15是取自總體X的簡單隨機樣本，則服從___________分布，分布參數(shù)為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：N(0，σ2)，f(10，5)知識點解析：根據(jù)簡單隨機樣本的性質(zhì)，X1，X2，…，X15相互獨立且都服從分布N(0，σ2)，所以X12+…+X12與X112+…+X152相互獨立，由于～N(0，1)，因此(X12+…+X102)～χ2(10)，(X112+…+X152)～χ2(5)，15、設(shè)總體X與Y獨立且都服從正態(tài)分布N(0，σ2)，已知X1，…，Xm與Y1，…，Xn是分別來自總體X與Y的簡單隨機樣本，統(tǒng)計量T==___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：依題意Xi～N(0，σ)，Yi～N(0，σ)且相互獨立，所以U與V相互獨立，由t分布典型模式知16、設(shè)X1，X2，…，Xn是取自總體X的簡單隨機樣本，的數(shù)學(xué)期望為σ2，則a=___________，b=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：樣本方差S2=由ES2=σ2可得a=．17、設(shè)總體X服從(a，b)上的均勻分布，X1，X2，…，Xn是取自X的簡單隨機樣本，則未知參數(shù)a，b的矩估計量為=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：EX=σ2，解方程組三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)設(shè)X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，其均值和方差分別為與S2，且X～B(1，p)，0＜p＜1．18、試求：的概率分布；標(biāo)準(zhǔn)答案：由于X～B(1，p)，故X的概率分布為～B(n，p)．于是P{n=k}=Cnkpk(1一p)n—k，k=0，1，2，…，n，即P{}=Cikpk(1—p)n—k，k=0，1，2，…n．知識點解析：暫無解析19、證明：B=．標(biāo)準(zhǔn)答案：其中，因為Xi取值0或1，故Xi2=Xi．知識點解析：暫無解析20、設(shè)正態(tài)總體X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn為來自X的簡單隨機樣本，求證：標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)簡單隨機樣本的性質(zhì)，X1，X2，…，Xn相互獨立與X同分布且與S2相互獨立，于是又因～χ2(n—1)，且W與S2相互獨立，所以知識點解析：暫無解析21、設(shè)X1，X2，…，X10是來自正態(tài)總體X～N(0，22)的簡單隨機樣本，求常數(shù)a，b，c，d，使Q=aX2+b(X2+X3)2+c(X4+X5+X6)2+e(X7+X8+X9+X10)2服從χ2分布，并求自由度m．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于Xi獨立同分布，則有X1～N(0，4)，X2+X3～N(0，8)，X4+X5+X6～N(0，12)，X7+X8+X9+X10～N(0，16)．于是(X7+X8+X9+X10)相互獨立都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)．由χ分布的典型模式可知(X4+X5+X6)2+(X7+X8+X9+X10)2～χ2(4)．所以，當(dāng)a=時，Q服從自由度為4的χ2分布．知識點解析：暫無解析22、設(shè)總體X和Y相互獨立，分別服從N(μ，σ12)，N(μ，σ22)．X1，X2，…，Xm和Y1，Y2，…，Yn是分別來自X和Y的簡單隨機樣本，其樣本均值分別為，樣本方差分別為SX2，SY2．令Z=。求EZ．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于與β也相互獨立．因此．于是EZ==μ(Eα+Eβ)=μE(α+β)=μ．知識點解析：暫無解析已知X1，…，Xn是來自總體X容量為n的簡單隨機樣本，其均值和方差分別為與S2．23、如果EX=μ，DX=σ2，試證明：Xi一(i≠j)的相關(guān)系數(shù)p=一；標(biāo)準(zhǔn)答案：由于總體分布未知，因此只能應(yīng)用定義與性質(zhì)證明．因為X1，…，Xn相互獨立且與總體X同分布，故EXi=μ，DXi=σ2，，知識點解析：暫無解析24、如果總體X服從正態(tài)分布N(0，σ2)，試證明：協(xié)方差Cov(X1，S2)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于總體X～N(0，σ2)，故EXi=0，DXi=σ2．故Cov(X1，S2)=0．知識點解析：暫無解析25、設(shè)X～N(μ，σ2)，從中抽取16個樣本，S2為樣本方差，μ，σ2未知，求P{≤2．039}．標(biāo)準(zhǔn)答案：查χ2分布的上分位數(shù)表，得知P{χ2(15)≥30．58}=o．01，因此P{≤30．585}=o．99，即P{≤2．039}=0．99．知識點解析：暫無解析26、設(shè)總體X～N(μ，σ2)，Y1，Y2，…，Yn(n=16)是來自X的簡單隨機樣本，求下列概率：(Ⅰ)P{(Xi一μ)2≤2σ2}；(Ⅱ)P{≤2σ2}．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)P{8≤χ2(16)≤32}=P{χ2(16)≥8}一P{χ2(16)＞32}=0．95—0．01=O．94．(Ⅱ)P{8≤χ2(15)≤32}=P{χ2(15)≥8}一P{χ2(15)＞32}≈0．90—0．005=0．895．知識點解析：暫無解析27、設(shè)X和Y都是來自正態(tài)總體N(μ，σ2)的容量為n的兩個相互獨立的樣本均值，試確定n，使得兩個樣本均值之差的絕對值超過σ的概率大約為0．01．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于相互獨立，則查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得=2．58，n=13．3．因此n至少應(yīng)為14．知識點解析：暫無解析28、設(shè)總體X的概率分布為，其中p(0＜p＜1)是未知參數(shù)，又設(shè)x1，x2，…，xn是總體X的一組樣本觀測值．試求參數(shù)p的矩估計量和最大似然估計量．標(biāo)準(zhǔn)答案：矩估計=p，故p的矩估計量．最大似然估計：似然函數(shù)，知識點解析：由題設(shè)知，E(X)=p，xi，不難求出矩估計．對最大似然估計，關(guān)鍵是寫出似然函數(shù)．由于xi取自總體xi故xi不是取0就是取1．因此，Xi的分布可表示成．29、設(shè)總體X的概率密度為f(x；α，β)=其中α和β是未知參數(shù)，利用總體X的如下樣本值一0．5，0．3，一0．2，一0．6，一0．1，0．4，0．5，一0．8，求α的矩估計值和最大似然估計值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x；α，β)≥0和∫-∞+∞f(x；α，β)dx=1，得到α≥0，β≥0且α+β=1．于是(Ⅰ)求矩估計值．由于E(x)=∫-10αxdx+∫01(1—α)xdx=，(Ⅱ)求最大似然估計值．由于在給定的8個樣本值中，屬(一1，0)的有5個，屬[0，1)的有3個，故似然函數(shù)為L(α)=(xi；α5(1一α)3，lnL(α)=5lnα+3ln(1一α)，令=0，解得α的最大似然估計值(顯然這時L(α)最大)．知識點解析：暫無解析30、已知總體X服從瑞利分布，其密度函數(shù)為X1，…，Xn為取自總體X的簡單隨機樣本，求θ的矩估計量．標(biāo)準(zhǔn)答案：記EX=μ，DX=σ2，則由等式μ=，因此參數(shù)θ的矩估計量為Xi．由于樣本均值與總體X的期望相等，因此σ2，知識點解析：暫無解析31、接連不斷地、獨立地對同一目標(biāo)射擊，直到命中為止，假定共進行n(n≥1)輪這樣的射擊，各輪射擊次數(shù)相應(yīng)為k1，k2，…，kn，試求命中率p的最大似然估計值和矩估計值．標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意，總體X服從參數(shù)為p的幾何分布，即P{X=k}=p(1一p)k—1，k=1，2，…，由于EX=．樣本(k1，k2，…，kn)的似然函數(shù)L為L(k1，k2，…，kn；p)=P{X1=k1，X2=k2，…，Xn=kn}知識點解析：暫無解析32、設(shè)X服從[a，b]上的均勻分布，X1，…，Xn為簡單隨機樣本，求a，b的最大似然估計量．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)X的樣本觀測值為x1，…，xn，則似然函數(shù)顯然()n＞0，且b一a越小L值越大，但是{b≥xi，i=1，…，n}={b≥max(xi，…，xn)}，同理{a≤xi，i=1，…，n}={a≤(xi，…，xn)}，所以只有當(dāng)b=max{xi}，a={xi}時，L才達到最大值，故a，b的最大似然估計值分別為{xi}，從而可知其最大似然估計量分別是．{Xi}．知識點解析：暫無解析33、已知總體X的密度函數(shù)為其中θ，β為未知參數(shù)，X1，…，Xn為簡單隨機樣本，求θ和β的矩估計量．標(biāo)準(zhǔn)答案：于是有=μ—σ，盯由于μ，σ，σ2的矩估計分別為因此θ與β的矩估計量分別為知識點解析：暫無解析34、設(shè)總體X服從韋布爾分布，密度函數(shù)為其中α＞0為已知，θ＞0是未知參數(shù)，試根據(jù)來自X的簡單隨機樣本X1，X2，…，Xn，求θ的最大似然估計量．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)x1，x2，…，xn是樣本X1，…，Xn的觀測值，當(dāng)x1＞0(i=1，2，…，n)時其似然函數(shù)為因此θ的最大似然估計值為．知識點解析：暫無解析35、設(shè)某種電子器件的壽命(以小時計)T服從指數(shù)分布，概率密度為f(t)=，其中λ＞0未知．現(xiàn)從這批器件中任取n只在時刻t=0時投入獨立壽命試驗，試驗進行到預(yù)定時T0結(jié)束，此時有k(0＜k＜n)只器件失效，試求λ的最大似然估計．標(biāo)準(zhǔn)答案：考慮事件A：“試驗直至?xí)r間T0為止，有k只器件失效，而有n一k只未失效”的概率．記T的分布函數(shù)為F(t)，即有一只器件在t=0時投入試驗，則在時間T0以前失效的概率為P{T≤T0}=F(T0)=1一；而在時間T0未失效的概率為P{T＞T0}=1一F(T0)=．由于各只器件的試驗結(jié)果是相互獨立的，因此事件A的概率為L(A)=Cnk(1一)n—k，這就是所求的似然函數(shù)．取對數(shù)得lnL(λ)=lnCnk+kln(1一)+(n一k)(一λT0)，令．于是A的最大似然估計為．知識點解析：暫無解析36、設(shè)有一批同型號產(chǎn)品，其次品率記為p．現(xiàn)有五位檢驗員分別從中隨機抽取n件產(chǎn)品，檢測后的次品數(shù)分別為1，2，2，3，2．(Ⅰ)若已知p=2．5％，求n的矩估計值；(Ⅱ)若已知n=100，求p的極大似然估計值；(Ⅲ)在情況(Ⅱ)下，檢驗員從該批產(chǎn)品中再隨機檢測100個產(chǎn)品，試用中心極限定理近似計算其次品數(shù)大于3的概率(注：Ф()=0．76)．標(biāo)準(zhǔn)答案：記X為n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X～B(n，p)．(Ⅰ)由=80．(Ⅱ)L==C1001(C1002)3C100310(1一p)490，lnL=ln[C1001(C1002)C1003]+10lnp+490ln(1一p)，令．(Ⅲ)在情況(Ⅱ)下，X～B(100，)，由中心極限定理知X近