第01講 等腰三角形和等邊三角形（解析版）

第01講等腰三角形和等邊三角形思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1.根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角求解2.根據(jù)等腰三角形三線合一進(jìn)行求解3.根據(jù)等腰三角形三線合一進(jìn)行證明4.等腰三角形的性質(zhì)和判定綜合應(yīng)用5.等邊三角形的性質(zhì)6.等邊三角形的性質(zhì)和判斷綜合應(yīng)用1.等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）（2）等腰三角形性質(zhì)2：文字：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡(jiǎn)稱：等腰三角形的三線合一）圖形：如下所示；符號(hào)：在中，AB＝AC，2.等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定義法）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形；(簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊)3.等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形性質(zhì)1：等邊三角形的三條邊都相等；（2）等邊三角形性質(zhì)2：等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角等于60°；（3）等邊三角形性質(zhì)3：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸.4.等邊三角形的判定（1）等邊三角形的判定方法1：（定義法：從邊看）有三條邊相等的三角形是等邊三角形；（2）等邊三角形的判定方法2：（從角看）三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）等邊三角形的判定方法3：（從邊、角看）有一個(gè)內(nèi)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.1.利用等腰三角形的定義解決多解問題.2.等腰三角形和等邊三角形的判定.3.利用三線合一解決求值和證明的相關(guān)問題.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角求解例題1.等腰三角形的底角等于，則它的頂角是．【答案】100【解析】等腰三角形的底角等于，又等腰三角形的底角相等，頂角等于．故答案為：100．【變式訓(xùn)練】1．一個(gè)等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為和，則第三邊的長(zhǎng)為．【答案】8【解析】①若一腰長(zhǎng)為，則底邊為，則第三邊的長(zhǎng)為，，故能組成三角形；②若一腰長(zhǎng)為，則底邊為，則第三邊的長(zhǎng)為，，故不能組成三角形．故答案為：8．2．已知等腰三角形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為．則這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)為．【答案】或【解析】分兩種情況：當(dāng)?shù)慕菫榈妊切蔚捻斀菚r(shí)，底角的度數(shù)；當(dāng)?shù)慕菫榈妊切蔚牡捉菚r(shí)，其底角為，故它的底角度數(shù)是或．故答案為：或．考點(diǎn)二、根據(jù)等腰三角形三線合一進(jìn)行求解例題2.如圖，在四邊形中，，，對(duì)角線，則線段的長(zhǎng)為．【答案】【解析】如圖，作，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，根據(jù)勾股定理，，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在中，，平分并交于點(diǎn)，則．【答案】10【解析】，平分，，，故答案為：10．2．兩個(gè)同樣大小的含角的三角尺，按如圖所示的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，且另三個(gè)銳角頂點(diǎn)，，在同一直線上，為中點(diǎn)，已知．(1)求的長(zhǎng)．(2)求的長(zhǎng)．【解析】（1）連接，如下圖，根據(jù)題意，，，∴，∴，∵為中點(diǎn)，∴，且，∴，∴，∴；（2）根據(jù)題意，，又∵，，∴在中，，∴．考點(diǎn)三、根據(jù)等腰三角形三線合一進(jìn)行證明例題3.如圖，點(diǎn)，在的邊上，，(1)若求的度數(shù)；(2)求證：【解析】（1）∵，，，∴，，∴，（2）過點(diǎn)作于.∵，∴，∴.【變式訓(xùn)練】1．在中，，過點(diǎn)C作射線，使（點(diǎn)與點(diǎn)B在直線的異側(cè)），點(diǎn)D是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段上，且．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，在圖中畫出線段．若，則的長(zhǎng)為（用含a的式子表示）；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接．①求證：；②用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，，∵，∴，∵，∴，若，過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，如圖1：則，∵，∴，在與中，∴，∴，即的長(zhǎng)為，故答案為：；（2）①證明：過點(diǎn)A作于點(diǎn)M、點(diǎn)N，如圖2：則，∴，∵，即，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，∴；②，證明如下：在上截取，連接，如圖3：∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，由①知：，即，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．考點(diǎn)四、等腰三角形的性質(zhì)和判定綜合應(yīng)用例題4：如圖，在中，，D是邊的中點(diǎn)，連接，平分交于點(diǎn)E．(1)若，求的度數(shù)；(2)過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，求證：是等腰三角形．(3)若平分的周長(zhǎng)，的周長(zhǎng)為15，求的周長(zhǎng)．【解析】（1），，∵，∴，，為的中點(diǎn)，，，∴；（2）證明：平分，，又∵，∴，∴，，是等腰三角形；（3）的周長(zhǎng)為15，，，，即，平分的周長(zhǎng)，，的周長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在中，，D為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．(1)求證：是等腰三角形(2)若，求線段的長(zhǎng)．【解析】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）∵，，∴，∵，∴．2．如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，，(1)試判斷折疊后重疊部分的形狀，并說明理由．(2)求重疊部分的面積．【解析】（1）是等腰三角形．理由如下：∵四邊形是長(zhǎng)方形，∴，∴，由圖形折疊的性質(zhì)可知：，∴．∴是等腰三角形；（2）設(shè)，則，在中，，解得：，∴，∴．故重疊部分的面積為10．考點(diǎn)五、等邊三角形的性質(zhì)例題5：如圖，是等邊三角形，是中線，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使．(1)求證：；(2)過點(diǎn)D作垂直于，垂足為F，若，求的周長(zhǎng)．【解析】（1）證明：∵是等邊三角形，是中線，∴，．∵，∴．又∵，∴．∴．∴．（2）∵，∴∴在中，．∴．∵，∴．∴．【變式訓(xùn)練】1．如圖，點(diǎn)為等邊三角形中邊上一點(diǎn)，連接，以為邊在的左側(cè)作等邊三角形，連接(1)的度數(shù)；(2)求線段之間的數(shù)量關(guān)系【解析】（1）∵，∴，∴，∵和為等邊三角形，∴，∴，∴，∵∴（2）由（1）得∵∴2．如圖，與△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)在邊上，于點(diǎn)F，連接．(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)若，求的長(zhǎng)．【解析】（1）證明：為等邊三角形，，，，在中，，為等邊三角形，，，即；（2）為等邊三角形，，，，平分（“三線合一”），即，在與中：，，；（3）由（1）得，在中，，由（2）得，在中，，在等邊三角形中，．考點(diǎn)六、等邊三角形的性質(zhì)和判斷綜合應(yīng)用例題6：如圖，點(diǎn)O是等邊內(nèi)一點(diǎn)，．連接，．(1)求證：是等邊三角形；(2)求的度數(shù)；(3)探究：當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形．【解析】（1）證明：∵，∴，，，是等邊三角形，，，∴是等邊三角形；（2），，，，，；（3）當(dāng)為或或時(shí)，是等腰三角形，，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∵在中，，∴，∴，∵是等腰三角形，①當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴；③當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴，∴當(dāng)為或或時(shí)，是等腰三角形．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在等邊中，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：是等邊三角形；(2)試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解析】（1）∵是等邊三角形，∴，∵∴，∴，∴是等邊三角形；（2）∵是等邊三角形，平分交于點(diǎn)，∴，∵是等邊三角形；∴即．2．如圖，在四邊形中，，對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且．(1)求證：是等邊三角形；(2)求證：；(3)若，求的長(zhǎng)．【解析】（1）證明：，，又，是等邊三角形；（2）如圖，連接，，是等邊三角形，，，即在和中，，，；（3），，由（2）知：，，，在等邊中，，，，，，，，．過關(guān)檢測(cè)一、選擇題1．已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則其周長(zhǎng)為（）A．8 B． C． D．或【答案】D【解析】∵等腰三角形，∴當(dāng)?shù)谌呴L(zhǎng)為3時(shí)，三角形的三邊分別為3、3、4，能組成三角形，∴周長(zhǎng)為；當(dāng)?shù)谌呴L(zhǎng)為4時(shí)，三角形的三邊分別為3、4、4，能組成三角形，∴周長(zhǎng)為，∴三角形的周長(zhǎng)為或．故選：D．2．如圖，中，，，以下結(jié)論中不一定正確的是（

）A． B．是的角平分線C．為的中點(diǎn) D．【答案】D【解析】∵中，，∴是等腰三角形，∵，∴由等腰三角形的性質(zhì)可知，，是的角平分線，為的中點(diǎn)，∴A、B、C正確，故不符合要求；∵與不一定相等，∴D錯(cuò)誤，故符合要求；故選：D．3．如圖，在中，和的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)M交于點(diǎn)N，若，則線段的長(zhǎng)（）A．大于9 B．等于9 C．小于9 D．不能確定【答案】B【解析】平分，平分，，，，，，，，，故選：B．4．如圖，在等腰中，，點(diǎn)D、E、F分別是邊上的點(diǎn)，與相交于點(diǎn)G，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．故選C．5．如圖，已知和都是等邊三角形，且A、C、E三點(diǎn)共線．與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q，連接．以下五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④是等邊三角形；

⑤．其中正確結(jié)論的有（）個(gè)．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】∵和為等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴，故①正確；∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，故③正確；∴是等邊三角形，故④正確；∴，∴，故⑤正確；∵，∴，∴，∵，∴，故②正確；故選：A．二、填空題6．在等腰三角形中，，則．【答案】/35度【解析】當(dāng)為頂角等于時(shí)，∴底角，是等腰三角形，當(dāng)為底角時(shí)，，不符合題意，舍去．故答案為：．7．如圖，已知等邊邊長(zhǎng)為4，為邊上的中線，延長(zhǎng)至點(diǎn)E使得，連接，則．【答案】【解析】∵是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，是邊上的中線，∴，，平分，，∴，∴，∵，∴．∵，且為的外角，∴，∴，∴，∴，故答案為：．8．如圖，與均為等邊三角形，點(diǎn)在邊上，若，則的度數(shù)為【答案】/28度【解析】與均為等邊三角形，，，，，，故答案為：．9．在中，，是邊上一點(diǎn)，連接，若，，，則．（用含，的式子表示）【答案】/【解析】如圖，延長(zhǎng)到E，使，連接．∵在中，，∴，∴，∵，，∴是等腰三角形，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵∴∵，∴．故答案為：．10．如圖，在等腰中，于，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若，則下列結(jié)論：①；②；③是等邊三角形；④，其中正確的是【答案】①③④【解析】如圖1，連接，∵，，，∴，，∴，，∵，∴，∴，，∴，故①正確；由①知，，∵點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，∴與不一定相等，則與不一定相等，故②不正確；∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，故③正確；如圖2，在上截取，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∵，在和中，，∴，∴，∴，∴，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有：①③④，故答案為：①③④，三、解答題11．如圖，是等邊三角形，點(diǎn)，，分別在邊，，上運(yùn)動(dòng)，且滿足．求證：是等邊三角形．【解析】證明∵是等邊三角形，∴，．∵，∴．在和中，∴（），∴．同理，∴，∴是等邊三角形．12．如圖，點(diǎn)，在上，，，

(1)求證：；(2)若與的交點(diǎn)為點(diǎn)，求證：是等腰三角形【解析】（1）證明：∵，∴，即，∵，，∴；（2）證明：由（1）得：，∴，∴，∴是等腰三角形13．如圖，在中，點(diǎn)D、E在上，．(1)從①，②中，選擇一個(gè)作為條件，另外一個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)真命題，并證明；條件：，結(jié)論：(填序號(hào))．(2)在(1)的條件下，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．【解析】（1）①條件：；結(jié)論：；證明：∵，∴，在和中，，∴，∴；條件：；結(jié)論：；證明：∵，，∴,∵,∴,在和中，，∴，∴．（2）∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，，∴，∴．14．在中，已知，，．(1)求m的取值范圍；(2)若是等腰三角形，求的周長(zhǎng)及m的值．【解析】（1）∵，且，，，∴，∴，∴，（2）當(dāng)時(shí)，∴，∴∵∴是等腰三角形成立，∴的周長(zhǎng)為：．當(dāng)時(shí)，∴，∴∵∴是等腰三角形成立，∴的周長(zhǎng)為：．15．如圖，在等邊中，點(diǎn)在邊上，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【解析】（1）是等邊三角形，，，，，，；（2）證明：是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，，，，，．16．如圖，是等邊三角形，D、E分別是邊上的點(diǎn)