正余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)第二課時(shí)

正余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)xyo1-1-2

-

2341.正弦曲線-2

-

o

23x-11y余弦曲線周期性

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T

，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。

對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x),如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期。

知：函數(shù)y=sinx和y=cosx都是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是

2π。

由sin(x+2kπ)=sinx;cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z)周期性注意：（1）周期T為非零常數(shù)。（2）等式f(x+T)=f(x)對(duì)于定義域M內(nèi)任意一個(gè)x都成立。（3）周期函數(shù)f(x)的定義域必為無界數(shù)集（4）周期函數(shù)不一定有最小正周期。舉例：f(x)=1(x∈R),任一非零實(shí)數(shù)都是函數(shù)f(x)=1的周期，但在正實(shí)數(shù)中無最小值，故不存在最小正周期。的最小正周期奇偶性

一般的，如果對(duì)于一個(gè)定義域?qū)ΨQ的函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x),則稱f(x)為這一定義域內(nèi)的奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

一般的，如果對(duì)于一個(gè)定義域?qū)ΨQ的函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x),則稱f(x)為這一定義域內(nèi)的偶函數(shù)。偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

sin(-x)=-sinx(xR)

y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41

是奇函數(shù)x6o--12345-2-3-41

ycos(-x)=cosx(xR)

y=cosx(xR)是偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

正弦函數(shù)的單調(diào)性

y=sinx(xR)增區(qū)間為[，]

其值從-1增至1xyo--1234-2-31

x

sinx

…0……

…-1010-1減區(qū)間為[，]

其值從1減至-1？？？[

+2k

,

+2k],kZ[

+2k

,

+2k],kZ

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

余弦函數(shù)的單調(diào)性

y=cosx(xR)

x

cosx-

……0…

…

-1010-1增區(qū)間為其值從-1增至1[+2k

,2k],kZ減區(qū)間為，

其值從1減至-1[2k

,2k+

],kZyxo--1234-2-31

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

奇偶性

單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）奇函數(shù)偶函數(shù)[

+2k

,

+2k],kZ單調(diào)遞增[

+2k

,

+2k],kZ單調(diào)遞減[

+2k

,

2k],kZ單調(diào)遞增[2k

,

2k+

],kZ單調(diào)遞減函數(shù)余弦函數(shù)正弦函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：1.直接利用相關(guān)性質(zhì)2.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性3.利用圖象尋找單調(diào)區(qū)間yx01-1

y=sinx(xR)

當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)值y取得最大值1；當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)值y取得最小值-1觀察下面圖象：yx01-1

y=cosx(xR)

當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)值y取得最大值1；當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)值y取得最小值-1觀察下面圖象：因?yàn)榻K邊相同的角的三角函數(shù)值相同，所以y=sinx的圖象在……，…與y=sinx,x∈[0,2π]的圖象相同正弦曲線的周期---------1-1因?yàn)榻K邊相同的角的三角函數(shù)值相同，所以y=cosx的圖象在……，…與y=cosx,x∈[0,2π]的圖象相同余弦曲線的周期---------1-1

正弦、余弦函數(shù)的相同性質(zhì)x6yo--12345-2-3-41

y=sinx(xR)

x6o--12345-2-3-41

y

y=cosx(xR)

定義域值域周期性xRy[-1,1]T=2對(duì)稱性yx01-1

y=sinx(xR)

觀察下面圖象：yx01-1

y=cosx(xR)

觀察下面圖象：

函數(shù)

性質(zhì)y=sinx(k∈z)y=cosx(k∈z)定義域值域最值及相應(yīng)的x的集合周期性奇偶性單調(diào)性對(duì)稱中心對(duì)稱軸x∈Rx∈R[-1,1][-1,1]x=2kπ時(shí)ymax=1x=2kπ+π時(shí)ymin=-1周期為T=2π周期為T=2π奇函數(shù)

偶函數(shù)在x∈[2kπ-π，2kπ]上都是增函數(shù)。在x∈[2kπ，2kπ+π]上都是減函數(shù),(kπ,0)x=kπx=2kπ+時(shí)ymax=1x=2kπ-

時(shí)ymin=-1π2π2在x∈[2kπ-,2kπ+]上都是增函數(shù),在x∈[2kπ+，2kπ+]上都是減函數(shù).π2π2π23π2(kπ+,0)π2x=kπ+π2

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

例1

不通過求值，指出下列各式大于0還是小于0：

(1)sin()–sin()(2)cos()-cos()

解：

又y=sinx

在上是增函數(shù)

sin()<sin()即：sin()–sin()>0解：

cos<cos

即：

cos–cos<0又y=cosx

在上是減函數(shù)cos()=cos=cos

cos()=cos=cos

從而

cos()-cos()

<0

正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

例2

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

(1)y=2sin(-x)解：y=2sin(-x)=-2sinx

函數(shù)在