Matlab求解線性方程組非線性方程組

/求解線性方程組

solve，linsolve

例：

A=[5042;1-121;4120;1111];

%矩陣的行之間用分號(hào)隔開(kāi)，元素之間用逗號(hào)或空格

B=[3;1;1;0]

X=zeros(4,1);%建立一個(gè)4元列向量

X=linsolve(A,B)

diff（fun，var，n）：對(duì)表達(dá)式fun中的變量var求n階導(dǎo)數(shù)。例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）;%sym（）用來(lái)定義一個(gè)符號(hào)表達(dá)式

diff(F);%matlab區(qū)分大小寫(xiě)

pretty(ans)%pretty（）：用習(xí)慣書(shū)寫(xiě)方式顯示變量；ans是答案表達(dá)式

非線性方程求解

fsolve(fun,x0,options)

其中fun為待解方程或方程組的文件名；

x0位求解方程的初始向量或矩陣；

option為設(shè)置命令參數(shù)

建立文件fun.m：

functiony=fun(x)

y=[x(1)-0.5*sin(x(1))-0.3*cos(x(2)),...

x(2)-0.5*cos(x(1))+0.3*sin(x(2))];>>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))

注：

...為續(xù)行符

m文件必須以function為文件頭，調(diào)用符為@；文件名必須與定義的函數(shù)名相同；fsolve（）主要求解復(fù)雜非線性方程和方程組，求解過(guò)程是一個(gè)逼近過(guò)程。

Matlab求解線性方程組

AX=B或XA=B

在MATLAB中，求解線性方程組時(shí)，主要采用前面章節(jié)介紹的除法運(yùn)算符“/”和“\”。如：

X=A\B表示求矩陣方程AX＝B的解；

X＝B/A表示矩陣方程XA=B的解。

對(duì)方程組X＝A\B，要求A和B用相同的行數(shù)，X和B有相同的列數(shù)，它的行數(shù)等于矩陣A的列數(shù)，方程X＝B/A同理。如果矩陣A不是方陣，其維數(shù)是m×n，則有：

m＝n恰定方程，求解精確解；

m>n超定方程，尋求最小二乘解；

m<n不定方程，尋求基本解，其中至多有m個(gè)非零元素。

針對(duì)不同的情況，MATLAB將采用不同的算法來(lái)求解。

一．恰定方程組

恰定方程組由n個(gè)未知數(shù)的n個(gè)方程構(gòu)成，方程有唯一的一組解，其一般形式可用矩陣，向量寫(xiě)成如下形式：

Ax=b其中A是方陣，b是一個(gè)列向量；

在線性代數(shù)教科書(shū)中，最常用的方程組解法有：

（1）利用cramer公式來(lái)求解法；

（2）利用矩陣求逆解法，即x=A-1b；

（3）利用gaussian消去法；

（4）利用lu法求解。

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)維數(shù)不高，條件數(shù)不大的矩陣，上面四種解法所得的結(jié)果差別不大。前三種解法的真正意義是在其理論上，而不是實(shí)際的數(shù)值計(jì)算。MATLAB中，出于對(duì)算法穩(wěn)定性的考慮，行列式與逆的計(jì)算大都在lu分解的基礎(chǔ)上進(jìn)行。

在MATLAB中，求解這類方程組的命令十分簡(jiǎn)單，直接采用表達(dá)式：x=A\b。

在MATLAB的指令解釋器在確認(rèn)變量A非奇異后，就對(duì)它進(jìn)行l(wèi)u分解，并最終給出解x；若矩陣A的條件數(shù)很大，MATLAB會(huì)提醒用戶注意所得解的可靠性。

如果矩陣A是奇異的，則Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩陣A接近奇異時(shí)，MATLAB將給出警告信息；如果發(fā)現(xiàn)A是奇異的，則計(jì)算結(jié)果為inf，并且給出警告信息；如果矩陣A是病態(tài)矩陣，也會(huì)給出警告信息。

注意：在求解方程時(shí)，盡量不要用inv(A)*b命令，而應(yīng)采用A\b的解法。因?yàn)楹笳叩挠?jì)算速度比前者快、精度高，尤其當(dāng)矩陣A的維數(shù)比較大時(shí)。另外，除法命令的適用行較強(qiáng)，對(duì)于非方陣A，也能給出最小二乘解。二．超定方程組

對(duì)于方程組Ax=b，A為n×m矩陣，如果A列滿秩，且n>m。則方程組沒(méi)有精確解，此時(shí)稱方程組為超定方程組。線性超定方程組經(jīng)常遇到的問(wèn)題是數(shù)據(jù)的曲線擬合。對(duì)于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）來(lái)尋求它的最小二乘解；還可以用廣義逆來(lái)求，即x=pinv(A),所得的解不一定滿足Ax=b，x只是最小二乘意義上的解。左除的方法是建立在奇異值分解基礎(chǔ)之上，由此獲得的解最可靠；廣義逆法是建立在對(duì)原超定方程直接進(jìn)行householder變換的基礎(chǔ)上，其算法可靠性稍遜與奇異值求解，但速度較快；

【例7】

求解超定方程組

A=[2-13;31-5;4-11;13-13]

A=

2-13

31-5

4-11

13-13

b＝[303-6]’;

rank(A)

ans=

3

x1=A\b

x1=

1.0000

2.0000

1.0000

x2=pinv(A)*b

x2=

1.0000

2.0000

1.0000

A*x1-b

ans=

1.0e-014

-0.0888

-0.0888

-0.1332

0

可見(jiàn)x1并不是方程Ax=b的精確解，用x2=pinv(A)*b所得的解與x1相同。三．欠定方程組

欠定方程組未知量個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，但理論上有無(wú)窮個(gè)解。MATLAB將尋求一個(gè)基本解，其中最多只能有m個(gè)非零元素。特解由列主元qr分解求得。

【例8】

解欠定方程組

A＝[1-211;1-21-1;1-215]

A=

1-211

1-21-1

1-21-1

1-215

b=[1-15]’

x1=A\b

Warning:Rankdeficient,rank=2tol=4.6151e-015

x1=

0

-0.0000

0

1.0000

x2=pinv(A)*b

x2=

0

-0.0000

0.0000

1.0000四．方程組的非負(fù)最小二乘解

在某些條件下，所求的線性方程組的解出現(xiàn)負(fù)數(shù)是沒(méi)有意義的。雖然方程組可以得到精確解，但卻不能取負(fù)值解。在這種情況下，其非負(fù)最小二乘解比方程的精確解更有意義。在MATLAB中，求非負(fù)最小二乘解常用函數(shù)nnls，其調(diào)用格式為：

（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解過(guò)程被限制在x的條件下；

（2）X=nnls(A,b,TOL)指定誤差TOL來(lái)求解，TOL的默認(rèn)值為T(mén)OL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩陣的－1范數(shù)越大，求解的誤差越大；

（3）[X,W]=nnls(A,b)當(dāng)x(i)=0時(shí)，w(i)<0；當(dāng)下x(i)>0時(shí)，w(i)0,同時(shí)返回一個(gè)雙向量w。

【例9】求方程組的非負(fù)最小二乘解

A=[3.4336-0.52380.6710

-0.52383.2833-0.7302

0.6710-0.73024.0261];

b=[-1.0001.50002.5000];

[X,W]=nnls(A,b)

X=

0