蟻群算法在PID控制中的應(yīng)用及其參數(shù)影響

蟻群算法在PID控制中的應(yīng)用及其參數(shù)影響摘要：鑒于傳統(tǒng)PID參數(shù)整定方法的不足，提出了一種采用蟻群算法優(yōu)化選取PID控制參數(shù)的方法。通過建立數(shù)學(xué)模型將PID控制參數(shù)選擇問題抽象成路徑選擇問題，從而將蟻群算法成功的應(yīng)用于PID參數(shù)優(yōu)選，并對尋優(yōu)過程進行了仿真。將結(jié)果與常用的臨界比例度法整定的結(jié)果進行了比較，發(fā)現(xiàn)基于蟻群算法的PID參數(shù)優(yōu)選方案可使系統(tǒng)超調(diào)量大幅減小，并明顯縮短系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間，具有良好的應(yīng)用前景。此外，討論了蟻群算法中的關(guān)鍵參數(shù)對算法性能的影響，對比了不同參數(shù)下算法的收斂速度和求解質(zhì)量。

關(guān)鍵詞 ：PID控制；蟻群算法；信息素；參數(shù)優(yōu)選

中圖分類號：TN911?34；TP301.6文獻標識碼：A文章編號：1004?373X（2024）20?0020?06

ApplicationandparameterinfluenceofACOinPIDcontrol

SUNTiecheng，ZHANGSimin，LIChaobo

（KeyLaboratoryofMicroelectronicsDevicesandIntegratedTechnology，InstituteofMicroelectronics，ChineseAcademyofscience，Beijing100029，China）

Abstract：InviewofthedeficienciesoftraditionalPIDparameterstuningmethod，anewmethodtooptimizeandselectPIDcontrolparametersbymeansofACO（antcolonyalgorithm）isproposed，inwhichtheselectionproblemofPIDcontrolpa?rametersisabstractedintotheroutingselectionproblembybuildingamathematicalmodel，thusACOisappliedsuccessfullytoPIDparametricoptimizationandtheoptimizingprocessissimulated.Itisfoundbycomparingwithtunedresultsofcommoncriti?calproportioningmethodthatthePIDparameteroptimizationschemebasedonACOcanreducesystemovershootsignificantlyandshortentuningtimeofsystemobviously，andhasagreatapplicationprospect.Inaddition，theinfluenceofkeyparameterinACOonalgorithmperformanceisdiscussed，andconvergencevelocityandsolutionqualityofthealgorithmwithdifferentpa?rametersarecompared.

Keywords：PIDcontrol；antcolonyalgorithm；pheromone；parameteroptimization

0引言

PID控制是最早發(fā)展起來的控制策略之一，由于其算法簡單易實現(xiàn)、魯棒性好、可靠性高、不依賴被控對象的數(shù)學(xué)模型，因此至今仍然是工業(yè)控制領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的控制方式。然而PID控制的控制效果好壞強烈依賴于控制參數(shù)的選擇，傳統(tǒng)的PID參數(shù)選取多采用人工試湊的方式，這往往需要操作人員具備大量的經(jīng)驗且相當耗時，顯然不適合應(yīng)用在通常包含數(shù)百個PID控制回路的現(xiàn)代工業(yè)系統(tǒng)中。

近年來，隨著傳統(tǒng)PID技術(shù)與現(xiàn)代計算機技術(shù)的結(jié)合，涌現(xiàn)出了一系列全新的PID參數(shù)整定方法，例如將遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、蟻群算法等先進技術(shù)用于PID參數(shù)尋優(yōu)[1?3]，使傳統(tǒng)的PID控制煥發(fā)出了新的活力。在這些先進方法當中，蟻群算法作為求解組合優(yōu)化問題的有效手段，引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[4?7]。本文采用蟻群算法進行PID參數(shù)尋優(yōu)，克服了傳統(tǒng)PID參數(shù)整定法的不足，并通過仿真證明該方法的有效性。同時，還通過仿真研究蟻群算法中信息啟發(fā)因子以及信息素揮發(fā)系數(shù)這兩個關(guān)鍵參數(shù)對算法收斂速度和求解質(zhì)量的影響。

1蟻群算法基本原理

蟻群算法（AntColonyAlgorithm）是20世紀90年代由意大利科學(xué)家DorigoMacro等人通過觀察自然界中的螞蟻集體尋徑行為提出的[8]。自然界中的螞蟻沒有視覺，但是會依靠行走過程中釋放的一種叫信息素（Pher?omone）的物質(zhì)來相互協(xié)作，最終使得螞蟻群體具有高度的自組織性[9]。蟻群算法最初成功的應(yīng)用在求解著名的旅行商問題（TSP）上，下面就以該問題為背景介紹蟻群算法的基本原理。

設(shè)C={c1，c2，…，cn}為n個城市的集合，dij是集合中任意兩個城市ci和cj之間的歐幾里得距離，TSP問題的目的是找到一條走完C中所有城市的最短路線，并要求每個城市只訪問1次。采用蟻群算法求解TSP問題時使用人工螞蟻來代替旅行商。假設(shè)有m只螞蟻從起始點出發(fā)去探索可行的路徑，螞蟻每到一個城市ci，便根據(jù)該城市到其他可選城市路徑上的信息素的量來決定下一站的目的地。具體來說，螞蟻k從節(jié)點i（城市ci）轉(zhuǎn)向節(jié)點j（城市cj）的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為：

式中：用來存儲螞蟻k走過的節(jié)點；tij表示節(jié)點i到節(jié)點j路徑上的信息素含量，因此，某條路徑上的信息素含量越高，選擇該路徑的概率就越大；α為信息啟發(fā)式因子，表示之前的螞蟻在行進過程中積累的信息對當前螞蟻的啟發(fā)作用，其值越大，則螞蟻越傾向于選擇其他螞蟻走過的路徑，螞蟻之間協(xié)作性越強；ηij為能見度信息，通常取；β為能見度的重要性，能見度的引入可以加快算法收斂的速度，但是如果β過大會造成螞蟻每次只選擇離當前節(jié)點最近的可選節(jié)點，但最終產(chǎn)生的總路徑不一定最小，即造成蟻群算法陷入局部尋優(yōu)，因此蟻群算法在實際應(yīng)用中，可以將能見度這一項忽略（即令β=0），完全用信息素決定螞蟻轉(zhuǎn)移的概率。

當m只螞蟻都完成了一次路線探索之后，要對兩兩城市之間路徑的信息素含量進行更新，更新規(guī)則如下：

式中：ρ表示信息素揮發(fā)系數(shù)，取值范圍在0~1之間。Δτij表示本次探索中路徑（i，j）上的信息量增量。上述策略模擬了自然界中螞蟻信息素揮發(fā)的特點，可以很好地淘汰掉一些曾經(jīng)探索過的較差路徑。則表示第k只螞蟻在本次探索中留在路徑（i，j）上的信息量，其計算方法為：

式中：F為一個常數(shù)，表示螞蟻在完成一次探索時所釋放的信息素總濃度；表示第k只螞蟻本次探索的路徑的評價函數(shù)值，評價函數(shù)的選取視具體問題而定。在TSP問題中，為本次探索出的路徑的總長度，可見路徑長度越小（路徑越優(yōu)），留下的信息素越多。

之后，反復(fù)使用m只人工螞蟻重復(fù)上述過程，每次探索結(jié)束都根據(jù)式（2）~式（4）修改路徑信息素含量，直至m只螞蟻選擇的路徑歸于同一條，此時蟻群算法收斂，所得的路徑便是TSP問題的解。

2采用蟻群算法優(yōu)化PID控制

2.1數(shù)學(xué)模型的建立

PID控制系統(tǒng)原理圖如圖1所示。

圖中：r為設(shè)定值；y為輸出值；e為設(shè)定值與輸出值的偏差；u為控制量。偏差e與控制量u之間的關(guān)系為：

式中：KP為比例系數(shù)；TI為積分時間；TD為微分時間；T為計算機采樣周期。式（5）稱為PID的位置型算式，位置型PID算式需要用到誤差的累積，不利于計算機編程實現(xiàn)，實際系統(tǒng)中常采用增量型算式：

制品質(zhì)，因此PID控制參數(shù)的選取可以理解為一個組合優(yōu)化的問題，即為了達到最佳的控制效果，如何選擇這3個參數(shù)。這樣，PID算法參數(shù)優(yōu)選問題完全可以采用蟻群算法協(xié)助解決。

可以將PID參數(shù)優(yōu)選問題與經(jīng)典TSP問題進行類比。設(shè)比例系數(shù)KP用4位有效數(shù)字來表示，其中整數(shù)部分2位，小數(shù)部分2位。

由于PID系統(tǒng)對積分部分十分敏感，積分系數(shù)過大會導(dǎo)致系統(tǒng)超調(diào)量過大、系統(tǒng)不穩(wěn)定且調(diào)整時間過長，根據(jù)經(jīng)驗，積分系數(shù)KI選取在0~1之間，小數(shù)部分取4位有效數(shù)字。

微分系數(shù)KD取3位有效數(shù)字，整數(shù)部分2位，小數(shù)部1位。這樣，就可以將一組參數(shù)和一個長度為11位的數(shù)字序列一一對應(yīng)起來，如圖2所示（由于KI整數(shù)部分始終取為0，因此只用4位數(shù)代表它的小數(shù)部分即可）。

例如一組參數(shù)KP=25.26，KI=0.1788，KD=20.3，與之對應(yīng)的11位數(shù)字序列為25261788203?？梢援嫵鲆粋€二維坐標系，橫坐標為0~11，縱坐標為0~9，如圖3所示。圖中的節(jié)點便對應(yīng)序列為25261788203，與經(jīng)典的旅行商問題進行類比，圖中的每一個格點都可以比作一個城市，格點的連接線構(gòu)成了PID參數(shù)優(yōu)選問題中的一個路徑，這樣PID參數(shù)優(yōu)選問題就轉(zhuǎn)化成了類似TSP問題中的路徑選擇問題。與TSP問題不同的是，這時的螞蟻每次在橫坐標上只能前進一步，即若某只螞蟻當前所在節(jié)點的橫坐標為i，則下一步只能選擇節(jié)點橫坐標為i+1的點作為目的地。

蟻群算法中評價函數(shù)的設(shè)計直接關(guān)系到蟻群算法求解的質(zhì)量。在經(jīng)典的旅行商問題中，商人把所有目的城市都走到且不重復(fù)經(jīng)過城市所走過的總距離便是旅行商問題的評價函數(shù)值。這個值越小（總距離越短），則方案越好，反之則越差。將這個思路類比到PID參數(shù)選擇問題上來，關(guān)系到控制品質(zhì)的因素有：上升時間、超調(diào)量、穩(wěn)定時間等，為此，可以采用絕對誤差的矩的積分作為評價控制性能的指標：

式中：T為采樣間隔；LP為仿真計算的點數(shù)。這樣，當系統(tǒng)超調(diào)量過大或穩(wěn)定時間過長等情況時，Q值都會較大，反之則較小。

2.2算法實現(xiàn)流程

（1）首先選擇m只人工螞蟻，放在起始點原點處，并設(shè)置算法初始參數(shù)；

（2）為每只人工螞蟻設(shè)置一個長度為11的數(shù)組，用來記錄每只螞蟻的位置信息；（3）迭代開始，所有人工螞蟻從原點出發(fā)，每到達一個網(wǎng)格節(jié)點便根據(jù)式（1）來計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，然后根據(jù)輪盤賭法則為每只螞蟻選擇下一個節(jié)點，并將人工螞蟻轉(zhuǎn)移到該點上，更新數(shù)組；

（4）經(jīng)過11個時間單位后所有人工螞蟻都爬到終點，完成了一次迭代，根據(jù)每只螞蟻的數(shù)組得到相應(yīng)的，根據(jù)式（7）得到評價值。然后根據(jù)式（2）~式（4）更新信息素，并記錄本次迭代最好的評價值以及對應(yīng)的PID參數(shù)；

（5）如果結(jié)果尚未收斂且未達到最大迭代次數(shù)則進行下一次迭代，否則輸出收斂結(jié)果或最后一次迭代的最優(yōu)結(jié)果作為最終的優(yōu)選結(jié)果。最終得到用蟻群算法優(yōu)選PID參數(shù)的流程圖，如圖4所示。

2.3結(jié)果仿真

采用自動控制領(lǐng)域常見的二階慣性系統(tǒng)來模擬被控對象，其傳遞函數(shù)為G（s）=5[s(s+20)]。取采樣周期T=1ms，輸入信號為一階躍信號。

選取人工螞蟻數(shù)m=50，a=1.3，ρ=0.1，F(xiàn)=50，各路徑初始信息素量C=10000，在本方案中，為了避免蟻群算法陷入局部尋優(yōu)，故取消了能見度的作用，即令β=0，完全由信息素的作用來尋優(yōu)。圖5~圖8為蟻群尋優(yōu)的過程。

可以看出，第1次迭代的時候，由于設(shè)定了各個子路徑上的信息素含量均為常數(shù)C，根據(jù)式（1）可知，螞蟻在一個節(jié)點上轉(zhuǎn)向所有可選節(jié)點的概率是相等的，因此第1次迭代時各個螞蟻選擇的路徑呈現(xiàn)高度隨機性，如圖5所示。隨著迭代周期數(shù)的增加，根據(jù)蟻群算法的正反饋機制：較優(yōu)的路徑上的信息素積累得越來越多，反過來吸引更多的螞蟻選擇較優(yōu)的路徑，而較差的路徑由于揮發(fā)效應(yīng)，信息素慢慢淡化，逐漸被淘汰。最終蟻群選擇的路徑趨于融合，算法收斂，如圖8所示。本次仿真中算法經(jīng)過313次迭代后收斂，獲得優(yōu)化參數(shù)為KP=97.46，KI=0.0061，KD=56.9。

將蟻群算法尋優(yōu)得到的PID控制參數(shù)用于二階慣性系統(tǒng)G（s）=5[s(s+20)]中，可得其閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線如圖9中的G1所示，G2為采用傳統(tǒng)的臨界比例度法[10]整定PID參數(shù)對應(yīng)的閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線?？梢?，相比于臨界比例度法，基于蟻群算法的PID參數(shù)優(yōu)選方案響應(yīng)速度更快，顯著減小了系統(tǒng)超調(diào)量，同時明顯縮短了系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間。

3蟻群算法中主要參數(shù)對算法性能的影響

在蟻群算法中，參數(shù)的選取影響著算法的求解質(zhì)量、收斂速度等。但是，目前并沒有完善的理論來支持怎樣合理的選取蟻群算法參數(shù)，大部分情況下都是根據(jù)經(jīng)驗來選取參數(shù)。本節(jié)討論信息素揮發(fā)系數(shù)以及信息啟發(fā)式因子這兩個關(guān)鍵參數(shù)對算法性能的影響，在各組對比中，均采用上節(jié)中選用的參數(shù)（m=50，α=1.3，ρ=0.1，F(xiàn)=50）作為對照組，采用控制變量法，改變其中一個參數(shù)，比較算法收斂速度以及最優(yōu)解的質(zhì)量。首先在對照組參數(shù)條件下仿真10次，得到10組算法收斂周期以及最優(yōu)解的評價值Q，如表1所示。

3.1信息素揮發(fā)系數(shù)對算法性能的影響

理論上，揮發(fā)系數(shù)對解的收斂速度有影響，揮發(fā)系數(shù)越大，算法應(yīng)該收斂越快，可通過下面的仿真進行證實：選取ρ=0.3，進行10次仿真，將達到收斂時的迭代次數(shù)以及評價函數(shù)的值與對照組進行對比，結(jié)果如圖10所示。

由圖10（a）可見信息素揮發(fā)系數(shù)ρ=0.3時，算法達到收斂時的迭代周期數(shù)均明顯小于ρ=0.1的收斂周期數(shù)。同時由圖10（b）可知，ρ=0.3時最優(yōu)解的評價值普遍大于ρ=0.1時最優(yōu)解的評價值，對于蟻群算法求解PID參數(shù)問題中，評價函數(shù)采用式（7）的計算方式，其值越大說明解的質(zhì)量越差。圖10說明了揮發(fā)系數(shù)增大會導(dǎo)致算法收斂速度加快但求解質(zhì)量下降。

造成這種現(xiàn)象的原因是蟻群算法尋優(yōu)的機制造成的，每只螞蟻在節(jié)點處選擇路徑的時候，是根據(jù)各個備選路徑上的信息素的量來決定選擇那一條路徑，信息素多的被選擇的概率就大，反之就小。那么當信息素揮發(fā)系數(shù)較大時，較次的路徑上的信息素迅速減少，導(dǎo)致被選中的概率變得更低，因此這時算法便能較快的排除次解得到較優(yōu)解，收斂速度加快。但是，揮發(fā)系數(shù)大也會造成求解質(zhì)量的下降，例如在初始時刻各路徑上的信息素含量為相等的常數(shù)，因此螞蟻在一個路口上選擇路徑的概率相等，這樣由于隨機性，螞蟻可能沒有選中一條比較好（評價函數(shù)值較?。┑穆窂?，因此在本次迭代中，較好的路徑上沒有留下信息素或留下的很少，這樣在下一次迭代時，由于揮發(fā)系數(shù)較大，那條路徑上信息素的含量就更低了，被選擇的概率就更小，這樣就有可能漏掉一些優(yōu)解。3.2啟發(fā)因子對算法性能的影響

如圖11所示，10次仿真中，α=2時算法收斂速度明顯快于α=1.3時算法收斂速度，但最優(yōu)解的質(zhì)量較α=1.3時要差。與3.1節(jié)的結(jié)論類似，信息啟發(fā)因子α增大會導(dǎo)致算法收斂速度加快但求解質(zhì)量會下降。

由式（1）可知，信息啟發(fā)因子α表示前面的螞蟻留下的信息素對當前螞蟻選擇路徑時的指導(dǎo)作用，因此其值越大，螞蟻越容易選擇其他螞蟻走過的路徑，收斂速度越快，但是正因為這樣，如果先前的螞蟻選擇了質(zhì)量較差的路徑，往往會“誤導(dǎo)”后來的螞蟻，使其不去開發(fā)新的路徑，而直接選擇這條較差的路徑，這就會造成較優(yōu)的路徑被漏掉。同時若啟發(fā)因子取值過小，易造成算法收斂過慢甚至不收斂的現(xiàn)象。例如，取α=0.98，迭代了2000周期后算法仍未收斂，如圖12所示。

4結(jié)語

蟻群算法本質(zhì)上是一個復(fù)雜的智能系統(tǒng)，具有較強的魯棒性、優(yōu)良的分布式計算機制、易于與其他方法結(jié)合的優(yōu)點，是解決組合優(yōu)化問題的理想方案。本文將蟻群算法運用于PID參數(shù)尋優(yōu)上，通過仿真證實了該方法的有效性。此外，還研究了信息素揮發(fā)系數(shù)以及信息啟發(fā)因子這兩個關(guān)鍵參數(shù)對算法性能的影響，發(fā)現(xiàn)兩個參數(shù)的增大都會使算法收斂速度加快，但相應(yīng)的會導(dǎo)致算法求解質(zhì)量下降；此外，信息啟發(fā)因子不應(yīng)取值過小，否則會導(dǎo)致算法收斂過慢甚至不收斂。

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