人教A版高中數(shù)學必修第一冊4.2指數(shù)函數(shù)【課件】

4.2指數(shù)函數(shù)1|指數(shù)函數(shù)的概念一般地,函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,定義域是R.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)0<a<1a>1圖象

定義域R值域(0,+∞)性質過定點過定點(0,1),即x=0時,y=1單調性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)函數(shù)值的變化當x>0時,0<y<1;當x<0時,y>1當x>0時,y>1;當x<0時,0<y<1對稱性y=ax與y=

的圖象關于y軸對稱2

|指數(shù)函數(shù)的圖象和性質1.函數(shù)y=-2x,y=2x+1是不是指數(shù)函數(shù)?都不是.指數(shù)函數(shù)解析式的結構特點:①底數(shù)a是滿足a>0,且a≠1的常數(shù);②指數(shù)位

置只能是x;③ax的系數(shù)為1.y=-2x中2x的系數(shù)為-1,不是1,y=2x+1中指數(shù)位置不是x.2.函數(shù)y=-2x,y=2x+1的圖象可由y=2x的圖象經(jīng)怎樣的變換得到?函數(shù)y=-2x的圖象可由y=2x的圖象關于x軸對稱得到,函數(shù)y=2x+1的圖象可由y=2x的

圖象向左平移1個單位長度得到.3.指數(shù)函數(shù)y=3x與y=

的圖象有怎樣的對稱關系?因為y=

=3-x,所以由兩函數(shù)解析式的關系知其圖象關于y軸對稱.知識辨析4.形如y=kax(k≠0,a>0且a≠1)的函數(shù)模型,滿足什么條件時可用作指數(shù)增長模型

與指數(shù)衰減模型?當k>0,且a>1或k<0,且0<a<1時為指數(shù)增長模型;當k>0,且0<a<1或k<0,且a>1時為

指數(shù)衰減模型.5.對于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1),底數(shù)與其圖象有什么關系?①當0<a<1時,圖象“下降”,當a>1時,圖象“上升”;②由y=ax的圖象與直線x=1

相交于點(1,a)可知,在y軸右側,圖象從下到上對應的底數(shù)由小變大.1與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的定義域、值域問題與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的定義域、值域的求法(1)函數(shù)y=af(x)的定義域與f(x)的定義域相同;(2)求函數(shù)y=af(x)的值域,需先確定f(x)的值域,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=ax的單調性確定函

數(shù)y=af(x)的值域;(3)求函數(shù)y=f(ax)的定義域,需先確定y=f(u)的定義域,即u的取值范圍,亦即ax的取值

范圍,由此構造關于x的不等式(組),確定x的取值范圍,即y=f(ax)的定義域;(4)求函數(shù)y=f(ax)的值域,需先利用函數(shù)u=ax的單調性確定其值域,即u的取值范圍,

再確定函數(shù)y=f(u)的值域,即y=f(ax)的值域.(以上a均滿足a>0,且a≠1)典例求下列函數(shù)的定義域和值域:(1)y=

;(2)y=4x-2x+1;(3)y=

(a>0,且a≠1).思路點撥

(1)利用被開方數(shù)非負得到

的范圍,結合指數(shù)函數(shù)的性質求出x及y的范圍.(2)令2x=t,通過換元轉化為二次函數(shù),求值域.(3)由ax>0知ax+1>0恒成立,從而得定義域為R,利用換元法或反表示法求值域.解析

(1)由題意知1-

≥0,∴

≤1=

,∴x≥0,∴此函數(shù)的定義域為[0,+∞).∵

≤1,且

>0,∴0<

≤1,∴0≤1-

<1,∴0≤y<1,∴此函數(shù)的值域為[0,1).(2)函數(shù)的定義域為R.令2x=t,則t>0,y=(2x)2-2x+1=t2-t+1=

+

,∵t>0,∴當t=

,即x=-1時,y取得最小值

,∴函數(shù)的值域為

.(3)由ax+1>0恒成立,得函數(shù)y=

(a>0,且a≠1)的定義域為R.解法一(換元法):設ax=t,則t∈(0,+∞),y=

=

=1-

.∵t>0,∴t+1>1,∴0<

<1,

∴-2<-

<0,∴-1<1-

<1,即函數(shù)y=

的值域為(-1,1).解法二(反表示法):由y=

(a>0,且a≠1),得ax=-

.∵ax>0,∴-

>0,∴-1<y<1,即函數(shù)y=

的值域為(-1,1).

1.形如y=a

f(x)(a>0,且a≠1)的函數(shù)的單調性的判斷方法:當a>1時,函數(shù)u=f(x)的單調

遞增(減)區(qū)間即為函數(shù)y=a

f(x)的單調遞增(減)區(qū)間;當0<a<1時,函數(shù)u=f(x)的單調遞

減(增)區(qū)間即為函數(shù)y=a

f(x)的單調遞增(減)區(qū)間.2.形如y=f(ax)(a>0,且a≠1)的函數(shù)的單調性的判斷方法:通過內層函數(shù)u=ax的值域

確定外層函數(shù)y=f(u)的定義域,在此定義域內討論外層函數(shù)的單調區(qū)間,再根據(jù)復

合函數(shù)“同增異減”的規(guī)律確定復合函數(shù)的單調性.2與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的單調性問題典例求下列函數(shù)的單調區(qū)間:(1)y=

;(2)y=

-8

+17.思路點撥先換元,再利用復合函數(shù)“同增異減”的規(guī)律求解.解析

(1)令u=x2-2x+3,則由二次函數(shù)的性質可知,該函數(shù)在(-∞,1]上為減函數(shù),在

[1,+∞)上為增函數(shù),又y=

在R上為減函數(shù),∴函數(shù)y=

的單調遞增區(qū)間為(-∞,1],單調遞減區(qū)間為[1,+∞).(2)設u=

,則y=u2-8u+17(u>0),根據(jù)二次函數(shù)的性質知,該函數(shù)在(0,4]上單調遞減,在[4,+∞)上單調遞增.令

≤4,得x≥-2,∴y=

-8

+17的單調遞增區(qū)間是[-2,+∞).令

≥4,得x≤-2,∴y=

-8

+17的單調遞減區(qū)間是(-∞,-2].易錯警示

由y=f(u)及u=g(x)的單調性來解決函數(shù)y=f(g(x))的單調性問題時,應將

y=f(u)的中間變量u的取值范圍轉化為x的取值范圍,進而得到函數(shù)y=f(g(x))的單調

區(qū)間,解題時注意不要將中間變量u的取值范圍作為函數(shù)y=f(g(x))的單調區(qū)間.比較指數(shù)冪大小的方法

3指數(shù)冪的大小比較典例

(1)設a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,則a,b,c的大小關系是

(

)A.a<b<c

B.a<c<bC.b<a<c

D.b<c<a(2)下列大小關系正確的是

(

)A.0.43<30.4<π0

B.0.43<π0<30.4C.30.4<0.43<π0

D.π0<30.4<0.43

思路點撥比較指數(shù)冪形式的數(shù)的大小時,往往先將各數(shù)與0,1比較,再結合單調

性比較大小.CB解析

(1)∵1.50.6>1.50=1,0.60.6<0.60=1,∴1.50.6>0.60.6.∵函數(shù)y=0.6x在(-∞,+∞)上是減函數(shù),且1.5>0.6,∴0.61.5<0.60.6.∴1.50.6>0.60.6>0.61.5,即b<a<c,故選C.(2)0.43<0.40=1=π0=30<30.4,故選B.1.指數(shù)方程的解法(1)對于af(x)=b(a>0,且a≠1)型的指數(shù)方程,通常將方程兩邊化為同底數(shù)冪的形式,

用指數(shù)相等進行求解.(2)解復雜的指數(shù)方程時,常用換元法轉化為解一元二次方程.用換元法時要特別

注意“元”的范圍,用一元二次方程求解時,要注意對二次方程根的取舍.2.簡單指數(shù)不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式,可借助y=ax(a>0,且a≠1)的單調性求解;(2)形如af(x)>b的不等式,可將b化成以a為底數(shù)的冪的形式,再借助y=ax(a>0,且a≠1)

的單調性求解;(3)形如ax>bx的不等式,可借助函數(shù)y=ax與y=bx(a,b>0,且a,b≠1)的圖象求解.4指數(shù)方程與不等式的解法典例解下列方程或不等式:(1)22x+2+3×2x-1=0;(2)

<

(a>0,且a≠1).思路點撥

(1)令t=2x,采用換元法解方程.(2)分a>1、0<a<1兩種情況討論,利用指

數(shù)函數(shù)y=ax的單調性求解.解析

(1)∵22x+2+3×2x-1=0,∴4×(2x)2+3×2x-1=0.令t=2x,則t>0,原方程可化為4t2+3t-1=0,解得t=

或t=-1(舍去),