選修4-4-1.極坐標(biāo)與參數(shù)方程

坐標(biāo)系與參數(shù)方程高二數(shù)學(xué)選修4-4選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程

第一節(jié)坐標(biāo)系

第二節(jié)參數(shù)方程第一節(jié)坐標(biāo)系坐標(biāo)系

我們知道可以利用直角坐標(biāo)系來表示平面上點(diǎn)的位置（有序?qū)崝?shù)對）和一些曲線的方程，從而實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。根據(jù)幾何對象的特征，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立方程，通過方程研究它的性質(zhì)，這就是研究幾何問題常用的坐標(biāo)法。但在有些問題中這并不方便；例如：雷達(dá)兵在報告雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的飛機(jī)的位置時，只需指出飛機(jī)的方向和距離。像這種利用方向和距離來確定平面上點(diǎn)的位置的坐標(biāo)系就是極坐標(biāo)系；本節(jié)介紹極坐標(biāo)系的概念和曲線的極坐標(biāo)方程。1.極坐標(biāo)系一、極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，引一條射線OX，叫做極軸；再選定一個長度單位和角度單位（通常取弧度）及它的正方向（通常取逆時針方向）。這樣就建立了一個極坐標(biāo)系。XO二、極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定：XOM

對于平面上任意一點(diǎn)M，用

表示線段OM的長度，用

表示從OX到OM的角度，

叫做點(diǎn)M的極徑，

叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對（，）就叫做M的極坐標(biāo)。特別強(qiáng)調(diào)：表示線段OM的長度，即點(diǎn)M到極點(diǎn)O的距離；表示從OX到OM的角度，即以O(shè)X（極軸）為始邊，OM為終邊的角。例1：說出下圖中各點(diǎn)的極坐標(biāo)①平面上一點(diǎn)的極坐標(biāo)是否唯一？②若不唯一，那有多少種表示方法？③坐標(biāo)不唯一是由誰引起的？④不同的極坐標(biāo)是否可以寫出統(tǒng)一表達(dá)式？規(guī)定：當(dāng)M在極點(diǎn)時，它的極坐標(biāo)

=0，可以取任意值。想一想？三、點(diǎn)的極坐標(biāo)的表達(dá)式的研究XOM

如圖：OM的長度為4，請說出點(diǎn)M的極坐標(biāo)的不同表達(dá)式。思考1：這些極坐標(biāo)之間有何異同？思考2：這些極角有何關(guān)系？這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說它們是終邊相同的角。本題點(diǎn)M的極坐標(biāo)統(tǒng)一表達(dá)式：極徑相同，不同的是極角；例2：在極坐標(biāo)系里描出下列各點(diǎn)ABCDEFGOX四、負(fù)極徑的定義說明：一般情況下，極徑都是正值；但在某些必要情況下，極徑也可以取負(fù)值。對于點(diǎn)M（，）,負(fù)極徑時的規(guī)定：[1]作射線OP，使

XOP=[2]在OP的反向延長線上取一點(diǎn)M，使

OM=OXP

MOXP=/4M例如：在極坐標(biāo)系中畫出點(diǎn)M（－3，

/4）的位置：[1]作射線OP，使

XOP=/4[2]在OP的反向延長線上取一點(diǎn)M，使

OM=3；例3：說出下圖中當(dāng)極徑取負(fù)值時各點(diǎn)的極坐標(biāo)：關(guān)于負(fù)極徑的思考“負(fù)極徑”真是“負(fù)”的？根據(jù)極徑定義，極徑是距離，當(dāng)然是正的?，F(xiàn)在所說的“負(fù)極徑”中的“負(fù)”到底是什么意思？把負(fù)極徑時點(diǎn)的確定過程，與正極徑時點(diǎn)的確定過程相比較，看看有什么相同，有什么不同？？？？OXPOXP[1]作射線OP，使

XOP=/4[2]在OP的反向延長線上取一點(diǎn)M，使

OM=3[1]作射線OP，使

XOP=/4[2]在OP的上取一點(diǎn)M，使

OM=3M例:畫出點(diǎn)（3，

/4）

和（－3，

/4）給定ρ,θ在極坐標(biāo)系中描點(diǎn)的方法：先按極角找到極徑所在的射線，后按極徑的正負(fù)和數(shù)值在這條射線（或其反向延長線）上描點(diǎn)。M負(fù)極徑的實(shí)質(zhì)：從比較來看，負(fù)極徑比正極徑多了一個操作，將射線OP“反向延長”。OXPMOXPM而反向延長也可以看成是旋轉(zhuǎn)，因此，所謂“負(fù)極徑”實(shí)質(zhì)是管方向的。這與數(shù)學(xué)中通常的習(xí)慣一致，用“負(fù)”表示“反向”。負(fù)極徑小結(jié)：極徑變?yōu)樨?fù)，極角增加（或減少）

。練習(xí)：寫出點(diǎn)的負(fù)極徑的極坐標(biāo)。（6，）答：（－6，

+π）特別強(qiáng)調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時），認(rèn)為

≥

0。因?yàn)樨?fù)極徑只在極少數(shù)情況用。五、極坐標(biāo)系下點(diǎn)的極坐標(biāo)OXPM探索點(diǎn)M（3，

/4）的所有極坐標(biāo)[1]極徑是正的時候：[2]極徑是負(fù)的時候：六、極坐標(biāo)系下點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)情況：[1]給定（

,）,就可以在極坐標(biāo)平面內(nèi)確定唯一的一點(diǎn)M。[2]給定平面上一點(diǎn)M，但卻有無數(shù)個極坐標(biāo)與之對應(yīng)?！蛟谟冢簶O角有無數(shù)個。OXPM(ρ,θ)…一般地,若(ρ,θ)是一點(diǎn)的極坐標(biāo),則(ρ,θ+2kπ)、[－ρ,θ+(2k+1)π]都可以作為它的極坐標(biāo).如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π（或－π＜θ≤π）那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就可以一一對應(yīng)了.2.在極坐標(biāo)系中,與(ρ,θ)關(guān)于極軸對稱的點(diǎn)是()A.(－ρ,θ)B.(－ρ,－θ)C.(－ρ,θ＋π)D.(－ρ,π－θ)CD練習(xí)：1.在極坐標(biāo)系中，與點(diǎn)(－3,)重合的點(diǎn)是()A.(3,)B.(－3,－)C.(3,－

)D.(－3,－

)3.在極坐標(biāo)系中,與點(diǎn)(－8,)關(guān)于極點(diǎn)對稱的點(diǎn)的一個坐標(biāo)是()A.(8,)B.(8,－)C.(－8,)D.(－8,－)A[3]一點(diǎn)的極坐標(biāo)有否統(tǒng)一的表達(dá)式？小結(jié)[1]建立一個極坐標(biāo)系需要哪些要素極點(diǎn)；極軸；長度單位；角度單位和它的正方向。[2]極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)有多少種表達(dá)式？無數(shù)，極徑有正有負(fù)；極角有無數(shù)個。有；（ρ，2kπ+θ）2.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化利用該公式可以把點(diǎn)的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)；由公式得：練習(xí)2:已知點(diǎn)的直角坐標(biāo),求它們的極坐標(biāo).A（3,-），B（1，）,C（5，0），D（0，-2），E（-3，-3）練習(xí)1：已知下列點(diǎn)的極坐標(biāo)，求它們的直角坐標(biāo)。小結(jié)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互