中考復習之突破訓練-初中數(shù)學 - 答案

中考復習之專題突破訓練匯總-初中數(shù)學

參考答案與試題解析

一、選擇題(共15小題)

1.(2021?齊齊哈爾)分式方程上7=——-——有增根，那么根的值為()

x-1(x-l)(x+2)

A.0和3B.1C.1和一2D.3

【考點】B5：分式方程的增根；86：解一元一次方程

【專題】11：計算題

【分析】根據(jù)分式方程有增根，得出x-1=0,x+2=0,再代入求出即可.

【解答】解：?.?分式方程上L-l=——-——有增根，

x-1(x-l)(x+2)

x—1=0,x+2=0,

%,=1.x2=-2.

兩邊同時乘以(x-l)(x+2),原方程可化為MX+2)-(X-1)(X+2)=〃7,

整理得，m=x+2，

當x=1時，代入得：〃?=1+2=3,

當x=—2時，代入得：〃z=—2+2=0,

當，〃=0時，方程為一^---1=0.

x-1

此時1=0?

即方程無解，

.?.帆=3時，分式方程有增根，

應選：D.

【點評】此題主要考查對分式方程的增根，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，理解分

式方程的增根的意義是解此題的關鍵.

2.(2021?欽州)如圖，在6個邊長為1的小正方形及其局部對角線構成的圖形中，如圖從A

點到3點只能沿圖中的線段走，那么從A點到5點的最短距離的走法共有()

A.1種B.2種C.3種D.4種

【考點】KU：勾股定理的應用

【專題】11：計算題

【分析】如下圖，找出從A點到3點的最短距離的走法即可.

【解答】解：根據(jù)題意得出最短路程如下圖，

最短路程長為@+2?+1=272+1,

那么從A點到8點的最短距離的走法共有3種，

3.（2021?荊州）如圖，圓柱底面的周長為4a〃，圓柱高為2“"，在圓柱的側(cè)面上，過點A

和點C嵌有一圈金屬絲，那么這圈金屬絲的周長最小為（）

A.4&dmB.2\[2dmC.2亞dmD.4辨dm

【考點】AV：平面展開-最短路徑問題

【專題】121：幾何圖形問題

【分析】要求絲線的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結果,

在求線段長時，根據(jù)勾股定理計算即可.

【解答】解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形，那么這圈金屬絲的周長最小為2AC的

長度.

.?圓柱底面的周長為44",圓柱高為2“"，

，.AB=2dm,BC=BC'=2dm,

■.AC2=22+22=4+4=8,

AC=2\[2dm,

，這圈金屬絲的周長最小為2AC=4夜加.

應選：A.

【點評】此題考查了平面展開-最短路徑問題，圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，此矩形的長

等于圓柱底面周長，高等于圓柱的高，此題就是把圓柱的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平

面〃，用勾股定理解決.

4.（2021?黃州區(qū)校級模擬）如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該

正整數(shù)為“和諧數(shù)”如（8=3?-F,16=52-32,即8,16均為“和諧數(shù)”）,在不超過2021

的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)〃之和為（）

A.255054B.255064C.250554D.255024

【考點】4F：平方差公式；1E：有理數(shù)的乘方

【專題】23：新定義

【分析】由（2〃+1）2-（2〃-1）2=8%,2017,解得演2521，可得在不超過2021的正整數(shù)中,

8

“和諧數(shù)”共有252個，依此列式計算即可求解.

【解答】解：由（2〃+1）2-（2〃-1）2=阮,2017,解得〃,2522，

8

那么在不超過2021的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為

32-12+52-32+...+5052-5032=5052-I2=255024.

應選：D.

【點評】此題考查了平方差公式，弄清題中“和諧數(shù)"的定義是解此題的關鍵.

5.〔2021?龍巖）定義符號加〃伍，b}的含義為：當a..b時加〃{a,b}=b；當av1時,

b]=a.如：min\\,-3}=-3,min[-4,-2}=-4.那么疝”{-f+l,-x}的最大值是（

）

A.B.C.1D.0

22

【答案】A

【考點】二次函數(shù)的最值；正比例函數(shù)的性質(zhì)

【專題】新定義；數(shù)形結合

【分析】min{a,與的含義就是取二者中的較小值，畫出函數(shù)圖象草圖，利用函數(shù)圖象的性

質(zhì)可得結論.

【解答】解：在同一坐標系xOy中，畫出二次函數(shù)y=-Y+l與正比例函數(shù)y=-x的圖象,

如下圖.設它們交于點A、B.

令一f+i=_x,即f=解得：工=1±^1或

22

.J-石>/5—11+>/5—1--75

??A(——>——)，B(——,---).

2222

觀察圖象可知：

①當用,匕且時，min{-x2+\,-x}=-x2+\,函數(shù)值隨x的增大而增大,其最大值為避二1；

22

②當匕正<8<口必時，，市〃{-/+],_x}=_x,函數(shù)值隨x的增大而減小，其最大值為

22

小于墾1；

2

③當X…上叵時，加+_}=—丁+1,函數(shù)值隨X的增大而減小，最大值為土垣.

22

綜上所述，min{-x2+\,-x}的最大值是或二1.

【點評】此題考查了二次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，充分理解定義加山伍，6}和掌握

函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵.

6.(2021秋?福田區(qū)校級期中)如圖，在平面直角坐標系中，正方形A8a>的頂點A的坐標

為(-1,1),點8在x軸正半軸上，點。在第三象限的雙曲線^=色上，過點C作CE〃x軸交

雙曲線于點E,那么CE的長為()

55

【考點】G6：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；LE；正方形的性質(zhì)

【專題】534：反比例函數(shù)及其應用；553：圖形的全等

【分析】證明、A/VV8三ADGC(AAS)得到：AN=DG=i=AH,而

AH=-\-m=\,解得：%=一2,即可求解.

【解答】解:設點￡>(〃?,目)，

m

如下圖，過點。作％軸的垂線交CE于點G,過點A過x軸的平行線交0G于點"，過點A

作AN_Lx軸于點N,

?/Z.GDC+ZDCG=90°,NGDC+N"D4=90。，

:.ZHDA=ZGCD,

又AD=CD,ZZMM=NCGD=90。，

:.\DHA=\CGD(AAS),

:.HA=DG,DH=CG,

同理A/W8仝ADGC(A4S),

8

:.AN=DG=\=AH,那么點—CG=DH,

m

AH=-1-AH=1,解得：m=-2,

故點G(—2,—5),￡>(-2,-4),”(—2,1),

那么點E(-|,-5),GE=|,

223

CE=CG-GE=DH-GE=5——=—,

55

應選：B.

【點評】此題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，需要兩次證明三角形全等，綜合性

較強，難度較大.

7.(2021秋?槐蔭區(qū)期末)如圖，在等邊三角形ABC中，在AC邊上取兩點M、N,使

NMBN=30P.假設MN=x,CN=n,那么以x,m,“為邊長的三角形的形

狀為()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.隨x,〃的值而定

【答案】C

【考點】等邊三角形的性質(zhì)

【專題】三角形；推理能力；幾何直觀

【分析】將AABM繞點3順時針旋轉(zhuǎn)60。得到ACBH.連接HN.想方法證明

ZHCN=120°HN=MN=x即可解決問題：

(解答］解：將MBM繞點3順時針旋轉(zhuǎn)60°得到ACBH.連接HN.

A

m

J

77c

???A4BC是等邊三角形，

.-.ZABC=ZACB=ZA=60°,

???4MBN=3Y,

,\ZABM+ZCBN=30°,

:.ZNBH=NCBH+/CBN=33，

.?.ZNBM=ZNBH,

?.?BM=BH,BN=BN,

:2BM三,BH,

:.MN=NH=x,

vZBCH=ZA=60°,CH=AM=n.

ZNCH=\20°,

m,〃為邊長的三角形&VCW是鈍角三角形，

應選：C.

【點評】此題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的

關鍵是學會利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

8.（2021?南平模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,P是對角線AC上的動點,

連接。P,將直線。尸繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)使NDPG=NZMC,且過。作Z）GJ_PG,連接CG,

那么CG最小值為（）

【答案】D

【考點】LB：矩形的性質(zhì)；R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【專題】556：矩形菱形正方形；558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱

【分析】如圖，作。HJ_AC于”，連接HG延長HG交C。于尸，作“￡J_C。于證明

AAOQAD//G,推出NO〃G=ND4P=定值，推出點G在射線板上運動，推出當CG_LH￡

時，CG的值最小，想方法求出CG即可.

【解答】解：如圖，作O"_LAC于H,連接”G延長“G交8于尸，作HELCD于H.

\DG.LPG,DHLAC,

:.ZDGP=ZDHA,

??NDPG=NDAH,

:./SADH^/SPDG，

ADDH

ZADH=/PDG，

DPDG

：.ZADP=ZHDG,

：.MDP^ADHGf

ZDHG=ZDAP=定值，

.?.點G在射線加上運動，

.?.當CG，”F時，CG的值最小，

??,四邊形ABC。是矩形，

/.ZADC=90°,

ZADH+ZHDF=90°,

???NZW/+ZAE>"=90。，

:?ZHDF=ZDAH=ZDHF,

:.FD=FH,

?/AFCH+ZCDH=90°,NFHC+NFHD=90。,

:./FHC=/FCH,

FH=FC=DF=1.5,

在RtAADC中，???NAT>C=90。，AD=4,8=3,

后

/.A“C=yJ32~+4F2=5c,DH=-A--D--^-D--C-=—12,

AC5

CH=y]CD2-DH2=1,

r,DH、CH36

CD25

??/CFG=ZHFE,/CGF=/HEF=90。,CF=HF,

:.^CGF=AHEF(AAS)f

2A

:.CG=HE=—,

25

.??CG的最小值為迎，

25

應選：D.

【點評】此題考查旋轉(zhuǎn)變換，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和

性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形核或全等

三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

9.(2021?定陶區(qū)三模)如圖，函數(shù)y=o?+版+c的圖象過點(-1,0)和(見0),請思考以下

判斷：

①abc<0;②4a+c<2b；③-=1；④anv+(2a+b)m+a+b+c<0；⑤

cm

|a-+a|=1b。-4ac正確的選項是()

A.①③⑤B.①②③④⑤C.①③④D.①②③⑤

【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系；H5：二次函數(shù)圖象上點的坐標特征

【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)

【分析】①利用圖象信息即可判斷：②根據(jù)x=-2時，y<0即可判斷；③根據(jù)加是方程

or?+fer+c=0的根，結合兩根之積-機=￡,即可判斷：④根據(jù)兩根之和-1+"?=-2,

aa

可得ma=a—h可得

anr+(2a+b)m+a+b+c=ani2+bm+c+lam+a+/?=2a-2Z?+a+b=3a-b<0,⑤根

據(jù)拋物線與x軸的兩個交點之間的距離，列出關系式即可判斷；

【解答】解：???拋物線開口向下，

「.avO，

???拋物線交y軸于正半軸，

/.c>0,

?.一>0,

2a

abc<0,故①正確，

?.?%=—2時，y<0,

：Aa—2b+c<Qy即4a+cv2/?,故②正確，

?/y=ax2+bx+c的圖象過點(-1,0)和(m,0),

,C2I八

/.-lx/n=—,am+bm+c=0,

a

amb1八

二.——+—+—=0，

ccm

故③正確，

cm

,b

*：-\+m=——，

a

/.—a+am=-b,

:.am=a—b，

?/am2+(2a+h)m+a+h+c

=am2+btn+c+2am+a+b

=2a—2b+a+b

=3a-b<09故④正確，

1—b+b~—4tzc-b—b~-A-cic

H7+1=------------------------------------------,

2a2a

y/b1-4ac

.?.m+1=|-------------1,

a

：.\am+a\=\Jb2-4ac,故⑤正確,

應選：B.

【點評】此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)），=?2+法+以“x0）,二

次項系數(shù)。決定拋物線的開口方向：當4>0時，拋物線向上開口；當4<0時，拋物線向

下開口；一次項系數(shù)6和二次項系數(shù)。共同決定對稱軸的位置：當“與6同號時（即

ab>0）,對稱軸在y軸左；當°與人異號時（即必<0）,對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決

定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0,c）；△決定拋物線與x軸交點個數(shù)：△

=6-4牝>0時，拋物線與x軸有2個交點；△=〃-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交

點；△=/-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.

10.（2021?呼和浩特）如圖是某幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求得該幾何體的體積為（

A.607B.707rC.90%D.160萬

【考點】U3：由三視圖判斷幾何體

【專題】121：幾何圖形問題；63：空間觀念

【分析】易得此幾何體為空心圓柱，圓柱的體積=底面積x高，把相關數(shù)值代入即可求解.

【解答】解：觀察三視圖發(fā)現(xiàn)該幾何體為空心圓柱，其內(nèi)圓半徑為3,外圓半徑為4,高為

10,

所以其體積為10X（42%-3%）=70萬，

應選：B.

【點評】此題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解決此題的關鍵是得到此幾何體的形狀，

易錯點是得到計算此幾何體所需要的相關數(shù)據(jù).

11.（2021?山西）如圖，點E在正方形A3CD的對角線AC上，且EC=2AE,直角三角形FEG

的兩直角邊￡F、EG分別交BC、DC于點M、N.假設正方形438的邊長為a,那

么重疊局部四邊形㈤WCV的面積為（）

3499

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；LE：正方形的性質(zhì)

【專題】121：幾何圖形問題；16：壓軸題

【分析】過E作EP_LBC于點P,EQ_LC￡＞于點Q,\EPM￡\EQN,利用四邊形￡MCV

的面積等于正方形PCQE的面積求解.

【解答】解：過E作EP_L8C于點尸，EQ^LCD于點Q,

G

?.?四邊形A8CD是正方形,

,-.ZBCD=90°,

又ZEPM=NEQN=90°,

:.ZPEQ=90°,

ZPEM+ZMEQ=90°,

?.?三角形FEG是直角三角形，

NNEF=NNEQ+ZMEQ=90°,

NPEM=NNEQ,

AC是NBCD的角平分線，NEPC=NEQC=90°,

:.EP=EQ,四邊形PCQE是正方形，

在AFPM和AEQN中，

NPEM=ZNEQ

<EP=EQ,

NEPM=NEQN

:.AEPM=AEQN（ASA）

,**S&EQN=S.PM，

：.四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積，

正方形ABCD的邊長為a,

AC=,

?.EC=2AE,

“2V2

EC=--a,

3

.\EP=PC=-a,

3

正方形PCQE的面積=4x4=2",

339

A

：.四邊形EMCN的面積=-a2,

9

應選：D.

【點評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關鍵是作出輔助

線，證出AEPM三AEQN.

12.（2021?牡丹江）由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖，那么

搭成該幾何體的小正方體的個數(shù)最少是（）

A.3B.4C.5D.6

【考點】U3：由三視圖判斷幾何體

【專題】1：常規(guī)題型；63：空間觀念

【分析】根據(jù)三視圖的知識，主視圖是由4個小正方形組成，而左視圖是由4個小正方形組

成，故這個幾何體的底層最少有3個小正方體，第2層最少有1個小正方體.

【解答】解：根據(jù)左視圖和主視圖，這個幾何體的底層最少有1+1+1=3個小正方體，

第二層最少有1個小正方體，

因此組成這個幾何體的小正方體最少有3+1=4個.

應選：B.

【點評】此題考查了由幾何體判斷三視圖，意在考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力,

同時也表達了對空間想象能力方面的考查.如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋,

左視圖拆違章”就容易得到答案.

13.(2021秋?南宮市校級期中〕a,b.c是正整數(shù)，a>h,且。？-a6-ac+bc=ll,那么

a-c等于()

A.-1B.-1或一11C.ID.1或11

【考點】59：因式分解的應用

【專題】2B：探究型；11：計算題；69：應用意識

【分析】根據(jù)因式分解的分組分解法即可求解.

［解答］解：a1—ab-ac+be=\\

(a2-ab)-(ac-be)=11

a(a-b)-c(a-b)=\\

(?-b)(a-c)=11

?/a>b,

.'.a-b>0>a,b,c是正整數(shù)，

:.a-b=\11,a-c=ll或1.

應選：D.

【點評】此題考查了因式分解的應用，解決此題的關鍵是掌握分組分解法分解因式.

14.(2021?茨城區(qū)校級一模)如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,P是AB

邊上一動點，尸￡>，4。于點。，點￡：在「的右側(cè)，且PE=1,連接CE,P從點A出發(fā)，

沿43方向運動，當E到達點3時，P停止運動，在整個運動過程中，陰影局部面積E+邑

的大小變化的情況是()

A.一直減小B.一直增大C.先增大后減小D.先減小后增大

【答案】D

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)

【專題】推理能力；計算題；圖形的相似；運算能力

【分析】設P￡>=x,AB邊上的高為/?,想方法求出A。、〃，構建二次函數(shù)，利用二次函

數(shù)的性質(zhì)解決問題即可.

【解答】解：在Rt^ABC中，vZACB=90°,AC=4,BC=3,

/.AB=y]AC2+BC2=V32+42=5,設9:X,AB邊上的高為

,AC.BC12

h=----------=—

AB5

?;PDIIBC,

.?.AADPSAACB

PDAD

BCAC

45

/.AD=—XfPA=—x

33

141//5、1222r242333

Sc,+cS-,=—?—X*XH—(4—x)?—=-x-2.xH-----=—(Zx—x)2H-----

'-23235353210

??.當Ovxv］時，￥+§2的值隨工的增大而減小,

當掇Ik4時，耳+S的值隨x的增大而增大.

應選：D.

【點評】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，動點問題的函數(shù)圖象，三角形面積，勾股定理

等知識，解題的關鍵是構建二次函數(shù)，學會利用二次函數(shù)的增減性解決問題，屬于中考?？?/p>

題型.

15.(2021秋?平陰縣期中)如圖，A，4,A?,…A,,,…是x軸上的點，且

0A=442=44-..=41%..=1,分別過點A，4,A?.........A,,,…作x軸的垂線

交反比例函數(shù)y=l(x>o)的圖象于點4，B,,B、，…,紇，…，過點B,作B,q_LAg

X

于點6，過點名作員于點鳥…，記員的面積為5，△為鳥員的面積為

邑+邑+…+S”等于(

C，D

n+1n+12(/?+1)-葛

【考點】38：規(guī)律型：圖形的變化類；G5：反比例函數(shù)系數(shù)％的幾何意義；G6：反比例函

數(shù)圖象上點的坐標特征

【專題】534：反比例函數(shù)及其應用

【分析】由3=A4=4A”.=AiA,=1可知4點的坐標為(1,乂)，與點的坐標為

(2,y2),B3點的坐標為(3,%)…紇點的坐標為(〃,")，把x=l，x=2,x=3代入反比例

函數(shù)的解析式即可求出必、丫2、丫3的值，再由三角形的面積公式可得出耳、.、S,...Sn

的值，故可得出結論.

【解答】解：,.?0A=A4=4A="，=AI-I4=I，

I

.,.設8(1，X),B2(2,y2),B3(3,y3),...Bn{n,yn),

???耳，B,,4…在反比例函數(shù)y=，x>0)的圖象上,

X

23〃

1?Si=^xlx(y1-y2)=^xlx(l-i)=

S2=gxlx(%-%)=gx(g-g)；

S3=；x]x(%_%)=；x(g_；)；

+——+...+—-----)=------

S.4-S2+S?+...+S——(1-----1--------

123^222334nn+\2(〃+1)

應選：C.

【點評】此題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函

數(shù)的解析式是解答此題的關鍵.

二、填空題（共15小題）

16.（2021秋?成都期末）如圖，a,b,c分別是RtAABC的三條邊長，ZC=90°,我們把

關于x的形如y=@x+2的一次函數(shù)稱為''勾股一次函數(shù)"，假設點尸（1,3叵）在"勾股一次

cc5

函數(shù)”的圖象上，且RtAABC的面積是5,那么c的值是5.

【考點】一次函數(shù)圖象上點的坐標特征

【專題】一次函數(shù)及其應用

【分析】依據(jù)題意得到三個關系式：a+b=^-c,ab=10,a2+b2=c2,運用完全平方公

5

式即可得到c的值.

【解答】解：?.?點P（l,2）在“勾股一次函數(shù)“y=2的圖象上，

5cc

3rzabni..3V5

5cc5

又???〃，b,c分別是RtAABC的三條變長，ZC=9O°,RtAABC的面積是5,

—ab=5即"=10,

2

又???儲+從=c2f

（a+h）2-2ah=c2,

即，（竽C）2—2X10=C2,

解得c=5,

故答案為：5.

【點評】此類考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及勾股定理的應用，根據(jù)題目中所給的

材料結合勾股定理和乘法公式是解答此題的關鍵.

17.(2021?武漢模擬)對于一個函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當-探/1時，

-啜/1,那么稱這個函數(shù)為“閉函數(shù)".例如：y=x,y=—x均是“閉函

數(shù)".y=ar2+bx+c(aH0)是“閉函數(shù)"，且拋物線經(jīng)過點和點是(-1,1),那么。的

取值范圍是_a<0或0</，g_.

【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征

【專題】常規(guī)題型

【分析】把A、8的坐標代入函數(shù)解析式，即可求出a+c=0,匕=-1,代入得出拋物線表

達式為尸小-x-a(awO),得出對稱軸為x=-L,再進行判斷即可.

2a

【解答】解：?.?拋物線丫=加+公+。("0)經(jīng)過點A(l,-1)和點

a+Z?+c=—1①。―1②

①+②得：a+c=O即a與c互為相反數(shù)，

①一②得：h=-\；

所以拋物線表達式為y=ax2-尤-。(〃工0),

對稱軸為x=，

2a

當avO時，拋物線開口向下，且工='<0,

2a

.??拋物線y=QY-x-a(a#O)經(jīng)過點和點,

同理，當a>0時，拋物線開口向上，S.x=—>Q,

2a

綜上所述：a的取值范圍是a<0或0<q,』，

22

故答案為：a<0或0<q,'.

22

【點評】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，能靈活運用性

質(zhì)和函數(shù)的新定義求解是解此題的關鍵.

18.（2021?成都）如圖，在邊長為2的菱形A3CD中，ZA=60°,M是AQ邊的中點，N是

45邊上的一動點，將A/VWN沿MN所在直線翻折得到△AMN,連接次C,那么HC長度

的最小值是一近-1_.

【答案】77-1.

【考點】翻折變換（折疊問題）；菱形的性質(zhì)

【分析】根據(jù)題意，在N的運動過程中A，在以〃為圓心、4）為直徑的圓上的弧4）上運

動，當AC取最小值時，由兩點之間線段最短知此時M、H、C三點共線，得出4的位置,

進而利用銳角三角函數(shù)關系求出A，C的長即可.

【解答】解：如下圖：:Mf是定值，4C長度取最小值時，即A在上時，

過點M作叱，￡>C于點F,

???在邊長為2的菱形A3CD中，ZA=60°,M為AD中點,

:.2MD=AD=CD=2,乙FDM=析,

:,NFMD=30。,

：.FD=-MD=-,

22

FM=DMxcos30°=—,

2

MC=VFM2+CF2=S,

:.NC=MC-MN=^.

故答案為：A/7—1.

【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關系等知識，得出H點位置是解題

關鍵.

19.(2021?咸寧一模)假設關于x的分式方程二-+毋匚=-2-無解，那么加=

X—2x~—4x+2

-4或6或1.

【考點】B3：解分式方程

【專題】11：計算題

【分析】該分式方程二一+4"=二一無解的情況有兩種：(1)原方程存在增

x-2x-4x+2

根；(2)原方程約去分母后，整式方程無解.

【解答】解：(1)》=-2為原方程的增根，

止匕時有2(x+2)+mx=3(x—2),即2x(-2+2)-2m=3x(-2-2),

解得m=6.

(2)x=2為原方程的增根，

止匕時有2(x+2)+mx=3(x-2),即2x(2+2)+2M=3x(2-2),

解得m=-4.

⑶方程兩邊都乘(x+2)(x-2),

得2(x+2)+/nx=3(x—2)，

化簡得：（〃z-l）x=TO.

當加=1時，整式方程無解.

綜上所述，當〃?=-4或/"=6或加=1時，原方程無解.

【點評】分式方程無解，既要考慮分式方程有增根的情形，又要考慮整式方程無

解的情形.

20.（2021?淳安縣自主招生）如圖，在矩形中，點E是4）的中點，連結將AABE

沿著5E翻折得到AABE,EF交BC于點、H,延長所、ZX7相交于點G,假設。G=16,

21

8c=24,那么/7/=_—

【考點】PB：翻折變換（折疊問題）

【分析】連結GE,根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可得A￡FG與AEZX7是直角三角形，

DE=AE=FE,再根據(jù)“L即可證明A￡FG=A￡ZX7.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得

DG=FG=\6,nJiSl：AB=BF=DC=x,在RtABCG中，根據(jù)勾股定理可求班1的長，

再在RtABFH中，根據(jù)勾股定理可求"7=8"的長.

【解答】解：連結GE.

?.?E是邊AD的中點，

;.DE=AE=FE,

又?.?四邊形ABC。是矩形，

,ZD=ZA=ZBFE=90°,

ZD=ZEFG=90°.

在RtAEFG與RtAEDG中，

{EF=ED

]EG=EG'

RtAEFG三RtZkEDG(HL)；

:.DG=FG=16,

設。C=x,那么CG=16-x,8G=x+16

在RtABCG中，

BG2=BC-+CG1,

即(X+16)2=(16-X)2+242,

解得x=9,

.AD/IBC,

：.ZAEB=NCBE,

?;ZAEB=ZFEB,

:.NCBE=NFEB,

：.BH=EH,

設BH=EH=y,那么切=12-y,

在RtABFH中，

BH2=BF-+FH-,

即y2=9?+(12-y)2,

解得產(chǎn)炎，

sc7521

/.12—y=12-----=—?

88

故答案為：—.

8

【點評】考查了翻折變換（折疊問題），涉及的知識點有：折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等

三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，綜合性較強，有一定的難度，關鍵是作出輔助線構

造全等三角形.

21.（2021?蕪湖三模）等邊三角形A8C中，AB=3,點。在直線8c匕點E在直線AC上,

QQ

且NBAD=NCBE,當8￡）=1時，那么/1E的長為2或4或乙或2.

---------------2~4~

【考點】AY：三角形綜合題

【專題】16：壓軸題

【分析】分四種情形分別畫出圖形，利用全等三角形或相似三角形的性質(zhì)解決問題即可;

【解答】解：分四種情形：

①如圖1中，當點。在邊上，點￡在邊AC上時.

?.?A4BC是等邊三角形，

:.AB=BC=AC=3,ZABD=ZBCE=60。,

?;ZBAD=NCBE,

:./SABD^/!^BCE(ASA),

:.BD=EC=\,

:.AE=AC-EC=2.

②如圖2中，當點。在邊8c上，點E在AC的延長線上時.作EF//A8交8c的延長線于F.

?.-ZCEF=ZC4B=60°,ZECF=ZACB=O)°,

.?.AECF是等邊三角形，設EC=CF=EF=x,

-.?ZABD=ZBFE=f^°,ZBAD^ZFBE,

二■BD^MFE,

.BDAB

13

?.一=------?

xx+3

3

..X——,

2

9

...AE=AC+CE=-

2

③如圖3中，當點。在C8的延長線上，點后在AC的延長線上時.

vZABD=ZBCE=120°,AB=BC,ZBAD=ZFBE,

:.AABD=ABCE(ASA)，

,\EC=BD=\,

:.AE=AC+EC=4.

④如圖4中，當點。在C8的延長線上，點石在邊AC上時.作EF//AB交8C于尸，那么

AEFC是等邊三角形.

設EC=EF=CF=m,

由AABAASEE,可得處=些,

EFBF

,1_3

??——t

x3-x

3

..x=一,

4

9

AE=AC-EC=-,

4

綜上所述，滿足條件的AE的值為2或4或2或

24

故答案為2或4或2或2.

24

【點評】此題是三角形綜合題、考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三

角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會添加常用輔

助線，構造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

22.（2003?成都）如圖，過矩形ABCD的對角線上一點K分別作矩形兩邊的平行線MN

與PQ,那么圖中矩形41辦T的面積S,與矩形QCNK的面積邑的大小關系是3_=

邑；（填“>"或或"="）

【考點】K3：三角形的面積；LB-.矩形的性質(zhì)

【專題】14：證明題；152：幾何綜合題；16：壓軸題

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，可知的面積等于AC/M的面積，的面積等于AQKB

的面積，APKD的面積等于的面積，再根據(jù)等量關系即可求解.

【解答】解：?.?四邊形A88是矩形，四邊形M8QK是矩形，四邊形是矩形，

?.A4BZ）的面積的面積，AMBK的面積=AQKB的面積，APKO的面積=A/VDK的

面積，

?.AAB。的面積-AMBK的面積-APKZ）的面積=\CDB的面積一XQKB的面積=ANDK的面

積，

故答案為S]=S2.

【點評】此題的關鍵是得到^ABD的面積等于bCDB的面積，AMBK的面積等于kQKB的面

積，APK。的面積等于&VDK的面積，依此即可求解.

23.[2002?四川)個=3,那么亞+出的值是—±26

【考點】78：二次根式的加減法

【專題】16：壓軸題

【分析】先化簡，再分同正或同負兩種情況作答.

【解答】解：因為孫=3,所以x、y同號，

于是原式=察+),杼/歷+木向5

當x>0,y>0時，=y[xy+Jxy=2^3；

當x<0,y<0時，原式=-^/^+(-7^)=-2百.

故原式=±26.

【點評】此題比擬復雜，解答此題時要注意x,y同正或同負兩種情況討論.

24.(2021?鄲都區(qū)模擬)在AA8C中，ZACB=9Q°,BC=8,AC=6,以點C為圓心，4

為半徑的圓上有一動點。，連接4),BD,CD,那么1B￡)+A。的最小值是2M.

2一一

【考點】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；SA：相似三角形的應用

【專題】559：圓的有關概念及性質(zhì)；552：三角形

【分析】如圖，在C8上取一點F,使得C尸=2,連接fD,AF.由AFC3ADCB,推

DFCF111

出一=—=一，推出?！?一3。，推出一BD+AO=O尸+AF,根據(jù)+AD.A/即可

BDCD222

解決問題；

【解答】解：如圖，在CB上取一點尸，使得CF=2,連接㈤，AF.

.?.8=4,CF=2,CB=8,

:.CD?=CF?CB,

CDCB

..—,

CFCF

,;/FCD=/DCB,

DF_CF_l

而一而一5'

：.DF=-BD,

2

-BD+AD=DF+AF,

2

■.DF+AD..AF,AF=y/22+62=2710.

,BO+AO的最小值是2折，

2

故答案為2曲.

【點評】此題考查相似三角形的應用，兩點之間線段最短，勾股定理等知識，解題的關鍵是

學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題.

25.（2021秋?青羊區(qū)期末）如圖，平面直角坐標系中，直線y=x上一點尸（2,2）,C為y軸

上一點，連接PC,線段PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90。至線段PD,過點￡＞作直線ABJ_x軸,

垂足為8,直線45與直線y=x交于點A,連接CD,直線CD與直線y=x交于點Q,

當AOPCMAADP時，那么C點的坐標是_（0,4+2夜）。點的坐標是.

【考點】FF：兩條直線相交或平行問題；KA：全等三角形的性質(zhì)；R7：坐標與圖形變化

-旋轉(zhuǎn)

【專題】46：幾何變換

【分析】過P點作x軸的平行線交y軸于V,交AB于N,如圖，設C(O,r),OP=2y/2,

OM=BN=PM=2,CM=t-2,利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得尸C=PZ),ZCP￡>=90°,再證明

△PCM三ADPN得至ijPN=CM=f-2,DN=PM=2,于是得到。億4),接著利用

△OPCnAADP得到AO=O尸=20,那么4億4+2也)，于是利用y=x圖象上點的坐標

特征得到f=4+2后，所以C(0,4+2后)，0(4+272,4),接下來利用待定系數(shù)求出直

線CZ)的解析式為y=(l-夜)x+4+20,那么通過解方程組廠廣可

y=(l-V2)x+4+2V2

得。點坐標.

【解答】解：過尸點作工軸的平行線交y軸于交AB于N,如圖，設C(Oj),

二.P(2,2),

.?.OP=2點，OM=BN=PM=2,CM=t-2,

???線段PC繞點、P順時針旋轉(zhuǎn)90°至線段PD,

:.PC=PD,ZCPD=90°,

:,ZCPM+ZDPN=90°,

而ZCPM+ZPCM=90°,

/.NPCM=ZDPN,

在APCM和AZ?W中

/PMC=NDNP

</PCM=ZDPN,

PC=DP

.\^PCM=ADPN,

:.PN=CM=t-2,DN=PM=2,

/.MN=/—2+2=/,DB=2+2=4>

/.O?,4),

vAOPC=A4Z)P,

AD=OP=2應,

4。,4+20),

把A(f,4+2近)代入y=x得t=4+2夜，

C(0,4+2&),0(4+272,4),

設直線CD的解析式為y=kx+b,

"=4+y,解得.k=\-42

把C(0,4+2及)，。(4+2夜,4)代入得.

(4+2&)&+6=4〃=4+2&’

直線CD的解析式為j=（l-&）x+4+2血,

y=xx=2夜+2

解方程組〈得

y=(l-應)x+4+20j=2垃+2

二。(2亞+2,2V2+2).

故答案為（0,4+2夜），（2夜+2,2夜+2）.

【點評】此題考查了坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)：圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的

特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標.常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°,45°,60。，90°,

180°.會應用全等三角形證明線段相等，理解坐標與圖形性質(zhì).

26.12021秋?蘆溪縣期中）假設|〃-2|+《一份2=0,那么。

【考點】16：非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值；1/：非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方

【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出方程求出。、〃的值，代入所求代數(shù)式計算即可.

2=0

【解答】解：根據(jù)題意得：2，

——b=0

13

a=2

解得：2.

b=—

3

那么原式=