選修4-4-1.極坐標與參數(shù)方程

坐標系與參數(shù)方程高二數(shù)學選修4-4選修4-4坐標系與參數(shù)方程

第一節(jié)坐標系

第二節(jié)參數(shù)方程第一節(jié)坐標系坐標系

我們知道可以利用直角坐標系來表示平面上點的位置（有序實數(shù)對）和一些曲線的方程，從而實現(xiàn)了數(shù)形結合思想。根據(jù)幾何對象的特征，選擇適當?shù)淖鴺讼?，建立方程，通過方程研究它的性質(zhì)，這就是研究幾何問題常用的坐標法。但在有些問題中這并不方便；例如：雷達兵在報告雷達發(fā)現(xiàn)的飛機的位置時，只需指出飛機的方向和距離。像這種利用方向和距離來確定平面上點的位置的坐標系就是極坐標系；本節(jié)介紹極坐標系的概念和曲線的極坐標方程。1.極坐標系一、極坐標系的建立：在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點，引一條射線OX，叫做極軸；再選定一個長度單位和角度單位（通常取弧度）及它的正方向（通常取逆時針方向）。這樣就建立了一個極坐標系。XO二、極坐標系內(nèi)一點的極坐標的規(guī)定：XOM

對于平面上任意一點M，用

表示線段OM的長度，用

表示從OX到OM的角度，

叫做點M的極徑，

叫做點M的極角，有序數(shù)對（，）就叫做M的極坐標。特別強調(diào)：表示線段OM的長度，即點M到極點O的距離；表示從OX到OM的角度，即以OX（極軸）為始邊，OM為終邊的角。例1：說出下圖中各點的極坐標①平面上一點的極坐標是否唯一？②若不唯一，那有多少種表示方法？③坐標不唯一是由誰引起的？④不同的極坐標是否可以寫出統(tǒng)一表達式？規(guī)定：當M在極點時，它的極坐標

=0，可以取任意值。想一想？三、點的極坐標的表達式的研究XOM

如圖：OM的長度為4，請說出點M的極坐標的不同表達式。思考1：這些極坐標之間有何異同？思考2：這些極角有何關系？這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說它們是終邊相同的角。本題點M的極坐標統(tǒng)一表達式：極徑相同，不同的是極角；例2：在極坐標系里描出下列各點ABCDEFGOX四、負極徑的定義說明：一般情況下，極徑都是正值；但在某些必要情況下，極徑也可以取負值。對于點M（，）,負極徑時的規(guī)定：[1]作射線OP，使

XOP=[2]在OP的反向延長線上取一點M，使

OM=OXP

MOXP=/4M例如：在極坐標系中畫出點M（－3，

/4）的位置：[1]作射線OP，使

XOP=/4[2]在OP的反向延長線上取一點M，使

OM=3；例3：說出下圖中當極徑取負值時各點的極坐標：關于負極徑的思考“負極徑”真是“負”的？根據(jù)極徑定義，極徑是距離，當然是正的?，F(xiàn)在所說的“負極徑”中的“負”到底是什么意思？把負極徑時點的確定過程，與正極徑時點的確定過程相比較，看看有什么相同，有什么不同？？？？OXPOXP[1]作射線OP，使

XOP=/4[2]在OP的反向延長線上取一點M，使

OM=3[1]作射線OP，使

XOP=/4[2]在OP的上取一點M，使

OM=3M例:畫出點（3，

/4）

和（－3，

/4）給定ρ,θ在極坐標系中描點的方法：先按極角找到極徑所在的射線，后按極徑的正負和數(shù)值在這條射線（或其反向延長線）上描點。M負極徑的實質(zhì)：從比較來看，負極徑比正極徑多了一個操作，將射線OP“反向延長”。OXPMOXPM而反向延長也可以看成是旋轉，因此，所謂“負極徑”實質(zhì)是管方向的。這與數(shù)學中通常的習慣一致，用“負”表示“反向”。負極徑小結：極徑變?yōu)樨摚瑯O角增加（或減少）

。練習：寫出點的負極徑的極坐標。（6，）答：（－6，

+π）特別強調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時），認為

≥

0。因為負極徑只在極少數(shù)情況用。五、極坐標系下點的極坐標OXPM探索點M（3，

/4）的所有極坐標[1]極徑是正的時候：[2]極徑是負的時候：六、極坐標系下點與它的極坐標的對應情況：[1]給定（

,）,就可以在極坐標平面內(nèi)確定唯一的一點M。[2]給定平面上一點M，但卻有無數(shù)個極坐標與之對應。——原因在于：極角有無數(shù)個。OXPM(ρ,θ)…一般地,若(ρ,θ)是一點的極坐標,則(ρ,θ+2kπ)、[－ρ,θ+(2k+1)π]都可以作為它的極坐標.如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π（或－π＜θ≤π）那么除極點外,平面內(nèi)的點和極坐標就可以一一對應了.2.在極坐標系中,與(ρ,θ)關于極軸對稱的點是()A.(－ρ,θ)B.(－ρ,－θ)C.(－ρ,θ＋π)D.(－ρ,π－θ)CD練習：1.在極坐標系中，與點(－3,)重合的點是()A.(3,)B.(－3,－)C.(3,－

)D.(－3,－

)3.在極坐標系中,與點(－8,)關于極點對稱的點的一個坐標是()A.(8,)B.(8,－)C.(－8,)D.(－8,－)A[3]一點的極坐標有否統(tǒng)一的表達式？小結[1]建立一個極坐標系需要哪些要素極點；極軸；長度單位；角度單位和它的正方向。[2]極坐標系內(nèi)一點的極坐標有多少種表達式？無數(shù)，極徑有正有負；極角有無數(shù)個。有；（ρ，2kπ+θ）2.極坐標與直角坐標的相互轉化利用該公式可以把點的極坐標轉化成直角坐標；由公式得：練習2:已知點的直角坐標,求它們的極坐標.A（3,-），B（1，）,C（5，0），D（0，-2），E（-3，-3）練習1：已知下列點的極坐標，求它們的直角坐標。小結極坐標與直角坐標的互