高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) （基礎(chǔ)知識(shí) 高頻考點(diǎn) 解題訓(xùn)練）幾何概型教學(xué)案

1基礎(chǔ)都艱要打牢強(qiáng)雙基I固本源I得基礎(chǔ)分I掌握程度

［知識(shí)能否憶起］

1.幾何概型的定義

如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的性度（面積或傕積）成比例，則稱這樣的

概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型.

2.幾何概型的概率公式

在幾何概型中，事件/的概率的計(jì)算公式如下：

p（.._構(gòu)成事件力的區(qū)域長度面積或體積一

慶用—試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積.

［小題能否全?。?/p>

1.（教材習(xí)題改編）設(shè)A（0,0）,6（4,0）,在線段加上任投一點(diǎn)?，貝/序|<1的概率為

11

B

2-3-

AC.

11

--

4D.5

解析：選C滿足|序|<1的區(qū)間長度為1,故所求其概率為］

2.（2012?衡陽模擬）有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若

小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤是（）

ABCD

3221

解析：選A中獎(jiǎng)的概率依次為一⑷二，=~,尸^）=?

3.分別以正方形ABCD的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影

區(qū)域所示，若向該正方形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率為

Ji—2

B.

2

ji—2

C.D.

44

解析：選B設(shè)正方形邊長為2,陰影區(qū)域的面積的一半等于半徑為1的圓減去圓內(nèi)接

2?！?

正方形的面積，即為加一2,則陰影區(qū)域的面積為2m—4,所以所求概率為P=—^=

兀一2

2,

4.有一杯2升的水，其中含一個(gè)細(xì)菌，用一個(gè)小杯從水中取0.1升水，則此小杯中含

有這個(gè)細(xì)菌的概率是.

解析：試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積為2升，所求事件的區(qū)域體積為0.1升，故尸=

0.05.

答案：0.05

5.如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線。7落在30°角的終邊上，任作

一條射線。4則射線。落在內(nèi)的概率為

解析：如題圖，因?yàn)樯渚€處在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，則勿落在一/

內(nèi)的概率為黑=1

答案：7

0

1.幾何概型的特點(diǎn)：

幾何概型與古典概型的區(qū)別是幾何概型試驗(yàn)中的可能結(jié)果不是有限個(gè)，它的特點(diǎn)是試驗(yàn)

結(jié)果在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布，故隨機(jī)事件的概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀位置無關(guān)，

只與該區(qū)域的大小有關(guān).

2.幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊界是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果.

1gl高頻考點(diǎn)逑通關(guān)抓考點(diǎn)|學(xué)技法|得拔高分|掌握程度

**-與長度、角度有關(guān)的幾何概型

占典題導(dǎo)入

［例1］(2011?湖南高考)已知圓C,/+y=12,直線1-.4x+3y=25.

(1)圓C的圓心到直線1的距離為；

(2)圓。上任意一點(diǎn)A到直線1的距離小于2的概率為.

［自主解答］(1)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得d=R=5；

5

(2)設(shè)直線4x+3p=c到圓心的距離為3,則唱=3,取c=15,則直線4x+3y=15把

圓所截得的劣弧的長度和整個(gè)圓的周長的比值即是所求的概率，由于圓半徑是八口，則可得

直線4計(jì)3尸15截得的圓弧所對(duì)的圓心角為6。。，故所求的概率舄

>?一題多變

本例條件變?yōu)椋骸耙阎獔AC：/+y=12,設(shè)〃為此圓周上一定點(diǎn)，在圓周上等可能地

任取一點(diǎn)N,連接MN.”求弦/V的長超過24的概率.

D

解：如圖，在圖上過圓心。作0a直徑az則協(xié)=必=2加式、

當(dāng)"點(diǎn)不在半圓弧點(diǎn)萬上時(shí)，粉>2乖.0fL

1

兀乂2也

所以尸（4=7-

&由題悟法

求與長度（角度）有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度

（角度），然后求解.確定點(diǎn)的邊界位置是解題的關(guān)鍵.

否以題試法

1.（1）（2012?福建四校聯(lián)考）已知/是圓上固定的一點(diǎn)，在圓上其他位置上任取一點(diǎn)

A1,則4r的長度小于半徑的概率為.

（2）在RtZU6C中，/的C=90°,A8=l,6c=2.在6c邊上任取一點(diǎn)〃,則NZ姐三90

的概率為.

解析：（1）如圖，滿足陽’的長度小于半徑的點(diǎn)/位于劣弧胡7上，

2Ji

其中△力胡和△力3為等邊三角形，可知/6。。=亍，故所求事件的概率

2

兀

31

2-3-

JI

⑵如圖，在山△/回中，作4?，6G。為垂足，由題意可得初=

1

2-

5，且點(diǎn)〃在初上時(shí)，滿足//肥290°,故所求概率戶=9=

2--4-

ZDb

答案：⑴,（2）|

與面積有關(guān)的幾何概型

占典題導(dǎo)入

［例2］(1)(2012?湖北高考)如圖，在圓心角為直角的扇形"6中，B

分別以力，必為直徑作兩個(gè)半圓.在扇形的6內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取

自陰影部分的概率是()

(2)已知不等式組《x+y20,表示平面區(qū)域亂若點(diǎn)尸(x,力在所給的平面區(qū)域

a>

〃內(nèi)，則點(diǎn)尸落在〃的內(nèi)切圓內(nèi)的概率為(

B.（3—2?Jt

C.（2鏡—2）Jt

［自主解答］(1)法一：設(shè)分別以的，仍為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)

C,OA的中點(diǎn)為D,如圖，連接OC,DC.不妨令OA=OB=2,貝|OD=DA

=2C=1.在以如為直徑的半圓中，空白部分面積S=y+|xiXl-

|^-|xiXlj=l,所以整體圖形中空白部分面積￡=2.又因?yàn)镾廚用皿。D'A

=：XJtX2?=JI,所以陰影部分面積為W=n—2.

lltr?！?2

所以P=-J-I-=1-JI

法二：連接設(shè)分別以力，如為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C,令a=2.

==

由題意知氏/8且S弓形ACS弓形6CS弓形。

所以S空白=Sk而8=5*2X2=2.

2

又因?yàn)镾扇形萩=1X兀X2=兀,所以S陰影=?！?.

⑵由題知平面區(qū)域〃為一個(gè)三角形，且其面積為s=次設(shè)〃的內(nèi)切圓的半徑為r,則g

(2a+2y［2a)r=af解得r=(力-1)a所以內(nèi)切圓的面積S內(nèi)切圓=兀/=兀［1)?目之

=(3-2^2)口a.故所求概率々4=(3—24)m.

［答案］(DA(2)B

金由題悟法

求解與面積有關(guān)的幾何概型首先要確定試驗(yàn)的全部結(jié)果和構(gòu)成事件的全部結(jié)果形成的

平面圖形，然后再利用面積的比值來計(jì)算事件發(fā)生的概率.這類問題常與線性規(guī)劃［(理)定

積分］知識(shí)聯(lián)系在一起.

各以題試法

2.(2012?湖南聯(lián)考)點(diǎn)尸在邊長為1的正方形/池內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)尸到頂點(diǎn)A的距離

的概率為()

解析：選C如圖，滿足|R1|W1的點(diǎn)尸在如圖所示陰影部分運(yùn)

則動(dòng)點(diǎn)戶到頂點(diǎn)/的距離I%W1的概率為曰

J正方形［XI

與體積有關(guān)的幾何概型

占典題導(dǎo)入

［例3］(1)(2012?煙臺(tái)模擬)在棱長為2的正方體力盟―46心”中，點(diǎn)。為底面ABCD

的中心，在正方體47加46C以內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)只則點(diǎn)戶到點(diǎn)。的距離大于1的概率為()

(2)一只蜜蜂在一個(gè)棱長為30的正方體玻璃容器內(nèi)隨機(jī)飛行.若蜜蜂在飛行過程中始終

保持與正方體玻璃容器的6個(gè)表面的距離均大于10,則飛行是安全的，假設(shè)蜜蜂在正方體

玻璃容器內(nèi)飛行到每一個(gè)位置的可能性相同，那么蜜蜂飛行是安全的概率為()

13

r—?京

27D

［自主解答］(1)點(diǎn)戶到點(diǎn)。的距離大于1的點(diǎn)位于以。為球心，以1為半徑的半球的

o14JlO

2--X—XI3

,、z3JI

外部.記點(diǎn)尸到點(diǎn)。的距離大于I為事件A,則尸⑷=-------------=1—訪

(2)由題意，可知當(dāng)蜜蜂在棱長為10的正方體區(qū)域內(nèi)飛行時(shí)才是安全的，所以由幾何概

1031

型的概率計(jì)算公式，知蜜蜂飛行是安全的概率為而=歷.

［答案］(1)B(2)C

&由題悟法

與體積有關(guān)的幾何概型是與面積有關(guān)的幾何概型類似的，只是將題中的幾何概型轉(zhuǎn)化為

立體模式，至此，我們可以總結(jié)如下：

對(duì)于一個(gè)具體問題能否應(yīng)用幾何概型概率公式，關(guān)鍵在于能否將問題幾何化；也可根據(jù)

實(shí)際問題的具體情況，選取合適的參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在此基礎(chǔ)上，將試驗(yàn)的每一個(gè)

結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)，使得全體結(jié)果構(gòu)成一個(gè)可度量區(qū)域.

否以題試法

3.(2012?黑龍江五校聯(lián)考)在體積為，的三棱錐5-力弘的棱上任取一點(diǎn)P,則三

棱錐34吐的體積大于/勺概率是.

SA

解析：如圖，三棱錐A/6c的高與三棱錐&的高相同.作

于〃，BN1AC千N,則冏A可分別為△相，與△力6c的高，所以//\\

VS~APCS“KPM^PMAP1,、井口々回“AD1n.n*4^一二「絲二分。

京=寸麗又獷/所以時(shí),滿足條件.設(shè)則戶屋［/

B

在初上，所求的概率^=^=|.

DAo

9

答案：鼻

O

1Hl解題訓(xùn)練要高效抓速度I抓規(guī)范I拒絕眼高手低I掌握程度

4級(jí)全員必做題

JlJI11

1.(2012?北京模擬)在區(qū)間一①,萬上隨機(jī)取一個(gè)x,sinx的值介于一］與g之間的

概率為()

12

--

2D.3

解析：選A由一]Vsinxvg，

1

JIJI6

得一/VxV/.所求概率為一3-

66Ji

2.（2012?遼寧高考）在長為12cm的線段28上任取一點(diǎn)C現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別

等于線段ZC3的長，則該矩形面積小于32cm?的概率為（）

11

R

6-3-

24

C.D.7

T35

解析：選C設(shè)ZC=xcm,CB=（12—jr）cm,0<^r<12,所以矩形面積小于32cHi?即為x（12

—x）〈32n0〈x<4或8</12,故所求概率為得="|.

3.（2013?濱州模擬）在區(qū)間[0,1]上任取兩個(gè)數(shù)ab,則函數(shù)Ax）=/+ax+9無零

點(diǎn)的概率為（）

12

2-3-

Ac.B.

3D.1

4-4-

解析：選c要使該函數(shù)無零點(diǎn)，只需a2—48<0,

即（a+26）（a-2-<0.

'：a,Z?e[O,1],a+2b>0,

a—26Vo.

'OWdWl,

作出（0W6W1,的可行域，易得該函數(shù)無零點(diǎn)

的概率

—26Vo

11

1--X1X-

3

1><1-4,

4.（2012?北京西城二模）已知函數(shù)F（x）=kx+l,其中實(shí)數(shù)A隨機(jī)選自區(qū)間[—2,1].V

x￡[0,1],F（x）20的概率是（）

11

3-2-

23

C.-Dq

解析：選C由VxG[0,1],/'（x）得，有一1WZ1,所以所求概率

為三2

3-

5.（2012?鹽城摸底）在水平放置的長為5米的木桿上掛一盞燈，則懸掛點(diǎn)與木桿兩端

的距離都大于2米的概率為（）

12

--

5B.5

解析：選A如圖，線段26長為5米，線段/C、劭長均E

為2米，線段切長為1米，滿足題意的懸掛點(diǎn)少在線段CDB

上，故所求事件的概率

5

6.（2012?沈陽四校聯(lián)考）一只昆蟲在邊長分別為6,8,10的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則

其到三角形任一頂點(diǎn)的距離小于2的概率為（）

JIJI

A——R——

1210

jiji

r—D—

624

解析：選A記昆蟲所在三角形區(qū)域?yàn)椤?歐，且46=6,BC=8,CA=10,則有初+改

=Qf,ABLBC,該三角形是一個(gè)直角三角形，其面積等于;X6X8=24.在該三角形區(qū)域內(nèi),

j_i_D_I_「兀

到三角形任一頂點(diǎn)的距離小于2的區(qū)域的面積等于,2nXnX22=yX22=2m,因此所

求的概率等于*=會(huì)

y^xf

7.（2012?鄭州模擬）若不等式組—x,表示的平面區(qū)域?yàn)楸?+/忘1所

、2x—p—3W0

表示的平面區(qū)域?yàn)镹,現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域〃內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域4內(nèi)的概率為

JI

一一,兀4

解析：二?尸萬與y=—x互相垂直，二”的面積為3,而N的面積為了，所以概率為可=

JI

12,

JI

答案：^2

8.（2012?孝感統(tǒng)考）如圖所示，圖2中實(shí)線圍成的部分是長方體（圖1）的平面展開圖,

其中四邊形力及力是邊長為1的正方形.若向圖2中虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它

落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是:，則此長方體的體積是.

解析：設(shè)題圖1長方體的高為月，由幾何概型的概率計(jì)算公式可知，質(zhì)點(diǎn)落在長方體的

力

平面展開圖內(nèi)的概率P=—+?+4,+_=1解得h=3或Q—g（舍去）,

故長方體的體積為IX1X3=3.

答案：3

9.（2012?宜春模擬）投鏢游戲中的靶子由邊長為1米的四方

板構(gòu)成，并將此板分成四個(gè)邊長為9米的小方塊.試驗(yàn)是向板中投

鏢，事件/表示投中陰影部分，則事件/發(fā)生的概率為.

解析：..?事件/所包含的基本事件與陰影正方形中的點(diǎn)一一

對(duì)應(yīng)，事件組中每一個(gè)基本事件與大正方形區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)一

1

1

-

一對(duì)應(yīng).，由幾何概型的概率公式得尸（4）=4

I2

1

答幕4-

10.已知|x|W2,|y|W2,點(diǎn)戶的坐標(biāo)為（x,y）,求當(dāng)x,ydR時(shí)，戶滿足（x—2）2+（y

—2/W4的概率.

解：如圖，點(diǎn)?所在的區(qū)域?yàn)檎叫?8切的內(nèi)部（含邊界），滿

足（x—2”+（y—2）2（4的點(diǎn)的區(qū)域?yàn)橐寓?）為圓心，2為半徑的圓°|2[|CJ

面（含邊界）.2^

1

-X

4JI

故所求的概率A=4X4

6,

11.己知集合/=［—2,2］,8=［—1,1］,設(shè)〃={(x,y)\x^A,y^B\,在集合〃內(nèi)隨

機(jī)取出一個(gè)元素(x,y).

(1)求以(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓/+/=1內(nèi)的概率；

、歷

⑵求以(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)到直線x+y=O的距離不大于生的概率.

解：(1)集合〃內(nèi)的點(diǎn)形成的區(qū)域面積S=8.因Y+/=l的面積S=m,故所求概率為

(2)由題意巨獸

—1WX+J<1,形成的區(qū)域如圖中陰

C1

影部分，面積￡=4,所求概率為片弋=5

12.(2012?長沙模擬)已知向量a=(—2,1),b=(x,y).

(1)若x,y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)

數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足—1的

概率；

(2)若x,y在連續(xù)區(qū)間［1,6］上取值，求滿足a?6<0的概率.

解：(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為6X6=

36個(gè)；

由a"b=~\有一2x+y=-l,

所以滿足a?6=-l的基本事件為(1,1),(2,3),⑶5)共3個(gè).

31

故滿足a?b=-l的概率為法=/.

3b12

(2)若x,y在連續(xù)區(qū)間［1,6］上取值，則全部基本事件的結(jié)果為0={(x,

y)|1WXW6,1WJ^6}；

滿足a-b<0的基本事件的結(jié)果為

A={(x,y)11WxW6,1且一2x+y<0}；

畫出圖形，

矩形的面積為S矩形=25,陰影部分的面積為S陰影=25—2X2X4=

故滿足a?b<0的概率為二.

B級(jí)重點(diǎn)選做題

1.在區(qū)間［0,兀］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則事件“sinx+/cosxWl”發(fā)生的概率為()

11

4-艮3-

Ac.

12

--

2D.3

解析：選C由sinx+/cosxWl得2sin[x+~^Wl,

即sin(x+~^W；.

JI「兀4兀一

由于x￡[0,兀],故x+g￡―,—,

,（幾\1JI5兀4兀rJI

因此當(dāng)sinx+方W77時(shí)，x+~^V-亍1于是XG巨，

\<J7Zo

JI

兀一21

由幾何概型公式知事件“sinx+:cosxWl”發(fā)生的概率為々——-2-

'JI—(I

2.有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)。為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)

圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)尸到點(diǎn)。的距離大于1的概率為.

解析：先求點(diǎn)尸到點(diǎn)。的距離小于或等于1的概率，圓柱的體積Xl2X2=2n,

以。為球心，1為半徑且在圓柱內(nèi)部的半球的體積展球=/為XI=—.則點(diǎn)戶到點(diǎn)。的

2兀

3119

距離小于或等于1的概率為亡=于故點(diǎn)戶到點(diǎn)。的距離大于1的概率為1—石=》

/JIJ00

答案：2

3.(2012?晉中模擬)設(shè)48=6,在線段加上任取兩點(diǎn)(端點(diǎn)/、8除外)，將線段四分

成了三條線段.

(1)若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率；

(2)若分成的三條線段的長度均為正實(shí)數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率.

解：(1)若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，則三條線段的長度的所有可能情況是

1,1,4；1,2,3；2,2,2共3種情況，其中只有三條線段長為2,2,2時(shí)，能構(gòu)成三角形，故構(gòu)

成三角形的概率為?=*

(2)設(shè)其中兩條線段長度分別為x,y,則第三條線段長度為6

0VxV6,

—x—y,故全部試驗(yàn)結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椤?lt;yV6,

,0V6—x—pV6,

0VxV6,

即|0<y<6,所表示的平面區(qū)域?yàn)椤餍》?/p>

、0<x+yV6

若三條線段x,、6—x—p能構(gòu)成三角形，

x-\~y>&-X—y,x+y>3,

則還要滿足<x-\~&-x—y>y,即為，y<3,所表示的