2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 直線和圓的方程 2.3.2 兩點(diǎn)間的距離公式教案 新人教A版選擇性必修第一冊

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章直線和圓的方程2.3.2兩點(diǎn)間的距離公式教案新人教A版選擇性必修第一冊課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：單位：一、教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容來自2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章直線和圓的方程2.3.2節(jié)，主要講述兩點(diǎn)間的距離公式。該公式是：設(shè)兩點(diǎn)P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，則兩點(diǎn)間的距離d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。

本節(jié)課將通過對(duì)該公式的探究和證明，幫助學(xué)生理解和掌握兩點(diǎn)間的距離計(jì)算方法，并能夠運(yùn)用該公式解決實(shí)際問題。在教學(xué)過程中，將結(jié)合新人教A版選擇性必修第一冊的相關(guān)內(nèi)容，進(jìn)行講解和練習(xí)。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要包括邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和直觀想象三個(gè)方面。

首先，通過探究和證明兩點(diǎn)間的距離公式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，使其能夠運(yùn)用邏輯思維方法和數(shù)學(xué)語言表達(dá)和證明數(shù)學(xué)結(jié)論。

其次，通過解決實(shí)際問題，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，提高其數(shù)學(xué)建模能力，使其能夠?qū)F(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決。

最后，通過直觀展示和想象兩點(diǎn)間的距離，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象力，使其能夠借助圖形和空間想象力理解和應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式。三、學(xué)情分析本節(jié)課的授課對(duì)象是高中一年級(jí)的學(xué)生，他們已經(jīng)掌握了初中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)，包括一次函數(shù)、二次函數(shù)和幾何圖形的性質(zhì)等。在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了坐標(biāo)系的相關(guān)知識(shí)，對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程有一定的了解。

在知識(shí)能力方面，大部分學(xué)生能夠理解和運(yùn)用坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程。然而，對(duì)于一些學(xué)困生，他們可能對(duì)于一些概念的理解還不夠深入，對(duì)于公式的推導(dǎo)和證明可能存在困難。此外，學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力也存在一定的差異。

在素質(zhì)方面，大部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科有著濃厚的興趣，具備一定的探究精神和合作意識(shí)。他們能夠積極參與課堂討論，提出問題和解決問題。然而，也有一部分學(xué)生可能對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科興趣不高，學(xué)習(xí)積極性不足，這可能影響到他們的學(xué)習(xí)效果。

在行為習(xí)慣方面，學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)態(tài)度也存在差異。大部分學(xué)生能夠按時(shí)完成作業(yè)，認(rèn)真聽講和復(fù)習(xí)。但也有一部分學(xué)生可能存在拖延癥，對(duì)于作業(yè)和學(xué)習(xí)的投入度不夠。此外，學(xué)生的學(xué)習(xí)方法也各不相同，有的學(xué)生可能更傾向于死記硬背，而有的學(xué)生可能更注重理解和運(yùn)用。

針對(duì)以上學(xué)情分析，教師在教學(xué)過程中應(yīng)注重因材施教，針對(duì)不同層次的學(xué)生給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)和幫助。對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)掌握不扎實(shí)的學(xué)生，可以通過舉例和講解幫助他們鞏固知識(shí)點(diǎn)。對(duì)于空間想象能力和邏輯推理能力較強(qiáng)的學(xué)生，可以給予更多的挑戰(zhàn)和拓展，引導(dǎo)他們進(jìn)行更深入的思考和探究。同時(shí)，教師還應(yīng)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和態(tài)度，通過創(chuàng)設(shè)有趣的教學(xué)活動(dòng)和激勵(lì)機(jī)制，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和態(tài)度。四、教學(xué)方法與策略1.選擇適合教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)者特點(diǎn)的教學(xué)方法

針對(duì)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的實(shí)際情況，我將采用講授法、案例研究法、項(xiàng)目導(dǎo)向?qū)W習(xí)法和小組合作學(xué)習(xí)法等教學(xué)方法。

首先，運(yùn)用講授法向?qū)W生系統(tǒng)地介紹兩點(diǎn)間的距離公式的定義、推導(dǎo)過程和應(yīng)用。通過簡潔明了的講解，幫助學(xué)生理解和掌握公式。

其次，采用案例研究法，分析實(shí)際問題，讓學(xué)生將所學(xué)知識(shí)運(yùn)用到具體情境中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

再次，運(yùn)用項(xiàng)目導(dǎo)向?qū)W習(xí)法，讓學(xué)生分組探究和實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和解決問題的能力。

最后，采用小組合作學(xué)習(xí)法，讓學(xué)生在小組內(nèi)討論、交流和分享，提高學(xué)生的溝通能力和合作意識(shí)。

2.設(shè)計(jì)具體的教學(xué)活動(dòng)

為了促進(jìn)學(xué)生的參與和互動(dòng)，我將設(shè)計(jì)以下教學(xué)活動(dòng)：

（1）導(dǎo)入環(huán)節(jié)：通過一個(gè)實(shí)際問題，引發(fā)學(xué)生對(duì)兩點(diǎn)間距離公式的思考，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

（2）新課講授：在講解兩點(diǎn)間的距離公式時(shí)，結(jié)合圖形演示，讓學(xué)生更直觀地理解公式。

（3）案例分析：選取幾個(gè)典型案例，讓學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析，鞏固知識(shí)點(diǎn)。

（4）小組討論：讓學(xué)生圍繞某個(gè)問題展開討論，促進(jìn)學(xué)生之間的交流和思考。

（5）總結(jié)與拓展：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)，并進(jìn)行拓展訓(xùn)練。

3.確定教學(xué)媒體和資源的使用

為了提高教學(xué)效果，我將充分利用現(xiàn)代教育技術(shù)，運(yùn)用以下教學(xué)媒體和資源：

（1）PPT：制作精美的PPT，展示教學(xué)內(nèi)容和實(shí)例，增強(qiáng)課堂教學(xué)的直觀性。

（2）視頻：播放相關(guān)教學(xué)視頻，幫助學(xué)生更好地理解兩點(diǎn)間的距離公式。

（3）在線工具：利用在線幾何畫板等工具，讓學(xué)生直觀地展示和操作兩點(diǎn)間的距離公式。

（4）練習(xí)題庫：提供豐富的練習(xí)題庫，便于學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和鞏固知識(shí)點(diǎn)。五、教學(xué)流程（一）課前準(zhǔn)備（預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘）

學(xué)生預(yù)習(xí)：

發(fā)放預(yù)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生提前了解“兩點(diǎn)間的距離公式”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，標(biāo)記出有疑問或不懂的地方。

設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問題，激發(fā)學(xué)生思考，為課堂學(xué)習(xí)“兩點(diǎn)間的距離公式”內(nèi)容做好準(zhǔn)備。

教師備課：

深入研究教材，明確“兩點(diǎn)間的距離公式”教學(xué)目標(biāo)和“兩點(diǎn)間的距離公式”重難點(diǎn)。

準(zhǔn)備教學(xué)用具和多媒體資源，確?！皟牲c(diǎn)間的距離公式”教學(xué)過程的順利進(jìn)行。

設(shè)計(jì)課堂互動(dòng)環(huán)節(jié)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)“兩點(diǎn)間的距離公式”的積極性。

（二）課堂導(dǎo)入（預(yù)計(jì)用時(shí)：3分鐘）

激發(fā)興趣：

提出問題或設(shè)置懸念，引發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入“兩點(diǎn)間的距離公式”學(xué)習(xí)狀態(tài)。

回顧舊知：

簡要回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的“直線的方程”內(nèi)容，幫助學(xué)生建立知識(shí)之間的聯(lián)系。

提出問題，檢查學(xué)生對(duì)舊知的掌握情況，為“兩點(diǎn)間的距離公式”新課學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

（三）新課呈現(xiàn)（預(yù)計(jì)用時(shí)：25分鐘）

知識(shí)講解：

清晰、準(zhǔn)確地講解“兩點(diǎn)間的距離公式”知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解。

突出“兩點(diǎn)間的距離公式”重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)“兩點(diǎn)間的距離公式”難點(diǎn)，通過對(duì)比、歸納等方法幫助學(xué)生加深記憶。

互動(dòng)探究：

設(shè)計(jì)小組討論環(huán)節(jié)，讓學(xué)生圍繞“如何推導(dǎo)兩點(diǎn)間的距離公式”問題展開討論，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和溝通能力。

鼓勵(lì)學(xué)生提出自己的觀點(diǎn)和疑問，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，拓展思維。

技能訓(xùn)練：

設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)或?qū)嶒?yàn)，讓學(xué)生在實(shí)踐中體驗(yàn)“兩點(diǎn)間的距離公式”知識(shí)的應(yīng)用，提高實(shí)踐能力。

在“兩點(diǎn)間的距離公式”新課呈現(xiàn)結(jié)束后，對(duì)“兩點(diǎn)間的距離公式”知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理和總結(jié)。

強(qiáng)調(diào)“兩點(diǎn)間的距離公式”的重點(diǎn)和難點(diǎn)，幫助學(xué)生形成完整的知識(shí)體系。

（四）鞏固練習(xí)（預(yù)計(jì)用時(shí)：5分鐘）

隨堂練習(xí)：

隨堂練習(xí)題，讓學(xué)生在課堂上完成，檢查學(xué)生對(duì)“兩點(diǎn)間的距離公式”知識(shí)的掌握情況。

鼓勵(lì)學(xué)生相互討論、互相幫助，共同解決“兩點(diǎn)間的距離公式”問題。

錯(cuò)題訂正：

針對(duì)學(xué)生在隨堂練習(xí)中出現(xiàn)的“兩點(diǎn)間的距離公式”錯(cuò)誤，進(jìn)行及時(shí)訂正和講解。

引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)誤原因，避免類似錯(cuò)誤再次發(fā)生。

（五）拓展延伸（預(yù)計(jì)用時(shí)：3分鐘）

知識(shí)拓展：

介紹與“兩點(diǎn)間的距離公式”相關(guān)的拓展知識(shí)，拓寬學(xué)生的知識(shí)視野。

引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注學(xué)科前沿動(dòng)態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索精神。

情感升華：

結(jié)合“兩點(diǎn)間的距離公式”內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生思考學(xué)科與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感。

鼓勵(lì)學(xué)生分享學(xué)習(xí)“兩點(diǎn)間的距離公式”的心得和體會(huì)，增進(jìn)師生之間的情感交流。

（六）課堂小結(jié)（預(yù)計(jì)用時(shí)：2分鐘）

簡要回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的“兩點(diǎn)間的距離公式”內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)“兩點(diǎn)間的距離公式”重點(diǎn)和難點(diǎn)。

肯定學(xué)生的表現(xiàn)，鼓勵(lì)他們繼續(xù)努力。

布置作業(yè)：

根據(jù)本節(jié)課學(xué)習(xí)的“兩點(diǎn)間的距離公式”內(nèi)容，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

提醒學(xué)生注意作業(yè)要求和時(shí)間安排，確保作業(yè)質(zhì)量。六、學(xué)生學(xué)習(xí)效果1.知識(shí)與技能：

學(xué)生能夠準(zhǔn)確地掌握兩點(diǎn)間的距離公式的表達(dá)式，理解并能夠運(yùn)用該公式計(jì)算任意兩點(diǎn)間的距離。學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題中，建立數(shù)學(xué)模型，解決與距離相關(guān)的問題。

2.過程與方法：

學(xué)生通過小組討論、實(shí)踐活動(dòng)和實(shí)驗(yàn)等方式，培養(yǎng)了解決問題的能力和團(tuán)隊(duì)合作精神。學(xué)生能夠通過觀察、實(shí)踐和反思，掌握兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo)過程，提高自己的邏輯推理和數(shù)學(xué)思維能力。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：

學(xué)生通過學(xué)習(xí)兩點(diǎn)間的距離公式，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣和信心。學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模在實(shí)際問題解決中的重要性，培養(yǎng)自己的創(chuàng)新意識(shí)和探索精神。

具體來說，學(xué)生在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，通過教師的引導(dǎo)和自己的積極參與，逐漸掌握了兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。他們能夠在課堂上熟練地運(yùn)用公式計(jì)算距離，并通過實(shí)際例題的練習(xí)，提高了自己的解題能力。在小組討論和實(shí)踐活動(dòng)環(huán)節(jié)，學(xué)生通過與同伴的合作和交流，培養(yǎng)了團(tuán)隊(duì)合作精神和解決問題的能力。他們能夠主動(dòng)思考、提出問題，并借助于圖形和實(shí)際情境更好地理解和應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式。七、內(nèi)容邏輯關(guān)系1.知識(shí)邏輯關(guān)系：

①兩點(diǎn)間的距離公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)

②公式推導(dǎo)過程：通過坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用距離公式進(jìn)行推導(dǎo)

③公式應(yīng)用：將公式應(yīng)用于實(shí)際問題中，計(jì)算兩點(diǎn)間的距離，解決與距離相關(guān)的問題

2.認(rèn)知邏輯關(guān)系：

①公式理解：通過圖形演示，讓學(xué)生直觀地理解兩點(diǎn)間的距離公式

②公式推導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、實(shí)踐和思考，掌握公式的推導(dǎo)過程

③公式應(yīng)用：鼓勵(lì)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力

3.情感邏輯關(guān)系：

①學(xué)習(xí)興趣：通過實(shí)際例題和實(shí)踐活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣

②合作精神：通過小組討論和實(shí)踐活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神

③創(chuàng)新意識(shí)：引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注學(xué)科前沿動(dòng)態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索精神

板書設(shè)計(jì)：

1.兩點(diǎn)間的距離公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)

2.公式推導(dǎo)過程：通過坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用距離公式進(jìn)行推導(dǎo)

3.公式應(yīng)用：將公式應(yīng)用于實(shí)際問題中，計(jì)算兩點(diǎn)間的距離，解決與距離相關(guān)的問題

4.公式理解與推導(dǎo)：通過圖形演示，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、實(shí)踐和思考，掌握公式的推導(dǎo)過程

5.公式應(yīng)用與實(shí)踐：鼓勵(lì)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力

6.學(xué)習(xí)興趣與合作精神：通過實(shí)際例題和實(shí)踐活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作精神

7.創(chuàng)新意識(shí)與探索精神：引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注學(xué)科前沿動(dòng)態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索精神八、典型例題講解1.例1：計(jì)算兩點(diǎn)間的距離

已知兩點(diǎn)A(1,2)和B(4,6)，求兩點(diǎn)間的距離。

解答：

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，我們有：

d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)

將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入公式，得：

d=sqrt((4-1)^2+(6-2)^2)

d=sqrt(3^2+4^2)

d=sqrt(9+16)

d=sqrt(25)

d=5

所以，兩點(diǎn)A(1,2)和B(4,6)間的距離是5。

2.例2：求直線上兩點(diǎn)間的距離

已知直線l的方程為x-y-2=0，點(diǎn)A(1,3)和點(diǎn)B(4,1)在該直線上，求兩點(diǎn)間的距離。

解答：

首先，我們需要將直線方程改寫為斜截式，即y=mx+b的形式。通過移項(xiàng)，我們得到：

y=x-2

因此，直線l的斜率m=1，截距b=-2。

d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)

將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入公式，得：

d=sqrt((4-1)^2+(1-3)^2)

d=sqrt(3^2+(-2)^2)

d=sqrt(9+4)

d=sqrt(13)

所以，點(diǎn)A(1,3)和點(diǎn)B(4,1)間的距離是sqrt(13)。

3.例3：計(jì)算直線上兩平行線間的距離

已知直線l1的方程為x-y-2=0，直線l2的方程為x-y+3=0，求兩直線間的距離。

解答：

由于直線l1和直線l2的斜率相同，因此兩直線平行。兩平行線間的距離可以用公式計(jì)算：

d=|c2-c1|/sqrt(a^2+b^2)

其中，c1和c2分別是兩直線方程的截距。

將直線l1和直線l2的方程分別改寫為斜截式，得：

l1:y=x-2

l2:y=-x+3

所以，c1=2，c2=3。代入公式得：

d=|3-2|/sqrt(1^2+(-1)^2)

d=1/sqrt(1+1)

d=1/sqrt(2)

d=1/√2

所以，直線l1和直線l2間的距離是1/√2。

4.例4：求圓上兩點(diǎn)間的距離

已知圓的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=4，點(diǎn)A(1,3)和點(diǎn)B(4,1)在該圓上，求兩點(diǎn)間的距離。

解答：

首先，我們需要將圓的方程改寫為標(biāo)準(zhǔn)形式，即(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。通過配方，我們得到：

(x-1)^2+(y-2)^2=4

這表明圓心的坐標(biāo)為(1,2)，半徑r=2。

d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)

將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入公式，得：

d=sqrt((4-1)^2+(1-3)^2)

d=sqrt(3^2+(-2)^2)

d=sqrt(9+4)

d=sqrt(13)

所以，點(diǎn)A(1,3)和點(diǎn)B(4,1)間的距離是sqrt(13)。

5.例5：計(jì)算橢圓上兩點(diǎn)間的距離

已知橢圓的方程為