6節(jié)-高斯求積公式省公開課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

§6高斯求積公式1第1頁(yè)

1.普通理論

求積公式含有個(gè)待定參數(shù)當(dāng)為等距節(jié)點(diǎn)時(shí)得到插值求積公式其代數(shù)精度最少為次.2第2頁(yè)為含有普通性，研究帶權(quán)積分這里為權(quán)函數(shù)，求積公式為為不依賴于求積系數(shù).為求積節(jié)點(diǎn)，適當(dāng)選取使其含有最高次代數(shù)精度3第3頁(yè)

定理n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)插值型求積公式代數(shù)精度不超出2n+1.證：令g(x)=(x-x0)2…(x-xn)24第4頁(yè)

定義若n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)插值型求積公式代數(shù)精度到達(dá)2n+1次，則稱此n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)為高斯點(diǎn)，此求積公式為高斯型求積公式。5第5頁(yè)依據(jù)定義要使求積公式含有次代數(shù)精度，只要對(duì)當(dāng)給定權(quán)函數(shù)，求出右端積分，則可解得令準(zhǔn)確成立，6第6頁(yè)

例5

解令公式(5.3)對(duì)于準(zhǔn)確成立，試結(jié)構(gòu)以下積分高斯求積公式：得7第7頁(yè)

由此解出從而8第8頁(yè)這么，高斯公式是因?yàn)榉蔷€性方程組較復(fù)雜，通常就極難求解.故普通不經(jīng)過解方程求，而從分析高斯點(diǎn)特征來(lái)結(jié)構(gòu)高斯求積公式.9第9頁(yè)

定理5是高斯點(diǎn)充分必要條件是以這些節(jié)點(diǎn)為零點(diǎn)多項(xiàng)式與任何次數(shù)不超出多項(xiàng)式帶權(quán)正交，

證實(shí)即插值型求積公式節(jié)點(diǎn)必要性.設(shè)則10第10頁(yè)是高斯點(diǎn)，所以，假如因即有故成立.準(zhǔn)確成立，則求積公式對(duì)于充分性.用除，記商為余式為即,其中.對(duì)于

11第11頁(yè)因?yàn)榍蠓e公式是插值型，它對(duì)于是準(zhǔn)確，即再注意到知從而有12第12頁(yè)可見求積公式對(duì)一切次數(shù)不超出多項(xiàng)式均精確成立.所以，為高斯點(diǎn).定理表明在上帶權(quán)次正交多項(xiàng)式零點(diǎn)就是求積公式高斯點(diǎn).有了求積節(jié)點(diǎn)，再利用對(duì)成立，解此方程則得線性方程.則得到一組關(guān)于求積系數(shù)13第13頁(yè)下面討論高斯求積公式余項(xiàng).利用在節(jié)點(diǎn)埃爾米特插值于是也可直接由插值多項(xiàng)式求出求積系數(shù)即14第14頁(yè)兩端乘，并由到積分，則得其中右端第一項(xiàng)積分對(duì)次多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，故因?yàn)橛煞e分中值定理得為關(guān)于高斯求積公式穩(wěn)定性與收斂性，有15第15頁(yè)

定理6

證實(shí)它是次多項(xiàng)式，因而是次多項(xiàng)式，注意到高斯求積公式求積系數(shù)全是正.考查故高斯求積公式對(duì)于它能準(zhǔn)確成立，即有上式右端實(shí)際上即等于從而有16第16頁(yè)由本定理及定理2，則得以下推論.

推論

定理7定理得證.高斯求積公式是穩(wěn)定.即設(shè)則高斯求積公式收斂，17第17頁(yè)

2高斯-勒讓德求積公式

在高斯求積公式中，因?yàn)槔兆尩露囗?xiàng)式是區(qū)間上正交多項(xiàng)式，所以，勒讓德多項(xiàng)式零點(diǎn)就是求積公式高斯點(diǎn).這類高斯公式稱為高斯-勒讓德求積公式.區(qū)間為則得公式若取權(quán)函數(shù)18第18頁(yè)令它對(duì)準(zhǔn)確成立，即可定出這么結(jié)構(gòu)出一點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式是中矩形公式.若取零點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)求積公式再取兩個(gè)零點(diǎn)結(jié)構(gòu)求積公式19第19頁(yè)令它對(duì)都準(zhǔn)確成立，有由此解出三點(diǎn)高斯-勒讓德公式形式是表4-7列出了高斯-勒讓德求積公式節(jié)點(diǎn)和系數(shù).從而得到兩點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式20第20頁(yè)21第21頁(yè)這里是最高項(xiàng)系數(shù)為1勒讓德多項(xiàng)式.

余項(xiàng)22第22頁(yè)得當(dāng)時(shí)，有它比區(qū)間上辛普森公式余項(xiàng)還小，且比辛普森公式少算一個(gè)函數(shù)值.當(dāng)積分區(qū)間不是，而是普通區(qū)間時(shí)，只要做變換23第23頁(yè)可將化為,對(duì)等式右端積分即可使用高斯-勒讓德求積公式.這時(shí)24第24頁(yè)

例6用4點(diǎn)()高斯-勒讓德求積公式計(jì)算

解先將區(qū)間化為，依據(jù)表4-7中節(jié)點(diǎn)及系數(shù)值可求得有25第25頁(yè)

3高斯-切比雪夫求積公式若且取權(quán)函數(shù)則所建立高斯公式為稱為高斯-切比雪夫求積公式.26第26頁(yè)因?yàn)閰^(qū)間上關(guān)于權(quán)函數(shù)正交多項(xiàng)式是切比雪夫多式，所以求積公式高斯點(diǎn)是次切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)，即為系數(shù)使用時(shí)將個(gè)節(jié)點(diǎn)公式改為個(gè)節(jié)點(diǎn)，于是高斯-切比雪夫