【青松雪】【高中數(shù)學(xué)】【沖刺985拔高系列講義】【專題09】不等式

第第頁沖刺“985”優(yōu)等生拔高講義——專治學(xué)霸各種不服【專題09】不等式專題目錄【問題一】不等式的恒成立、恰成立、能成立問題【問題二】線性規(guī)劃中的參數(shù)問題【問題三】利用基本不等式處理最值問題和實(shí)際問題縱觀近幾年高考對于不等式綜合問題的考查，主要有三類問題：恒成立問題、能成立問題以及恰成立問題，要求學(xué)生有較強(qiáng)的推理能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，才能順利解答．從實(shí)際教學(xué)來看，這部分知識能力要求高、難度大，是學(xué)生掌握最為薄弱，看到就頭疼的題目．分析原因，除了這類題目的入手確實(shí)不易之外，主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理．本文就高中階段出現(xiàn)這類問題加以類型的總結(jié)和方法的探討．新課標(biāo)下的高考越來越注重對學(xué)生的綜合素質(zhì)的考察，恒成立問題便是一個(gè)考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑，它常以函數(shù)、方程、不等式和數(shù)列等知識點(diǎn)為載體，滲透著換元、化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用．近幾年的數(shù)學(xué)高考中頻頻出現(xiàn)恒成立問題，其形式逐漸多樣化，但都與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識密不可分．解決高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題常用以下幾種方法：①函數(shù)性質(zhì)法；②主參換位法；③分離參數(shù)法；④數(shù)形結(jié)合法；⑤消元轉(zhuǎn)化法．下面我就以近幾年高考試題為例加以剖析．給定一次函數(shù)（），若在內(nèi)恒有，則根據(jù)函數(shù)的圖像（線段）可得，上述結(jié)論等價(jià)于：①或②，可合并定成；同理，若在內(nèi)恒有，則有．【例1】若不等式對滿足的所有都成立，求的范圍．有以下幾種基本類型：設(shè)（）．①在上恒成立且；在上恒成立且．②當(dāng)時(shí)，在上恒成立或或；在上恒成立．③當(dāng)時(shí)，在上恒成立；在上恒成立或或．【例2】已知不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，則取值范圍是（）A．B．C．D．【例3】已知函數(shù)，，若對于任一實(shí)數(shù)，與的值至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．恒成立（注：若的最小值不存在，則恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，則恒成立的上界小于0）．【例4】已知函數(shù)（）在處取得極值，其中、為常數(shù)．（1）試確定、的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．【例5】設(shè)函數(shù)（），其中、．若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．【例6】設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)．若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．（節(jié)選）若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍．利用分離參數(shù)法來確定不等式（，為實(shí)參數(shù)）恒成立中參數(shù)的取值范圍的基本步驟：①將參數(shù)與變量分離，即化為（或）恒成立的形式；②求在上的最大（或最?。┲担虎劢獠坏仁剑ɑ颍?，得的取值范圍．適用題型：（1）參數(shù)與變量能分離；（2）函數(shù)的最值易求出．【例1】已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【例2】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是_____________．【例3】已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)、滿足什么條件時(shí)，取得極值？（2）已知，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，試用表示出的取值范圍．【例4】設(shè)函數(shù)，對任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________．某些含參不等式恒成立問題，在分離參數(shù)會遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時(shí)，可考慮變換思維角度“反客為主”，即把習(xí)慣上的主元變與參數(shù)變量的“地位”交換一下，變個(gè)視角重新審查恒成立問題，往往可避免不必要的分類討論或使問題降次、簡化，起到“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的出奇制勝的效果．【例1】已知函數(shù)，，且對任意的實(shí)數(shù)均有，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對任意的，恒有，求的取值范圍．【例2】已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)．已知不等式對任意的都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．若所給不等式進(jìn)行合理的變形化為（或）后，能非常容易地畫出不等號兩邊函數(shù)的圖像，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果．尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷．【例1】若對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【例2】若不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【例3】若不等式（且）對于任意都成立，求的取值范圍．【例1】已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若、，當(dāng)時(shí)，，若對于所有的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．上述例子剖析了近幾年數(shù)學(xué)高考中恒成立問題的題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，雖然方法表現(xiàn)的不同，但其實(shí)質(zhì)卻都與求函數(shù)的最值是等價(jià)的，這也正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“統(tǒng)一美”．若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立，則等價(jià)于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立，則等價(jià)于在區(qū)間上的，特別注意不等式能成立問題（即不等式有解問題）與恒成立問題的區(qū)別．從集合觀點(diǎn)看，含參不等式（）在區(qū)間上恒成立；含參不等式在區(qū)間上恒成立．而含參不等式在區(qū)間上能成立至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)使不等式成立；而含參不等式在區(qū)間上能成立至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)使不等式成立．【例1】若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________．【例2】已知函數(shù)（）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍．【例1】已知，當(dāng)時(shí)，的值域是，則實(shí)數(shù)的值為__________．【例2】已知，．（1）若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對任意，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（4）若對任意、，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（5）若對任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（6）若對任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（7）若存在、，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（8）若存在、，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．一、選擇題1、若存在正數(shù)使成立，則的取值范圍是（）A．B．C．D．2、設(shè)，在上恒成立，則的最大值為（）A．B．C．D．3、設(shè)集合，集合．若中恰含有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．4、設(shè)函數(shù)，若對任意給定的，都存在唯一的，滿足，則正實(shí)數(shù)的最小值是（）A．B．C．2D．45、函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的最大值是（）A．3B．C．4D．6、已知集合、、，且、、恰有一個(gè)成立，若且，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．，B．，C．，D．，7、已知，，若對任意的，存在，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．二、填空題8、已知，，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________．9、若正實(shí)數(shù)、滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________．10、若函數(shù)對任意的，恒成立，則_____________．11、若函數(shù)（且），滿足對任意實(shí)數(shù)、，當(dāng)時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____________．12、若對滿足條件的正實(shí)數(shù)、都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____________．13、對于在區(qū)間上有意義的兩個(gè)函數(shù)與，如果對于區(qū)間中的任意均有，則稱與在上是“密切函數(shù)”，稱為“密切區(qū)間”，若函數(shù)與在區(qū)間上是“密切函數(shù)”，則的最大值為_____________．三、解答題14、已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)在（）上的最小值．（2）對一切的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（3）求證：對一切的，都有．15、已知二次函數(shù)，若對于任意的、，恒有成立，不等式的解集為．（1）求集合；（2）設(shè)集合，若集合是集合的子集，求的取值范圍．16、已知實(shí)數(shù)，，且，若恒成立．（1）求實(shí)數(shù)的最小值；（2）若對任意的、恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17、已知函數(shù)，函數(shù)．（1）若，求不等式的解集；（2）若對任意的，均存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18、已知函數(shù)，，．（1）當(dāng)時(shí)，若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．簡單的線性規(guī)劃有很強(qiáng)的實(shí)用性，線性規(guī)劃問題常有以下幾種類型：①平面區(qū)域的確定問題；②區(qū)域面積問題；③最值問題；④逆向求參數(shù)問題．而逆向求參數(shù)問題，是線性規(guī)劃中的難點(diǎn)，其主要是依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的最值或可行域的情況決定參數(shù)取值．若目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)，則一般會知道最值，此時(shí)要結(jié)合可行域，確定目標(biāo)函數(shù)取得最值時(shí)所經(jīng)過的可行域內(nèi)的點(diǎn)（即最優(yōu)解），將點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求得參數(shù)的值．【例1】已知、滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)的值為（）A．或B．2或C．2或1D．2或【練習(xí)1】已知、滿足約束條件，若的最大值為4，則（）A．3B．2C．D．【例2】已知變量、滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)（）的最大值為1，則_____________．【例3】設(shè)、滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)（，）的最小值為2，則的最大值為_____________．【練習(xí)2】設(shè)、滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)（，）的最大值為12，則的最小值為（）A．B．C．D．4【例4】設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椋魣A（）不經(jīng)過區(qū)域上的點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【練習(xí)3】設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)椋购瘮?shù)（且）的圖象過區(qū)域的的取值范圍是（）A．B．C．D．由于約束條件中存在參數(shù)，所以可行域無法確定，此時(shí)一般是依據(jù)所提供的可行域的面積或目標(biāo)函數(shù)的最值，來確定含有參數(shù)的某不等式所表示的坐標(biāo)系中的某區(qū)域，從而確定參數(shù)的值．【例5】“QUOTEm≥3”是“關(guān)于、的不等式組QUOTEx≥02x-y≤0x-y+1≥0x+y-m≤0表示的平面區(qū)域?yàn)槿切巍钡模ǎ〢．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【練習(xí)4】實(shí)數(shù)、、滿足，若的最大值為13，則的值為（）A．1B．2C．3D．4【例6】設(shè)，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值大于2，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【練習(xí)5】設(shè)、滿足約束條件，且的最小值為7，則（）A．B．3C．或3D．5或1、設(shè)、滿足不等式組，若的最大值為，最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．2、已知，實(shí)數(shù)、滿足約束條件，若的最小值為1，則（）A．B．C．1D．23、已知由不等式確定的平面區(qū)域的面積為7，則的值（）A．B．C．D．24、變量、滿足約束條件，若的最大值為2，則實(shí)數(shù)等于（）A．B．C．1D．25、已知，實(shí)數(shù)、滿足約束條件，若的最大值為，則（）A．B．C．1D．26、實(shí)數(shù)、滿足（），且的最大值是最小值的4倍，則的值是（）A．B．C．D．7、若、滿足，且的最小值為，則的值為（）A．1B．C．2D．8、若、滿足約束條件，目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．9、設(shè)點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率為（）A．B．C．D．10、設(shè)，其中實(shí)數(shù)、滿足，若的最大值為12，則的最小值為__________．11、若實(shí)數(shù)、滿足，其中，若使得取得最小值的解有無窮多個(gè)，則等于（）A．1B．2C．D．312、變量、滿足約束條件，若使取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值集合是（）A．B．C．D．13、設(shè)關(guān)于、的不等式組，表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)滿足，求得的取值范圍是（）A．B．C．D．14、當(dāng)實(shí)數(shù)、滿足不等式時(shí)，恒有成立，則實(shí)數(shù)的取值集合是（）A．B．C．D．15、三個(gè)正數(shù)、、滿足，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．16、函數(shù)為定義在上的減函數(shù)，函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，、滿足不等式，，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍為（）A．B．C．D．17、已知函數(shù)的圖像過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線的斜率是，則不等式組所確定的平面區(qū)域在圓內(nèi)的面積為（）A．B．C．D．18、已知實(shí)數(shù)、滿足不等式組，若目標(biāo)函數(shù)取得最大值時(shí)的唯一最優(yōu)解是，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．19、已知、滿足不等式組，當(dāng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最大值的變化范圍是（）A．B．C．D．20、已知的頂點(diǎn)為、、，在內(nèi)部（包括邊界），若目標(biāo)函數(shù)（）取得最大值時(shí)的最優(yōu)解有無窮多組，則點(diǎn)的軌跡可能是（）21、若關(guān)于、的不等式組（是常數(shù)）所表示的平面區(qū)域的邊界是一個(gè)直角三角形，則_____________．22、若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)銳角三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________．23、設(shè)實(shí)數(shù)、滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)（，）的最大值為8，則的最小值為_____________．24、若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)四邊形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________．25、如圖，已知可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部，若目標(biāo)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)在點(diǎn)處取得最大值，則的取值范圍是_____________．不等式問題始終是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題型之一，而基本不等式法是最為常見、應(yīng)用十分廣泛的方法之一．下面筆者以近幾年高考試題及模擬題為例，對高考中考查利用基本不等式解題的基本特征和基本類型作一些分類解析，供參考．1、若、，則；若、，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）．2、若，，則；若，，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）；若，，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）．3、若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）；若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）；若，則，即或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）．4、若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）；若，則，即或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）．5、若、，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）．1、一個(gè)重要的不等式鏈：．2、三元二次不等式鏈：．3、函數(shù)（，）圖象及性質(zhì)（1）函數(shù)（，）圖象如圖所示：（2）函數(shù)（，）性質(zhì)：①值域：；②單調(diào)遞增區(qū)間：；；單調(diào)遞減區(qū)間：；．（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”；（2）求最值的條件：“一正，二定，三相等”；（3）均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用．利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，應(yīng)注意三個(gè)條件：“一正，二定，三相等”，這三個(gè)條件中，以定值為本．因?yàn)樵谝欢ㄏ拗茥l件下，某些代數(shù)式需經(jīng)過一定的變式處理，才可利用基本不等式求得最值，而怎樣變式，完全取決于定值的作用．主要有兩種類型：一類是中條件給出定值式，一類是條件中無定值式．【例1】已知、，且，則的最小值為（）A．B．6C．D．12【練習(xí)1】設(shè)、是正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是_____________．【例2】已知二次不等式的解集為，且，則的最小值為（）A．B．C．D．【練習(xí)2】將邊長為1的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記，則的最小值是_____________．【例3】已知，求函數(shù)的最大值．【練習(xí)3】已知，，，則的最小值是（）A．4B．5C．6D．7【例4】當(dāng)時(shí)，求的最大值．【練習(xí)4】設(shè)，求函數(shù)的最大值．【例5】求（）的值域．【練習(xí)5】已知、都是負(fù)實(shí)數(shù)，則的最小值是（）A．B．C．D．【例6】求（）的值域．【練習(xí)6】已知、為正實(shí)數(shù)，，求的最小值．多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．【例7】已知，，且，求的最小值．【練習(xí)7】若圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線（，）對稱，則的最小值為（）A．5B．7C．D．9【例8】已知、為正實(shí)數(shù)，，求函數(shù)的最值．【練習(xí)8】求函數(shù)（）的最大值．要求一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最值，我們利用基本不等式構(gòu)造一個(gè)以為主元的不等式（一般為二次不等式），解之即可得的最值．【例9】已知，，，則的最小值為（）A．3B．4C．D．【例10】設(shè)、為實(shí)數(shù)，若，則的最大值是_____________．【練習(xí)9】若實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值是_____________．【練習(xí)10】若正數(shù)、滿足，則的最小值為_____________．【例11】若已知、、，則的最小值為_____________．【練習(xí)11】設(shè)、、、是不全為零的實(shí)數(shù)，求的最大值．【練習(xí)12】設(shè)、、是正實(shí)數(shù)，求的最小值．綜上所述，應(yīng)用均值不等式求最值要注意：①一要“正”：各項(xiàng)或各因式必須為正數(shù)；②二可“定”：必須滿足“和為定值”或“積為定值”，要湊出“和為定值”或“積為定值”的式子結(jié)構(gòu)，如果找不出“定值”的條件用這個(gè)定理，求最值就會出錯；③三能“等”：要保證等號確能成立，如果等號不能成立，那么求出的仍不是最值．基本不等式（，）具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”或?qū)ⅰ胺e式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，并且有很多不同的變形，如：，，，（）等，所以利用基本不等式及其變式證明不等式既方便又具有很大的技巧．【例1】設(shè)，，，求證：．【例2】已知，，且，求證：．【練習(xí)1】已知，，，且，求證：．【練習(xí)2】若，，且，求證：．【例3】已知，，且，求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍．【練習(xí)3】若對任意的正實(shí)數(shù)、恒成立，求的最小值．【例4】若，，，，則、、的大小關(guān)系是_____________．【例5】有一邊長為、（）的長方形紙板，在四個(gè)角各裁出一個(gè)大小相同的正方形，把四邊折起做成一個(gè)無蓋的盒子，要使盒子的容積最大，問裁去的正方形的邊長應(yīng)為多少？1、已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值是（）A．B．C．D．62、已知，，，則的最小值是（