3均方模型-馬可維茨解析

第三章證券投資組合理論

——馬科維茨的均值方差模型任課教師：

對外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)金融學(xué)院郭敏教授

minguo992002@8/16/202411、掌握馬科維茨投資組合理論的核心思想、內(nèi)容和假設(shè)條件。2、掌握多元化投資與風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)以及證券投資組合的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)和非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的內(nèi)涵。3、掌握均值－方差模型描述的構(gòu)建最優(yōu)投資組合的技術(shù)路徑的規(guī)范數(shù)理模型重點(diǎn)內(nèi)容

掌握馬科維茨投資組合理論的假設(shè)條件的合理性及選擇有效投資組合的數(shù)理方法，及其中蘊(yùn)涵的多元化投資、風(fēng)險(xiǎn)、收益間關(guān)系。教學(xué)目的及要求8/16/20242第一節(jié)馬科維茲投資組合理論的主要內(nèi)容和假設(shè)第二節(jié)證券收益與風(fēng)險(xiǎn)的度量——均值、方差及協(xié)方差與投資組合的風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)第三節(jié)證券投資組合的可行集、有效集與最優(yōu)投資組合8/16/20243第一節(jié)馬科維茲投資組合理論的

假設(shè)和主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容二、假設(shè)條件三、二次效用函數(shù)和市場的資產(chǎn)回報(bào)率服從正態(tài)分布8/16/20244馬科維茨(H.Markowitz,1927～)《證券組合選擇理論》有著棕黃色頭發(fā)，高大身材，總是以溫和眼神凝視他人，說話細(xì)聲細(xì)語并露出淺笑。瑞典皇家科學(xué)院決定將1990年諾貝爾獎授予紐約大學(xué)哈利.馬科維茨（HarryMarkowitz）教授,為了表彰他在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中的先驅(qū)工作—資產(chǎn)組合選擇理論，發(fā)展了一個(gè)在不確定條件下嚴(yán)格陳述的可操作的選擇資產(chǎn)組合理論：均值方差方法Mean-Variancemethodology.8/16/20245一、主要內(nèi)容金融決策的核心問題是什么？不確定條件下收益與風(fēng)險(xiǎn)的權(quán)衡

tradeoffbetweenriskandreturn。8/16/20246投資組合理論的基本思想：投資組合是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)與收益的tradeoff問題，此外投資組合通過分散化的投資來對沖掉一部分風(fēng)險(xiǎn)?！皀othingventured,nothinggained”——"foragivenlevelofreturntominimizetherisk,andforagivenlevelofriskleveltomaximizethereturn“——“Don’tputalleggsintoonebasket”8/16/20247馬科維茨模型概要馬科維茲于1952年提出的“均值－方差組合模型”是在禁止融券和沒有無風(fēng)險(xiǎn)借貸的假設(shè)下，以資產(chǎn)組合中個(gè)別股票收益率的均值和方差找出投資組合的有效邊界(EfficientFrontier)，即一定收益率水平下方差最小的投資組合，并導(dǎo)出投資者只在有效邊界上選擇投資組合。根據(jù)馬科維茲資產(chǎn)組合的概念，欲使投資組合風(fēng)險(xiǎn)最小，除了多樣化投資于不同的股票之外，還應(yīng)挑選相關(guān)系數(shù)較低的股票。因此，馬科維茲的“均值－方差組合模型”不只隱含將資金分散投資于不同種類的股票，還隱含應(yīng)將資金投資于不同產(chǎn)業(yè)的股票。同時(shí)馬科維茲均值－方差模型也是提供確定有效邊界的技術(shù)路徑的一個(gè)規(guī)范性數(shù)理模型。

8/16/20248實(shí)現(xiàn)方法：收益——證券組合的期望報(bào)酬風(fēng)險(xiǎn)——證券組合的方差風(fēng)險(xiǎn)和收益的權(quán)衡——求解二次規(guī)劃

8/16/20249首先，投資組合的兩個(gè)相關(guān)特征是：（1）它的期望回報(bào)率（2）可能的回報(bào)率圍繞其期望偏離程度的某種度量，其中方差作為一種度量在分析上是最易于處理的。其次，理性的投資者將選擇并持有有效率投資組合，即那些在給定的風(fēng)險(xiǎn)水平下的期望回報(bào)最大化的投資組合，或者那些在給定期望回報(bào)率水平上的使風(fēng)險(xiǎn)最小化的投資組合。8/16/202410再次，通過對某種證券的期望回報(bào)率、回報(bào)率的方差和某一證券與其它證券之間回報(bào)率的相互關(guān)系（用協(xié)方差度量）這三類信息的適當(dāng)分析，辨識出有效投資組合在理論上是可行的。最后，通過求解二次規(guī)劃，可以算出有效投資組合的集合，計(jì)算結(jié)果指明各種證券在投資者的資金中占多大份額，以便實(shí)現(xiàn)投資組合的效性——即對給定的風(fēng)險(xiǎn)使期望回報(bào)率最大化，或?qū)τ诮o定的期望回報(bào)使風(fēng)險(xiǎn)最小化。8/16/2024111.單期投資單期投資是指投資者在期初投資，在期末獲得回報(bào)。單期模型是對現(xiàn)實(shí)的一種近似描述，如對零息債券、歐式期權(quán)等的投資。雖然許多問題不是單期模型，但作為一種簡化，對單期模型的分析成為我們對多時(shí)期模型分析的基礎(chǔ)。2.投資者事先知道投資收益率的概率分布，并且收益率滿足正態(tài)分布的條件。

二、馬科維茲投資組合理論的假設(shè)8/16/2024123.資者的效用函數(shù)是二次的，即u(W)=a+bW+CW2。（注意：假設(shè)2和3成立可保證期望效用僅僅是財(cái)富期望和方差的函數(shù)）4、投資者以期望收益率（亦稱收益率均值）來衡量未來實(shí)際收益率的總體水平，以收益率的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）來衡量收益率的不確定性（風(fēng)險(xiǎn)），因而投資者在決策中只關(guān)心投資的期望收益率和方差。5、投資者都是不知足的和厭惡風(fēng)險(xiǎn)的，遵循占優(yōu)原則，即：在同一風(fēng)險(xiǎn)水平下，選擇收益率較高的證券；在同一收益率水平下，選擇風(fēng)險(xiǎn)較低的證券。

8/16/202413三、二次效用函數(shù)和市場的

資產(chǎn)回報(bào)率服從正態(tài)分布M-V模型以資產(chǎn)回報(bào)的均值和方差作為選擇對象，但是一般而言，資產(chǎn)回報(bào)和方差不能完全包含個(gè)體做選擇時(shí)的所有個(gè)人期望效用函數(shù)信息。在什么條件下，期望效用分析和均值方差分析是一致的？8/16/202414第二節(jié)證券收益與風(fēng)險(xiǎn)的度量

及證券組合的風(fēng)險(xiǎn)分散化效應(yīng)一、期望收益率二、方差三、協(xié)方差四、相關(guān)系數(shù)五、證券組合的方差六、證券組合風(fēng)險(xiǎn)的分散化8/16/202415一個(gè)資產(chǎn)組合預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)的案例A公司的股票價(jià)值對糖的價(jià)格很敏感。多年以來，當(dāng)加勒比海糖的產(chǎn)量下降時(shí)，糖的價(jià)格便猛漲，而A公司便會遭受巨大的損失，見下表糖生產(chǎn)的正常年份異常年份股市的牛市股市的熊市糖的生產(chǎn)危機(jī)概率0.50.30.2收益率%2510-258/16/202416B公司的股票情況分析糖生產(chǎn)的正常年份異常年份股市的牛市股市的熊市糖的生產(chǎn)危機(jī)概率0.50.30.2收益率1-5358/16/202417假定某投資者考慮下列幾種可供選擇的資產(chǎn)，一種是持有A公司的股票，一種是購買無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率為5%)。還有一種是持有B公司的股票?，F(xiàn)已知投資者50％持有的A公司的股票，另外50％該進(jìn)行如何選擇。8/16/202418全部投資在于A公司股票10.5%18.90%全部投資在于B公司股票6.0%14.7%一半投資于國庫券，其余是A股票7.75%9.45%一半投資于B公司股票，其余是A股票8.25%4.83％期望收益率標(biāo)準(zhǔn)差8/16/202419

案例小結(jié)：協(xié)方差對資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)的影響：正的協(xié)方差提高了資產(chǎn)組合的方差，而負(fù)的協(xié)方差降低了資產(chǎn)組合的方差，它穩(wěn)定資產(chǎn)組合的收益管理風(fēng)險(xiǎn)的辦法：套期保值——購買和現(xiàn)有資產(chǎn)負(fù)相關(guān)的資產(chǎn)，這種負(fù)相關(guān)使得套期保值的資產(chǎn)具有降低風(fēng)險(xiǎn)的性質(zhì)。在資產(chǎn)組合中加入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是一種簡單的風(fēng)險(xiǎn)管理策略，套期保值策略是取代這種策略的強(qiáng)有力的方法。8/16/202420假設(shè)以上案例中B公司的可能收益有上述變化，請計(jì)算以下結(jié)果，并比較該結(jié)果與以上案例結(jié)果，由此做一個(gè)簡單分析1、如果Humanex資產(chǎn)組合仍是一半A股票，一半B股票，這個(gè)組合的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差是多少，2、兩個(gè)股票收益的協(xié)方差是多少3、用第四個(gè)概念的方式計(jì)算該組合的標(biāo)準(zhǔn)差是多少糖生產(chǎn)的正常年份異常年份股市的牛市股市的熊市糖的生產(chǎn)危機(jī)概率0.50.30.2收益率10-5208/16/202421一、證券的期望收益率第一個(gè)概念：單個(gè)證券的期望值定義為：式中：E(r)－收益率期望值；R(s)－s狀態(tài)下的收益率；Pr(s)－r(s)狀態(tài)的發(fā)生概率8/16/202422

第二個(gè)概念：一個(gè)證券組合的預(yù)期收益率：

或者;E(rp)=W’E(r)是其所含證券的預(yù)期收益率的加權(quán)平均，以構(gòu)成比例為權(quán)重.每一證券對組合的預(yù)期收益率的貢獻(xiàn)依賴于它的預(yù)期收益率，以及它在組合初始價(jià)值中所占份額，而與其他一切無關(guān)。那么，一位僅僅希望預(yù)期收益率最大的投資者將持有一種證券，這種證券是他認(rèn)為預(yù)期收益率最大的證券。很少有投資者這樣做，也很少有投資顧問會提供這樣一個(gè)極端的建議。相反，投資者將分散化投資，即他們的組合將包含不止一種證券。這是因?yàn)榉稚⒒梢詼p少由標(biāo)準(zhǔn)差所測度的風(fēng)險(xiǎn)。

8/16/202423二、方差

——一個(gè)證券預(yù)期收益的方差一個(gè)證券的預(yù)期收益率描述了以概率為權(quán)數(shù)的平均收益率。但是這是不夠的，我們還需要一個(gè)有用的風(fēng)險(xiǎn)測度，其應(yīng)該以某種方式考慮各種可能的“壞”結(jié)果的概率以及“壞”結(jié)果的量值。取代測度大量不同可能結(jié)果的概率，風(fēng)險(xiǎn)測度將以某種方式估計(jì)實(shí)際結(jié)果與期望結(jié)果之間可能的偏離程度，方差（第三個(gè)概念）就是這樣一個(gè)測度，因?yàn)樗烙?jì)實(shí)際回報(bào)率與預(yù)期回報(bào)率之間的可能偏離。8/16/202424一個(gè)證券在該時(shí)期的方差是未來收益可能值對期望收益率的偏離（通常稱為離差）的平方的加權(quán)平均，權(quán)數(shù)是相應(yīng)的可能值的概率。記方差為

2，即有

方差越大風(fēng)險(xiǎn)越大投資者選擇方差較小的證券8/16/202425方差——兩個(gè)證券組合預(yù)期收益的方差方差分別為與的兩個(gè)資產(chǎn)以w1與w2的權(quán)重構(gòu)成一個(gè)資產(chǎn)組合（第四個(gè)概念）的方差為：如果一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成組合（第五個(gè)概念），則該組合的標(biāo)準(zhǔn)差等于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差乘以該組合投資于這部分風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例。8/16/202426三、協(xié)方差協(xié)方差（第六個(gè)概念）是兩個(gè)隨機(jī)變量相互關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)測度，即它測度兩個(gè)隨機(jī)變量，如證券A和B的收益率之間的互動性。8/16/202427協(xié)方差為正值表明證券的回報(bào)率傾向于向同一方向變動——例如，一個(gè)證券高于預(yù)期收益率的情形很可能伴隨著另一個(gè)證券的高于預(yù)期收益率的情形。一個(gè)負(fù)的協(xié)方差則表明證券與另一個(gè)證券相背變動的傾向——例如，一種證券的高于預(yù)期收益率的情形很可能伴隨著另一個(gè)證券的低于預(yù)期收益率的情形。一個(gè)相對小的或者0值的協(xié)方差則表明兩種證券之間只有很小的互動關(guān)系或沒有任何互動關(guān)系。

8/16/202428四、相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差密切相關(guān)的另一個(gè)統(tǒng)計(jì)測量度是相關(guān)系數(shù)（第七個(gè)概念）。事實(shí)上，兩個(gè)隨機(jī)變量間的協(xié)方差等于這兩個(gè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)系數(shù)乘以它們各自的標(biāo)準(zhǔn)差的積。證券A與B的相關(guān)系數(shù)為

8/16/202429測量兩種股票收益共同變動的趨勢:

Corr(RA，RB)或

A,B -1.0+1.0完全正相關(guān):+1.0完全負(fù)相關(guān):-1.0完全負(fù)相關(guān)會使風(fēng)險(xiǎn)消失完全正相關(guān)不會減少風(fēng)險(xiǎn)在-1.0和+1.0之間的相關(guān)性可減少風(fēng)險(xiǎn)但不是全部8/16/202430五、方差——多個(gè)證券組合的方差

協(xié)方差矩陣（第八個(gè)概念）8/16/202431六、證券組合風(fēng)險(xiǎn)的分散化

（一）證券組合風(fēng)險(xiǎn)分散的原因和途徑假定市場上有證券1，2，

，N；

證券i的期望收益率為E（ri

）,標(biāo)準(zhǔn)差為

i，

證券i與證券j的協(xié)方差為

ij（或相關(guān)系數(shù)為

ij）（i=1，2，

，n，j=1，2，

，m）投資者的投資組合為：投資于證券i的比例為wi，i=1，2，

，N，則8/16/202432那么該投資組合的期望收益率和方差為其中8/16/202433由上可知，證券組合的方差不僅取決于單個(gè)證券的方差，而且還取決于各種證券間的協(xié)方差。隨著組合中證券數(shù)目的增加，在決定組和方差時(shí)，協(xié)方差的作用越來越大，而方差的作用越來越小。例如，在一個(gè)由30種證券組成的組合中，有30個(gè)方差和870個(gè)協(xié)方差。若一個(gè)組合進(jìn)一步擴(kuò)大到包括所有的證券，則協(xié)方差幾乎就成了組合標(biāo)準(zhǔn)差的決定性因素。風(fēng)險(xiǎn)的分散化原理被認(rèn)為是現(xiàn)代金融學(xué)中唯一“白吃的午餐”。將多項(xiàng)有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合到一起，可以對沖掉部分風(fēng)險(xiǎn)而不降低平均的預(yù)期收益率，這是馬科維茨的主要貢獻(xiàn)。

協(xié)方差及證券組合成分種類的作用8/16/202434假定資產(chǎn)1在組合里的比重是w，則資產(chǎn)2的比重就是1-w，他們的預(yù)期收益和收益率的方差分別記為E(r1),E(r2);

12,

22,組合的預(yù)期收益率和收益率的方差記為E(r)和

2。則由概率知識可知：E(r)=wE(r1)+(1-w)E(r2)

2=w2

12+(1-w)

22+2w(1-w)

1

28/16/202435兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（為何組合能分散風(fēng)險(xiǎn)）從這個(gè)不等式可以看出，組合的標(biāo)準(zhǔn)差不會大于標(biāo)準(zhǔn)差的組合。事實(shí)上，只要

<1，就有

<|w

1+(1-w)

2|,這說明組合確實(shí)能起到降低風(fēng)險(xiǎn)的作用，這就是投資分散化的道理。

8/16/202436因此，當(dāng)n足夠大時(shí)，組合的方差趨于協(xié)方差的平均值。假設(shè)有一個(gè)等權(quán)重的包括n種證券的組合8/16/202437結(jié)論組合的方差是協(xié)方差矩陣各元素與投資比例為權(quán)重相乘的加權(quán)總值，它除了與各個(gè)證券的方差有關(guān)外，還取決于證券間的協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)。證券組合的預(yù)期收益可以通過對各種單項(xiàng)資產(chǎn)加權(quán)年均得到，但風(fēng)險(xiǎn)卻不能通過各項(xiàng)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均得到(這只是組合中成分證券間的相關(guān)系數(shù)為一且成分證券方差相等特例情況)。8/16/202438在證券方差或標(biāo)準(zhǔn)差給定下，組合的每對證券的相關(guān)系數(shù)越高，組合的方差越高。只要每兩種證券的收益間的相關(guān)系數(shù)小于一，組合的標(biāo)準(zhǔn)差一定小于組合中各種證券的標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均數(shù)。如果每對證券的相關(guān)系數(shù)為完全負(fù)相關(guān)即為－1且成分證券方差和權(quán)重相等時(shí)，則可得到一個(gè)零方差的投資組合。但由于系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)不能消除，所以這種情況在實(shí)際中是不存在的。8/16/202439由以上的分析可總結(jié)出分散投資降低或消除風(fēng)險(xiǎn)效應(yīng)的途徑：選擇兩兩股票相關(guān)系數(shù)小于一的股票組合組合的證券成分?jǐn)?shù)要足夠多改變不同風(fēng)險(xiǎn)收益特性股票的投資比例8/16/202440（二）證券組合消除的是非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)不能消除非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)是企業(yè)特有的風(fēng)險(xiǎn)，諸如企業(yè)陷入法律糾紛、罷工、新產(chǎn)品開發(fā)失敗，等等?？煞Q為可分散風(fēng)險(xiǎn)、特有風(fēng)險(xiǎn)、特定資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)。非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)主要通過分散化減少，因此由許多種資產(chǎn)構(gòu)成的組合將幾乎不存在非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn).系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)是指整個(gè)市場承受到的風(fēng)險(xiǎn)，如經(jīng)濟(jì)的景氣情況、市場總體利率水平的變化等因?yàn)檎麄€(gè)市場環(huán)境發(fā)生變化而產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)。可稱為不可分散風(fēng)險(xiǎn)、市場風(fēng)險(xiǎn)。系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)影響所有的資產(chǎn)，不能通過分散化來去除8/16/202441總風(fēng)險(xiǎn)=系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)+非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)對于一個(gè)好的分散化組合，非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)可以忽略，幾乎所有的風(fēng)險(xiǎn)都是系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)造成的。如果一種資產(chǎn)的收益同其它資產(chǎn)的收益有較高的相關(guān)性，那么總風(fēng)險(xiǎn)將主要是由系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)構(gòu)成。如果一種資產(chǎn)的收益同其它的資產(chǎn)組合收益有相對較低的相關(guān)性，那么在代數(shù)上的組合分散化將導(dǎo)致相當(dāng)大的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)消除和乘下較小的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。8/16/202442系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)不能通過分散化去除。因?yàn)榉窍到y(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)能夠沒有成本的消除，所以對它沒有回報(bào)系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)定理:“一種資產(chǎn)的預(yù)期收益僅依賴于它的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。.”測度系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)（第四章的內(nèi)容）Beta或

Beta測度一種資產(chǎn)相對于一種市場平均收益率資產(chǎn)有多大的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn).進(jìn)攻型股票(>1);防御型股票(<1)betas越大說明系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)越大8/16/202443組合的風(fēng)險(xiǎn)–標(biāo)準(zhǔn)差

組合中的股票數(shù)量市場風(fēng)險(xiǎn)特定公司風(fēng)險(xiǎn)總風(fēng)險(xiǎn)可分散風(fēng)險(xiǎn)非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)不可分散風(fēng)險(xiǎn)8/16/202444分散投資消除非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)成分股數(shù)平均回報(bào)率％標(biāo)準(zhǔn)差％可消除風(fēng)險(xiǎn)份額％市場風(fēng)險(xiǎn)分額％1940·045552932·438628926·6208016924·0128832923·6892128922·8298500922·001008/16/202445第三節(jié)證券投資組合的可行集、

有效集與最優(yōu)投資組合

一、可行集二、有效集三、投資組合前沿的得出8/16/202446一、可行集

投資組合：一個(gè)證券投資組合是將一筆資金按比例投資于一組證券，設(shè)證券有N種（n=1,2,……,N),按比例Wi(i＝1,2,……,N）則形成一個(gè)投資組合P。P實(shí)際上是與權(quán)數(shù)向量Wi一一對應(yīng)的?？尚屑篘個(gè)證券可以形成無窮多個(gè)組合，由N種證券中任意k種證券所形成的所有預(yù)期收益率和方差的組合的集合就是可行集。從幾何的觀點(diǎn)看，以期望收益率rp為縱座標(biāo)，以標(biāo)準(zhǔn)差橫

p座標(biāo)，在rp－

p坐標(biāo)系中的某一個(gè)點(diǎn)就有可能是一個(gè)組合。它包括了現(xiàn)實(shí)生活中所有可能的組合，也就是說，所有可能的證券投資組合將位于可行集的內(nèi)部或邊界上。8/16/202447兩個(gè)證券組合的可行集舉例證券預(yù)期收益標(biāo)準(zhǔn)差X15%20%X215%40%8/16/202448組合ABCDEFGX1X21.000.000.830.170.670.330.50.50.330.670.170.830.001.00相關(guān)系數(shù)分別為1，-1，0時(shí)，組合的期望收益與標(biāo)準(zhǔn)差分別是多少？8/16/202449組合abcdefg預(yù)期收益56.78.31011.713.315標(biāo)準(zhǔn)差下限

=－1上限

=1=02020201023.3317.94026.6718.811030.0022.362033.3327.603036.6733.3740.040.040.08/16/2024508/16/202451三種以上證券的可行集只要證券組合的成分?jǐn)?shù)大于獲等于三，可行集對應(yīng)的均方平面上的區(qū)域就是二維的。8/16/202452二、有效集或有效前沿

1.有效集的定義可行集中有無窮多個(gè)組合，但是投資者有必要對所有這些組合進(jìn)行評價(jià)嗎？對于一個(gè)理性投資者而言，他們都是厭惡風(fēng)險(xiǎn)而偏好收益的。對于同樣的風(fēng)險(xiǎn)水平，他們將會選擇能提供最大預(yù)期收益率的組合；對于同樣的預(yù)期收益率，他們將會選擇風(fēng)險(xiǎn)最小的組合。這是所有投資者的共同偏好。能滿足這兩個(gè)條件的投資組合的集合被稱為有效集（EfficientSet）或有效邊界。有效集描繪了投資組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益的最優(yōu)配置。

8/16/202453有效邊界（有效集）：因?yàn)橥顿Y者是不知足且厭惡風(fēng)險(xiǎn)，即風(fēng)險(xiǎn)一定時(shí)追求收益最大，收益一定時(shí)追求風(fēng)險(xiǎn)最小。所以，同時(shí)滿足在各種風(fēng)險(xiǎn)水平下，提供最大預(yù)期收益和在各種預(yù)期收益下能提供最小風(fēng)險(xiǎn)這兩個(gè)條件就稱為有效邊界。即雙曲線的上半部。上面各點(diǎn)所代表的投資組合一定是通過充分分散化而消除了非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的組合。8/16/202454有效集曲線的形狀具有如下特點(diǎn)：（1）有效集是一條向右上方傾斜的曲線，它反映了“高收益、高風(fēng)險(xiǎn)”的原則；（2）有效集是一條向左凸的曲線。有效集上的任意兩點(diǎn)所代表的兩個(gè)組合再組合起來得到的新的點(diǎn)（代表一個(gè)新的組合）一定落在原來兩個(gè)點(diǎn)的連線的左側(cè)，這是因?yàn)樾碌慕M合能進(jìn)一步起到分散風(fēng)險(xiǎn)的作用，所以曲線是向左凸的；（3）有效集曲線上不可能有凹陷的地方。

8/16/2024552、個(gè)人投資者的最優(yōu)投資組合選擇AB8/16/202456

按照投資者的共同偏好準(zhǔn)則，有些證券組合是不能區(qū)分好壞的。因?yàn)橥顿Y者在遵守共同偏好準(zhǔn)則后，還有自己的特殊偏好，對那些不能被共同偏好準(zhǔn)則區(qū)分的組合，不同的投資者有不同的比較結(jié)果。如對A與B兩個(gè)組合怎樣比較呢？只有靠投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度來區(qū)分了，二者的區(qū)別在于投資者對風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)钠谩?/16/202457投資者的無差異曲線在不同的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)中，投資者之所以選擇不同的投資組合，是因?yàn)樗麄儗︼L(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度和對收益的偏好程度是不同的。對一個(gè)特定的投資者而言，任意給定一個(gè)證券組合，根據(jù)他對期望收益率和風(fēng)險(xiǎn)的偏好態(tài)度，按照期望收益率對風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)囊?，可以得到一系列滿意程度相同的（無差異）證券組合。所有這些組合在均值方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）坐標(biāo)系中形成一條曲線，這條曲線就稱為該投資者的一條無差異曲線。

8/16/202458同一條無差異曲線上的組合滿意程度相同；無差異曲線位置越高，該曲線上的組合的滿意程度越高。無差異曲線滿足下列特征：(1)無差異曲線向右上方傾斜。

(2)無差異曲線是下凹的。

(3)同一投資者有無數(shù)條無差異曲線。

(4)同一投資者在同一時(shí)間、同一時(shí)點(diǎn)的任何兩條無差異曲線都不相交。

8/16/202459三、投資組合前沿的得出所有可能的點(diǎn)（rp,

p）構(gòu)成了（rp,

p）平面上可行區(qū)域，對于給定的rp，使組合的方差越小越好。假定市場上有N>2種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，允許賣空。假設(shè)期望收益率為

Eri

，i=1,…,n.權(quán)重為wi.假設(shè)任一資產(chǎn)的收益率不能由其他資產(chǎn)的收益率線性表出，方差--協(xié)方矩陣Q滿足對稱非奇異正定的8/16/202460A和B點(diǎn)所代表的組合就是最優(yōu)投資組合。有效集向上凸的特性和無差異曲線向下凹的特性就額定了有效集和無差異曲線的相切點(diǎn)只有一個(gè)，也就是說最優(yōu)投資組合是唯一的。對投資者而言，有效集是客觀存在的，而無差異曲線則是主觀的，它是由自己的風(fēng)險(xiǎn)—收益偏好決定的。厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度越高的投資者，其無差異曲線的斜率越陡，因此其最優(yōu)投資組合越接近A。厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度越低的投資者，其無差異曲線的斜率越小，因此其最優(yōu)投資組合越接近B點(diǎn)。

8/16/202461定義:稱一個(gè)證券組合是前沿證券組合(afrontierportfolio),如果它在所有等均值收益率的證券組合中具有最小方差值。用數(shù)學(xué)語言描述為：是一個(gè)前沿證券組合當(dāng)且僅當(dāng)它的證券組合權(quán)重是下列二次規(guī)劃問題的解:8/16/202462求解結(jié)果：任何前沿資產(chǎn)組合都可用上式表示,另一方面,任何可用上式表示的資產(chǎn)組合都是前沿邊界的資產(chǎn)組合.8/16/202463對于命題1：g是具有0期望收益率的前沿邊界資產(chǎn)組合相應(yīng)的權(quán)重向量。g+h是期望收益率為1的前沿邊界資產(chǎn)權(quán)重向量。命題2：整個(gè)資產(chǎn)組合的前沿邊界可以由g和g+h這兩個(gè)前沿邊界的資產(chǎn)組合生成。命題3：由性質(zhì)2得出:資產(chǎn)組合前沿邊界可以由任意兩個(gè)相異的前沿邊界資產(chǎn)組合生成。求解結(jié)果分析：證券組合前沿的基本性質(zhì)8/16/202464由命題三得出的兩基金分離定理在所有有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的前沿組合邊界上，任意兩個(gè)分離的點(diǎn)都代表兩個(gè)分離的前沿投資組合，而前沿組合邊界上任意其他的點(diǎn)所代表的前沿資產(chǎn)組合，都可以由這兩個(gè)分離的點(diǎn)所代表的前沿投資組合的線性組合生成。8/16/202465兩基金分離定理的金融含義任何投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的共同基金，如果經(jīng)營良好，其投資組合一定與兩個(gè)共同基金（經(jīng)營良好）的某一線性組合等同。只要能找到這樣兩家不同的經(jīng)營良好的共同基金，把自己的資金按一定的比例投資于這兩家基金，就可以與投資于其他經(jīng)營水平高的共同基金獲得完全一樣的