山東省臨沂市莒南縣2023-2024學年八年級下學期期中數(shù)學試題【含答案解析】

2023-2024學年度下學期期中質(zhì)量檢測八年級數(shù)學試題第I卷選擇題共30分一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．每小題只有一個選項符合題目要求．1.使有意義的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件為被開方數(shù)大于等于零即可．【詳解】解：若有意義，則，解得，故選：D．2.下列計算正確的是（）A.＝ B.﹣＝ C.×＝6 D.÷＝4【答案】B【解析】【分析】利用二次根式運算法則運算及即可．【詳解】解：A、不能合并，故選項錯誤；B、，故選項正確；C、，故選項錯誤；D、，故選項錯誤．故選：B．【點睛】本題考查二次根式的加減乘除運算法則，能熟練運算是解題關鍵．3.下列二次根式中，不是最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可．本題考查的是最簡二次根式，掌握最簡二次根式的概念、二次根式的性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：A、是最簡二次根式，不符合題意；B、是最簡二次根式，不符合題意；C、，不是最簡二次根式，符合題意；D、是最簡二次根式，不符合題意；故選：C．4.△ABC的三條邊分別為a，b，c，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A. B.∠A＝∠B+∠CC.∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D.a＝6，b＝8，c＝10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理及三角形內(nèi)角和定理對各選項進行逐一判斷即可．【詳解】解：A.∵，∴，∴，∴此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；B.∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C，∴∠A=90°，∴此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；C.設∠A=3x，則∠B=4x，∠C=5x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∴∠C=5×15°=75°，∴此三角形不是直角三角形，故本選項符合題意；D.∵，∴此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形就是直角三角形．也考查了三角形內(nèi)角和定理，熟知以上知識是解答此題的關鍵．5.如圖，公路，互相垂直，公路的中點與點被湖隔開，若測得的長為，則，兩點間的距離為（）A.0.6km B.1.2km C.1.5km D.2.4km【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出，代入求出即可．【詳解】解：，，為的中點，，，，故選：．【點睛】本考考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，能根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出是解此題的關鍵．6.綜合實踐課上，嘉嘉畫出，利用尺規(guī)作圖找一點C，使得四邊形為平行四邊形．圖1~圖3是其作圖過程．（1）作的垂直平分線交于點O；（2）連接，在的延長線上截??；（3）連接，，則四邊形即為所求．在嘉嘉的作法中，可直接判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（）A.兩組對邊分別平行 B.兩組對邊分別相等C.對角線互相平分 D.一組對邊平行且相等【答案】C【解析】【分析】根據(jù)作圖步驟可知，得出了對角線互相平分，從而可以判斷．【詳解】解：根據(jù)圖1，得出的中點，圖2，得出，可知使得對角線互相平分，從而得出四邊形為平行四邊形，判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是：對角線互相平分，故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的判斷，解題的關鍵是掌握基本的作圖方法及平行四邊形的判定定理．7.如圖，周長為，相交于點O，交于E，則的周長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出，根據(jù)線段垂直平分線得出，求出，代入求出即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴的周長是：，故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)的應用，關鍵是求出，主要培養(yǎng)運用性質(zhì)進行推理的能力，8.如圖是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個小圓孔，則一條長的直吸管露在罐外部分的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計）范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如圖，當吸管底部在O點時吸管在罐內(nèi)部分b最短，此時本題就是圓柱形的高；當吸管底部在A點時吸管在罐內(nèi)部分b最長，此時a可以利用勾股定理在Rt△ABO中即可求出．【詳解】解：如圖，當吸管底部在地面圓心時吸管在罐內(nèi)部分b最短，此時b就是圓柱形的高，即b＝12；∴a＝16﹣12＝4，當吸管底部在飲料罐的壁底時吸管在罐內(nèi)部分b最長，b13，∴此時a＝3，所以3≤a≤4．故選：B．【點睛】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息，正確理解題意是解題的關鍵．9.如圖，過對角線的交點，交于點，交于點，則：①；②圖中共有4對全等三角形；③若，，則；④；其中正確的結論有（）A.①④ B.①②④ C.①③④ D.①②③【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，證明，得出，判斷①，根據(jù)平行四邊形是中心對稱圖形，得出6對全等三角形，進而判斷②，根據(jù)三角形三邊關系得出的取值范圍，判斷③，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷④．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴，∴；故①正確，由平行四邊形的中心對稱性，全等三角形有：，，，，，共6對，故②錯誤；∵，∴，∴，∴，故③正確；∵，∴；故④正確；故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形三邊關系，平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．10.如圖，D是內(nèi)部一點，，且，依次取，，，的中點，并順次連接得到四邊形，則四邊形的面積是（）A.12 B. C.24 D.48【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，先根據(jù)三角形中位線定理可得，，，從而可得，再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)矩形的判定可得平行四邊形是矩形，最后利用矩形的面積公式求解即可得．【詳解】解：點分別是，的中點，且，，同理可得：，，，四邊形是平行四邊形，，，又，，平行四邊形是矩形，則四邊形的面積是，故選：A．第Ⅱ卷非選擇題共90分二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．11.已知是整數(shù)，則正整數(shù)的最小值為_________．【答案】【解析】【分析】先化簡二次根式，再根據(jù)是整數(shù)，即可求解．【詳解】∵，∵是整數(shù)，∴是一個平方數(shù)，∴正整數(shù)的最小值為：，故答案是：．【點睛】本題主要考查二次根式的化簡，理解“被開方數(shù)是平方數(shù)，那么二次根式的值為整數(shù)”是解題的關鍵．12.已知，化簡：______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和絕對值的意義化簡計算即可．詳解】解：，=，∵，∴，故答案為：3．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和絕對值，解題關鍵是明確，能熟練化簡絕對值．13.化簡后與最簡二次根式的被開方數(shù)相等，則_________.【答案】5【解析】【分析】本題先將化簡為最簡二次根式，繼而利用題干信息“被開方數(shù)相同”列方程求解．【詳解】，其中被開方數(shù)為6；的被開方數(shù)為，故有：，則．故答案為：5．【點睛】本題考查最簡二次根式的化簡以及對二次根式概念的理解，需注意化簡原則為被開方數(shù)不含分母,也不含能開的盡方的因數(shù)或因式．14.如圖，已知O是□ABCD的對角線交點，AC=38mm，BD=24mm，AD=14mm，那么△OBC的周長等于__________．【答案】45mm【解析】【詳解】解：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以OA=OC=AC=19，OB=OD=BD=12，AD=BC=14，所以△OBC的周長=OB+OC+BC=19+12+14=45mm．故答案為：45mm．15.《算法統(tǒng)宗》記載古人丈量田地的詩：“昨日丈量地回，記得長步整三十．廣斜相并五十步，不知幾畝及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，記得長方形田的長為30步，寬和對角線之和為50步．不知該田的面積有多少？請幫他算一算，該田的面積為___________平方步．【答案】480【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)、勾股定理求得長方形的寬，然后由矩形的面積公式即可解答．【詳解】解：設該矩形的寬為x步，則對角線為步，由勾股定理，得，解得，故該矩形的面積為（平方步）．故答案是：480．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，利用方程思想求得矩形的寬是解答本題的關鍵．16.如圖，平行四邊形的活動框架，當時，面積為，將從扭動到，則四邊形面積為_______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，含有角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意可得，，作，交于點，則，從而即可得到．添加適當?shù)妮o助線構造直角三角形是解題的關鍵．【詳解】解：當時，面積為，，將從扭動到，，作，交于點，如圖所示，，，故答案為：．三、解答題：本題共8小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：（1）（2）【答案】（1）；（2）9【解析】【分析】（1）先化簡成最簡二次根式，再根據(jù)二次根式加減法法則計算即可；（2）先利用完全平方公式展開，再根據(jù)二次根式混合運算法則計算即可得答案．【詳解】（1）=4=；（2）．=84+1+=94+=9．【點睛】本題考查了二次根式的運算，熟練掌握運算法則是解題關鍵．18.如圖，在四邊形中，，E，F(xiàn)，M分別是，，的中點，連接，，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】此題主要考查三角形的線段證明，解題的關鍵是熟知三角形中位線與直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．【詳解】證明：，F(xiàn)分別是，的中點，是的中位線，，，M是的中點，．，．19.如圖，E，F(xiàn)是四邊形的對角線上兩點，，，．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【解析】【分析】本師考查全等三角形判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．先由得，再證明，得，，繼而得，即可由平行四邊形判定定理得出結論．【詳解】證明：∵，∴，∴在和中，，∴，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形．20.如圖，是菱形的對角線，，F(xiàn)是上一點，且垂直平分，垂足為E，連接，求的度數(shù)．【答案】【解析】【分析】由垂直平分線可得，由菱形的性質(zhì)可得，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：為的垂直平分線，，∴，四邊形是菱形，∴，∴，∴的度數(shù)為．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理．熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理是解題的關鍵．21.已知：和都是等腰直角三角形，，點在延長線上．求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)邊角邊證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，然后根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】和都是等腰直角三角形，，，，，，，在和中，，，，，，，．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識點，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)得出是解本題的關鍵．22.△ABC如圖所示．（1）利用尺規(guī)作圖法作?ABCD（保留作圖痕跡，不用寫作法）；（2）在（1）所作的?ABCD中，連接BD．若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝8，求BD的長．【答案】（1）見解析；（2）10【解析】【分析】（1）分別以A，C為圓心，BC，AB為半徑作弧，兩弧交于點D，連接AD，CD即可；（2）在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OB即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖，平行四邊形ABCD即為所求；理由：∵，，∴四邊形ABCD是平行四邊形，平行四邊形ABCD即為所求；（2）設AC交BD于點O．∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝8，∴AO＝OC＝4，OB＝OD，∵∠BAC＝90°，AB＝3，∴，∴BD＝2OB＝10．【點睛】本題考查作圖，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是利用勾股定理求出OB，再利用平行四邊形的性質(zhì)求出BD．23.【閱讀材料】我們已經(jīng)學習了實數(shù)以及二次根式有關概念，同學們可以發(fā)現(xiàn)以下結果：當時，當且僅當即時，取得最小值，最小值為2．【模仿探究】請利用以上結果解決下面的問題：（1）當時，求的最小值，并求出此時a的值；【應用意識】（2）如圖，某學校為開展勞動課，需要在直角墻角處修建形如的蔬果園，要求蔬果園的面積為20平方米，斜邊AB需要用柵欄圍上，求柵欄AB的最小值．【答案】（1）最小值為4，；（2）【解析】【分析】（1）仿照材料中的例子，可求得；（2）利用三角形面積公式設出兩條直角邊，勾股定理求得斜邊AB的式子，求最小值；本題考查了二次根式的運算，關鍵是掌握三角形面積公式和勾股定理．【詳解】解：（1）當時，當且僅當即時，取得最小值，最小值為4．（2）設，則，則當且僅當即時，取得最小值，最小值為80．24.實踐探究如圖①，把一個長方形的紙片對折兩次，然后剪下一個角，若得到一個正方形，剪口與折痕應成______度的角．知識應用(1)小明按照以上方法剪出兩個邊長為的全等正方形，如圖②所示擺放，則四邊形的面積為______．(2)小明發(fā)現(xiàn)，正方形在繞點轉動的過程中，兩個正方形重疊部分的面積與正方形面積之間存在一定的數(shù)量關系，如圖③寫出該數(shù)量關系，并予以證明．拓展延伸小明剪了兩個大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，且．如圖④放置，其中點是的中點，點在的延長線上，