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常微分方程期中試卷(2)班級姓名學(xué)號得分一、計算題（每小題10分，本題共50分）求下列方程的通解或通積分：1.2.3.4．5．二、計算題（每小題10分，本題共20分）6．求方程的通解．7．求下列方程組的通解．三、證明題（每小題15分，本題共30分）8．設(shè)在區(qū)間上連續(xù)．試證明方程的所有解的存在區(qū)間必為．9．在方程中，已知在上連續(xù)．試證明：若存在使方程的兩個解，同在處取極值，則，不能是方程的基本解組．試卷答案一、計算題（每小題６分，本題共30分）1．解方程化為令，則，代入上式，得分量變量，積分，通解為原方程通解為2．解齊次方程的通解為令非齊次方程的特解為代入原方程，確定出原方程的通解為+3．解因為，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通積分為即4．解原方程是克來洛方程，通解為5．解原方程是恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程，可寫成即分離變量解此方程，通積分為二、計算題（每小題10分，本題共20分）6．解對應(yīng)的齊次方程的特征方程為，特征根為，故齊次方程的通解為因為不是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為代入原方程，得即，故原方程的通解為7．解方程組的特征方程為即特征根為，對應(yīng)的解為其中是對應(yīng)的特征向量的分量，滿足可解得．同樣可算出對應(yīng)的特征向量分量為．所以，原方程組的通解為三、證明題（每小題10分，本題共20分）8．證明由已知條件，該方程在整個平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件．顯然是方程的兩個常數(shù)解．任取初值，其中,．記過該點(diǎn)的解為，由上面分析可知，一方面可以向平面無窮遠(yuǎn)處無限延展；另一方面又上方不能穿過，下方不能穿過，否則與惟一性矛盾．故該解的存在區(qū)間必為．9．證明由已知條件，該方程的任一解都在區(qū)間上存在．若在處取極值，則必有成立，于是由解構(gòu)成的朗斯基行列式在處的值為

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