2.3-等差數(shù)列的前n項和解析

2.3等差數(shù)列的前n項和

1+2+3+…+100=？高斯的算法是：首項與末項的和：1+100=101，第2項與倒數(shù)第2項的和：2+99=101，第3項與倒數(shù)第3項的和：3+98=101，……第50項與倒數(shù)第50項的和：50+51=101，于是所求的和是：這個問題，可看成是求等差數(shù)列1，2，3，…，n，…的前100項的和。

這個問題，德國著名數(shù)學(xué)家高斯（1777年—1855年）10歲時曾很快求出它的結(jié)果。（你知道應(yīng)如何算嗎？）問題呈現(xiàn)

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕。傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？探究發(fā)現(xiàn)問題2：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

這是求奇數(shù)個項和的問題，不能簡單模仿偶數(shù)個項求和的辦法，需要把中間項11看成首、尾兩項1和21的等差中項。通過前后比較得出認(rèn)識：高斯“首尾配對”的算法還得分奇、偶個項的情況求和。進(jìn)而提出有無簡單的方法？

探究發(fā)現(xiàn)問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

借助幾何圖形之直觀性，引導(dǎo)學(xué)生使用熟悉的幾何方法：把“全等三角形”倒置，與原圖補成平行四邊形。探究發(fā)現(xiàn)問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

123212120191獲得算法：探究1+2+3+…+n的問題,得到如下算式+2+3+…+n-1+n

n+n-1+n-2+…+2+1(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)可知1+2+3+…+n=進(jìn)一步探究等差數(shù)列的前n項和的問題Sn=a1+a2+a3+…+anSn=an+an-1+an-2+…+a12Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)由此可得等差數(shù)列的前n項和公式:根據(jù)等差數(shù)列的定義，上式用a1和d可寫成：

Sn=a1+(a1+d)+···+[a1+(n-1)d]①把項的次序反過來，Sn又可用an和d表示成：

Sn=an+(an-d)+···+[an-(n-1)d]②把①、②兩邊分別相加，得：等差數(shù)列前n項的和即 Sn=a1+a2+…+an設(shè)等差數(shù)列{an}前n項的和為SnSn=an+an-1+…+a1把項的次序反過來，=n(a1+an)由此得到等差數(shù)列的{an}前n項和的公式即：等差數(shù)列前n項的和等于首末項的和與項數(shù)乘積的一半。上面的公式又可以寫成由等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d 兩個公式的共同點是需知a1和n，不同點是前者還需知an，后者還需知d，解題時需根據(jù)已知條件決定選用哪個公式。1、等差數(shù)列中a1=5，an=95，n=10，Sn=

；2、等差數(shù)列中a1=100，d=-2，n=50,則Sn=

；3、等差數(shù)列中a1=14.5，d=0.7，an=32，則Sn=

；4、等差數(shù)列5，4，3，2，…前

項和為-30；搶答題5002550604.515搶答題練習(xí)1

練習(xí)2

如圖，一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多一支，最上面一層放120支。這個V形架上共放著多少支鉛筆？解：由題意可知，這個V形架上共放著120層鉛筆，且自下而上各層的鉛筆數(shù)成等差數(shù)列，記為{an},其中a1=1,a120=120.根據(jù)等差數(shù)列前n項和的公式，得答：V形架上共放著7260支鉛筆。練習(xí)3

等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…前多少項的和是

54？解：設(shè)題中的等差數(shù)列為{an}，前n項和是Sn，則a1=-10，d=-6-(-10)

=4,設(shè)Sn=54，根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，得整理，得解得n1=9，n2=-3(舍去)因此等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…前9項的和是54。練習(xí)4：在等差數(shù)列{an}中，（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn（2）由等差數(shù)列的通項公式，得14.5+(n-1)0.7=32n=26（1）a3=-2，a8=12，求S10解：（1）

a1+a10=a3+a8=10例2

已知一個等差數(shù)列的前10項的和是310，前20項的和是1220，由此可以確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？解這個關(guān)于a1與d方程組，得到解：由題意知S10=310，S20=1220將它們代入公式得到所以這就是說，已知S10與S20

可以確定這個數(shù)列的前n項的和的公式，這個公式是[變式訓(xùn)練]設(shè)為等差數(shù)列的前

n項和,,求解:由∴即解得∴鞏固練習(xí)1、已知a6+a9+a12+a15=192,求S202、凸n邊形各內(nèi)角成等差數(shù)列，公差為10o，最小內(nèi)角為100o，則等于（

）（A）7

（B）8

（C）9

（D）8或9

a6+a9+a12+a15=192，a6+a15=a9+a12=a1+a20

a1+a20=96由題意，得:解得n=8

或9,但n=9時，a9=180o,不合題意，故選（B）B解：由7n<100,得即所以n14所以集合中的元素為：這個數(shù)列是等差數(shù)列,記為{an},a1=7,a14=98.因此，練習(xí)5求集合M={m|m=7n,nN*,且m<100}中元素的個數(shù)，并求這些元素的和。

?因為nN*

把課本例2的結(jié)論加以變化,可得到一個一般性結(jié)論:數(shù)列為等差數(shù)列,若,則:、、成等差數(shù)列（每個均為連續(xù)n項的和）

等差數(shù)列的前m項和為30，前2m項和為100，求數(shù)列前3m項的和解：在等差數(shù)列中，成等差數(shù)列∴

成等差數(shù)列∴∴公式法已知數(shù)列的前n項和求通項公式時,通常用公式用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能,一種是“一分為二”，即分段式，另一種是“合二為一”，即和合為一個表達(dá)式已知數(shù)列的前n項和滿足，求此數(shù)列的通項公式解：由條件可得當(dāng)n=1時，當(dāng)時，所以分析公式的結(jié)構(gòu)特征設(shè)若a1、d是確定的，那么上式可寫成Sn=An2+Bn若A≠0（即d≠0）時，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)且缺常數(shù)項。課本Ｐ45探究:若一個數(shù)列的前n項和為Sn=pn2+qn+r,其中p、q、r為常數(shù)，且p０，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？若是，它的首項與公差分別是什么？

(解答過程在下一個幻燈片)｛an｝解:∵當(dāng)n=1時,a1=S1=p+q+r.

當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1==2pn-p+q∴an=p+q+r2pn–p+q(n=1)(n≥

2)當(dāng)r=0時，an=2pn-p+q(n≥

1)是等差數(shù)列，首項是a1=p+q，公差是d=2p.

練習(xí)：一個等差數(shù)列的前10項之和為100，前100項之和為10，求其前110項之和。設(shè)首項為，公差為則得∴

練習(xí)：一個等差數(shù)列的前10項之和為100，前100項之和為10，求其前110項之和。設(shè)等差數(shù)列的前n項和∵∴∴例4．己知等差數(shù)列

5,4,3,…的前n項和為Sn,求使得Sn最大的序號n的值.解:由題意知,等差數(shù)列5,4,3,…的公差為,所以Sn=[2×5+(n-1)()]=

=(n-)2+對Sn的深入認(rèn)識nanOan=4n—14已知一個等差數(shù)列an=4n—14它是一個關(guān)于n的一次函數(shù)，它的圖象是在一條直線上的一群孤立的點。nSnO6Sn=2n2－12n它的前n項和是Sn=2n2－12n這是一個關(guān)于n的二次函數(shù)，且二次函數(shù)的常數(shù)項為0.反之若一個數(shù)列{an}，它的前n項和的表達(dá)式是關(guān)于n的二次函數(shù)，且二次函數(shù)的常數(shù)項為0，則這個數(shù)列是等差數(shù)列它的圖象是拋物線上的一群孤立的點。聯(lián)系:an=a1+(n-1)d的圖象是相應(yīng)直線上一群孤立的點.它的最值又是怎樣?

已知等差數(shù)列{an}中，a1<0,S9=S12,則該數(shù)列前多少項和最??？解法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為則由題意，得即∴∴∵∴有最小值又∵∴當(dāng)或，有最小值即∴又∵∴

已知等差數(shù)列{an}中，a1<0,S9=S12,則該數(shù)列前多少項和最?。拷夥ǘ河山夥ㄒ恢帧摺鄶?shù)列{an}

為遞增數(shù)列∴當(dāng)或，有最小值∴即解得

已知等差數(shù)列{an}中，a1<0,S9=S12,則該數(shù)列前多少項和最??？解法三：∵S9=S12即∴∴又∵∴數(shù)列{an}

為遞增數(shù)列因此數(shù)列前10項均為負(fù)值，，從第12項起為正值∴當(dāng)或，有最小值

已知等差數(shù)列{an}中，a1<0,S9=S12,則該數(shù)列前多少項和最小？解法四：∵S9=S12∴Sn的圖象所在的拋物線的對稱軸為又∵∴當(dāng)或，有最小值

1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=-25,S3=S8,

求前n項和Sn中的最小值

2.

已知數(shù)列{an}的首項為23,公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第六項為正，第七項為負(fù)

(1)求公差d(2)求前n項和Sn的最大值（3）當(dāng)Sn>0時，求n的最大值作業(yè)等差數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項的性質(zhì)（1）若項數(shù)為2