3.2.函數(shù)模型及其應(yīng)用

3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用

3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型

在理想環(huán)境中,種群數(shù)量呈指數(shù)增長;在有限制的環(huán)境中,種群數(shù)量的增長將由指數(shù)增長轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shù)增長,并逐漸趨于穩(wěn)定.那么,應(yīng)如何選擇不同的函數(shù)模型描述這些現(xiàn)象呢？問題情景問題情景材料：澳大利亞兔子數(shù)“爆炸”

1859年，有人從歐洲帶進澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到100年，兔子們占領(lǐng)了整個澳大利亞，數(shù)量達(dá)到75億只．可愛的兔子變得可惡起來，75億只兔子吃掉了相當(dāng)于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口．這使澳大利亞頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十世紀(jì)五十年代，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣．一般而言，在理想條件（食物或養(yǎng)料充足，空間條件充裕，氣候適宜，沒有敵害等）下，種群在一定時期內(nèi)的增長大致符合“J”型曲線；在有限環(huán)境（空間有限，食物有限，有捕食者存在等）中，種群增長到一定程度后不增長，曲線呈“S”型．可用指數(shù)函數(shù)描述一個種群的前期增長，用對數(shù)函數(shù)描述后期增長的，感知指數(shù)函數(shù)變化劇烈。生態(tài)故事：“一群兔子引發(fā)的危機”【例1】假設(shè)你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元,以后每天的回報比前一天翻一番.請問,你會選擇哪種投資方案？

在本問題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？構(gòu)建數(shù)學(xué)探究一投資天數(shù)、回報金額解:設(shè)第x天所得回報是y元，則方案一：方案二：方案三：

在本問題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？探究一

上述的三個數(shù)學(xué)模型,第一個是常數(shù)函數(shù),另兩個都是遞增的函數(shù)模型,你如何對三個方案作出選擇？方法1:我們來計算三種方案所得回報的增長情況：探究二

請同學(xué)們對函數(shù)增長情況進行分析,方法是列表觀察或作出圖象觀察.x/天

方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元1400100.40.4240020100.80.8340030101.61.6440040103.23.2540050106.46.46400601012.812.87400701025.625.68400801051.251.294009010102.4102.41040010010204.8…………………3040030010214748364.8107374182.4

根據(jù)表格中所提供的數(shù)據(jù),你對三種方案分別表現(xiàn)出的回報資金的增長差異有什么認(rèn)識？三種方案每天回報表x42681012y20406080100120140o

底數(shù)為2的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長速度要快得多.從中你對“指數(shù)爆炸”的函數(shù)有什么新的理解？

你能通過圖象描述一下三種方案的特點嗎？

方法2：我們來作出三種方案的三個函數(shù)的圖象：1234567891011方案一4080120160200240280320360400440方案二103060100150210280360450550660方案三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8結(jié)論:①投資1~6天,應(yīng)選擇方案一;②投資7天,應(yīng)選擇方案一或二;③投資8~10天,應(yīng)選擇方案二;④投資11天(含11天)以上,則應(yīng)選擇方案三.回報天數(shù)方案?累計回報表：方案一方案二方案三實際應(yīng)用問題分析、聯(lián)想抽象、轉(zhuǎn)化構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解答數(shù)學(xué)問題審題數(shù)學(xué)化尋找解題思路還原(設(shè))(列)(解)(答)★解答例1的過程實際上就是建立函數(shù)模型的過程,建立函數(shù)模型的程序大概如下：1、四個變量隨變量變化的數(shù)據(jù)如下表：練習(xí)：1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.478545053130200511305051305302520151050關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是?！纠?】某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo),準(zhǔn)備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案:在銷售利潤達(dá)到10萬元時,按銷售利潤進行獎勵,且獎金y(單位:萬元)隨銷售利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎金總數(shù)不超過5萬元,同時獎金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個模型能符合公司的要求？

本問題涉及了哪幾類函數(shù)模型？本問題的實質(zhì)是什么？·············一次函數(shù)模型

實質(zhì):分析三種函數(shù)的不同增長情況對于獎勵模型的影響，就是比較三個函數(shù)的增長情況．y=0.25xy=log7x+1,·············對數(shù)函數(shù)模型·············指數(shù)函數(shù)模型y=1.002x探究一①銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵,且部門銷售利潤一般不會超過公司總的利潤1000萬元,所以銷售利潤x可用不等式表示為____________.③依據(jù)這個模型進行獎勵時,獎金不超過利潤的25%,所以獎金y可用不等式表示為___________.②依據(jù)這個模型進行獎勵時，獎金總數(shù)不超過5萬元,所以獎金y可用不等式表示為_________.10≤x≤10000≤y≤50≤y≤25%x

你能用數(shù)學(xué)語言描述符合公司獎勵方案的條件嗎?探究二

你能根據(jù)問題中的數(shù)據(jù)，判定所給的獎勵模型是否符合公司要求嗎？

獎勵模型符合公司要求就是依據(jù)這個模型進行獎勵時,符合條件：

(1)獎金總數(shù)不超過5萬元；

(2)獎金不超過利潤的25%.

因此,在區(qū)間[10,1000]上,不妨作出三個函數(shù)模型的圖象,通過觀察函數(shù)的圖象,得到初步的結(jié)論,再通過具體計算確認(rèn)結(jié)果.探究三4006008001000120020012345678xyoy=5y=0.25x探究四

通過觀察圖象,你認(rèn)為哪個模型符合公司的獎勵方案？探究四

通過觀察圖象,你認(rèn)為哪個模型符合公司的獎勵方案？①對于模型y=0.25x,它在區(qū)間[10,1000]上遞增,當(dāng)x>20時,y>5,因此該模型不符合要求;探究四

通過觀察圖象,你認(rèn)為哪個模型符合公司的獎勵方案？②對于模型y=1.002x,它在區(qū)間[10,1000]上遞增,觀察圖象并結(jié)合計算可知,當(dāng)x>806時,y>5,因此該模型不符合要求.探究四

通過觀察圖象,你認(rèn)為哪個模型符合公司的獎勵方案？③對于模型y=log7x+1,它在區(qū)間[10,1000]上遞增,觀察圖象并結(jié)合計算可知,當(dāng)x=1000時,y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求.

按模型y=log7x+1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%呢？解:當(dāng)x∈[10,1000]時,要使y≤0.25x成立,

令f(x)=log7x+1-0.25x,當(dāng)x∈[10,1000]時是否有f(x)≤0恒成立?

即當(dāng)x∈[10,1000]時,f(x)=log7x+1－0.25x的圖象是否在x軸下方?作f(x)=

log7x+1-0.25x的圖象如下：只需log7x+1≤0.25x成立，即log7x+1-0.25x≤0.探究五由圖象知f(x)

在[10,1000]上為減函數(shù).說明當(dāng)x∈[10,1000]時,有.另解:作出f(x)的圖象(利用計算機).

綜上按對數(shù)函數(shù)模型獎勵符合公司提出的要求.

按模型y=log7x+1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%呢？探究五即獎金不會超過利潤的25%.變式訓(xùn)練【2】某種計算機病毒是通過電子郵件進行傳播的，如果某臺計算機感染上這種病毒，那么每輪病毒發(fā)作時，這臺計算機都可能感染沒被感染的20臺計算機.現(xiàn)在10臺計算機在第1輪病毒發(fā)作時被感染，問在第5輪病毒發(fā)作時可能有多少臺計算機被感染？(練習(xí)P.982)2.答案:第5輪病毒發(fā)作時最多會有160萬臺被感染．課堂小結(jié)確定函數(shù)模型利用數(shù)據(jù)表格、函數(shù)圖象討論模型體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型的增長含義問題提出

1.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)，對數(shù)函數(shù)

y=logax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性如何？

2.利用這三類函數(shù)模型解決實際問題，其增長速度是有差異的，我們怎樣認(rèn)識這種差異呢？

探究（一）：特殊冪、指、對函數(shù)模型的差異

對于函數(shù)模型：y=2x,y=x2,y=log2x其中x>0.思考1:觀察三個函數(shù)的自變量與函數(shù)值對應(yīng)表,

這三個函數(shù)增長的快慢情況如何？

…1.7661.5851.3791.1380.8480.4850-0.737-2.322y=log2x…11.5696.764.843.241.9610.360.04y=x2…10.55686.0634.5953.4822.63921.5161.149y=2x…3.43.02.62.21.81.410.60.2x思考2:在同一坐標(biāo)系中這三個函數(shù)圖象的相對位置關(guān)系如何？請畫出其大致圖象.xyo1124y=2xy=x2y=log2xy=log2xx012345678y=2x1248163264128256y=x201491625364964思考3:對于函數(shù)模型y=2x和y=x2，觀察下列自變量與函數(shù)值對應(yīng)表：

當(dāng)x>0時，你估計函數(shù)y=2x和y=x2的圖象共有幾個交點？

思考4:根據(jù)圖象，不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的x的取值范圍分別如何？思考5:上述不等式表明，這三個函數(shù)模型增長的快慢情況如何？xyo1124y=2xy=x2y=log2x探究（二）：一般冪、指、對函數(shù)模型的差異思考1:對任意給定的a>1和n>0，在區(qū)間(0,+∞)上ax是否恒大于xn?ax是否恒小于xn?思考2:當(dāng)a>1，n>0時，在區(qū)間(0,+∞)上,ax與xn的大小關(guān)系應(yīng)如何闡述？思考3:一般地，指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)在區(qū)間(0,+∞)上，其增長的快慢情況是如何變化的？總存在一個，當(dāng)x>時，就會有思考4:對任意給定的a>1和n>0，在區(qū)間(0,+∞)上,logax是否恒大于xn?logax是否恒小于xn?思考5:隨著x的增大,logax增長速度的快慢程度如何變化?xn增長速度的快慢程度如何變化？思考6:當(dāng)x充分大時,logax(a>1)與xn

(n>0)誰的增長速度相對較快？總存在一個，當(dāng)x>時，就會有思考7:一般地，對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)在區(qū)間(0,+∞)上，其增長的快慢情況如何是如何變化的？xyo1y=logaxy=xn思考8:對于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)，對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)，總存在一個x0，使x>x0時,ax,logax,xn三者的大小關(guān)系如何？思考9:指數(shù)函數(shù)y=ax

(0<a<1)，對數(shù)函數(shù)y=logax(0<a<1)和冪函數(shù)y=xn(n<0),在區(qū)間(0,+∞)上衰減的快慢情況如何？總存在一個，當(dāng)x>時，就會有xyo1y=axy=xny=logax3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實例例3：一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關(guān)系如圖：x13452y1020304070605080905080657590(1)求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義。

（2）假設(shè)這輛汽車的里程表在行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立汽車行駛這段路程時汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)skm與時間th的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖像。x13452y102030407060508090tt(2):解：（1）陰影部分的面積為

陰影部分的面積表示汽車在這5小時內(nèi)行駛的為360km。x13452y20002100220023002400......分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界的重要模型解決應(yīng)用題的一般程序是：①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；②建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；③解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；④還原：將用數(shù)學(xué)知識和方法得出的結(jié)論，還原為實際問題的意義．

例4：人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題。認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù)。早在1798年，英國經(jīng)濟學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：其中t表示經(jīng)過的時間，表示t=0時的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率。下面是1950~1959年我國的人口數(shù)據(jù)資料：55196563005748258796602666145662828645636599467207

(1)如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率(精確到0.0001)，用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型，并檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符；

1950195119521953195419551956195719581959

(2)如果按表中數(shù)據(jù)的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口達(dá)到13億？于是,1951~1959年期間,我國人口的年平均增長率為5000055000600006500070000012345ty6789

由上圖可以看出,所得模型與1950~1959年的實際人中數(shù)據(jù)基本吻合.（2）將y=1300000代入

y=55196e0.0221t，由計算機可得：t≈38.76

這就是說按照這個增長趨勢，那么大約在1950年后的第39年（即1989年），我國的人口就已經(jīng)達(dá)到13億。如果不實行計劃生育，而讓人口自然增長，今天我國將面臨難以承受的人口壓力！解模驗?zāi)Ｓ媚＠?某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進價是5元，銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如表所示：請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個經(jīng)營部怎樣定價才能獲得最大利潤？銷售單價/元6789101112日均銷售量/桶480440400360320280240分析：由表中信息可知①銷售單價每增加1元，日均銷售量就減少40桶②銷售利潤怎樣計算較好？解：設(shè)在進價基礎(chǔ)上增加x元后，日均經(jīng)營利潤為y元，則有日均銷售量為480-40（x-1）=520-40x

（桶）

而有最大值

只需將銷售單價定為11.5元，就可獲得最大的利潤。解模驗?zāi)Ｓ媚＿x模例6某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表身高/cm60708090100110120130140150160170體重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根據(jù)表所提供的數(shù)據(jù),能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系?試寫出這個函數(shù)模型的解析式.(2)若體重超過相