第一章++集合與常用邏輯用語知識點- 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第一章集合與常用邏輯用語1.1集合的概念1.集合的描述：一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合，簡稱為集.2.集合中元素的三個特性：（1）確定性：（2）互異性：（3）無序性：3.集合的符號表示通常用大寫的字母，，，…表示集合，用小寫的字母，，表示集合中的元素.4.集合的相等當兩個集合的元素是一樣時，就說這兩個集合相等.集合與集合相等記作.5.元素與集合之間的關(guān)系（1）屬于：如果是集合中的元素，就說屬于集合，記作，讀作屬于.（2）不屬于:如果不是集合中的元素，就說不屬于集合，記作，讀作不屬于.6.集合的分類（1）有限集：含有有限個元素的集合叫做有限集.如方程的實數(shù)根組成的集合.（2）無限集：含有無限個元素的集合叫做無限集.如不等式的解組成的集合.7.常用數(shù)集及其記法（1）正整數(shù)集：全體正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集，記作或.（2）自然數(shù)集：全體非負整數(shù)組成的集合叫做自然數(shù)集，記作.（3）整數(shù)集：全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集，記作.（4）有理數(shù)集：全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集，記作.（5）實數(shù)集：全體實數(shù)組成的集合叫做實數(shù)集，記作.8.集合表示的方法（1）自然語言：用文字敘述的形式描述集合的方法.如所有正方形組成的集合，所有實數(shù)組成的集合.例如，三角形的集合.（2）列舉法：把集合的元素一一列舉出來表示集合的方法叫做列舉法.其格式是把集合的元素一一列舉出來并用逗號隔開，然后用花括號括起來.例如，我們可以吧“地球上的四大洋”組成的集合表示為太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，把“方程的所有實數(shù)根”組成的集合表示為.（3）描述法：通過描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式為，其中是集合中的元素代表，則表示集合中的元素所具有的共同特征.例如，不等式的解集可以表示為.1.2集合間的基本關(guān)系1.子集一般地，對于兩個集合,,如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記為或（）讀作集合包含于集合（或集合包含集合）.關(guān)于子集有下面的兩個性質(zhì)：（1）反身性：；（2）傳遞性：如果，且，那么.2.真子集如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記為（或），讀作集合真包含于集合（或集合真包含集合）.集合是集合的真子集可用圖表示如右.3.集合的相等如果集合，且，此時集合與集合的元素是一樣的，我們就稱集合與集合相等，記為.集合與集合相等可用圖表示如右.4.空集我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為.我們規(guī)定空集是任何一個集合的子集，空集是任何一個非空集合的真子集，即（1）（是任意一個集合）；（2）（）.1.3集合的運算1.并集自然語言：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為集合與的并集，記作（讀作“并”）.符號語言：.圖形語言：理解：或包括三種情況：且；且；且.并集的性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），；（6）.2.交集自然語言：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作（讀作“交”）.符號語言：.圖形語言：理解：當與沒有公共元素時，不能說與沒有交集，只能說與的交集是.交集的性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），；（6）.3.補集（1）全集的概念：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作.（2）補集的概念自然語言：對于一個集合，由屬于全集且不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補集，記為.符號語言：圖形語言：1.4充分條件與必要條件1.充分條件與必要條件一般地，“若，則”為真命題，是指由通過推理可以得出.這時，我們就說，由可推出，記作，并且說是的充分條件，是的必要條件.在生活中，是成立的必要條件也可以說成是:（表示不成立），其實，這與是等價的.但是，在數(shù)學(xué)中，我們寧愿采用第一種說法.|如果“若，則”為假命題，那么由推不出，記作.此時，我們就說不是的充分條件，不是的必要條件.2.充要條件如果“若，則”和它的逆命題“若則”均是真命題，即既有，又有就記作.此時，我們就說是的充分必要條件，簡稱為充要條件.顯然，如果是的充要條件，那么也是的充要條件.概括地說，如果，那么與互為充要條件.“是的充要條件”,也說成“等價于”或“當且僅當”等.1.5全稱量詞與存在量詞1.全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞短語“所有的”，“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示.常見的全稱量詞還有“一切”，“每一個”，“任給”，“所有的”等.含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對中的任意一個，有成立”可用符號簡記為:，，讀作“對任意屬于，有成立”.（2）存在量詞短語“存在一個”，“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.常見的存在量詞還有“有些”，“有一個”，“對某個”，“有的”等.含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在中的元素，使成立”可用符號簡記為:，，讀作“存在中的元素，