《復(fù)數(shù)的幾何表示》教學(xué)課例

《復(fù)數(shù)的幾何表示》教學(xué)課例魏春華【教學(xué)設(shè)計(jì)】一、教材分析本節(jié)課選自高二《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-2》的《復(fù)數(shù)的幾何表示》，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念和四則運(yùn)算的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步讓學(xué)生感受形與數(shù)之間的和諧與統(tǒng)一。本節(jié)課主要向?qū)W生呈現(xiàn)本教材的最大特色之一是以向量為主線，把代數(shù)，幾何聯(lián)系起來，把向量引進(jìn)復(fù)數(shù)體系，通過引進(jìn)復(fù)數(shù)的向量表示，再由向量的加減法的幾何意義順理成章的獲得復(fù)數(shù)加減法的幾何意義其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想。本節(jié)課的教學(xué)指導(dǎo)思想是努力挖掘教材的內(nèi)涵美妙之處，充分發(fā)揮其功能，復(fù)數(shù)的概念來自數(shù)學(xué)內(nèi)部對(duì)運(yùn)算與解方程的需要，它的幾何表示則來自數(shù)形結(jié)合思想與坐標(biāo)方法，這使得復(fù)數(shù)必然奠基于代數(shù)中運(yùn)算、方程、直角坐標(biāo)系、集合等知識(shí)之上，而且必然與平面幾何、平面解析幾何之間有著密切的聯(lián)系．這不僅又一次看到了向量這一工具的功能，也把復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示及其加（減）運(yùn)算，與向量、向量的坐標(biāo)表示及其加（減）運(yùn)算完美地統(tǒng)一了起來．使學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生與發(fā)展過程中的思想方法和數(shù)學(xué)的和諧美、簡(jiǎn)潔美，培養(yǎng)精益求精的治學(xué)態(tài)度和勇于探索的精神。二、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)與能力：1．了解復(fù)平面的概念，理解復(fù)數(shù)z=a+bi兩種幾何表示：點(diǎn)P(a,b)及向量；2．了解復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算的幾何意義；3．了解共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)模的定義，并會(huì)簡(jiǎn)單的運(yùn)用；（二）過程與方法：通過復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何表示，復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算的幾何意義的學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)過程，讓學(xué)生感受形與數(shù)之間的和諧與統(tǒng)一，體會(huì)思考問題的方式和方法，提高實(shí)踐動(dòng)手操作能力。（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過對(duì)復(fù)數(shù)的代數(shù)語言與幾何語言相互轉(zhuǎn)換的情境學(xué)習(xí)，體會(huì)解決復(fù)數(shù)問題的手段，培養(yǎng)學(xué)生用于創(chuàng)新的精神。三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：1．復(fù)數(shù)的幾何表示點(diǎn)P(a,b)及向量2．復(fù)數(shù)加（減）法運(yùn)算的幾何意義難點(diǎn)：1．復(fù)平面概念的建立2．復(fù)數(shù)加（減）法運(yùn)算的幾何意義四、教學(xué)方法通過類比啟發(fā)學(xué)生的思維，探究復(fù)數(shù)的幾何表示，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想解決問題。五、教學(xué)過程【創(chuàng)設(shè)問題情景】在之前的學(xué)習(xí)過程中我們對(duì)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念已經(jīng)有了一定的了解，知道復(fù)數(shù)可以分為實(shí)數(shù)與虛數(shù)，而實(shí)數(shù)可以由一條數(shù)軸上的點(diǎn)來表示。比如我們?nèi)∫粭l規(guī)定了方向的直線，在直線上取定一點(diǎn)o作為原點(diǎn)，取定一個(gè)單位長(zhǎng)，則這條直線便成為一條數(shù)軸，而每個(gè)實(shí)數(shù)由數(shù)軸上的唯一一個(gè)點(diǎn)P來表示，當(dāng)記為沿著數(shù)軸的正方向，長(zhǎng)度等于單位的向量，則數(shù)軸上的點(diǎn)P與它所表示的實(shí)數(shù)的關(guān)系為，也就是說：每個(gè)實(shí)數(shù)都可以用平行于數(shù)軸的向量來表示一一對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)點(diǎn)P(a,b)一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)平面向量師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念．什么是復(fù)數(shù)？生：形如a＋bi的數(shù)叫復(fù)數(shù)．（學(xué)生有不同意見，小聲議論）師：誰有補(bǔ)充？生：形如a＋bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)．（教師給予肯定）師：a，b∈R的條件很重要，實(shí)際上我們是用實(shí)數(shù)來定義的復(fù)數(shù)，雖然我們知道了復(fù)數(shù)的定義，但是復(fù)數(shù)對(duì)于我們來說，總感到摸不著抓不住，不像實(shí)數(shù)，任何一個(gè)實(shí)數(shù)，都可以在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)，那么復(fù)數(shù)到底在哪里呢？那我們知道復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)和虛數(shù)構(gòu)成，那我們是否可以類比得到復(fù)數(shù)的幾何表示呢？（讓學(xué)生在復(fù)習(xí)舊知識(shí)的同時(shí)引入新的問題，讓學(xué)生帶著問題開始新知識(shí)的學(xué)習(xí)。）【導(dǎo)入新課】師：從之前的學(xué)習(xí)中我們了解到根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義可知，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以由一個(gè)有序的實(shí)數(shù)對(duì)來唯一確定。一一對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)有序數(shù)對(duì)而有序數(shù)對(duì)，又像我們所學(xué)的什么呢？生：像直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)。師：是的，這樣我們有可以把復(fù)數(shù)與直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來，一一對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P(a,b)一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)有序數(shù)對(duì)知識(shí)點(diǎn)1：復(fù)平面的概念，實(shí)軸，虛軸。例1：（1）寫出在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)。（2）在復(fù)平面中畫出所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P1,P2,P3,P4。（通過這兩道題，不僅鞏固了復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而且還為后面的教學(xué)打下了一個(gè)鋪墊）（二）小試牛刀1.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R）a,b須滿足什么條件，能使復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于：(1)x軸上(2)y軸上（不含原點(diǎn)）(3)第二象限(4)在直線2x+y-3=0上變式：已知復(fù)數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求實(shí)數(shù)m允許的取值范圍。（通過這兩題的練習(xí)，讓學(xué)生會(huì)把復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限問題轉(zhuǎn)化成不等式的代數(shù)問題進(jìn)行解決，在此灌輸給學(xué)生轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。）【類比】由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面的點(diǎn)被唯一的確定，那么由原點(diǎn)出發(fā)的向量也就唯一的確定了，在此我們就可以類似得到了：一一對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)點(diǎn)P(a,b)一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)平面向量師：那我們回頭看剛才的例1的第二小題，請(qǐng)畫出這四個(gè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量，并根據(jù)向量模的概念求出向量的模。生：知識(shí)點(diǎn)2：復(fù)數(shù)的模的定義任意復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的向量的模稱為復(fù)數(shù)的模，也稱為z的絕對(duì)值，記作|z|,即點(diǎn)P(a,b)到原點(diǎn)的距離。 【觀察】師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)儆^察z3，z4，這兩個(gè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量之間有什么關(guān)系？（學(xué)生在老師的提醒下很快可以發(fā)現(xiàn)他們關(guān)于x軸對(duì)稱，兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)）知識(shí)點(diǎn)3：共軛復(fù)數(shù)的概念以及一些重要結(jié)論對(duì)于任意復(fù)數(shù)，如果保持實(shí)部a不變，虛部b變成相反數(shù)-b，得到復(fù)數(shù)稱為原來復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)。所以重要結(jié)論：（1）（2）（3）【自主探究】1.設(shè)Z∈C滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？(1)∣Z∣=4(2)2<∣Z∣<4通過圖形讓以及向量的運(yùn)算法則讓他們認(rèn)識(shí)到復(fù)數(shù)加減法的集合意義可以由所對(duì)應(yīng)的向量的加減法來表示。知識(shí)點(diǎn)4：復(fù)數(shù)的加法，減法的幾何意義1.兩個(gè)復(fù)數(shù)的加法由對(duì)應(yīng)的向量的加法來表示2.兩個(gè)復(fù)數(shù)的減法由對(duì)應(yīng)的向量的減法來表示3.復(fù)數(shù)與任一實(shí)數(shù)K的乘法由對(duì)應(yīng)向量與K的乘法表示復(fù)數(shù)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)向量的運(yùn)算例2、已知OPSQ為平行四邊形，若P,Q分別表示復(fù)數(shù)1+4i，4+i，M是OS,PQ的交點(diǎn)，PQ平行且等于于OD分別求S,D,M表示的復(fù)數(shù)。變式1：已知復(fù)平面上正方形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為求第四個(gè)點(diǎn)D的復(fù)數(shù)變式2：已知復(fù)平面上梯形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，且CD平行且等于2AB求第四個(gè)點(diǎn)D的復(fù)數(shù)課時(shí)小結(jié)：一、數(shù)學(xué)知識(shí)：(1)復(fù)數(shù)的兩種幾何表示(2)復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)(3)復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義二、數(shù)學(xué)思想：(1)類比的思想(2)轉(zhuǎn)化的思想(3)數(shù)形結(jié)合的思想【教學(xué)片段實(shí)錄】類比學(xué)習(xí)同學(xué)們?cè)谥暗膶W(xué)習(xí)過程中我們對(duì)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念已經(jīng)有了一定的了解，知道復(fù)數(shù)可以分為實(shí)數(shù)與虛數(shù)，而實(shí)數(shù)可以由一條數(shù)軸上的點(diǎn)來表示。比如我們?nèi)∫粭l規(guī)定了方向的直線，在直線上取定一點(diǎn)o作為原點(diǎn)，取定一個(gè)單位長(zhǎng)，則這條直線便成為一條數(shù)軸，而每個(gè)實(shí)數(shù)由數(shù)軸上的唯一一個(gè)點(diǎn)P來表示，當(dāng)記為沿著數(shù)軸的正方向，長(zhǎng)度等于單位的向量，則數(shù)軸上的點(diǎn)P與它所表示的實(shí)數(shù)的關(guān)系為，也就是說：每個(gè)實(shí)數(shù)都可以用平行于數(shù)軸的向量來表示一一對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)點(diǎn)P(a,b)一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)平面向量師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念．什么是復(fù)數(shù)？生：形如a＋bi的數(shù)叫復(fù)數(shù)．（學(xué)生有不同意見，小聲議論）師：誰有補(bǔ)充？生：形如a＋bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)．（教師給予肯定）師：a，b∈R的條件很重要，實(shí)際上我們是用實(shí)數(shù)來定義的復(fù)數(shù)，雖然我們知道了復(fù)數(shù)的定義，但是復(fù)數(shù)對(duì)于我們來說，總感到摸不著抓不住，不像實(shí)數(shù)，任何一個(gè)實(shí)數(shù)，都可以在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)，那么復(fù)數(shù)到底在哪里呢？(生好奇)那我們知道復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)和虛數(shù)構(gòu)成，那我們是否可以類比得到復(fù)數(shù)的幾何表示呢？（生好奇）【導(dǎo)入新課】師：從之前的學(xué)習(xí)中我們了解到根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義可知，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以由一個(gè)有序的實(shí)數(shù)對(duì)來唯一確定。一一對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)有序數(shù)對(duì)而有序數(shù)對(duì)，又像我們所學(xué)的什么呢？生：像直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)。師：是的，這樣我們有可以把復(fù)數(shù)與直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來，一一對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P(a,b)一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)有序數(shù)對(duì)（師演繹課件）知識(shí)點(diǎn)1：復(fù)平面的概念，實(shí)軸，虛軸。師：我們把這個(gè)用直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的這個(gè)平面叫做復(fù)平面，x軸叫實(shí)軸，y軸叫虛軸例1：（1）寫出在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)。（2）在復(fù)平面中畫出所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P1,P2,P3,P4。（通過這兩道題，不僅鞏固了復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而且還為后面的教學(xué)打下了一個(gè)鋪墊）(學(xué)生動(dòng)手練習(xí)，老師巡視)師：由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面的點(diǎn)被唯一的確定，那么由原點(diǎn)出發(fā)的向量也就唯一的確定了，在此我們就可以類似實(shí)數(shù)得到了：(師演繹課件)一一對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)點(diǎn)P(a,b)一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)平面向量【教學(xué)反思】本節(jié)課的教學(xué)指導(dǎo)思想是努力挖掘教材的內(nèi)涵美妙之處，充分發(fā)揮其功能，復(fù)數(shù)的概念來自數(shù)學(xué)內(nèi)部對(duì)運(yùn)算與解方程的需要，它的幾何表示則來自數(shù)形結(jié)合思想與坐標(biāo)方法，這使得復(fù)數(shù)必然奠基于代數(shù)中運(yùn)算、方程、直角坐標(biāo)系、集合等知識(shí)之上，而且必然與平面幾何、平面解析幾何之間有著密切的聯(lián)系．所以學(xué)習(xí)這部分知識(shí)，將是對(duì)代數(shù)、平面幾何、平面向量、平面解析幾何中有關(guān)內(nèi)容的一次復(fù)習(xí)、鞏固和應(yīng)用．復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算還可以通過向量加法、減法的平行四邊形成三角形法則來進(jìn)行，這不僅又一次看到了向量這一工具的功能，也把復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示及其加（減）運(yùn)算，與向量、向量的坐標(biāo)表示及其加（減）運(yùn)算完美地統(tǒng)一了起來．使學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生與發(fā)展過程中的思想方法和數(shù)學(xué)的和諧美、簡(jiǎn)潔美，培養(yǎng)精益求精的治學(xué)態(tài)度和勇于探索的精神。這節(jié)課的課題是：類比探究，自主學(xué)習(xí)，想讓學(xué)生在學(xué)習(xí)了類比推理的情況下從已有的舊知識(shí)類比得到今天的新知識(shí)。通過類比實(shí)數(shù)的幾何性質(zhì)來得到復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)。本節(jié)課設(shè)計(jì)的亮點(diǎn)：1．新的課改理念倡導(dǎo)學(xué)生的“合作探究”意識(shí)與教師的“開放式”教學(xué)意識(shí)，在這兩種基本理念下，在教師引導(dǎo)下由學(xué)生自己去添加條件或改變條件演變成新的題情，環(huán)環(huán)相扣，步步為營(yíng)。2．通過PPT的演示，同學(xué)們對(duì)問題有一個(gè)較為直觀的視覺感受，從而掃清了在這一知識(shí)形成過程中的思維障礙，整個(gè)思維和知識(shí)形成過程構(gòu)成了一個(gè)完美的統(tǒng)一體。這種教學(xué)氛圍的營(yíng)造，使學(xué)生在舊知識(shí)溫故中，發(fā)現(xiàn)了打開新知識(shí)寶庫(kù)大門的鑰匙。3．想達(dá)到的目的：通過師生共同探索復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、坐標(biāo)表示、向量表示及其應(yīng)用，既能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合這一重要思想，同時(shí)也能體會(huì)數(shù)系發(fā)展的必要性。在此過程中還滲透了類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。4．不僅又一次看到了向量這一工具的功能，也把復(fù)數(shù)、向量、解析幾何完美地統(tǒng)一了起來.本節(jié)課通過教學(xué)讓學(xué)生進(jìn)一步了解了復(fù)數(shù)數(shù)系擴(kuò)充的意義，知道了復(fù)數(shù)的兩種幾何表示，以及復(fù)數(shù)模和共軛復(fù)數(shù)的幾何表示，還有復(fù)數(shù)加減法的幾何表示。在整堂課的教學(xué)中我一直以類比實(shí)數(shù)的幾何表示為主線，讓學(xué)生探究得到今天所要學(xué)習(xí)的知識(shí)。實(shí)現(xiàn)了我在課題中所提到了類比探究的這部分亮點(diǎn)，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)比較容易接受。教學(xué)中的不足：1．我們總是在講要突出重點(diǎn)分散難點(diǎn)，可是如果不知道重點(diǎn)和難點(diǎn)具體是什么，如何采取行之有效的方法來突出重點(diǎn)和分散難點(diǎn)？最后進(jìn)行課堂總結(jié)的學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的幾何意義，不能夠一針見血地指出來，我問自己，這個(gè)問題有沒有復(fù)雜到學(xué)生當(dāng)堂不能夠理解記憶呢？是不是有什么方法讓學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的幾何意義一目了然呢？后來我試驗(yàn)了一下，z=a+bi(a,b為實(shí)數(shù))注明代數(shù)形式，而Z(a,b)和向量OZ用同色的彩筆注明幾何意義，再小結(jié)的時(shí)候?qū)W生就可以很容易得到答案了。2.課堂節(jié)奏。在這次公開課的點(diǎn)評(píng)中，有老師提到我的上課節(jié)奏太快，顯得很緊湊，但是顯得課容量偏大了，所以一開始也是自己怕上不完，有點(diǎn)趕，節(jié)奏上偏快。3．在文字語言的敘述特別是連接詞上要加強(qiáng)，數(shù)學(xué)語言，尤其要注重準(zhǔn)確嚴(yán)密，一針見血，要么不說，要么就說在點(diǎn)子上，這需要斟酌課堂上的每一句教學(xué)語言，需要長(zhǎng)期堅(jiān)持不懈的努力！【同行點(diǎn)評(píng)】1．本節(jié)課借助ppt課件，將原來令人難以理解的抽象的數(shù)學(xué)理論變得形象，生動(dòng)且通熟易懂，同時(shí)，運(yùn)用“多媒體課件