4、矩形的判定和性質 - 答案

矩形的判定和性質【問題導學】操作：已知Rt△ABC中，BO是斜邊AC上的中線。請大家以點O為對稱中心，作出此圖關于點O的中心對稱圖形。（點B的對稱點為D）思考、交流：所得四邊形ABCD是不是平行四邊形？你能說明理由嗎？一、矩形性質探究：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。（矩形通常也叫長方形）1.矩形與平行四邊形比較：相同點：不同點：2.你能用以前學過的知識證明矩形的對角線相等嗎？3.小結：矩形的特殊性質（1）.（2）.4.矩形和平行四邊形性質比較。相同點：（1）邊：不同的：（1）角：.（2）角：（2）對角線：.（3）對角線：.（4）對稱性：（3）對稱性：.二、矩形判定探究⑴有三個角是直角的四邊形是矩形嗎？為什么？⑵如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC=BD，四邊形ABCD是矩形嗎？DDCBAO矩形的判定定理總結：1、__________________________________________________2、__________________________________________________3、__________________________________________________題型一：矩形的性質-邊角1、如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，則以下說法錯誤的是()A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OBD．OA＝AD答案：D2、矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質是（）A.對邊相互平行B.對角線相等C.對角線相互平分D.對角相等答案：B3、在下列圖形性質中，矩形不一定具有的是（）A．對角線互相平分且相等B．四個角相等C．是軸對稱圖形D．對角線互相垂直答案：D4、如圖,在矩形ABCD中,AD=12,AB=7,DF平分ADC,AFEF,（1）求證：AF=EF；(2)求EF長;答案:（1）全等（2）題型二：矩形的性質-對角線1、如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，則AB的長為______答案：32、如圖所示，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠ACB＝30°，則∠AOB的度數(shù)為______答案：60°3、如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OA＝3，則BD的長為________．答案：64、如圖,矩形ABCD的對角線交于O點,若OA=1,BC=,那么BDC的大小為______.答案：120°5、如圖，在矩形ABCD中，連接AC，BD，延長BC至點E，使BC＝CE，連接DE.求證：DE＝AC.答案：矩形對角線相等+線段的垂直平分線6、如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的動點，PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，則PE＋PF的值為________．答案：7、如圖，延長矩形ABCD的邊BC至點E，使，若，則．答案：如圖，連接，交于點，四邊形是矩形，，，，，，，，故答案為：．題型三：矩形的性質-周長和面積問題1、在矩形ABCD中,對角線交于O點，AB=6,BC=8,那么△AOB的面積為_______;周長為________.答案：48，28一個矩形周長是16cm,對角線長是7cm,那么它的面積為______.答案：3、如圖，矩形的對角線相交于點O，點E是線段上一點，連接，．若的面積等于的面積，則和的面積比等于（

）

A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．9∶4答案：作于M，于N，

∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴和的面積比等于．故選：A．4、如圖所示，沿DE折疊長方形ABCD的一邊，使點c落在AB邊上的點F處，若AD＝8，且△AFD的面積為60．求：(1)邊AB的長；(2)△DEC的面積．答案：（1）17（2）5、如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果將該矩形沿對角線BD重疊，（1）求證：△ABE≌△C1DE（2）求圖中陰影部分的面積.答案：（1）略（2）題型四：矩形的判定定理1、下列說法中，正確的是 ( )A．有1個角是直角的四邊形是矩形 B．2條對角線相等的四邊形是矩形．C．2條對角線互相垂直的四邊形是矩形 D．有3個角是直角的四邊形是矩形答案：D2、下列關于矩形的說法中正確的是 ( )A.對角線相等的四邊形是矩形B．對角線互相平分的四邊形是矩形C．矩形的對角線互相垂直且平分D．矩形的對角線相等且互相平分答案：D3、如圖工人師傅砌門時要想檢驗門框ABCD是否符合設計要（即門框是否為矩形，在確保兩組對邊分別平行的前提下，只要測量出對角線的長度，然后看它們是否相等就可判斷了．(1)當AC （填“等”或“不等BD時，門符合要求；(2)這種做法的根據(jù)是 ．答案：（1）等于（2）對角線相等的平行四邊形為矩形4、如圖，在△ABC為BCABDE是平行四邊形，求證：四邊形ADCE為矩形．答案：∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴AB=DE，又∵AB=AC，∴DE=AC．∵AB=AC，D為BC中點，∴∠ADC=90°，又∵D為BC中點，∴CD=BD．∴CD∥AE，CD=AE．∴四邊形AECD是平行四邊形，又∴∠ADC=90°，∴四邊形ADCE是矩形．5、如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN于點E．求證：四邊形ADCE為矩形．答案：在中，，，，是外角的平分線，，，又，，，四邊形為矩形．6、已知：如圖，四邊形ABCD是由兩個全等的正三角形ABD和BCD組成的，M、N分別為BC、AD的中點．求證：四邊形BMDN是矩形．答案：∵△ABD和△BCD是全等的兩個正三角形．∴AD=BD=AB=BC，∠ADB=∠DBC=60°，∴，又∵N是AD的中點，∴ND=AD，同理：BN=BC，∴ND=BM，∴四邊形BMDN是平行四邊形．根據(jù)三線合一可知NB⊥AD，∠DNB=90°，∴四邊形BMDN是矩形．7、已知：如圖，平行四邊形ABCD的四個內角的平分線分別相交于點E，F(xiàn)，G，H，求證：四邊形EFGH是矩形.答案：四邊形EFGH是矩形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵BH，CH分別平分∠ABC與∠BCD，∴∠HBC=∠ABC，∠HCB=∠BCD，∴∠HBC+∠HCB=（∠ABC+∠BCD）=×180°=90°，∴∠H=90°，同理∠HEF=∠F=90°，∴四邊形EFGH是矩形．8、已知：四邊形是平行四邊形，以對角線為斜邊作，連接，，．求證：四邊形是矩形．答案：連接，交于，連接．四邊形是平行四邊形，，．，，．四邊形是矩形．題型五：最值問題1．如圖，在矩形中，，，點，為對角線上的兩點，且滿足，連接，，則的最小值為

A． B． C． D．答案：如圖，連接，．

四邊形是矩形，，，，，在和中，，，，，在中，的最小值為，故選：C．2．如圖，在矩形中，，，動點滿足，則點到、兩點距離之和的最小值為（

）

A． B． C． D．答案：如圖，作關于直線的對稱點，連接，連接，則的長就是所求的最短距離．

設中邊上的高是．，，，，動點在與平行且與的距離是2的直線上，在中，，，，即的最小值為．故選：D．3．如圖，在中，，點P是邊上的一個動點（異于A、B兩點），過點P分別作邊的垂線，垂足分別為M、N，則的最小值是．

答案：如下圖，連接，

在中，，，，，四邊形是矩形，，當時，的值最小，即的值最小，，最小值是，故答案為：課后練習：1．如圖，在矩形中，，對角線與相交于點O，，垂足為E．若，則．答案：∵，，∴垂直平分，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，故答案為：．2．如圖，點是矩形的對角線上一點，過點作，分別交，于點，，連接，．若，，則圖中陰影部分的面積為．答案：作于，交于N．如圖：則四邊形，四邊形，四邊形，四邊形都是矩形，∴，，，，，，∵，∴∴，∴圖中陰影部分的面積．故答案為：12．3．如圖，已知點是矩形的對稱中心，分別是邊上的點，且關于點中心對稱，如果矩形的面積是22，那么圖中陰影部分的面積是．答案：在矩形中，，∴，在與中，，∴，，∴，故答案為：．4．如圖，在矩形中，對角線與相交于點O，過點A作的垂線，垂足為E．已知，求的度數(shù)．答案：四邊形是矩形，，，，∵，，，四邊形是矩形，，，，，，，∴的度數(shù)為45°5．如圖，在矩形中，，點P為邊上任意一點，過點P作，垂足分別為E、F，則．

答案∵矩形中，，∴，∴，，

連接，根據(jù)矩形的性質，得，解得，故答案為：．6．如圖，將一張矩形紙片沿著折疊后，點恰好與邊上的點重合，已知，，則的長度為cm．

答案：∵由翻折而成，∴，∴，，，設，則，在中由勾股定理得：，即，∴，∴，在中由勾股定理可得：，即，∴，∴，即，故答案為：．7．如圖所示，在長方形中，，，將長方形沿折疊，使點D落在點，則重疊部分的面積是．

答案：∵四邊形是矩形，∴，∴，由折疊的性質可知，∴，∴，設，則，∴在中，由勾股定理可得，解得：，即，∴；故答案為：10．8．如圖，中，，，，點為邊上任一點，過分別作于，于，則線段的最小值是．

答案:連接，

，，，∴由勾股定理得：，，，，四邊形是矩形，，即表示與邊上任意一點的距離，根據(jù)垂線段最短，過作，當最短，根據(jù)三角形面積公式得：，，故答案為：．9．如圖，在矩形中，對角線、相交于點O，若平分交于點E，且，連接，則（

）A． B． C． D．答案：四邊形是矩形，∴，，，，，，，平分，，，，是等邊三角形，，，∵，．故選C．10．如圖，過的頂點A分別作及其外角的平分線的垂線，垂足分別為E、F，求證：四邊形是矩形；答案：∵平分，平分，∴，，∵，∴，即，又∵，，∴，∴四邊形是矩形11．如圖，在中，對角線、相交于點O，E是外一點，且，求證：是矩形．答案：連接，∵O是、的中點，∴，，在中，∵O為中點，∴，在中，∵O為中點，∴，∴，又∵四邊形是平行四邊形，∴平行四邊形是矩形．12．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△OAB是等邊三角形，AB＝1．(1)求證：平行四邊形ABCD是矩形；(2)求平行四邊形ABCD的面積．答案:（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，，又∵△AOB是等邊三角形，∴AO＝OB＝AB，∴AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵平行四邊形ABCD是矩形，∴AC＝2AO＝2AB＝2，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴BC＝＝＝，矩形ABCD的面積＝AB·BC＝．13．如圖，在中，于點E，延長至點F，使得，連接、．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，，求的長．答案:（1）解：證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，．∵．∴，即，∴，，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴，∴是矩形．（2）∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴是直角三角形，．∴的面積，即，解得：，∵四邊形是矩形，∴．14．如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交于點F，連接AF，∠BDF=90°(1)求