新教材人教b版必修第二冊(cè)61向量的加法

6.1,2向量的加法

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一向量的加法運(yùn)算

1.（2020江西宜春高二月考）向量（屈+而）+（由+前）+6而等于

（）

AAMB.Q）C.0Z?.AC

2.下列等式錯(cuò)誤的是（）

+0=0+a=aB.AB+BC+AC=Q

C.荏+瓦?=0D.CA+AC=MN+NP+PM

3.（2020山西芮城高一線上月考）如圖,在矩形/及力中，而+赤+而=

（）

\.ABB.ACC.AD\）.BD

4.如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)0,P,Q,E,F,G,H,則赤+而等于

（）

r--，-1--4---4"-"4~~」

IIIIIII

IIIIIII

???????

X.OHB.OGC.FOD.EO

5.在矩形ABCD中，|荏|=4,|前|=2,則向量通+而+前的長(zhǎng)度等于

V5V5

6.(2020山東濰坊高一下期末)設(shè)a"都是單位向量，則|a+6|的取值

范圍是.

7.如圖，。為正六邊形/比頌的中心,求出下列向量：

(DOA+OC;

(2)OA+FE.

ED

?<>

AR

8.如圖,在△/式中，0為重心，點(diǎn)〃￡尸分別是邊BC,AC,AB的中點(diǎn),

化簡(jiǎn)下列各式：

(1)BC+CE+'EA;(2)OE+AB+EA;(3)AB+FE+DC.

題組二向量加法的實(shí)際應(yīng)用

9.(2020寧夏六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)高一期末)兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力與凡

當(dāng)它們的夾角為90。時(shí),合力大小為30N.當(dāng)它們的夾角為120°時(shí)-，

合力大小為?

10.輪船從A港沿東偏北300方向行駛了40nmile到達(dá)B處,再由B

處沿正北方向行駛40nmile到達(dá)。處,求此時(shí)輪船關(guān)于/港的相對(duì)

位置.

1L如圖，用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子AB上，Z

4c胎150°,N及如120°,求力處和8處所受力的大小.（繩子的重量忽

略不計(jì)）

能力提升練

一、單項(xiàng)選擇題

1.（疑難］,★★☆）下列式子中不能化簡(jiǎn)為玩的是（）

A.BA+ACB.BD+DA+AC

C.AB+BD+DCD.DC+BA+AD

2.(2020湖南張家界高一期末,★★☆)在四邊形ABCD中，若

AC=AB+AD,則四邊形ABCD一定是()

A.正方形B.菱形

C.矩形D.平行四邊形

3.（疑難2,★★☆）已知%的三個(gè)頂點(diǎn)。及平面內(nèi)一點(diǎn)尸滿足

西+而=無(wú)，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.尸在的內(nèi)部B.尸在△/比1的邊/月上

C.尸在力打邊所在直線上D.尸在的外部

4.（疑難1、？，★★☆）如圖，在四邊形ABCD中，下列各式成立的是

A.'BC+BD^CDB.CD+DA^AC

C.CB+AD+BA=CDD.AB+AC=BD+DC

二、多項(xiàng)選擇題

5.（疑難1、2,★★☆）已知點(diǎn)D,E,夕分別是△/回的邊AB,a;。的中

點(diǎn)，則下列等式中正確的是（）

A.7D+DA=FAB.FD+DE+EF=O

C.~BE+EF+FD^BDD.DA+^E=FD

6.(★★☆)如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計(jì)算正確的是

)

A.AB+AD^ACB.AC+CD+DO^OA

C.AB+AD+CD=ADD.AC+BA+DA=Q

三、填空題

7.(★★☆)在矩形ABCD中，|荏|=3,|AD|=4,則

IBA+JD+BCI=.

8.(2020湖南師大附中高一期中，疑難1，★★☆)一條河的兩岸平行,

河水從西向東流去，一艘船從河的南岸某處出發(fā)駛向北岸.已知船的

速度|%|=20km/h,水流速度|引=10km/h,要使該船行駛的航程最短,

則船速匕的方向與河的南岸上游的夾角為.

四、解答題

9.(★★☆)如圖所示,為了調(diào)運(yùn)物資,一艘船從江的南岸A點(diǎn)出發(fā)，以

5V3km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東5

km/h.

(1)試用向量表示江水的速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；

⑵求船實(shí)際航行速度的大小與方向(用與江水的速度方向的夾角表

示).

10.（疑難1、在四邊形45⑦中,對(duì)角線4。、切交于點(diǎn)

且|荏|=|而1=1,OA+OC=OB+'OD=Q,cosZDA^.^\DC+BC\-^

\CD+~BC\.

答案全解全析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.D(AB+MB)+(BO+BC)+OM=AB+BO+OM+MB+BC^AC.故選D.

2.B由向量加法的運(yùn)算法則可知荏+說(shuō)+前=元+元=2元.

3.B由題意得，而+礪+與=荏+而=尼.故選B.

4.C設(shè)a=OP+OQ,利用向量加法的平行四邊形法則作出向量加+的,

再平移，發(fā)現(xiàn)a=FO.

5.B因?yàn)榍?而=而,所以而+而+前的長(zhǎng)度為前的模的2倍,因?yàn)?/p>

|ZC|=J|^4B|2+|玩12=2百，所以|屈+而+稻=4遍.

6.答案[0,2]

解析a,b同向時(shí),a+b的模最大,為2,a,8反向時(shí),a+b的模最小,為

0,故/a%/的取值范圍為[0,2],

7.解析⑴,?,就=謔，

J.'OA+OC^OC+CB^OB.(答案不唯一)

(2)

：.OA+FE=OA+OD=0.

8.解析(1)阮+通+說(shuō)=雇+說(shuō)=函.

(2)OE+AB+EA=(OE+EA)+AB^OA+AB^OB.

(3)易知所為慶7的一條中位線，

1

：.FE//BC,FE=-BC.

?.?點(diǎn)〃是宛的中點(diǎn),

：.BD=-BC,：.FE=BD,

2

：.AB+FE+DC^AB+BD+DC=AD+DC^AC.

9.答案15V2N

信息提?、偈枪颤c(diǎn)力.②￡與K的大小相等.③凡K的夾角為

90°時(shí)，合力大小為30N.④當(dāng)幾月的夾角為120°時(shí),求合力大小.

數(shù)學(xué)建模本題以力的合成為背景，構(gòu)建向量加法的數(shù)學(xué)模型，考查

向量加法的平行四邊形法則.根據(jù)兩力大小相等及夾角為90°時(shí)，合

力大小為30N可求得兩力的大小,然后根據(jù)A,月的夾角為120。，可

求得它們合力的大小.

解析根據(jù)向量的平行四邊形法則，作出下圖，則A+所就.

圖1圖2

若E,司的夾角為90°,即N物氏90°，

則|￡|=|￡|=30Xsin45°=15近；

若夾角為120°,則/胡伊/加冷60°,

所以△力勿為等邊三角形，所以|左|=|￡|=15魚(yú)，則合力的大小為

15V2N.

10.解析如圖所示,AB,就分別表示輪船的兩次位移，則就表示輪

船的和位移,AC=AB+BC.延長(zhǎng)/至點(diǎn)〃，使點(diǎn)〃位于A的正東方向，

在△力初中，//法90。，N的於30。，|而|二40nmile,所以|麗|=20

nmile,AD|=20V3nmile.

在△ADC中，Z49e90。，|DC|=60nmile,所以

IAC)|^4D|2+|DC)2=J(20V3)2+602=40V3(nmile).

因?yàn)镮而|=2：而I,所以N。介60。.

所以輪船此時(shí)位于4港東偏北60。，且距4港40gnmile的。處.

11.解析如圖所示，

設(shè)而，而分別表示A處處所受的力，10N的重力用方表示，則

~CE+CF=CG.

易得N歹叱180°-150°=30°,Z先仁180°-120°=60°,Z

FG故90°易證得四邊形為矩形，

A|CE|=|CG|cos300=10X^=5V3(N),

\CF\=\CG\cos600=1OX1=5(N).

4處所受力的大小為5gN,夕處所受力的大小為5N.

能力提升練

一、單項(xiàng)選擇題

1.C通+前+反=而+沆=刀.故選C.

2.D因?yàn)榍?屈+而,根據(jù)向量的三角形法則，有前=荏+近，則可

知而=前，故四邊形四切為平行四邊形.

3.D通過(guò)畫(huà)圖（圖略）可以排除A,B,C,當(dāng)點(diǎn)尸在△力式的外部,且四邊

形必。為平行四邊形時(shí)可滿足題意.故選D.

4.C麗+而W麗，A錯(cuò)誤；而+方=Z^,B錯(cuò)

^;CB+AD+BA=CB+BA+AD=CD,C正確;'^DWC^BC^BA+AC,D錯(cuò)誤.

故選C.

二、多項(xiàng)選擇題

5.ABC由向量加法的平行四邊形法則可知，科+屁=而。麗.

6.ACD由向量加法的平行四邊形法則可知荏+而二而,故A正確；

AC+CD+DO=AD+DO=Ad^aA,B不正確;

AB+AD+CD^AC+CD=AD,故C正確；

AC+BA+DA=BA+AC+DA=BC+DA=Q,故D正確.故選ACD.

三、填空題

7.答案10

解析易知|前|=5,由向量加法的平行四邊形法則知，瓦?+阮=麗,

所以Ia+前+麗|=21而1=2X5=10.

8.答案60°

解析設(shè)船的實(shí)際速度為匕則尸匕+丹,記匕與了的夾角為8,要使船

行駛的航程最短，則r±r2,

所以sin所以