第二講：直線的投影、兩直線的相對位置(平行、相交、交叉)

第二章

點(diǎn)、直線、平面的投影直線的投影直角三角形法求線段實(shí)長及傾角直線上的點(diǎn)兩直線的相對位置關(guān)系8/19/20241直線的投影兩點(diǎn)決定一條直線。分別將兩點(diǎn)的同名（同面）投影用直線連接，就得到直線的投影。ZXOYHYWa’aa”b’bb”直線的投影仍為直線，特殊情況下為一點(diǎn)。abc(d)直線對投影面的傾角：對水平投影面的傾角——

對正立投影面的傾角——

對側(cè)立投影面的傾角——

8/19/20242直線在三投影面體系中分為：各種位置直線的投影特性投影面平行線一般位置直線特殊位置直線水平線正平線側(cè)平線投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線平行于某一投影面，且傾斜于另兩個(gè)投影面垂直于某一投影面與三個(gè)投影面都傾斜8/19/20243投影面平行線——正平線（平行于Ｖ面且…）側(cè)平線（平行于Ｗ面且…）水平線（平行于Ｈ面且…）各種位置直線的投影特性8/19/20244正平線—平行于V面，傾斜于H、W面的直線。aa

b

a

b

b

Xa

b

a

b

baOZYHYWAB

正平線的投影特性：1、正面投影反映直線段的實(shí)長。該投影與OX軸、OZ軸的夾角，分別反映該直線與H、W面的傾角。（a

b

=AB，反映

、

角的真實(shí)大?。?；2、在H面、W面上的投影，分別平行于OX軸、OZ軸，且小于實(shí)長。（ab

OX;a

b

OZ）實(shí)長8/19/20245水平線側(cè)平線投影面平行線投影面平行線的投影特性：1、在其所平行的投影面上的投影，反映直線段的實(shí)長。該投影與投影軸的夾角，反映該直線與其它兩投影面的傾角；2、在其它兩投影面上的投影，平行于相應(yīng)的投影軸，且小于實(shí)長。Xa

b

a

b

baOzYHYW

XZa

b

b

baOYHYW

8/19/20246投影面垂直線正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）各種位置直線的投影特性8/19/20247b

a(b)a

a

b

Zb

Xa

b

a(b)OYHYWa

鉛垂線—垂直于水平投影面的直線AB鉛垂線的投影特性：1、水平投影積聚為一點(diǎn)（ab積聚成一點(diǎn)）；2、在其它兩個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長，且分別垂直于OX軸、OY軸。（a

b

=a

b

=AB；a

b

OX

；a

b

OYW

）8/19/20248正垂線側(cè)垂線投影面垂直線垂直線的投影特性：1、在其所垂直的投影面上的投影，積聚為一點(diǎn)；2、在其它兩個(gè)投影面上的投影，反映實(shí)長，且垂直于相應(yīng)的投影軸。8/19/20249投影特性：三個(gè)投影都是縮短了的傾斜線段,都不反映空間線段的實(shí)長及與三個(gè)投影面的傾角。與三個(gè)投影面都傾斜的直線。一般位置直線（投影面傾斜線）思考：從屬于投影面及投影軸的直線的投影特性是什么？其投影如何作圖？各種位置直線的投影特性abb

a

b

a

OXYHYWZ8/19/202410例1:根據(jù)投影圖，判斷下列直線的空間位置。ab

ba

c

d

cd側(cè)平線側(cè)垂線鉛垂線水平線解題要點(diǎn)：1、垂直線用垂直判斷；2、平行線用平行判斷。OXOXZc

c

d

d

a

b

a

b

OXOXZYHYWYHYW8/19/202411例2：已知AB為水平線，補(bǔ)畫a’b’。b’a’ab解題思路：熟悉水平線的投影特性，明確正面投影平行于投影軸。OX8/19/202412例3:

過點(diǎn)A向右上方作一正平線AB,使其實(shí)長為25，與H面的傾角

=30°。25b’30°b”O(jiān)XZYHYWa’aa”b解題思路：熟悉正平線的投影特性，并從反映實(shí)長和的投影入手。作圖要點(diǎn):１．做正平線的正面投影；２．過點(diǎn)a做正平線的水平投影和側(cè)面投影。8/19/202413

|zA-zB

|AB

|zA-zB|

ABab|zA-zB|

AB|zA-zB|ab直角三角形法求線段實(shí)長及線段與投影面的傾角求直線AB的實(shí)長及其對

水平投影面的傾角

角。8/19/202414

求直線的實(shí)長及對正面投影面的傾角

角|yA-yB|a

b

AB

|yA-yB|AB

|yA-yB|

a

Xab

bO8/19/202415

求直線的實(shí)長及對側(cè)面投影面的傾角

角ABbb

a

b

aa

|xA-xB||xA-xB|

8/19/202416即：直角三角形的組成:斜邊－實(shí)長直角邊1－投影,直角邊2－坐標(biāo)差,

投影與實(shí)長的夾角－傾角。直角三角形法求線段實(shí)長

及線段與投影面的傾角8/19/202417例5：已知直線的一個(gè)投影a’b’及實(shí)長，求直線的投影ab。XOa’b’aB0解題思路及步驟——1.根據(jù)直角三角形的組成，利用a’b’及實(shí)長作直角三角形；2.求出Y坐標(biāo)差；3.利用Y坐標(biāo)差求ab投影。bAB實(shí)長思考：若將已知條件實(shí)長換成

=30°，則如何解題？8/19/202418直線上的點(diǎn)ABCVHbcc

b

a

a從屬性：若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的投影必在直線的同面投影上，且符合點(diǎn)的投影規(guī)律。反之，亦然。定比性：若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的投影分割線段的同面投影之比與空間點(diǎn)分割線段之比相等。反之，亦然。即AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

=a

c

:c

b

，利用這一特性，在不作側(cè)面投影的情況下，可以在側(cè)平線上找點(diǎn)或判斷已知點(diǎn)是否在側(cè)平線上。直線上點(diǎn)的投影特性——8/19/202419例6：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。點(diǎn)C不在直線AB上點(diǎn)C在直線AB上abca’b

c

①c

②abca’b’●●OXOX8/19/202420例7：判斷點(diǎn)K是否在線段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故點(diǎn)K不在AB上。方法二：應(yīng)用定比定理abka

b

k

●●方法一：作出第三投影因ak/kb不等于a’k’/k’b’，故點(diǎn)K不在AB上。OXYHYWZ8/19/202421cc

例8已知線段AB的投影圖，試將AB分成2﹕1兩段，求分點(diǎn)C的投影c、c

。O8/19/202422直線上的特殊點(diǎn)——跡點(diǎn)

跡點(diǎn)：直線與投影面的交點(diǎn)（正面跡點(diǎn)、水平跡點(diǎn)、側(cè)面跡點(diǎn)）。作圖要點(diǎn)：1、跡點(diǎn)既是投影面上的點(diǎn)又是直線上的點(diǎn)，故必同時(shí)符合投影面上點(diǎn)和直線上的點(diǎn)的投影規(guī)律;2、求跡點(diǎn)時(shí)，先延長投影到投影軸。m’mnn’M是水平跡點(diǎn),N是正面跡點(diǎn)。a’b’abOX8/19/202423空間兩直線的相對位置關(guān)系分為四種：平行、相交、交叉、垂直。⒈兩直線平行投影特性（判別方法）：aVHc

bcdABCDb

d

a

兩直線的相對位置

1．若空間兩直線相互平行，則其各同面投影必相互平行；反之，若兩直線的各同面投影相互平行，則此兩直線在空間也一定相互平行。

2．平行兩線段之比等于其投影之比。8/19/202424例9：判斷圖中兩條直線是否平行。

對于一般位置直線，只要有兩個(gè)同面投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CDabcdc

a

b

d

OX8/19/202425HVABCDKabcdka

b

c

k

d

⒉兩直線相交

若空間兩直線相交，則其各同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律；反之，亦然。兩直線的相對位置交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)投影特性（判別方法）：abcdb

a

c

d

kk

OX8/19/2024263.兩直線交叉：凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。兩直線的相對位置1

(2

)3(4)投影特性（判別方法）

：★同面投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。也可能有兩對同面投影平行，但第三對決不會平行?！铩敖稽c(diǎn)”是兩直線上的一對重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影點(diǎn)，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點(diǎn)。為什么？兩直線相交嗎？d

b

a

abcdc

12●●3

4

●●●●OX8/19/202427例10：過直線CD外一點(diǎn)A，作正平線AB與CD相交。a'ac'

d'cdb’bc1b1XO8/19/202428例11判斷兩直線的相對位置。d

a

c

b

oYWYHz解法一：8/19/2024291

1

d

c

1

1

例11判斷兩直線的相對位置解法二：8/19/202430例12判斷圖中兩條直線的空間位置。對于特殊位置直線，只有兩個(gè)特殊投影互相平行，空間直線不一定平行，必須在直線所平行的投影面內(nèi)進(jìn)行判斷。求出側(cè)面投影后可知：AB與CD不平行。b

d

c

a

cbadd

b

a

c

還可以如何判斷？XZOYHYW8/19/202431

例13判斷兩直線重影點(diǎn)的可見性。3

(4

)341

2

1(2)O8/19/202432例14：求作水平線L，使其距H面的距離為15，且與直線AB、CD都相交。a'b'abc'd'dc15l’lXO8/19/202433本講小結(jié)——重點(diǎn)掌握8/19/202434例4：已知直線的投影，求直線的實(shí)長及

角。XO