廣東省佛山市南海中學(xué)2022年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓：與圓：交于，兩點，若，則實數(shù)的值為（）A．1 B．2 C．-1 D．-22．已知平面向量滿足與的夾角為，且，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．3．已知、分別為雙曲線：（，）的左、右焦點，過的直線交于、兩點，為坐標(biāo)原點，若，，則的離心率為（）A．2 B． C． D．4．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．5．在正方體中，點、分別為、的中點，過點作平面使平面，平面若直線平面，則的值為（）A． B． C． D．6．已知是等差數(shù)列的前項和，，，則（）A．85 B． C．35 D．7．若、滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．8．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)（）A． B． C．4 D．59．設(shè)函數(shù)定義域為全體實數(shù)，令．有以下6個論斷：①是奇函數(shù)時，是奇函數(shù)；②是偶函數(shù)時，是奇函數(shù)；③是偶函數(shù)時，是偶函數(shù)；④是奇函數(shù)時，是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù)；⑥對任意的實數(shù)，．那么正確論斷的編號是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤10．設(shè)，，，則的大小關(guān)系是()A． B． C． D．11．已知復(fù)數(shù)滿足，且，則（）A．3 B． C． D．12．已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點，則（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則的取值范圍是__________.14．已知函數(shù)恰好有3個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為____15．已知，則__________.16．平行四邊形中，，為邊上一點（不與重合），將平行四邊形沿折起，使五點均在一個球面上，當(dāng)四棱錐體積最大時，球的表面積為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)點分別是橢圓的左，右焦點，為橢圓上任意一點，且的最小值為1．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，直線與軸交于點，過點且斜率的直線與橢圓交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：直線．18．（12分）已知函數(shù)，直線是曲線在處的切線．（1）求證：無論實數(shù)取何值，直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)；（2）若直線經(jīng)過點，試判斷函數(shù)的零點個數(shù)并證明．19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線的極坐標(biāo)方程為：，曲線的參數(shù)方程為其中，為參數(shù)，為常數(shù)．（1）寫出與的直角坐標(biāo)方程；（2）在什么范圍內(nèi)取值時，與有交點．20．（12分）在本題中，我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)叫做區(qū)間上的閉函數(shù)：①的定義域和值域都是；②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).（1）若在區(qū)間上是閉函數(shù)，求常數(shù)的值；（2）找出所有形如的函數(shù)（都是常數(shù)），使其在區(qū)間上是閉函數(shù).21．（12分）已知定點，，直線、相交于點，且它們的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線。（1）求曲線的方程；（2）過點的直線與曲線交于、兩點，是否存在定點，使得直線與斜率之積為定值，若存在，求出坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。22．（10分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)f(x)的極值點的個數(shù)；（2）若f(x)有兩個極值點證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

由可得，O在AB的中垂線上，結(jié)合圓的性質(zhì)可知O在兩個圓心的連線上，從而可求.【詳解】因為，所以O(shè)在AB的中垂線上，即O在兩個圓心的連線上，，，三點共線，所以，得，故選D.【點睛】本題主要考查圓的性質(zhì)應(yīng)用，幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化是求解的捷徑.2．D【解析】

由已知可得，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律，建立方程，求解即可.【詳解】依題意得由，得即，解得.故選:.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，向量垂直的應(yīng)用，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3．D【解析】

作出圖象，取AB中點E，連接EF2，設(shè)F1A＝x，根據(jù)雙曲線定義可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，進而得到e的值【詳解】解：取AB中點E，連接EF2，則由已知可得BF1⊥EF2，F(xiàn)1A＝AE＝EB，設(shè)F1A＝x，則由雙曲線定義可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a，所以x＝2a，則EF2＝2a，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，所以c2＝7a2，則e故選：D．【點睛】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用，考查離心率的求法，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．對于圓錐曲線中求離心率的問題，關(guān)鍵是列出含有中兩個量的方程，有時還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對方程進行整理，從而求出離心率.4．B【解析】

可解出集合，然后進行補集、交集的運算即可．【詳解】，，則，因此，.故選：B.【點睛】本題考查補集和交集的運算，涉及一元二次不等式的求解，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5．B【解析】

作出圖形，設(shè)平面分別交、于點、，連接、、，取的中點，連接、，連接交于點，推導(dǎo)出，由線面平行的性質(zhì)定理可得出，可得出點為的中點，同理可得出點為的中點，結(jié)合中位線的性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示：設(shè)平面分別交、于點、，連接、、，取的中點，連接、，連接交于點，四邊形為正方形，、分別為、的中點，則且，四邊形為平行四邊形，且，且，且，則四邊形為平行四邊形，，平面，則存在直線平面，使得，若平面，則平面，又平面，則平面，此時，平面為平面，直線不可能與平面平行，所以，平面，，平面，平面，平面平面，，，所以，四邊形為平行四邊形，可得，為的中點，同理可證為的中點，，，因此，.故選：B.【點睛】本題考查線段長度比值的計算，涉及線面平行性質(zhì)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是找出平面與正方體各棱的交點位置，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.6．B【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，求得，由此求得.【詳解】設(shè)公差為，則，所以，，，.故選：B【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式的基本量計算，考查等差數(shù)列前項和的計算，屬于基礎(chǔ)題.7．C【解析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線，找出直線在軸上的截距最大時對應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)計算即可.【詳解】作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分（包括邊界）所示．由，得，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點時，該直線在軸上的截距最大，此時取最大值，即.故選：C.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值，一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8．D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算法則先求出復(fù)數(shù)z，再計算它的模長．【詳解】解：復(fù)數(shù)z＝a+bi，a、b∈R；∵2z，∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，即，解得a＝3，b＝4，∴z＝3+4i，∴|z|．故選D．【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的計算問題，要求熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)長度的計算公式，是基礎(chǔ)題．9．A【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當(dāng)是偶函數(shù)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)是奇函數(shù)時，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)為非奇非偶函數(shù)時，例如：，則，，此時，故⑥錯誤；故③④正確.故選：A【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10．A【解析】

選取中間值和，利用對數(shù)函數(shù)，和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以，因為指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A【點睛】本題考查利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.11．C【解析】

設(shè),則,利用和求得,即可.【詳解】設(shè),則,因為,則,所以,又,即,所以,所以,故選:C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法法則的應(yīng)用,考查共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用.12．C【解析】

當(dāng)時，最多一個零點；當(dāng)時，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得．【詳解】當(dāng)時，，得；最多一個零點；當(dāng)時，，，當(dāng)，即時，，在，上遞增，最多一個零點．不合題意；當(dāng)，即時，令得，，函數(shù)遞增，令得，，函數(shù)遞減；函數(shù)最多有2個零點；根據(jù)題意函數(shù)恰有3個零點函數(shù)在上有一個零點，在，上有2個零點，如圖：且，解得，，．故選．【點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及兩個參數(shù)，故按“一元化”想法，逐步分類討論，這一過程中有可能分類不全面、不徹底.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．.【解析】

配方求出頂點，作出圖像，求出對應(yīng)的自變量，結(jié)合函數(shù)圖像，即可求解.【詳解】，頂點為因為函數(shù)的值域是，令，可得或.又因為函數(shù)圖象的對稱軸為，且，所以的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)值域，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

恰好有3個不同的零點恰有三個根，然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域即可.【詳解】解：恰好有3個不同的零點恰有三個根，令，，在遞增；，遞減，遞增，時，在有一個零點，在有2個零點；故答案為：.【點睛】已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍是重點也是難點，這類題一般用分離參數(shù)的方法，中檔題.15．【解析】

首先利用，將其兩邊同時平方，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式得到，從而求得，利用誘導(dǎo)公式求得，得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，所以，故答案是.【點睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡求值問題，涉及到的知識點有同角三角函數(shù)關(guān)系式，倍角公式，誘導(dǎo)公式，屬于簡單題目.16．【解析】

依題意可得、、、四點共圓，即可得到，從而得到三角形為正三角形，利用余弦定理可得，且，要使四棱錐體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)面面時體積取得最大值，利用正弦定理求出的外接圓的半徑，再又可證面，則外接球的半徑，即可求出球的表面積；【詳解】解：依題意可得、、、四點共圓，所以因為，所以，，所以三角形為正三角形，則，，利用余弦定理得即，解得，則所以，當(dāng)面面時，取得最大，所以的外接圓的半徑，又面面，，且面面，面所以面，所以外接球的半徑所以故答案為：【點睛】本題考查多面體的外接球的相關(guān)計算，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）見解析【解析】

（1）設(shè)，求出后由二次函數(shù)知識得最小值，從而得，即得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理，設(shè)，由韋達定理得，設(shè)，利用三點共線，求得，然后驗證即可．【詳解】解：（1）設(shè)，則，所以，因為．所以當(dāng)時，值最小，所以，解得，（舍負）所以，所以橢圓的方程為，（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得．設(shè)，則，設(shè)，因為三點共線，又所以，解得．而所以直線軸，即．【點睛】本題考查求橢圓方程，考查直線與橢圓相交問題．直線與橢圓相交問題，采取設(shè)而不求思想，設(shè)，設(shè)直線方程，應(yīng)用韋達定理，得出，再代入題中需要計算可證明的式子參與化簡變形．18．（1）見解析，（2）函數(shù)存在唯一零點.【解析】

（1）首先求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出處的切線斜率，利用點斜式即可求出切線方程，根據(jù)方程即可求出定點.（2）由（1）求出函數(shù)，令方程可轉(zhuǎn)化為記，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)，由零點存在性定理即可求出零點個數(shù).【詳解】所以直線方程為即，恒過點將代入直線方程，得考慮方程即，等價于記，則于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，又所以函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點，即函數(shù)存在唯一零點.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線過定點、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點存在性定理，屬于難題.19．（1），．（2）【解析】

（1）利用，代入可求；消參可得直角坐標(biāo)方程.（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，與有交點，可得，解不等式即可求解.【詳解】（1）（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程得：與有交點，即【點睛】本題考查了極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、直線與圓的位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題.20．（1）；（2）.【解析】

（1）依據(jù)新定義，的定義域和值域都是，且在上單調(diào)，建立方程求解；（2）依據(jù)新定義，討論的單調(diào)性，列出方程求解即可?！驹斀狻浚?）當(dāng)時，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，在區(qū)間上是增函數(shù)，即有，解得；同理，當(dāng)時，有，解得，綜上，。（2）若在上是閉函數(shù)，則在上是單調(diào)函數(shù)，①當(dāng)在上是單調(diào)增函數(shù)，則，解得，檢驗符合；②當(dāng)在上是單調(diào)減函數(shù)，則，解得，在上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意。故滿足在區(qū)間上是閉函數(shù)只有?！军c睛】本題主要考查學(xué)生的應(yīng)用意識，利用所學(xué)知識分析解決新定義問題。21．(1)；(2)存在定點，見解析【解析】

（1）設(shè)動點，則，利用，