人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)4.2指數(shù)函數(shù)【課件】

4.2指數(shù)函數(shù)1|指數(shù)函數(shù)的概念一般地,函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,定義域是R.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)0<a<1a>1圖象

定義域R值域(0,+∞)性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí),y=1單調(diào)性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)函數(shù)值的變化當(dāng)x>0時(shí),0<y<1;當(dāng)x<0時(shí),y>1當(dāng)x>0時(shí),y>1;當(dāng)x<0時(shí),0<y<1對(duì)稱性y=ax與y=

的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱2

|指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.函數(shù)y=-2x,y=2x+1是不是指數(shù)函數(shù)?都不是.指數(shù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn):①底數(shù)a是滿足a>0,且a≠1的常數(shù);②指數(shù)位

置只能是x;③ax的系數(shù)為1.y=-2x中2x的系數(shù)為-1,不是1,y=2x+1中指數(shù)位置不是x.2.函數(shù)y=-2x,y=2x+1的圖象可由y=2x的圖象經(jīng)怎樣的變換得到?函數(shù)y=-2x的圖象可由y=2x的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱得到,函數(shù)y=2x+1的圖象可由y=2x的

圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到.3.指數(shù)函數(shù)y=3x與y=

的圖象有怎樣的對(duì)稱關(guān)系?因?yàn)閥=

=3-x,所以由兩函數(shù)解析式的關(guān)系知其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.知識(shí)辨析4.形如y=kax(k≠0,a>0且a≠1)的函數(shù)模型,滿足什么條件時(shí)可用作指數(shù)增長(zhǎng)模型

與指數(shù)衰減模型?當(dāng)k>0,且a>1或k<0,且0<a<1時(shí)為指數(shù)增長(zhǎng)模型;當(dāng)k>0,且0<a<1或k<0,且a>1時(shí)為

指數(shù)衰減模型.5.對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1),底數(shù)與其圖象有什么關(guān)系?①當(dāng)0<a<1時(shí),圖象“下降”,當(dāng)a>1時(shí),圖象“上升”;②由y=ax的圖象與直線x=1

相交于點(diǎn)(1,a)可知,在y軸右側(cè),圖象從下到上對(duì)應(yīng)的底數(shù)由小變大.1與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域、值域的求法(1)函數(shù)y=af(x)的定義域與f(x)的定義域相同;(2)求函數(shù)y=af(x)的值域,需先確定f(x)的值域,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=ax的單調(diào)性確定函

數(shù)y=af(x)的值域;(3)求函數(shù)y=f(ax)的定義域,需先確定y=f(u)的定義域,即u的取值范圍,亦即ax的取值

范圍,由此構(gòu)造關(guān)于x的不等式(組),確定x的取值范圍,即y=f(ax)的定義域;(4)求函數(shù)y=f(ax)的值域,需先利用函數(shù)u=ax的單調(diào)性確定其值域,即u的取值范圍,

再確定函數(shù)y=f(u)的值域,即y=f(ax)的值域.(以上a均滿足a>0,且a≠1)典例求下列函數(shù)的定義域和值域:(1)y=

;(2)y=4x-2x+1;(3)y=

(a>0,且a≠1).思路點(diǎn)撥

(1)利用被開(kāi)方數(shù)非負(fù)得到

的范圍,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出x及y的范圍.(2)令2x=t,通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),求值域.(3)由ax>0知ax+1>0恒成立,從而得定義域?yàn)镽,利用換元法或反表示法求值域.解析

(1)由題意知1-

≥0,∴

≤1=

,∴x≥0,∴此函數(shù)的定義域?yàn)閇0,+∞).∵

≤1,且

>0,∴0<

≤1,∴0≤1-

<1,∴0≤y<1,∴此函數(shù)的值域?yàn)閇0,1).(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽.令2x=t,則t>0,y=(2x)2-2x+1=t2-t+1=

+

,∵t>0,∴當(dāng)t=

,即x=-1時(shí),y取得最小值

,∴函數(shù)的值域?yàn)?/p>

.(3)由ax+1>0恒成立,得函數(shù)y=

(a>0,且a≠1)的定義域?yàn)镽.解法一(換元法):設(shè)ax=t,則t∈(0,+∞),y=

=

=1-

.∵t>0,∴t+1>1,∴0<

<1,

∴-2<-

<0,∴-1<1-

<1,即函數(shù)y=

的值域?yàn)?-1,1).解法二(反表示法):由y=

(a>0,且a≠1),得ax=-

.∵ax>0,∴-

>0,∴-1<y<1,即函數(shù)y=

的值域?yàn)?-1,1).

1.形如y=a

f(x)(a>0,且a≠1)的函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法:當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)u=f(x)的單調(diào)

遞增(減)區(qū)間即為函數(shù)y=a

f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間;當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)u=f(x)的單調(diào)遞

減(增)區(qū)間即為函數(shù)y=a

f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間.2.形如y=f(ax)(a>0,且a≠1)的函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法:通過(guò)內(nèi)層函數(shù)u=ax的值域

確定外層函數(shù)y=f(u)的定義域,在此定義域內(nèi)討論外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再根據(jù)復(fù)

合函數(shù)“同增異減”的規(guī)律確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.2與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題典例求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)y=

;(2)y=

-8

+17.思路點(diǎn)撥先換元,再利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的規(guī)律求解.解析

(1)令u=x2-2x+3,則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,該函數(shù)在(-∞,1]上為減函數(shù),在

[1,+∞)上為增函數(shù),又y=

在R上為減函數(shù),∴函數(shù)y=

的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1],單調(diào)遞減區(qū)間為[1,+∞).(2)設(shè)u=

,則y=u2-8u+17(u>0),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知,該函數(shù)在(0,4]上單調(diào)遞減,在[4,+∞)上單調(diào)遞增.令

≤4,得x≥-2,∴y=

-8

+17的單調(diào)遞增區(qū)間是[-2,+∞).令

≥4,得x≤-2,∴y=

-8

+17的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-2].易錯(cuò)警示

由y=f(u)及u=g(x)的單調(diào)性來(lái)解決函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性問(wèn)題時(shí),應(yīng)將

y=f(u)的中間變量u的取值范圍轉(zhuǎn)化為x的取值范圍,進(jìn)而得到函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)

區(qū)間,解題時(shí)注意不要將中間變量u的取值范圍作為函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)區(qū)間.比較指數(shù)冪大小的方法

3指數(shù)冪的大小比較典例

(1)設(shè)a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,則a,b,c的大小關(guān)系是

(

)A.a<b<c

B.a<c<bC.b<a<c

D.b<c<a(2)下列大小關(guān)系正確的是

(

)A.0.43<30.4<π0

B.0.43<π0<30.4C.30.4<0.43<π0

D.π0<30.4<0.43

思路點(diǎn)撥比較指數(shù)冪形式的數(shù)的大小時(shí),往往先將各數(shù)與0,1比較,再結(jié)合單調(diào)

性比較大小.CB解析

(1)∵1.50.6>1.50=1,0.60.6<0.60=1,∴1.50.6>0.60.6.∵函數(shù)y=0.6x在(-∞,+∞)上是減函數(shù),且1.5>0.6,∴0.61.5<0.60.6.∴1.50.6>0.60.6>0.61.5,即b<a<c,故選C.(2)0.43<0.40=1=π0=30<30.4,故選B.1.指數(shù)方程的解法(1)對(duì)于af(x)=b(a>0,且a≠1)型的指數(shù)方程,通常將方程兩邊化為同底數(shù)冪的形式,

用指數(shù)相等進(jìn)行求解.(2)解復(fù)雜的指數(shù)方程時(shí),常用換元法轉(zhuǎn)化為解一元二次方程.用換元法時(shí)要特別

注意“元”的范圍,用一元二次方程求解時(shí),要注意對(duì)二次方程根的取舍.2.簡(jiǎn)單指數(shù)不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式,可借助y=ax(a>0,且a≠1)的單調(diào)性求解;(2)形如af(x)>b的不等式,可將b化成以a為底數(shù)的冪的形式,再借助y=ax(a>0,且a≠1)

的單調(diào)性求解;(3)形如ax>bx的不等式,可借助函數(shù)y=ax與y=bx(a,b>0,且a,b≠1)的圖象求解.4指數(shù)方程與不等式的解法典例解下列方程或不等式:(1)22x+2+3×2x-1=0;(2)

<

(a>0,且a≠1).思路點(diǎn)撥

(1)令t=2x,采用換元法解方程.(2)分a>1、0<a<1兩種情況討論,利用指

數(shù)函數(shù)y=ax的單調(diào)性求解.解析

(1)∵22x+2+3×2x-1=0,∴4×(2x)2+3×2x-1=0.令t=2x,則t>0,原方程可化為4t2+3t-1=0,解得t=

或t=-1(舍去),