新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 押題卷練習(xí)第16題 立體幾何綜合（解答題）（原卷版）

立體幾何綜合（解答題）考點4年考題考情分析立體幾何綜合2023年新高考Ⅰ卷第18題2023年新高考Ⅱ卷第20題2022年新高考Ⅰ卷第19題2022年新高考Ⅱ卷第20題2021年新高考Ⅰ卷第20題2021年新高考Ⅱ卷第19題2020年新高考Ⅰ卷第20題2020年新高考Ⅱ卷第20題立體幾何大題難度一般，縱觀近幾年的新高考試題，主要考查空間平行關(guān)系和空間垂直關(guān)系的證明、空間角及空間距離的計算等知識點，同時也是高考沖刺復(fù)習(xí)的重點復(fù)習(xí)內(nèi)容。可以預(yù)測2024年新高考命題方向?qū)⒗^續(xù)以空間平行關(guān)系和空間垂直關(guān)系的證明、空間角及空間距離的計算為背景展開命題．1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真題第19題）如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．

(1)證明：SKIPIF1<0；(2)點SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，當(dāng)二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0．2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真題第20題）如圖，三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E為BC的中點．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)點F滿足SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真題第19題）如圖，直三棱柱SKIPIF1<0的體積為4，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．(1)求A到平面SKIPIF1<0的距離；(2)設(shè)D為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真題第20題）如圖，SKIPIF1<0是三棱錐SKIPIF1<0的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0的中點．(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真題第19題）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點.（1）證明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0是邊長為1的等邊三角形，點SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，且二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，求三棱錐SKIPIF1<0的體積.6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真題第20題）在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是正方形，若SKIPIF1<0．（1）證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值．空間中的平行關(guān)系線線平行線面平行的判定定理：平面外一直線與平面內(nèi)一直線平行，則線面平行線面平行的性質(zhì)定理若線面平行，經(jīng)過直線的平面與該平面相交，則直線與交線平行面面平行的判定定理判定定理1：一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，則面面平行判定定理2：一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別于另一個平面內(nèi)兩條相交直線平行，則面面平行面面平行的性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：兩平面互相平行，一個平面內(nèi)任意一條直線平行于另一個平面性質(zhì)定理2：兩平面互相平行，一平面與兩平面相交，則交線互相平行空間中的垂直關(guān)系線線垂直線面垂直的判定定理一直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則線面垂直線面垂直的性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：一直線與平面垂直，則這條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線性質(zhì)定理2：垂直于同一個平面的兩條直線平行面面垂直的判定定理一個平面內(nèi)有一條直線垂直于另一個平面，則兩個平面垂直（或：一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則面面垂直）面面垂直的性質(zhì)定理兩平面垂直，其中一個平面內(nèi)有一條直線與交線垂直，則這條直線垂直于另一個平面異面直線所成角SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）為異面直線SKIPIF1<0所成角，SKIPIF1<0分別表示異面直線SKIPIF1<0的方向向量）直線SKIPIF1<0與平面所成角，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量).二面角SKIPIF1<0的平面角SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量）.點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，SKIPIF1<0是經(jīng)過面SKIPIF1<0的一條斜線，SKIPIF1<0）.1．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，已知正三棱柱SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0的中點．

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的正弦值．2．（2024·浙江·二模）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，點E是線段AD的中點，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0//平面BDM；(2)求平面AMB與平面BDM的夾角.3．（2024·江蘇·一模）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.

(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)當(dāng)二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0.4．（2024·浙江·一模）在三棱柱SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0是等邊三角形，點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0．

(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．5．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點.

(1)證明：SKIPIF1<0.(2)點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，當(dāng)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0時，求四棱錐SKIPIF1<0的體積.6．（2024·江蘇南通·二模）如圖，邊長為4的兩個正三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在平面互相垂直，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，點G在棱AD上，SKIPIF1<0，直線AB與平面SKIPIF1<0相交于點H.(1)從下面兩個結(jié)論中選一個證明：①SKIPIF1<0；②直線HE，GF，AC相交于一點；注：若兩個問題均作答，則按第一個計分.(2)求直線BD與平面SKIPIF1<0的距離.7．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E為PC的中點，點F在PA上，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的正弦值．8．（2024·河北·模擬預(yù)測）如圖，正四棱臺SKIPIF1<0有內(nèi)切球SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.

(1)設(shè)平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值.9．（2024·遼寧大連·一模）如圖多面體ABCDEF中，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，四邊形ABCD為正方形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，H，G分別為CE，CD的中點．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求平面BCEF與平面FGH所成角的余弦值；(3)作平面FHG與平面ABCD的交線，記該交線與直線AD交點為P，寫出SKIPIF1<0的值（不需要說明理由，保留作圖痕跡）．10．（2024·重慶·模擬預(yù)測）在如圖所示的四棱錐PSKIPIF1<0ABCD中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正三角形，點M在側(cè)棱PB上且使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若側(cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．11．（2024·遼寧·二模）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的一點，且SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點．(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．12．（2024·山西·一模）如圖，在三棱臺SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0距離為3，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值.13．（2024·廣東·一模）如圖，已知圓柱SKIPIF1<0的軸截面SKIPIF1<0是邊長為2的正方形，點SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上異于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的任意一點.(1)若點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.(2)求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的取值范圍.14．（2024·廣東佛山·二模）如圖，在直三棱柱形木料SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為上底面SKIPIF1<0上一點．(1)經(jīng)過點SKIPIF1<0在上底面SKIPIF1<0上畫一條直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，應(yīng)該如何畫線，請說明理由；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，求點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．15．（2024·廣東廣州·一模）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的菱形，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點.(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(3)求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.16．（2024·湖南長沙·一模）正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0.(1)求正四棱柱SKIPIF1<0的體積；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成銳二面角的余弦值.17．（2024·湖南·二模）如圖所示，半圓柱的軸截面為平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圓柱底面的直徑，SKIPIF1<0為底面圓心，SKIPIF1<0為一條母線，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，且SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值.18．（2024·河北·模擬預(yù)測）如圖所示，五面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，點SKIPIF1<0在面SKIPIF1<0內(nèi)的投影恰為線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0．(1)求五面體SKIPIF1<0體積；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值．19．（2024·湖南·二模）在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，沿SKIPIF1<0將SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0，(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值，20．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．21．（2024·湖北·一模）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長為2的正方形，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值．22．（2024·湖北·二模）如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面是矩形，SKIPIF1<0是等邊三角形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0．

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)平面SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0的大小．23．（2024·山東濰坊·一模）如圖，在四棱臺SKIPIF1<0中，下底面SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點．(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．24．（2024·山東青島·一模）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面ABC；(2)若點N在棱SKIPIF1<0上，求直線AN與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值．25．（2024·福建廈門·二模）如圖，三棱柱SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0是邊長為2的菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0.(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值.26．（2024·福建莆田·二模）如圖，在四棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．27．（2024·福建漳州·一模）如圖，SKIPIF1<0為圓錐的頂點，SKIPIF1<0是底面圓SKIPIF1<0的一條直徑，SKIPI