高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 10 算法、推理與證明、復(fù)數(shù)教學(xué)案 文

一.考場(chǎng)傳真

1.【2013年高考陜西卷】設(shè)z是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是

()

A.若z2N0,貝Uz是實(shí)數(shù)B.若z2<0,則z是虛數(shù)

C.若z是虛數(shù)，則z2N0D.若z是純虛數(shù)，則

z2<0

【答案】C

【解析】設(shè)2=a+加則z?=[a+加/=la?-川1+2次>，，因?yàn)閦^NO,貝U

a?一/>0

<,

2ab=0

若a=0,則有02-/20=3=0,此時(shí)z=OeK；若8=0,則有a230=ae五成立，

此時(shí)z=aeR,故A選項(xiàng)正確；z?<0,則<一.若a=0,貝U0-〃>。，

2ab=0

3w0,此時(shí)z=bi為純虛數(shù)；若小=0?則有a?—0<0=。2<0,這與ae7?矛盾！故

3選項(xiàng)正確；若z為虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z2的慮部為2aL且其需部不一定為零，故z?不一定為

實(shí)數(shù)，則z?與零不能比較大小，故C-選項(xiàng)錯(cuò)誤；若z為純虛數(shù)，可設(shè)z

則z2=Ibii2=-b1<0,故D選項(xiàng)正確.

2.【2012年高考上海卷】若1+Jiz?是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程％2+法+。=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則

()

A.Z?=2,c=3B.Z?=—2,c=3C.Z?=—2,c=—lD.Z;=2,

c=-l

【答案】B

【解析】解法一：根據(jù)實(shí)系數(shù)方程的根的特點(diǎn)1-先也是該方程的另一個(gè)根，由韋達(dá)定理

得11+14-

11—在i1=2=-8=8=—2,11+VS111—＞j2i?=3=c,故選B；

解法二：由于1+0是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程/+"+已=0的一個(gè)根，則

?l+VS?+41+VS?+c=0,

lr~-1=0b=—2

即13+c-1i+1+2*^^li=0,所以＜__,解得＜,故選3.

庭+2點(diǎn)=0[c=3

3.【2013年高考浙江卷】某程序框圖如圖1所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值等于.

（開(kāi)始）

5=1,k=l

（結(jié)束）

圖I

I

9

【答案】

5

【解析】

試題解析：此題關(guān)鍵是明白這個(gè)程序框圖的作用，此框圖是求數(shù)列趣的前〃項(xiàng)

和，關(guān)屣是搞清楚最后程序運(yùn)行到什么時(shí)候結(jié)束的.由圖可知當(dāng)上=5時(shí)程序運(yùn)行結(jié)束，即最

后一次運(yùn)行無(wú)=4,注意S的初始值是1,而不是0,所以

4.【2013年高考江西卷】閱讀如圖2所示的程序框圖，如果輸出，=4,那么空白的判斷框中

應(yīng)填入的條件是（）

A.S<8B.S<9C.S<10

D.s<n

t答案】3

【解析】

試題解析：由程序框圖知前3次運(yùn)售結(jié)果：Li=2,s=5；].i=3,s=8；3.i=4,s=9

因此終止條件為s<9,故選3.

5.【2013年高考新課標(biāo)1卷】執(zhí)行如圖3所示的程序框圖，如果輸入的1,3],則輸出的

s屬于（）

A.[-3,4]B.[-5,2]C.[T3]

D.[-2,51

【答案】A

【解析】

試題解析：若則s=3^[—3,3i；若￡?[1,3],s=4z—Pe[3,4].綜上所述

s€[—3,4]>故選A

6.【2013年高考陜西卷】觀察下列琴式：

(l+l)=2xl

(2+l)(2+2)=22xlx3

(3+1)(3+2)(3+3)=23X1X3X5

照此規(guī)律，第九個(gè)等式可為.

【答案】5+1)(%+2)(%+3)…(%+%)=2*13-5...

【解析】

試題解析：第非個(gè)等式可為(?+1)(?+2)(?+3)■??(?+?)=2*1-3-5...(2?—1).

_I

7.【2012年高考湖北卷】定義在(-8,0)(0,*)。)上的函數(shù)/(%),如果對(duì)于任意給定的等

比數(shù)列｛4｝,｛/(4)｝仍是等比數(shù)列，則稱"％)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在

(-00,0)(0,+3上的如下函數(shù)：①/(%)=%2；②4％)=2*；③/(%)=用；④

/(x)=ln|x|.

則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的7(%)的序號(hào)為()

A.①②B.③④C.①③

D.②④

【答案】C

【解析】

試題解析：設(shè)等比數(shù)列｛%；的公比為"qwOi，對(duì)于①中的函數(shù)/xu/,則

=/(常數(shù)),①中的函數(shù)為“保等比函數(shù)對(duì)于②中的函數(shù)/ixi=2",如取/=23

則力：外|=2a=22，

則^^=號(hào)=22(不是常數(shù))，故②中的函數(shù)不是"保等比函數(shù)”；對(duì)于③中的函數(shù)

力初22

亞(常數(shù))，故③中的函數(shù)是“保等比函數(shù)”；對(duì)于④中的

函數(shù)/1xi=In\x\9

如取％=2,則〃a/=ln|2*|=Mn2,則'=""：?匕:四(不是常數(shù)),

故④中的函數(shù)不

是“保等比函數(shù)故選C.

8.【2012年高考浙江卷】定義：曲線C上的點(diǎn)到直線A/的距離的最小值稱為曲線。到直線/的

距離，已知曲線G：y=爐+a到直線l;y=x的距離等于曲線。2:爐+(y+4)2=2到直線

/:y=x的距離，則實(shí)數(shù)

9

【答案】

4

【解析】

22

試題解析：C2：x+(y+41=2,圓心(0,-41,扇心到直線/：1y=x的距離為:

Q—?—411

d=71=20,故曲線C?到直線/:y=芯的距離為d'=d-r=d—我=啦.

V1+1)

另一方面：曲線(71：y=/+白，令y，=2x=l,得：x=\,曲線g:y=x'+a到直線

Iy=x的距離的點(diǎn)為|―,—?\-a,d'=

(24

阿二.高考研究

考綱要求.

1.算法初步

(1)算法的含義、程序框圖

①了解算法的含義，了解算法的思想；

②理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán).

(2)基本算法語(yǔ)句

理解幾種基本算法語(yǔ)句一一輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句、賦值語(yǔ)句、條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句的含義.

2.推理與證明

①了解合情推理的含義，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納推理和類比推理，體會(huì)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的

作用；

②了解演繹推理的含義，了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差異；掌握演繹推理的“三段

論”，能運(yùn)用“三段論”進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理；

③了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程和特點(diǎn)；

④了解反證法的思考過(guò)程和特點(diǎn).

3.數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

①理解復(fù)數(shù)的基本概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件；

②了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；

③能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.

4.框圖

①通過(guò)具體實(shí)例進(jìn)一步認(rèn)識(shí)程序框圖；

②通過(guò)實(shí)例了解工序流程圖；

③能繪制簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的流程圖，體會(huì)流程圖在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用；

④通過(guò)實(shí)例了解結(jié)構(gòu)圖；

⑤會(huì)運(yùn)用結(jié)構(gòu)圖梳理已學(xué)過(guò)的知識(shí)、整理收集到的資料信息.

命題規(guī)律

L題量、題型穩(wěn)定：復(fù)數(shù)、算法程序框圖都是高考中的基礎(chǔ)題型，一般地，復(fù)數(shù)與算法程序

框圖在高考試題中出現(xiàn)兩個(gè)題目，以填空題或選擇題的形式出現(xiàn)，兩者各占一題，每題5分;

推理證明、新定義的題，在高考題中也經(jīng)常出現(xiàn)，以填空、選擇題的形式出現(xiàn)，一般作為選

擇、填空的最后一題，一般這些題在高考中出現(xiàn)一題或兩題，其所占平均分值比例為

10%?13%

2.知識(shí)點(diǎn)分布均衡、重難點(diǎn)突出：以2013年全國(guó)新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)高考《考試說(shuō)明》為參考，可

理解為有19個(gè)知識(shí)點(diǎn)，一般考查的知識(shí)點(diǎn)在60%左右，其中對(duì)復(fù)數(shù)、算法、推理與證明等知

識(shí)點(diǎn)的考查比較全面，更注重知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合以及重難點(diǎn)的分布，對(duì)支撐數(shù)學(xué)科知識(shí)體系的

主干知識(shí)，考查時(shí)保證較高的比例并保持必要深度.

算法是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，是計(jì)算科學(xué)的重要基礎(chǔ)，也是新課標(biāo)高考中新增加的

內(nèi)容，也是新課標(biāo)高考中新增加的元素.高考十分注重邏輯思維的考查，以循環(huán)結(jié)構(gòu)為主，有

的也考查條件結(jié)構(gòu)，注重知識(shí)點(diǎn)的有機(jī)整合，強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)在學(xué)科內(nèi)的綜合，在考查中也滲透

數(shù)列、函數(shù)以及統(tǒng)計(jì)等方面的內(nèi)容.

推理與證明是新課標(biāo)中的重要內(nèi)容.高考中也十分注重邏輯思維能力的考查，在推理部分，主

要考查歸納推理、類比推理以及新定義，在考查時(shí)結(jié)合數(shù)列、函數(shù)以及幾何部分的內(nèi)容，命

題時(shí)注重了數(shù)學(xué)學(xué)科重點(diǎn)內(nèi)容的考查以及新定義的理解，并保持必要的深度；在證明部分，

加強(qiáng)了直接證明與間接證明法以及數(shù)學(xué)歸納法在綜合中的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理論證能力.

復(fù)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)基本組成部分.高考中注重復(fù)數(shù)概念、運(yùn)算以及幾何意義的考查，以復(fù)

數(shù)的四則運(yùn)算為基石，綜合考查復(fù)數(shù)的概念以及幾何意義的理解.

3.設(shè)計(jì)新穎、形式多樣、難易適度：復(fù)數(shù)、算法都是高考中的基礎(chǔ)知識(shí)，在高考中的考查一

般以容易題出現(xiàn)，考查的形式以選擇題、填空題出現(xiàn)，考查學(xué)生對(duì)于復(fù)數(shù)相關(guān)概念以及幾何

形式的理解以及分析問(wèn)題的能力、邏輯思維能力，這部分的難度基本控制在0.05~0.25之間；

推理證明、新定義一般處于選擇、填空題的最后一題，考查學(xué)生邏輯推理能力以及新定義的

理解，屬于較難題.試題平均難度為0.29（其中選擇、填空難度0.15-0.52,平均難度0.29,

解答題難度在0.11-0.30,平均難度0.17）.

算法與程序框圖

1.算法：

(1)算法概念：

在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決的某一類問(wèn)題是程序或步驟,

這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.

(2)算法的特點(diǎn)：

①有限性：一個(gè)算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無(wú)限的.

②確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是

模棱兩可.

③順序性與正確性：算法從初始步驟開(kāi)始，分為若干明確的步驟，每一個(gè)步驟只能有一個(gè)確

定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都

準(zhǔn)確無(wú)誤，才能完成問(wèn)題.

④不唯一性：求解某一個(gè)問(wèn)題的解法不一定是唯一的，對(duì)于一個(gè)問(wèn)題可以有不同的算法.

⑤普遍性：很多具體的問(wèn)題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決，如心算、計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng)過(guò)

有限、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決.

2.程序框圖

(1)程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說(shuō)明來(lái)準(zhǔn)

確、直觀地表示算法的圖形.

一個(gè)程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框;帶箭頭的流程線;程序框外必要文字

說(shuō)明.

(2)構(gòu)成程序框的圖形符號(hào)及其作用

程序框名稱功能

表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖必

起止框

C)不可少的.

表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息，可用在算法

輸入、輸出框

/__/中任何需要輸入、輸出的位置.

賦值、計(jì)算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公

處理框式等分別寫(xiě)在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框

內(nèi).

判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處標(biāo)明

判斷框“是”或“y”；不成立時(shí)標(biāo)明“否”或

“N”.

(3)算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu).

①順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的算法結(jié)構(gòu)，語(yǔ)句與語(yǔ)句之間，框與框之間是按從上到下的

順序進(jìn)行的，它是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個(gè)算法都離不開(kāi)的一種

基本算法結(jié)構(gòu).

順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來(lái)，按順序執(zhí)行算法

步驟.在示意圖中，A框和3框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)

行5框所指定的操作.

②條件結(jié)構(gòu)：

條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過(guò)對(duì)條件的判斷

根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)

條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框.無(wú)論P(yáng)條件是否成立，只能執(zhí)行A框或8框之

一，不可能同時(shí)執(zhí)行A框和3框，也不可能A框、3框都不執(zhí)行.一個(gè)判斷結(jié)構(gòu)可以有多個(gè)

判斷框.

條件結(jié)構(gòu)主要應(yīng)用于一些需要依據(jù)條件進(jìn)行判斷的算法中，如分段函數(shù)的的求值、數(shù)據(jù)大小關(guān)系等問(wèn)

題中，

常常用條件結(jié)構(gòu)來(lái)設(shè)計(jì)算法.

③循環(huán)結(jié)構(gòu)的兩種基本類型：（a）當(dāng)型循環(huán)：當(dāng)給定的條件成立時(shí)，反復(fù)執(zhí)行循環(huán)體，直至條件不成

立為止；

（b）直到型循環(huán)：先第一次執(zhí)行循環(huán)體，再判斷給定的條件是否成立，若成立，跳出循環(huán)體；否則，

執(zhí)行循環(huán)體，直至條件第一次不成立為止.

循環(huán)結(jié)構(gòu)一般用于一些有規(guī)律的重復(fù)計(jì)算的算法中，如累加求和、累乘求積等問(wèn)題常常

用循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)解決.

3.算法語(yǔ)句：

（1）輸入語(yǔ)句

①輸入語(yǔ)句的一般格式

圖形計(jì)算器

格式

INPUT"提示內(nèi)容V變量INPUT"提示內(nèi)容變量

②輸入語(yǔ)句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸入信息功能；（3）“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息,

變量是指程序在運(yùn)行時(shí)其值是可以變化的量；（4）輸入語(yǔ)句要求輸入的值只能是具體的常數(shù),

不能是函數(shù)、變量或表達(dá)式；（5）提示內(nèi)容與變量之間用分號(hào)“；”隔開(kāi)，若輸入多個(gè)變量，

變量與變量之間用逗號(hào)“，”隔開(kāi).

（2）輸出語(yǔ)句

①輸出語(yǔ)句的一般格式

圖形計(jì)算器

格式

PRINT"提示內(nèi)容々表達(dá)Disp"提示內(nèi)容變量

②輸出語(yǔ)句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能；（3）“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息,

表達(dá)式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)；（4）輸出語(yǔ)句可以輸出常量、變量或表達(dá)式的值以及字符.

（3）賦值語(yǔ)句

①賦值語(yǔ)句的一般格式

圖形計(jì)算器

格式

變量=表達(dá)式表達(dá)式一變量

②賦值語(yǔ)句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量;

③賦值語(yǔ)句中的“="稱作賦值號(hào)，與數(shù)學(xué)中的等號(hào)的意義是不同的.賦值號(hào)的左右兩邊不能

對(duì)換，它將賦值號(hào)右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號(hào)左邊的變量；

④賦值語(yǔ)句左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，右邊表達(dá)式可以是一個(gè)數(shù)據(jù)、常量或算式;

⑤對(duì)于一個(gè)變量可以多次賦值.

注意：①賦值號(hào)左邊只能是變量名字，而不能是表達(dá)式.如：2=X是錯(cuò)誤的；

②賦值號(hào)左右不能對(duì)換.如“A=5”“5=A”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的；

③不能利用賦值語(yǔ)句進(jìn)行代數(shù)式的演算.（如化簡(jiǎn)、因式分解、解方程等）；

④賦值號(hào)與數(shù)學(xué)中的等號(hào)意義不同.

（3）條件語(yǔ)句

條件語(yǔ)句的一般格式有兩種：（a）IF—THEN—ELSE語(yǔ)句；（b）IF—THEN語(yǔ)句.2、IF—THEN—

ELSE語(yǔ)句IF—THEN—ELSE語(yǔ)句的一般格式為圖1,對(duì)應(yīng)的程序框圖為圖2.

分析：在IF-THEN-ELSE語(yǔ)句中，“條件”表示判斷的條件，“語(yǔ)句1”表示滿足

條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語(yǔ)句2”表示不滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；ENDIF表示條件語(yǔ)

句的結(jié)束.計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)，首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面

的語(yǔ)句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語(yǔ)句2.

IF—THEN語(yǔ)句

IF—THEN語(yǔ)句的一般格式為圖c,對(duì)應(yīng)的程序框圖為圖d.

是

IF條件THE、

語(yǔ)句

ENDIF（圖c）

注意：“條件”表示判斷的條件；“語(yǔ)句”表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容，條件不滿足時(shí)，

結(jié)束程序；ENDIF表示條件語(yǔ)句的結(jié)束.計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果

條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語(yǔ)句，若條件不符合則直接結(jié)束該條件語(yǔ)句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語(yǔ)句.

(4)循環(huán)語(yǔ)句

循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn)的.對(duì)應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言

中也有當(dāng)型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)兩種語(yǔ)句結(jié)構(gòu).即WHILE語(yǔ)句和UNTIL語(yǔ)句.

①WHILE語(yǔ)句

(a)WHILE語(yǔ)句的一般格式是

WHILE條件

循環(huán)體

WEND

(b)當(dāng)計(jì)算機(jī)遇到WHILE語(yǔ)句時(shí)，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND

之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個(gè)過(guò)程反復(fù)進(jìn)

行，直到某一次條件不符合為止.這時(shí)，計(jì)算機(jī)將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語(yǔ)句后，接

著執(zhí)行WEND之后的語(yǔ)句.因此，當(dāng)型循環(huán)有時(shí)也稱為“前測(cè)試型”循環(huán).

②UNTIL語(yǔ)句

(a)UNTIL語(yǔ)句的一般格式是對(duì)應(yīng)的程序框圖是

DO

循環(huán)體

LOOPUNTIL條件

(b)直到型循環(huán)又稱為“后測(cè)試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析，計(jì)算機(jī)執(zhí)行該語(yǔ)句時(shí),

先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進(jìn)行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再

進(jìn)行條件的判斷，這個(gè)過(guò)程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件滿足時(shí)，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOP

UNTIL語(yǔ)句后執(zhí)行其他語(yǔ)句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進(jìn)行條件判斷的循環(huán)語(yǔ)句.

分析：當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：（先由學(xué)生討論再歸納）

（1）當(dāng)型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；

在WHILE語(yǔ)句中，是當(dāng)條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語(yǔ)句中，是當(dāng)條件不滿足時(shí)執(zhí)行循

環(huán)

推理與證明

1.合情推理：前提為真時(shí)，結(jié)論可能為真的推理叫做合情推理.

（1）歸納推理：根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這

些特征的推理叫做歸納推理，它是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理.

（2）類比推理：根據(jù)兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一

類對(duì)象也具有這些特征的推理，它是由特殊到特殊的推理.

2.演繹推理：根據(jù)一般性的原理，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論叫做演繹推理，它是由一般到

特殊的推理.

基本形式是三段論：（1）大前提，已知的一般性原理；（2）小前提，所研究的特殊情況；（3）

結(jié)論.

3.直接證明：綜合法、分析法

（1）綜合法：從已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后

推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法.

（2）分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明

的結(jié)論歸結(jié)為一個(gè)明顯成立的條件為止的證明方法.

4.反證法：假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），經(jīng)過(guò)正確的推理，最

后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.

復(fù)數(shù)1.

復(fù)數(shù)的相關(guān)概念：

（1）形如。+萬(wàn)（aSeH）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中，叫做復(fù)數(shù)的虛數(shù)單位，且產(chǎn)=-1,a叫做復(fù)

數(shù)的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部.復(fù)數(shù)集用集合C表示.

（2）復(fù)數(shù)的分類：對(duì)于復(fù)數(shù)2=。+次（a*eR）

①當(dāng)3=0時(shí)，z是實(shí)數(shù)；②當(dāng)〃工0時(shí)，z是虛數(shù)；③當(dāng)a=0且時(shí)，

z是純虛數(shù).

（3）復(fù)數(shù)相等：若Z[=a+bi（a,bcR）,z2=c+di（c,deR）,則z=Z2的充要條件是

a=。且b=d.

特別地：若a+4=0的充要條件是a=5=0.

2.復(fù)數(shù)的幾何意義：

（1）復(fù)平面：x軸叫做實(shí)軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；y軸叫做虛軸，除原點(diǎn)外，虛軸上

的點(diǎn)都表示純虛數(shù).

（2）復(fù)數(shù)z=a+bi（aje?與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Zia,加----對(duì)應(yīng).

（3）復(fù)數(shù)z=a+bita,beR＞與復(fù)平面內(nèi)所有以原點(diǎn)0為起點(diǎn)的向量0Z----對(duì)應(yīng).

（4）復(fù)數(shù)的模：向量次的模叫做復(fù)數(shù)z=a+》的模，記作|z|或卜+加|,且

|Z|=42+、2.

3.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算：

（1）共軌復(fù)數(shù)：實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù).若z=a+勿?（a,》eR）,則它的共軌復(fù)數(shù)

z—a-bi.

（2）復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法、除法運(yùn)算:

a+bi_(a+_ac+bd^bc-ad.

除法法則:

c+di(c+dz)(c—di)c+dc~+d

4.重要性質(zhì)：i1=i,z2=-l,z3=-z,z4=1.

二.高頻考點(diǎn)突破

考點(diǎn)1復(fù)數(shù)的與實(shí)系數(shù)方程之間的關(guān)系

【例1】【廣東省廣州市2013屆高三普通畢業(yè)班綜合測(cè)試二】若1-id是虛數(shù)單位）是關(guān)于x

的方x2+

2px+q=0（p,qeR）的一個(gè)解，貝Up+q=

（）

A.-3B.-1C.1

D.3

【答案】C

【解析】

試題分析：本題是考查根與系數(shù)的關(guān)系，可將復(fù)數(shù)代入方程借助復(fù)數(shù)相等來(lái)進(jìn)行求解，或者

利用復(fù)數(shù)與其共直復(fù)數(shù)為實(shí)系數(shù)方程的根并結(jié)合韋達(dá)定理求解.

試題解析：解法一：將1-i代入方程得+2Pli-it+g=O,即

-2i+2pil-ii+q=0,化為復(fù)數(shù)的一般形式得(2p+g)+(-2p-2叮=0,根據(jù)復(fù)數(shù)相

等得上+7。解得2=：】，“+”】.

-2p-2=0[(7=2

解法二：根據(jù)實(shí)系數(shù)方程的特點(diǎn)可知，1+工也是方程x2+2px+g=0的一根，由韋達(dá)定理

知(1-i)+(1+i)

=-2p,所以,二-1,(l-i)(l+ii=0=0=2,所以p+g=l.

【規(guī)律方法】根與實(shí)系數(shù)方程之間的關(guān)系體現(xiàn)在，一是根代入方程，相應(yīng)的等式成立；二是

體現(xiàn)在韋達(dá)定理上，即實(shí)系數(shù)一元二次方程區(qū)+。=0(〃工(),〃也。￡尺)的兩根分別為

hc

再、/，則石+電=——，石?X'=—,不僅對(duì)△之0的情況成立，對(duì)A<0的情形(即方程

aa

的根為虛根)也成立.

【舉一反三】【湖北省黃岡中學(xué)、黃石二中、鄂州高中2014屆高三三校11月聯(lián)考】已知復(fù)數(shù)

z=-3+2i(i

為虛數(shù)單位)是關(guān)于x的方程2必+°%+4=0(p、q為實(shí)數(shù))的一個(gè)根，則p+q的值為

A.22B.36C.38

D.42

【答案】C

【解析】解法一：由于z=-3+2是關(guān)于X的方程2-+px+g=Q（p、q為實(shí)數(shù)）的一

個(gè)根，則有

2f-3+2i『+p（-3+2ii+g=0,即（-3p+g+10i+（2p-244=0?貝II有

-3j>+q+10=0

，解得

2尸—24=0

p=12

<"所以，+q=38；

q=26

解法二：由實(shí)系數(shù)方程知，-3-4也是方程2-+px+g=0(p、g為實(shí)數(shù))的一個(gè)根，

由韋達(dá)定理得

(-3+2ii+f-3-2zi=--=>r>=12,(-3+2,i(-3-2i)=2=g=26>所以

22

p+q=38,選C.

2

【例2】【廣東省廣州市海珠區(qū)2013屆高三綜合測(cè)試一】下面是關(guān)于復(fù)數(shù)2=——的四個(gè)命題:

:目=

Pi2,p2:z~=2i,

?。?的共軟復(fù)數(shù)為—1+/p4：Z的虛部為1,

其中真命題為()

、、

A.p2、必B.Pip2C.p2p4

D.。3、p4

【答案】C

【解析】

試題分析：本題是考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念與計(jì)算，先將復(fù)數(shù)化為一般形式a+與，aJeKi,

然后利用相關(guān)知識(shí)求解.

試題解析：：z-~:~——=1+i>所以|z|=JF+1*=Vs，z2=il+z)2=2i>

z=\-i,z的虛部為1,故真命題為小、P>,1選C.

【規(guī)律方法】對(duì)于復(fù)數(shù)概念、幾何意義等相關(guān)問(wèn)題的求解，其核心就是要將復(fù)數(shù)化為一般形

式，即2=。+慶

(a,b^R),實(shí)部為。，虛部為Z?.(1)復(fù)數(shù)的概念：①z為實(shí)數(shù)oZ?=0；②z為純虛數(shù)

oaH0且Z，=O；③z為虛數(shù)oZ?#0.(2)復(fù)數(shù)的幾何意義：①z=a+初oz在復(fù)平面

內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,》)oz在復(fù)平面對(duì)應(yīng)向量QZ=(a㈤；②復(fù)數(shù)z的模

|z|=|?+bi\=y/a2+b2.(3)共輾復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)z=a+次與2=a-切互為共物復(fù)數(shù).

【舉一反三】【河南省十所名校2013屆高三第三次聯(lián)考】對(duì)于任意復(fù)數(shù)z=a+切,(。/€尺)，

，為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論中正確的是

()

A.z-z=2aB.z?z=|z「C.—=1

D.z2>0

【答案】3

【解析】'：z=a-^-bi,[OOz=a-bi,所以z-z=i：a+次i-(a-瓦?=,A選項(xiàng)錯(cuò)誤

\a+bi\(a-bii=a2+b2=|z|2,3選項(xiàng)正確；若？=1,則

z

z=z=>a+bi=a-bi=^b=0,則z為實(shí)數(shù)：，矛盾，C選項(xiàng)錯(cuò)■誤；

z2=?a+bi|2=a2—b2+2abi,若aBwO,則z?為慮數(shù)，不能與零比較大小，故選3.

考點(diǎn)3算法與數(shù)列綜合

【例3】【2013年高考遼寧卷】執(zhí)行如圖4示的程序框圖，若輸入〃=8,則輸出的5=

()

【答案】A

【解析】

試題分析：本題考查算法與數(shù)列裂項(xiàng)求和問(wèn)題，先根據(jù)前幾次的運(yùn)算找出其規(guī)律，利用相應(yīng)

的裂項(xiàng)公式進(jìn)行求和.

試題解析框圖運(yùn)算的結(jié)果為

111111

s=o+22-l+4a-l+"+82-l-：U3+3^5++7^9

fin104

+-■?+故選A.

29

1

【規(guī)律方法】若數(shù)列｛q｝為公差為d(dwo)的等差數(shù)列，＜

aa

[,,n+kJ

般是利用裂項(xiàng)法，裂項(xiàng)公式為」1(1仆

，為了方便求出數(shù)列

a”％kN4

1

，(keN*)的前〃項(xiàng)和，可以采用將沒(méi)數(shù)列中裂項(xiàng)后被減項(xiàng)寫(xiě)在一起，減數(shù)項(xiàng)寫(xiě)在一

a**

起，方便觀察哪些項(xiàng)消去了，即

(11)1(11)1(11)

S"=：+—++—

\a\ak+\kd\a2ak+27kd\anan+k7

1/111(111)

—+——++—----+-----+H------，--但-是在處理算法與數(shù)列求和問(wèn)題時(shí),

kdCl]a?7Vak+\ak+2qn+kJ

一定要確定循環(huán)次數(shù)，即在數(shù)列中有求和的項(xiàng)數(shù).

【舉一反三】【河南省豫東豫北十所名校2014屆高三階段檢測(cè)三】某程序框圖如圖5所示,

則輸出的結(jié)果為

()

2012D20132014

A.----B.--------C.----

201320142015

2015

D.----

2016

【答案】D

【解析】

試題解析：由程序框圖可知，s=」一H—--H-----b1

1x22x32015x2016

]_1_2015

1-2016=2016故選D.

考點(diǎn)4判斷條件的選擇

【例4】【廣東省仲元中學(xué)、中山一中、南海中學(xué)、潮陽(yáng)一中、寶安中學(xué)、普寧二中2014屆高

三第一次聯(lián)考】若下邊的程序框圖輸出的S是：126,則條件①可為

()

A.n<5B.n<6C.zz<7D.n<8

【答案】C

【解析】

試題分析：對(duì)數(shù)列求和式進(jìn)行歸納，將其表示為用循環(huán)次數(shù)為變量的表達(dá)式，根據(jù)題中條件

對(duì)循環(huán)次數(shù)進(jìn)行求解，從而確定判斷條件.

試題解析:假設(shè)填入的條件為北二無(wú)，第一次循環(huán)，n工上成立，S=0+21=2］，?=1+1=2；

第二次循環(huán)，％W上成立,<?=21+22>萬(wàn)=2+1=3；

123

第三次循環(huán)，抬工上成立，（?=2+2+2,%=3+1=4；……

211—2^?

依此類推，第上次循環(huán)，閥工上成立，sr=21+22+23+-+2fc=-----------=211-2,

（1-2

?=^+1,然工上不成立，跳出循環(huán)體，輸出S=2*+i—2=254,解得太=7,故選C.

【規(guī)律方法】等差數(shù)列｛??｝的求和公式：Sn==叫+（d為等差數(shù)列

｛4｝的公差）;

等比數(shù)列｛4｝的求和公式：S"="J1—；）=%：a；（qwo,qw1）（q為等比數(shù)列｛%｝的

公比）.在判斷條件的選擇上，需要注意兩方面的問(wèn)題：一是控制變量是增大還是減小，從而

決定判斷條件中對(duì)控制變量所使用的不等號(hào)；二是循環(huán)進(jìn)行的次數(shù)，決定判斷條件中臨界值

的選擇.

【舉一反三】【湖北省恩施高中2014屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】如圖7給出的是計(jì)算

——的值的一個(gè)程序框圖，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）

2014

A.z<2014?B.z>1007?C.z<1007?

D.z<1007?

【答案】3

【解析】

試題解析：第一次循環(huán)，s=5，7=2

試題解析：第一次循環(huán)，s=—,i=1+1=2；第二次循環(huán)，s=—+—>i=2+1=3；

224

第三次循環(huán)，s=-+-+~,i=3+l=4；…，依此類推，進(jìn)行最后一次循環(huán),

246

：=1007+1=1008,說(shuō)明i=1007滿足條件，而i=1008不滿足條件，故選B.考

點(diǎn)5算法與函數(shù)綜合

【例5】【湖北省孝感市2014屆高三第一次統(tǒng)一考試】運(yùn)行如圖8所示的算法流程圖，當(dāng)輸入

的x值為（）時(shí)，輸出的y值為4.

A.1B.-1C.-2

D.-3

【答案】D

t解析】

試題分析：本題是考查算法與分段函數(shù)的綜合問(wèn)題，首先應(yīng)該根據(jù)算法確定分段函數(shù)的解析

式，然后利用相應(yīng)知識(shí)求解.

1-x,x<-1

試題解析：由程序框圖所反映的算法可知，售法中的函數(shù)為1y=,xL-lWxWl.當(dāng)x<-l

3+x,1

時(shí)，y=\-x,令y=4,即1一x=4=x=-3；當(dāng)-iWxWl時(shí)，y=x2,令y=4,即

x?=4=x=±2（舍去）；當(dāng)x>l時(shí)，y=3+x>令1y=4,即3+x=4=x=l（舍去）.

綜上所述，當(dāng)x=-3時(shí)，y=A,故選D.

【規(guī)律方法】分段函數(shù)問(wèn)題的求解主要在于根據(jù)自變量的不同取值確定相應(yīng)的函數(shù)解析式，

利用解析式來(lái)求解分段函數(shù)問(wèn)題.對(duì)于分段函數(shù)的問(wèn)題，一般有以下幾種考查形式：①求分段

函數(shù)值，根據(jù)自變量的取值選擇合適的解析式進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求值，計(jì)算時(shí)遵循

由內(nèi)到外的原則；②由函數(shù)值求相應(yīng)的自變量的取值，即令每個(gè)解析式等于相應(yīng)的值求出自

變量的值，并對(duì)自變量的取值是否在區(qū)間進(jìn)行取舍；③求解分段函數(shù)不等式，對(duì)自變量在相

應(yīng)區(qū)間的取值下解不等式，并將解集與定義域取交集得到最終答案.

【舉一反三】【四川省資陽(yáng)市2014屆高三第一次診斷性考試】已知xwR,根據(jù)如圖9所示的

程序框圖，則

不等式〃x）>|的解集是.

（開(kāi)始）

『⑴=2|/卜)=2*+「/l>)=7-x

,/輸出/（x，

dD

圖9

13

【答案】-1,12.

L2j

【解析】

*2：x<0

試題解析:根據(jù)題中的程序框圖所反映的算法知，函數(shù)為YIXI=<2X+1,0<XV3.當(dāng)x￡0

7-x,x>3

時(shí)，/xi=2".

解得故不等式在區(qū)間上的解集為

令即xN-l,/ix/giYO,0］

22

［-1,01；當(dāng)0cxs3時(shí)，/1xi=2x+1>令/ixiiL即2X+1NL解得X2-L因

224

此，不等式力xiN」在區(qū)間電3］上的解集為（0,3］；當(dāng)x>3時(shí)，令力XEL即

7-為之匕解得xV上，故不等式力工史」在區(qū)間0X0」的解集為3,-.綜上所述，

222\2_

1「13*1

不等式力xi2］的解集為.

考點(diǎn)6歸納推理

【例6】【浙江省溫州市2014屆高三期初聯(lián)考】用火柴棒擺“金魚(yú)”，如圖10所示：

>5>>?

①②③

圖10

按照上面的規(guī)律，第九個(gè)“金魚(yú)”圖需要火柴棒的根數(shù)為.

【答案】6?+2.

【解析】

試題分析：本題考查的是歸納推理與數(shù)列，先根據(jù)前幾項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的代數(shù)式結(jié)構(gòu)特征，歸納出

一般規(guī)律，然后利用數(shù)列相關(guān)方法求解.

試題解析：第1個(gè)“金魚(yú)”圖需要火柴棒的根數(shù)的=8,第2個(gè)“金魚(yú)”圖需要火柴棒的根

數(shù)。2=8+6=14,第3個(gè)“金魚(yú)”圖需要火柴棒的根數(shù)&=14+6=20,則數(shù)列；端構(gòu)

成以8為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，；.4=8+6!%-1，=6%+2.

【規(guī)律方法】歸納推理主要用于與自然數(shù)有關(guān)的等式或不等式的問(wèn)題中，一般在數(shù)列的推理

中常涉及.即通過(guò)前幾個(gè)等式或不等式出發(fā)，找出其規(guī)律，即找出一般的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)

關(guān)系，一般的有平方關(guān)系、立方關(guān)系、指數(shù)變化關(guān)系或兩個(gè)相鄰的自然數(shù)或奇數(shù)相乘等基本

關(guān)系，需要對(duì)相應(yīng)的數(shù)字的規(guī)律進(jìn)行觀察、歸納，一般對(duì)于的等式或不等式中的項(xiàng)的結(jié)構(gòu)保

持一致.

【舉一反三】【浙江省溫州市十校聯(lián)合體2014屆高三10月測(cè)試數(shù)學(xué)試題】已知整數(shù)按如下規(guī)

律排成一列：（1,1）、（1,2）、（2,1）、（1,3）、（2,2）、（3,1）、（1,4）、（2,3）、（3,2）、（4,1）、

,則第60個(gè)數(shù)對(duì)是

【答案】（5,7）.

【解析】

試題解析?在平面直角坐標(biāo)系中，將各點(diǎn)按順序連線，如下圖示，有（Lli為嘉1項(xiàng)，U2i

為第2項(xiàng)，（L3）為第4項(xiàng)，…、（"1，為第56項(xiàng),因此第60項(xiàng)為，5,7i.

考點(diǎn)7類比推理

【例7】【陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)長(zhǎng)安一中2014屆高三第二次質(zhì)量檢測(cè)】對(duì)于命題：如果。是線

段上一點(diǎn)，

貝103|-04+|。4「03=0；將它類比到平面的情形是：若O是AABC內(nèi)一點(diǎn)，有

S&OBC，+^\OCA'OB

+SAOBA，OC=0；將它類比到空間的情形應(yīng)該是：若。是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則有

【合案】Vo~BCD，°A+VQ_Ae°B+V'0_ASc，℃+V'Q_J^C，°口=Q.

【解析】

試題分析：根據(jù)線性幾何中的線段長(zhǎng)度、平面幾何中平面圖形的面積中有關(guān)等式的共性，將

這個(gè)共性引申到立體幾何中得到相應(yīng)的等式或結(jié)論.

試題解析：根據(jù)線性幾何中的長(zhǎng)度、平面幾何中平面圖形的面積以及立體幾何中相應(yīng)幾何體

體積的類比特點(diǎn)以及題中等式的特點(diǎn)，得到在立體幾何中：若。是四面體那CZ）內(nèi)一點(diǎn)，

則有^0-3CD,。工+^O-ACD,OB

+，O-ABC,℃+^Q-JiSC，0。=°.|

【規(guī)律方法】類比推理主要是找出兩類事物的共性，一般的類比有以下幾種：①線段的長(zhǎng)度

——平面幾何中平面圖形的面積一一立體幾何中立體圖形的體積的類比；②等差數(shù)列與等比

數(shù)列的類比，等差數(shù)列中兩數(shù)相加類比到等比數(shù)列中兩數(shù)相乘，等差數(shù)列中兩數(shù)的差類比到

等比數(shù)列中兩數(shù)相除.在類比的時(shí)候還需注意，有些時(shí)候不能將式子的結(jié)構(gòu)改變，只需將相應(yīng)

的量進(jìn)行替換.

【舉一反三】【廣東省佛山市南海區(qū)2014屆高三8月質(zhì)檢】在等差數(shù)列｛4｝中，若用“=。，

%=b

nbma

(m,neN\n-m>l),則am+n=-.類比上述結(jié)論，對(duì)于等比數(shù)列

｛優(yōu)｝僅0>O,〃eN*),若"=c,bn=d^n-m>2,m,n&N^,則可以得到或+“=

【答案】C

【解析】

試題解析：設(shè)公比為g,。*=瓦、刈1),嗎=曠力1仃+*-1),8*杈=飛目=自/+*』

考點(diǎn)8新定義

【例8】【廣東省揭陽(yáng)一中、潮州金山中學(xué)2014屆高三10月期中聯(lián)考】設(shè)“力與g(x)是

定義在同一區(qū)

間［a,可上的兩個(gè)函數(shù)，若函數(shù)y=/(x)-g(x)在尤e［a,可上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱

/(力和8⑴在

［a,句上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間［a,可稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”.若/(x)=*—3x+4與

g(x)=2x+m在［0,3］上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則用的取值范圍為

()

D.一段

I4

【答案】A

r解析】

試題分析：根據(jù)題中的定義將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化為方程/，力-g，x，=O有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，再等價(jià)

轉(zhuǎn)化為直線

V=冽與函數(shù)加xi=--+5x-4的圖冢在區(qū)間［0,3］上有兩個(gè)交點(diǎn)，再利用圖象求出參數(shù)

活的取值范圍；或者利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布的知識(shí)求出參數(shù)的取值范圍.

試題解析：解法一：由于函數(shù)x?=/-3x+4與gixi=2"+活在［0,3］上是“關(guān)聯(lián)函

數(shù)”，

則函數(shù)1y=力x—gix?=/-5x+4-冽在區(qū)間［0,3］上有兩個(gè)零點(diǎn)，

令加X(jué)i=x2-5x+4-m,其中xe［0,3］,則函數(shù)xi=x?-5x+4-w在區(qū)間［0,3］上

有兩個(gè)零點(diǎn)，

?2

A=i-5i-414-wi>0

59

因此有<0<-<3，解得一二<