01復(fù)數(shù)-與復(fù)變函數(shù)1省公開課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

數(shù)學(xué)物理方法河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院王培光高春霞劉素平第1頁(yè)第一篇復(fù)變函數(shù)論

第1章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.1復(fù)數(shù)概念及其表示方法1.2復(fù)數(shù)基本代數(shù)運(yùn)算1.3復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)1.4復(fù)變函數(shù)1.5復(fù)變函數(shù)極限與連續(xù)第2頁(yè)第一節(jié)復(fù)數(shù)概念及其表示方法

定義1定義2第3頁(yè)注意復(fù)數(shù)是無(wú)序，普通不能比較大小，只能說(shuō)復(fù)數(shù)相等是否.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們實(shí)部和虛部分別相等.尤其地，一個(gè)復(fù)數(shù)等于當(dāng)且僅當(dāng)它實(shí)部和虛部分別等于0第4頁(yè)表示方法代數(shù)表示

幾何表示

點(diǎn)表示一一對(duì)應(yīng)關(guān)系第5頁(yè)向量表示概念第6頁(yè)三角表示指數(shù)表示第7頁(yè)例一將復(fù)數(shù)化為三角形式和指數(shù)形式第8頁(yè)第二節(jié)復(fù)數(shù)基本代數(shù)運(yùn)算四則運(yùn)算顯然，復(fù)數(shù)加法和乘法滿足交換律、結(jié)合律和分配律

第9頁(yè)由此能夠得到共軛復(fù)數(shù)以下運(yùn)算性質(zhì)：

第10頁(yè)幾何意義第11頁(yè)對(duì)于復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算，設(shè)第12頁(yè)乘冪第13頁(yè)第14頁(yè)方根第15頁(yè)第16頁(yè)第17頁(yè)第18頁(yè)第三節(jié)復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)

我們將模為有限復(fù)數(shù)與復(fù)平面上有限遠(yuǎn)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)了起來(lái)，而在復(fù)變函數(shù)論中，通常還需要將模為無(wú)窮大復(fù)數(shù)與復(fù)平面上一點(diǎn)也對(duì)應(yīng)起來(lái)，并稱這一點(diǎn)為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)

第19頁(yè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)將一個(gè)球放在復(fù)平面上，并使該球以南極S與復(fù)平面相切于原點(diǎn).對(duì)于復(fù)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，用一條直線將與球北極相連，交球面于點(diǎn)，如圖所表示，這么，復(fù)平面上有限遠(yuǎn)點(diǎn)便與球面上除之外點(diǎn)形成了一一對(duì)應(yīng)，即復(fù)平面上全部有限遠(yuǎn)點(diǎn)球面上除之外點(diǎn).我們稱這種對(duì)應(yīng)關(guān)系為測(cè)地投影.測(cè)地投影最初是在天文學(xué)中引入，以后又被應(yīng)用在地理學(xué)中，利用測(cè)地投影，我們能夠把天球或地球表示在平面上.第20頁(yè)當(dāng)復(fù)平面上點(diǎn)模越來(lái)越大時(shí)，它在球面上測(cè)地投影越來(lái)越靠近于北極，而球面上只有一個(gè)北極，所以我們約定復(fù)平面上有一個(gè)理想點(diǎn)，稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，記作，它經(jīng)過測(cè)地投影與球面上北極一一對(duì)應(yīng),即復(fù)平面上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)球面上點(diǎn)表示，也能夠用復(fù)球面上點(diǎn)來(lái)表示.我們稱這么球面為復(fù)球面.所以，復(fù)數(shù)不但能夠用復(fù)平面上點(diǎn)來(lái)第21頁(yè)第四節(jié)復(fù)變函數(shù)

區(qū)域相關(guān)概念

鄰域

第22頁(yè)內(nèi)點(diǎn)

外點(diǎn)第23頁(yè)邊界

區(qū)域

區(qū)域是指滿足以下兩個(gè)條件點(diǎn)集：（1）全部由內(nèi)點(diǎn)組成（開集）；（2）含有連通性，即點(diǎn)集內(nèi)任意兩點(diǎn)都能夠用一條折線連接起來(lái)，而且折線上點(diǎn)全都屬于該點(diǎn)集.區(qū)域可用符號(hào)D來(lái)表示

第24頁(yè)閉區(qū)域內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)關(guān)系以下列圖所表示第25頁(yè)例一簡(jiǎn)單曲線（Jordan曲線）

第26頁(yè)簡(jiǎn)單閉曲線若簡(jiǎn)單曲線C兩個(gè)端點(diǎn)重合，則稱為簡(jiǎn)單閉曲線.(a)簡(jiǎn)單、閉(b)簡(jiǎn)單、不閉(c)不簡(jiǎn)單、閉(d)不簡(jiǎn)單、不閉第27頁(yè)單通區(qū)域

對(duì)于復(fù)平面上區(qū)域D，若在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線，曲線內(nèi)部總屬于D，則稱D為單連通區(qū)域，簡(jiǎn)稱單通區(qū)域.

復(fù)通區(qū)域

一個(gè)區(qū)域不是單通區(qū)域，則為復(fù)通區(qū)域(或多通區(qū)域).對(duì)于復(fù)通區(qū)域，我們總能夠經(jīng)過作一些適當(dāng)割線將復(fù)通區(qū)域不相連邊界連接起來(lái)，從而使復(fù)通區(qū)域單連通化，以下列圖所表示.第28頁(yè)區(qū)域邊界正方向

通常約定：（當(dāng)人）沿邊界環(huán)行時(shí)，若包圍區(qū)域一直在人左手邊，則前進(jìn)方向?yàn)檫吔缯较?

對(duì)于有界單通區(qū)域，逆時(shí)針方向即為正方向，而復(fù)通區(qū)域外邊界逆時(shí)針方向?yàn)檎较?，?nèi)邊界順時(shí)針方向?yàn)檎较?/p>

第29頁(yè)復(fù)變函數(shù)

定義第30頁(yè)注意第31頁(yè)復(fù)變函數(shù)幾何意義第32頁(yè)第33頁(yè)第五節(jié)復(fù)變函數(shù)極限與連續(xù)復(fù)變函數(shù)極限

定義第3