3.3.1幾何概型(2)講解

3.3.1

幾何概型(2)例某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是任意的，求一個(gè)乘客到達(dá)車站后候車時(shí)間大于10分鐘的概率？例某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是任意的，求一個(gè)乘客到達(dá)車站后候車時(shí)間大于10分鐘的概率？分析：把時(shí)刻抽象為點(diǎn)，時(shí)間抽象為線段，故可以用幾何概型求解。解：設(shè)上輛車于時(shí)刻T1到達(dá)，而下一輛車于時(shí)刻T2到達(dá)，線段T1T2的長(zhǎng)度為15，設(shè)T是T1T2上的點(diǎn)，且T1T=5，T2T=10，如圖所示:·答：侯車時(shí)間大于10分鐘的概率是1/3.T1T2T記候車時(shí)間大于10分鐘為事件A，則當(dāng)乘客到達(dá)車站的時(shí)刻落在線段T1T上時(shí)，事件發(fā)生，區(qū)域D的測(cè)度為15，區(qū)域d的測(cè)度為5。所以變式：1.假設(shè)題設(shè)條件不變，求候車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率.T1T2T分析：2某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達(dá)，并且出發(fā)前在車站?？?分鐘。乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是任意的，求一個(gè)乘客到達(dá)車站后候車時(shí)間大于10分鐘的概率？分析：設(shè)上輛車于時(shí)刻T1到達(dá)，而下一輛車于時(shí)刻T0到達(dá)，T2時(shí)刻出發(fā)。線段T1T2的長(zhǎng)度為15，設(shè)T是T1T2上的點(diǎn)，且T0T2=3，TT0=10，如圖所示:·記候車時(shí)間大于10分鐘為事件A，則當(dāng)乘客到達(dá)車站的時(shí)刻落在線段T1T上時(shí)，事件A發(fā)生，區(qū)域D的測(cè)度為15，區(qū)域d的測(cè)度為15-3-10=2。所以T1T2TT01.某人一覺(jué)醒來(lái),發(fā)現(xiàn)表停了,他打開收音機(jī),想聽電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí),求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率.解:設(shè)事件A={等待的時(shí)間不多于10分鐘}

事件A發(fā)生的區(qū)域?yàn)闀r(shí)間段[50,60]

鞏固練習(xí)2.教室后面墻壁上的時(shí)鐘掉下來(lái),面板摔壞了,刻度5至7的部分沒(méi)了,如圖:但指針運(yùn)行正常,若指針都指向有刻度的地方視為能看到準(zhǔn)確時(shí)間,求不能看到準(zhǔn)確時(shí)間的概率.1/6鞏固練習(xí)3.在直角坐標(biāo)系內(nèi),射線OT落在60o

角的終邊上,任作一條射線OA,求射線OA落在∠XOT內(nèi)的概率。鞏固練習(xí)甲、乙二人約定在12點(diǎn)到5點(diǎn)之間在某地會(huì)面,先到者等一個(gè)小時(shí)后即離去設(shè)二人在這段時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻到達(dá)是等可能的,且二人互不影響.求二人能會(huì)面的概率.想一想解:以X,Y分別表示甲乙二人到達(dá)的時(shí)刻,于是

即點(diǎn)M落在圖中的陰影部分.所有的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形,即有無(wú)窮多個(gè)結(jié)果.由于每人在任一時(shí)刻到達(dá)都是等可能的,所以落在正方形內(nèi)各點(diǎn)是等可能的.012345yx54321.M(X,Y)二人會(huì)面的條件是：

012345yx54321y-x=1y-x=-1我的收獲3.幾何概型的概率計(jì)算公式1.幾何概型的特征2.幾何概型的定義

每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性

.幾何概型中所有可能出現(xiàn)的基本事件有

個(gè)；如果某個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)成正比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型。無(wú)限相等4.解決幾何概型的關(guān)鍵是構(gòu)造隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形.解題步驟記事件構(gòu)造幾何圖形計(jì)算幾何度量求概率下結(jié)論思考題：有只螞蟻在如圖的五角星區(qū)域內(nèi)自由的爬行，且它停在任意一點(diǎn)的可能性相等，已知圓形區(qū)域的半徑為2，螞蟻停在圓形內(nèi)的概率為0.1，求圖中五角星的面積.(計(jì)算結(jié)果保留π）隨堂練習(xí)，鞏固提高解：記“螞蟻?zhàn)詈笸Ｔ谖褰切莾?nèi)”為事件A,

解:以x，y分別表示兩人的到達(dá)時(shí)刻，則兩人能會(huì)面的充要條件為試一試:3.兩人相約8點(diǎn)到9點(diǎn)在某地會(huì)面,先到者等候另一人20分鐘,過(guò)時(shí)就可離去,試求這兩人能會(huì)面的概率.思考與討論假設(shè)小明家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：30至7：30之間把報(bào)紙送到家，小明離開家去上學(xué)的時(shí)間在早上7：00至8：00之間，問(wèn)小明在離開家之前能得到報(bào)紙（稱為事件A）的概率是多少？（提示：可借助直角坐標(biāo)系）課堂小結(jié)1.幾何概型的特點(diǎn).2.幾何概型的概率公式.3.公式的運(yùn)用.本節(jié)核心內(nèi)容是幾何概型特點(diǎn)及概率求法，易錯(cuò)點(diǎn)是容易找錯(cuò)、求錯(cuò)幾何度量。要求在做解答題時(shí)要有規(guī)范的步驟和必要的文字說(shuō)明，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣！1.古典概型與幾何概型的區(qū)別.相同：兩者基本事件的發(fā)生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限個(gè)，幾何概型要求基本事件有無(wú)限多個(gè).2.幾何概型的概率公式.復(fù)習(xí)回顧3.在幾何概型中，事件A的概率的求解步驟？記事件構(gòu)造幾何圖形指出概率類型計(jì)算幾何度量求概率

1.甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭，這兩艘船在一晝夜內(nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的，如果甲船停泊時(shí)間為1h，乙船停泊時(shí)間為2h，求甲、乙兩船中任意一艘船都不需要等待碼頭空出才能進(jìn)港的概率.xyo122424練習(xí)解.以7點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，小時(shí)為單位。x，y

分別表示兩人到達(dá)的時(shí)間，(

x，y

)構(gòu)成邊長(zhǎng)為

60的正方形S，顯然這是一個(gè)幾何概率問(wèn)題。

兩人相約于7時(shí)到8時(shí)在公園見(jiàn)面，先到者等候20分鐘就可離去，求兩人能夠見(jiàn)面的概率。

6060

o

x

yS2020他們能見(jiàn)面應(yīng)滿足

|

x–

y|≤20，因此，

A

x

–

y=–20

x

–

y=20P(A)=6０２－4０２6０２＝５９練習(xí)3.在線段AD上任意取兩個(gè)點(diǎn)B、C,在B、C

處折斷此線段而得三折線,求此三折線能構(gòu)成三角形的概率.P=1/41在數(shù)軸上，設(shè)點(diǎn)x∈[-3,3]中按均勻分布出現(xiàn)，記a∈(-1,2】為事件A，則P（A）=（）A.1B.0C.1/2D.1/3C023-3-1考考你2、已知直線y=x+b,b∈[-2，3]，則直線在y軸上的截距大于1的概率是（）A、1/5B、2/5C、3/5D、4/53－21oB考考你3.如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形木板，上面畫著一個(gè)邊界不規(guī)則的地圖，板上的點(diǎn)是雨點(diǎn)打上的痕跡（雨點(diǎn)落在何處是等可能的），則這個(gè)地圖的面積為考考你4.國(guó)家安全機(jī)關(guān)監(jiān)聽錄音機(jī)記錄了兩個(gè)間諜的談話，發(fā)現(xiàn)30min的磁帶上，從開始30s處起，有10s長(zhǎng)的一段內(nèi)容包含間諜犯罪的信息．后來(lái)發(fā)現(xiàn),這段談話的部分被某工作人員擦掉了，該工作人員聲稱他完全是無(wú)意中按錯(cuò)了鍵，使從此后起往后的所有內(nèi)容都被擦掉了．那么由于按錯(cuò)了鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？解:記事件A:按錯(cuò)鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉．當(dāng)按錯(cuò)鍵時(shí)刻在30-40s時(shí)間段部分被擦掉,當(dāng)按錯(cuò)鍵時(shí)刻在0-30s時(shí)間段全部被擦掉,則事件A發(fā)生就是在0-40s,即０--２／３min時(shí)間段內(nèi)按錯(cuò)鍵．故P(A)=

2

330=

1

455.在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM小于AC的概率.分析：點(diǎn)M隨機(jī)地落在線段AB上，故線段AB為區(qū)域D。當(dāng)點(diǎn)M位于圖中的線段AC’上時(shí)，AM＜AC，故線段AC’即為區(qū)域d。解：在AB上截取AC’=AC，于是

P（AM＜AC）=P（AM＜AC’）則AM小于AC的概率為ABCC’考考你6.在半徑為1的圓上隨機(jī)地取兩點(diǎn)，連成一條線，則其長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率是多少？BCDE.0解：記事件A={弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)}，取圓內(nèi)接等邊三角形BCD的頂點(diǎn)B為弦的一個(gè)端點(diǎn)，當(dāng)另一點(diǎn)在劣弧CD上時(shí)，|BE|>|BC|，而弧CD的長(zhǎng)度是圓周長(zhǎng)的三分之一，所以可用幾何概型求解，有則“弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)”的概率為考考你

7

如圖，在三角形AOB中,已知∠AOB=60°,OA=2，OB=5，在線段OB上任取一點(diǎn)C，求△AOC為鈍角三角形的概率.DEABOC8.假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙,送報(bào)人可能在早上6:30—7:30之間把報(bào)紙送到你家,你父親離開家去工作的時(shí)間在早上7:00—8:00之間,問(wèn)你父親在離開家前能得到報(bào)紙(稱為事件A)的概率是多少?解:以橫坐標(biāo)X表示報(bào)紙送到時(shí)間,以縱坐標(biāo)Y表示父親離家時(shí)間建立平面直角坐標(biāo)系,假設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)落在方形區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的,所以符合幾何概型的條件.根據(jù)題意,只要點(diǎn)落到陰影部分,就表示父親在離開家前能得到報(bào)紙,即時(shí)間A發(fā)生,所以9.某商場(chǎng)為了吸引顧客,設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤,并規(guī)定:顧客每購(gòu)買100元的商品,就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì).如果轉(zhuǎn)盤停止時(shí),指針正好對(duì)準(zhǔn)紅、黃或綠的區(qū)域,顧客就可以獲得100元、50元、20元的購(gòu)物券(轉(zhuǎn)盤等分成20份).某顧客購(gòu)物120元.問(wèn):(1)他獲得購(gòu)物券的概率是多少？

(2)他得到100元、50元、20元的購(gòu)物券的概率分別是多少？

解:甲顧客購(gòu)物的錢數(shù)在100元到200元之間，可以獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì),轉(zhuǎn)盤一共等分了20份,