全國統(tǒng)考2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第6章數(shù)列第4講數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用2備考試題文含解析

第六章數(shù)列第四講數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用1.[2024石家莊市重點中學(xué)模擬]已知1,a1,a2,3成等差數(shù)列,1,b1,b2,b3,4成等比數(shù)列,則a1+a2bA.2 B.-2 C.±2 D.52.[2024江西紅色七校聯(lián)考]在正項數(shù)列{an}中,a1=2,且點P(lnan,lnan+1)(n∈N*)在直線x-y+ln2=0上.若數(shù)列{an}的前n項和Sn滿意Sn>200,則n的最小值為()A.2 B.5 C.6 D.73.[2024貴陽市高三模擬]定義n∑i=1nui為n個正數(shù)u1,u2,u3,…,un的“歡樂數(shù)”.若已知正項數(shù)列{an}的前n項的“歡樂數(shù)”為13n+1A.20202021 B.20212022 C.20214.[2024蓉城名校聯(lián)考]已知數(shù)列{an}對隨意m,n∈N*都滿意am+n=am+an,且a1=1,若命題“?n∈N*,λan≤an2+12”為真,則實數(shù)λ的最大值為5.[2024河北六校第一次聯(lián)考]已知數(shù)列{an}為正項等比數(shù)列,a1=1,數(shù)列{bn}滿意b2=3,a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=3+(2n-3)2n.(1)求an;(2)求{1bnbn+1}的前6.[2024黑龍江省六校階段聯(lián)考]已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,S3=15,a1·a2=a7.(1)求an;(2)若bn=2an+(-1)n·an,求數(shù)列{bn}的前n項和T7.[原創(chuàng)題]記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知a1=1,Sn+1+1=2an+n+Sn,數(shù)列{bn}滿意bn=an+n.(1)求{bn}的通項公式;(2)令cn=(1+bn)log2bn,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.8.[2024洛陽市聯(lián)考]已知數(shù)列{an}的首項a1=3,前n項和為Sn,an+1=2Sn+3,n∈N*.設(shè)bn=log3an,則數(shù)列{bnan}的前n項和Tn的取值范圍為(A.[13,2] B.[1C.[13,34) D.(149.[2024南昌市模擬]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,an=3Sn-3,若對隨意的m,n∈N*,|Sm-Sn|≤M恒成立,則實數(shù)M的最小值為.

10.[2024山東泰安模擬]意大利聞名數(shù)學(xué)家斐波那契在探討兔子繁殖問題時,發(fā)覺有這樣一列數(shù):1,1,2,3,5,8,13,….其中從第三個數(shù)起,每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列{an}稱為斐波那契數(shù)列.那么a12+a11.[2024天津,19,15分]已知{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列,a1=b1=1,a5=5(a4-a3),b5=4(b4-b3).(1)求{an}和{bn}的通項公式;(2)記{an}的前n項和為Sn,求證:SnSn+2<Sn+12(n(3)對隨意的正整數(shù)n,設(shè)cn=(3an-2)b12.[向量與數(shù)列綜合]如圖6-4-1,點D為△ABC的邊BC上一點,BD=2DC,En(n∈N*)為AC上一列點,且滿意:EnA=(3an-3)EnD+(-n2-n+1)EnB,則圖6-4-113.[2024湖南四校聯(lián)考]等差數(shù)列{an}(n∈N*)中,a1,a2,a3分別是如表所示第一、二、三行中的某一個數(shù),且其中的隨意兩個數(shù)不在表格的同一列.第一列其次列第三列第一行582其次行4312第三行1669(1)請選擇一個可能的{a1,a2,a3}組合,并求數(shù)列{an}的通項公式.(2)記(1)中您選擇的{an}的前n項和為Sn,推斷是否存在正整數(shù)k,使得a1,ak,Sk+2成等比數(shù)列?若存在,懇求出k的值;若不存在,請說明理由.答案第六章數(shù)列第四講數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用1.A由等差數(shù)列的性質(zhì)知1+3=a1+a2=4.由等比數(shù)列的性質(zhì)知b22=1×4=4,∴b2=±2.由于等比數(shù)列中奇數(shù)項符號相同,偶數(shù)項符號相同,∴b2=2,∴a2.D將點P的坐標(biāo)(lnan,lnan+1)(n∈N*)代入x-y+ln2=0中,可得an+1=2an,所以{an}是首項為2、公比為2的等比數(shù)列,Sn=2(1-2n)1-2=2n+1-2.令3.B設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則依據(jù)題意nSn=13n+1,得Sn=3n2+n,a1=S1=4,an=Sn-Sn-1=6n-2(n≥2),當(dāng)n=1時也滿意上式,所以an=6n-2,所以36(a4.7令m=1,則an+1=an+a1,an+1-an=a1=1,所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列,所以an=n,所以λan≤a2n+12?λn≤n2+12?λ≤n+12n,又函數(shù)y=x+12x在(0,23)上單調(diào)遞減,在[23,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)n=3時,λ≤3+123=7,當(dāng)n=4時,λ≤4+124=7,所以n+125.(1)令n=1,得a1b1=3+(2-3)×2=1,所以b1=1.令n=2,得a1b1+a2b2=7,所以a2b2=6,又b2=3,所以a2=2.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則q=a2a1=2,所以an(2)當(dāng)n≥2時,a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=3+(2n-5)2n-1,①又a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=3+(2n-3)2n,②所以②-①得anbn=3+(2n-3)2n-[3+(2n-5)2n-1]=(2n-1)2n-1,得bn=2n-1,n=1時也成立,所以bn=2n-1.1bnb所以Tn=12(1-13)+12(13=12(1-13=12(1-=n26.(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由S3=a1+a2+a3=3a2=15,得a2=5,又a1·a2=a7,∴(a2-d)·a2=a2+5d,即5(5-d)=5+5d,解得d=2.∴an=a2+(n-2)×2=2n+1.(2)由題意得bn=22n+1+(-1)n·(2n+1)=2×4n+(-1)n·(2n+1),∴Tn=2×(41+42+…+4n)+[-3+5-7+9-…+(-1)n(2n+1)]=8(4n-1)令Gn=-3+5-7+9-…+(-1)n(2n+1),n∈N*,則當(dāng)n=2k(k∈N*)時,Gn=2×n2=n此時Tn=8(4n當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時,Gn=2×n-12-(2此時Tn=8(4n∴Tn=87.(1)由Sn+1+1=2an+n+Sn,得Sn+1-Sn=an+1=2an+n-1,所以an+1+(n+1)=2(an+n),即bn+1=2bn,b1=a1+1=2,所以數(shù)列{bn}是首項為2、公比為2的等比數(shù)列,所以bn=2·2n-1=2n.(2)由(1)得cn=(1+2n)log22n=n(1+2n)=n+n·2n,所以Tn=c1+c2+…+cn=(1+2+…+n)+[2+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n]=n(n+1)2+[2+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+設(shè)Mn=2+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n,①則2Mn=22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1,②①-②,得-Mn=2+22+23+…+2n-n×2n+1,所以Mn=(n-1)×2n+1+2.所以Tn=n(n+1)2+(n8.C由an+1=2Sn+3,可得當(dāng)n≥2時,有an=2Sn-1+3,兩式相減得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an(n≥2),故an+1=3an(n≥2).又當(dāng)n=1時,a2=2S1+3=2a1+3=3a1,所以數(shù)列{an}是首項為3、公比為3的等比數(shù)列,故an=3n.所以bn=log3an=n,所以bn所以Tn=13+23213Tn=132+2①-②,得23Tn=13+化簡整理得Tn=34-12(32+n因為(32+n)·(13)所以Tn<34,又Tn+1-Tn=n+13n+1>0,所以數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列,所以(Tn)min=T1=13,所以13≤Tn9.34因為an=3Sn-3,所以當(dāng)n≥2時,an-1=3Sn-1-3,所以an-an-1=3an(n≥2),an=-12an-1(n≥2),又由an=3Sn-3得a1=32,所以數(shù)列{an}是以32為首項、-12為公比的等比數(shù)列,所以Sn=32[1-(-12)n]1-(-12)=1-(-12)n,則|Sm-Sn|=|(-12)n-(-12)m|.因為數(shù)列{(-12)n}的項依次為-12,14,-18,11610.2020解法一依題意得a1=a2=1,an+2=an+1+an,則an+1=an+2-an,兩邊同乘以an+1,得an+12=an+1·an+2-an·a則a20192=a2019a2020-a2018a2019,a20182=a2018a2019-aa20172=a2017a2018-a2016a2017,…,a22=a2a3-a1a2,又a12因此a20192+a20182+a即a12+a故a12解法二a12+a22a2=a12+a揣測a12+a22+…+an【點評】本題以數(shù)學(xué)史上典型的數(shù)列——斐波那契數(shù)列為背景命制,在考查累加法的同時傳承了經(jīng)典的數(shù)學(xué)文化.11.(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.由a1=1,a5=5(a4-a3),可得d=1,從而{an}的通項公式為an=n.由b1=1,b5=4(b4-b3),q≠0,可得q2-4q+4=0,解得q=2,從而{bn}的通項公式為bn=2n-1.(2)由(1)可得Sn=n(n+1)2,故SnSn+2=14n(n+1)(n+2)(n+3),Sn+12=14(n+1)2(n+2)2,從而SnSn+2-Sn+1(3)當(dāng)n為奇數(shù)時,cn=(3當(dāng)n為偶數(shù)時,cn=an對隨意的正整數(shù)n,有∑k=1nc2k-1=∑k=1n和∑k=1nc2k=∑k由①得14∑k=1nc2k=由①②得34∑k=1nc2k=14+242因此∑k=12nck=∑k=1nc2k-1+所以,數(shù)列{cn}的前2n項和為4n12.nn+1BD=2DC,即EnD-設(shè)EnA=λEnC,則EnA=3λ2EnD所以3an-3=-3(-n2-n+1),可得an=n2+n,所以1a則1a1+1a2+1a【解后反思】本題是在數(shù)列與平面對量的交匯處命制的,主要考查平面對量的基本定理和利用裂項相消法求和,考查考生的運算求解實力和邏輯推理實力.13.(1)由題意可知,有兩種組合滿意條件.①a1=8,a2=12,a3=16,此時等差數(shù)列{an}中,a1=8,公差d=4,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=4n+4.②a1=2,a2=4,a3=6,此時等差數(shù)列{an}中,a1=2,公差d=2,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n.(2)若選擇①,Sn=2n2+6n,則Sk+2=2(k+2)2+6(k+2)=2k2+14k+20.若a1,ak,Sk+2成等比數(shù)列