3.2.函數(shù)模型及其應(yīng)用

3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用

3.2.1幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型

在理想環(huán)境中,種群數(shù)量呈指數(shù)增長(zhǎng);在有限制的環(huán)境中,種群數(shù)量的增長(zhǎng)將由指數(shù)增長(zhǎng)轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)數(shù)增長(zhǎng),并逐漸趨于穩(wěn)定.那么,應(yīng)如何選擇不同的函數(shù)模型描述這些現(xiàn)象呢？問(wèn)題情景問(wèn)題情景材料：澳大利亞兔子數(shù)“爆炸”

1859年，有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒(méi)有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到100年，兔子們占領(lǐng)了整個(gè)澳大利亞，數(shù)量達(dá)到75億只．可愛(ài)的兔子變得可惡起來(lái)，75億只兔子吃掉了相當(dāng)于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口．這使澳大利亞頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十世紀(jì)五十年代，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣．一般而言，在理想條件（食物或養(yǎng)料充足，空間條件充裕，氣候適宜，沒(méi)有敵害等）下，種群在一定時(shí)期內(nèi)的增長(zhǎng)大致符合“J”型曲線；在有限環(huán)境（空間有限，食物有限，有捕食者存在等）中，種群增長(zhǎng)到一定程度后不增長(zhǎng)，曲線呈“S”型．可用指數(shù)函數(shù)描述一個(gè)種群的前期增長(zhǎng)，用對(duì)數(shù)函數(shù)描述后期增長(zhǎng)的，感知指數(shù)函數(shù)變化劇烈。生態(tài)故事：“一群兔子引發(fā)的危機(jī)”【例1】假設(shè)你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元,以后每天的回報(bào)比前一天翻一番.請(qǐng)問(wèn),你會(huì)選擇哪種投資方案？

在本問(wèn)題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？構(gòu)建數(shù)學(xué)探究一投資天數(shù)、回報(bào)金額解:設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一：方案二：方案三：

在本問(wèn)題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？探究一

上述的三個(gè)數(shù)學(xué)模型,第一個(gè)是常數(shù)函數(shù),另兩個(gè)都是遞增的函數(shù)模型,你如何對(duì)三個(gè)方案作出選擇？方法1:我們來(lái)計(jì)算三種方案所得回報(bào)的增長(zhǎng)情況：探究二

請(qǐng)同學(xué)們對(duì)函數(shù)增長(zhǎng)情況進(jìn)行分析,方法是列表觀察或作出圖象觀察.x/天

方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元1400100.40.4240020100.80.8340030101.61.6440040103.23.2540050106.46.46400601012.812.87400701025.625.68400801051.251.294009010102.4102.41040010010204.8…………………3040030010214748364.8107374182.4

根據(jù)表格中所提供的數(shù)據(jù),你對(duì)三種方案分別表現(xiàn)出的回報(bào)資金的增長(zhǎng)差異有什么認(rèn)識(shí)？三種方案每天回報(bào)表x42681012y20406080100120140o

底數(shù)為2的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長(zhǎng)速度要快得多.從中你對(duì)“指數(shù)爆炸”的函數(shù)有什么新的理解？

你能通過(guò)圖象描述一下三種方案的特點(diǎn)嗎？

方法2：我們來(lái)作出三種方案的三個(gè)函數(shù)的圖象：1234567891011方案一4080120160200240280320360400440方案二103060100150210280360450550660方案三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8結(jié)論:①投資1~6天,應(yīng)選擇方案一;②投資7天,應(yīng)選擇方案一或二;③投資8~10天,應(yīng)選擇方案二;④投資11天(含11天)以上,則應(yīng)選擇方案三.回報(bào)天數(shù)方案?累計(jì)回報(bào)表：方案一方案二方案三實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題分析、聯(lián)想抽象、轉(zhuǎn)化構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解答數(shù)學(xué)問(wèn)題審題數(shù)學(xué)化尋找解題思路還原(設(shè))(列)(解)(答)★解答例1的過(guò)程實(shí)際上就是建立函數(shù)模型的過(guò)程,建立函數(shù)模型的程序大概如下：1、四個(gè)變量隨變量變化的數(shù)據(jù)如下表：練習(xí)：1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.478545053130200511305051305302520151050關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是?！纠?】某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo),準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案:在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí),按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),且獎(jiǎng)金y(單位:萬(wàn)元)隨銷售利潤(rùn)x(單位:萬(wàn)元)的增加而增加,但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元,同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？

本問(wèn)題涉及了哪幾類函數(shù)模型？本問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是什么？·············一次函數(shù)模型

實(shí)質(zhì):分析三種函數(shù)的不同增長(zhǎng)情況對(duì)于獎(jiǎng)勵(lì)模型的影響，就是比較三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)情況．y=0.25xy=log7x+1,·············對(duì)數(shù)函數(shù)模型·············指數(shù)函數(shù)模型y=1.002x探究一①銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),且部門銷售利潤(rùn)一般不會(huì)超過(guò)公司總的利潤(rùn)1000萬(wàn)元,所以銷售利潤(rùn)x可用不等式表示為____________.③依據(jù)這個(gè)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí),獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%,所以獎(jiǎng)金y可用不等式表示為___________.②依據(jù)這個(gè)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元,所以獎(jiǎng)金y可用不等式表示為_________.10≤x≤10000≤y≤50≤y≤25%x

你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案的條件嗎?探究二

你能根據(jù)問(wèn)題中的數(shù)據(jù)，判定所給的獎(jiǎng)勵(lì)模型是否符合公司要求嗎？

獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司要求就是依據(jù)這個(gè)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí),符合條件：

(1)獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元；

(2)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%.

因此,在區(qū)間[10,1000]上,不妨作出三個(gè)函數(shù)模型的圖象,通過(guò)觀察函數(shù)的圖象,得到初步的結(jié)論,再通過(guò)具體計(jì)算確認(rèn)結(jié)果.探究三4006008001000120020012345678xyoy=5y=0.25x探究四

通過(guò)觀察圖象,你認(rèn)為哪個(gè)模型符合公司的獎(jiǎng)勵(lì)方案？探究四

通過(guò)觀察圖象,你認(rèn)為哪個(gè)模型符合公司的獎(jiǎng)勵(lì)方案？①對(duì)于模型y=0.25x,它在區(qū)間[10,1000]上遞增,當(dāng)x>20時(shí),y>5,因此該模型不符合要求;探究四

通過(guò)觀察圖象,你認(rèn)為哪個(gè)模型符合公司的獎(jiǎng)勵(lì)方案？②對(duì)于模型y=1.002x,它在區(qū)間[10,1000]上遞增,觀察圖象并結(jié)合計(jì)算可知,當(dāng)x>806時(shí),y>5,因此該模型不符合要求.探究四

通過(guò)觀察圖象,你認(rèn)為哪個(gè)模型符合公司的獎(jiǎng)勵(lì)方案？③對(duì)于模型y=log7x+1,它在區(qū)間[10,1000]上遞增,觀察圖象并結(jié)合計(jì)算可知,當(dāng)x=1000時(shí),y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元的要求.

按模型y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過(guò)利潤(rùn)的25%呢？解:當(dāng)x∈[10,1000]時(shí),要使y≤0.25x成立,

令f(x)=log7x+1-0.25x,當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)是否有f(x)≤0恒成立?

即當(dāng)x∈[10,1000]時(shí),f(x)=log7x+1－0.25x的圖象是否在x軸下方?作f(x)=

log7x+1-0.25x的圖象如下：只需log7x+1≤0.25x成立，即log7x+1-0.25x≤0.探究五由圖象知f(x)

在[10,1000]上為減函數(shù).說(shuō)明當(dāng)x∈[10,1000]時(shí),有.另解:作出f(x)的圖象(利用計(jì)算機(jī)).

綜上按對(duì)數(shù)函數(shù)模型獎(jiǎng)勵(lì)符合公司提出的要求.

按模型y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過(guò)利潤(rùn)的25%呢？探究五即獎(jiǎng)金不會(huì)超過(guò)利潤(rùn)的25%.變式訓(xùn)練【2】某種計(jì)算機(jī)病毒是通過(guò)電子郵件進(jìn)行傳播的，如果某臺(tái)計(jì)算機(jī)感染上這種病毒，那么每輪病毒發(fā)作時(shí)，這臺(tái)計(jì)算機(jī)都可能感染沒(méi)被感染的20臺(tái)計(jì)算機(jī).現(xiàn)在10臺(tái)計(jì)算機(jī)在第1輪病毒發(fā)作時(shí)被感染，問(wèn)在第5輪病毒發(fā)作時(shí)可能有多少臺(tái)計(jì)算機(jī)被感染？(練習(xí)P.982)2.答案:第5輪病毒發(fā)作時(shí)最多會(huì)有160萬(wàn)臺(tái)被感染．課堂小結(jié)確定函數(shù)模型利用數(shù)據(jù)表格、函數(shù)圖象討論模型體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型的增長(zhǎng)含義問(wèn)題提出

1.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)，對(duì)數(shù)函數(shù)

y=logax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性如何？

2.利用這三類函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，其增長(zhǎng)速度是有差異的，我們?cè)鯓诱J(rèn)識(shí)這種差異呢？

探究（一）：特殊冪、指、對(duì)函數(shù)模型的差異

對(duì)于函數(shù)模型：y=2x,y=x2,y=log2x其中x>0.思考1:觀察三個(gè)函數(shù)的自變量與函數(shù)值對(duì)應(yīng)表,

這三個(gè)函數(shù)增長(zhǎng)的快慢情況如何？

…1.7661.5851.3791.1380.8480.4850-0.737-2.322y=log2x…11.5696.764.843.241.9610.360.04y=x2…10.55686.0634.5953.4822.63921.5161.149y=2x…3.43.02.62.21.81.410.60.2x思考2:在同一坐標(biāo)系中這三個(gè)函數(shù)圖象的相對(duì)位置關(guān)系如何？請(qǐng)畫出其大致圖象.xyo1124y=2xy=x2y=log2xy=log2xx012345678y=2x1248163264128256y=x201491625364964思考3:對(duì)于函數(shù)模型y=2x和y=x2，觀察下列自變量與函數(shù)值對(duì)應(yīng)表：

當(dāng)x>0時(shí)，你估計(jì)函數(shù)y=2x和y=x2的圖象共有幾個(gè)交點(diǎn)？

思考4:根據(jù)圖象，不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的x的取值范圍分別如何？思考5:上述不等式表明，這三個(gè)函數(shù)模型增長(zhǎng)的快慢情況如何？xyo1124y=2xy=x2y=log2x探究（二）：一般冪、指、對(duì)函數(shù)模型的差異思考1:對(duì)任意給定的a>1和n>0，在區(qū)間(0,+∞)上ax是否恒大于xn?ax是否恒小于xn?思考2:當(dāng)a>1，n>0時(shí)，在區(qū)間(0,+∞)上,ax與xn的大小關(guān)系應(yīng)如何闡述？思考3:一般地，指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)在區(qū)間(0,+∞)上，其增長(zhǎng)的快慢情況是如何變化的？總存在一個(gè)，當(dāng)x>時(shí)，就會(huì)有思考4:對(duì)任意給定的a>1和n>0，在區(qū)間(0,+∞)上,logax是否恒大于xn?logax是否恒小于xn?思考5:隨著x的增大,logax增長(zhǎng)速度的快慢程度如何變化?xn增長(zhǎng)速度的快慢程度如何變化？思考6:當(dāng)x充分大時(shí),logax(a>1)與xn

(n>0)誰(shuí)的增長(zhǎng)速度相對(duì)較快？總存在一個(gè)，當(dāng)x>時(shí)，就會(huì)有思考7:一般地，對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)在區(qū)間(0,+∞)上，其增長(zhǎng)的快慢情況如何是如何變化的？xyo1y=logaxy=xn思考8:對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)，對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)，總存在一個(gè)x0，使x>x0時(shí),ax,logax,xn三者的大小關(guān)系如何？思考9:指數(shù)函數(shù)y=ax

(0<a<1)，對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(0<a<1)和冪函數(shù)y=xn(n<0),在區(qū)間(0,+∞)上衰減的快慢情況如何？總存在一個(gè)，當(dāng)x>時(shí)，就會(huì)有xyo1y=axy=xny=logax3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例例3：一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時(shí)間的關(guān)系如圖：x13452y1020304070605080905080657590(1)求圖中陰影部分的面積，并說(shuō)明所求面積的實(shí)際含義。

（2）假設(shè)這輛汽車的里程表在行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立汽車行駛這段路程時(shí)汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)skm與時(shí)間th的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖像。x13452y102030407060508090tt(2):解：（1）陰影部分的面積為

陰影部分的面積表示汽車在這5小時(shí)內(nèi)行駛的為360km。x13452y20002100220023002400......分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的重要模型解決應(yīng)用題的一般程序是：①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；②建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；③解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；④還原：將用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論，還原為實(shí)際問(wèn)題的意義．

例4：人口問(wèn)題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問(wèn)題。認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長(zhǎng)提供依據(jù)。早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：其中t表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間，表示t=0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長(zhǎng)率。下面是1950~1959年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料：55196563005748258796602666145662828645636599467207

(1)如果以各年人口增長(zhǎng)率的平均值作為我國(guó)這一時(shí)期的人口增長(zhǎng)率(精確到0.0001)，用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在這一時(shí)期的具體人口增長(zhǎng)模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符；

1950195119521953195419551956195719581959

(2)如果按表中數(shù)據(jù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)，大約在哪一年我國(guó)的人口達(dá)到13億？于是,1951~1959年期間,我國(guó)人口的年平均增長(zhǎng)率為5000055000600006500070000012345ty6789

由上圖可以看出,所得模型與1950~1959年的實(shí)際人中數(shù)據(jù)基本吻合.（2）將y=1300000代入

y=55196e0.0221t，由計(jì)算機(jī)可得：t≈38.76

這就是說(shuō)按照這個(gè)增長(zhǎng)趨勢(shì)，那么大約在1950年后的第39年（即1989年），我國(guó)的人口就已經(jīng)達(dá)到13億。如果不實(shí)行計(jì)劃生育，而讓人口自然增長(zhǎng)，今天我國(guó)將面臨難以承受的人口壓力！解模驗(yàn)?zāi)Ｓ媚＠?某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價(jià)是5元，銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如表所示：請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個(gè)經(jīng)營(yíng)部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)？銷售單價(jià)/元6789101112日均銷售量/桶480440400360320280240分析：由表中信息可知①銷售單價(jià)每增加1元，日均銷售量就減少40桶②銷售利潤(rùn)怎樣計(jì)算較好？解：設(shè)在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上增加x元后，日均經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)為y元，則有日均銷售量為480-40（x-1）=520-40x

（桶）

而有最大值

只需將銷售單價(jià)定為11.5元，就可獲得最大的利潤(rùn)。解模驗(yàn)?zāi)Ｓ媚＿x模例6某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表身高/cm60708090100110120130140150160170體重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根據(jù)表所提供的數(shù)據(jù),能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系?試寫出這個(gè)函數(shù)模型的解析式.(2)若體重超過(guò)相