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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,,若,則向量在向量方向的投影為()A. B. C. D.2.已知拋物線上的點到其焦點的距離比點到軸的距離大,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.3.中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來,構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體,則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是A. B. C. D.4.已知函數(shù),若,使得,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.5.已知向量,,若,則()A. B. C.-8 D.86.設(shè)為拋物線的焦點,,,為拋物線上三點,若,則().A.9 B.6 C. D.7.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.8.已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線,且,則的最小值為()A. B.0 C. D.9.已知集合,集合,則等于()A. B.C. D.10.我國古代數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》中,有如下問題:“今有女子善織,日自倍,五日織五尺,問日織幾何?”這個問題用今天的白話敘述為:有一位善于織布的女子,每天織的布都是前一天的2倍,已知她5天共織布5尺,問這位女子每天分別織布多少?根據(jù)上述問題的已知條件,若該女子共織布尺,則這位女子織布的天數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.111.已知直線:與圓:交于,兩點,與平行的直線與圓交于,兩點,且與的面積相等,給出下列直線:①,②,③,④.其中滿足條件的所有直線的編號有()A.①② B.①④ C.②③ D.①②④12.對于函數(shù),定義滿足的實數(shù)為的不動點,設(shè),其中且,若有且僅有一個不動點,則的取值范圍是()A.或 B.C.或 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線(a>0,b>0)的兩個焦點為、,點P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點,且,tan∠PF2F1=﹣2,則雙曲線的離心率為_____.14.若向量滿足,則實數(shù)的取值范圍是____________.15.已知平面向量與的夾角為,,,則________.16.已知向量,,若滿足,且方向相同,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,正方形所在平面外一點滿足,其中分別是與的中點.(1)求證:;(2)若,且二面角的平面角的余弦值為,求與平面所成角的正弦值.18.(12分)在中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,并且.(1)已知_______________,計算的面積;請①,②,③這三個條件中任選兩個,將問題(1)補充完整,并作答.注意,只需選擇其中的一種情況作答即可,如果選擇多種情況作答,以第一種情況的解答計分.(2)求的最大值.19.(12分)如圖,正方形是某城市的一個區(qū)域的示意圖,陰影部分為街道,各相鄰的兩紅綠燈之間的距離相等,處為紅綠燈路口,紅綠燈統(tǒng)一設(shè)置如下:先直行綠燈30秒,再左轉(zhuǎn)綠燈30秒,然后是紅燈1分鐘,右轉(zhuǎn)不受紅綠燈影響,這樣獨立的循環(huán)運行.小明上學(xué)需沿街道從處騎行到處(不考慮處的紅綠燈),出發(fā)時的兩條路線()等可能選擇,且總是走最近路線.(1)請問小明上學(xué)的路線有多少種不同可能?(2)在保證通過紅綠燈路口用時最短的前提下,小明優(yōu)先直行,求小明騎行途中恰好經(jīng)過處,且全程不等紅綠燈的概率;(3)請你根據(jù)每條可能的路線中等紅綠燈的次數(shù)的均值,為小明設(shè)計一條最佳的上學(xué)路線,且應(yīng)盡量避開哪條路線?20.(12分)在△ABC中,角所對的邊分別為向量,向量,且.(1)求角的大小;(2)求的最大值.21.(12分)某商場舉行優(yōu)惠促銷活動,顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.方案一:每滿100元減20元;方案二:滿100元可抽獎一次.具體規(guī)則是從裝有2個紅球、2個白球的箱子隨機取出3個球(逐個有放回地抽取),所得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表:(注:所有小球僅顏色有區(qū)別)紅球個數(shù)3210實際付款7折8折9折原價(1)該商場某顧客購物金額超過100元,若該顧客選擇方案二,求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率;(2)若某顧客購物金額為180元,選擇哪種方案更劃算?22.(10分)為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動的情況,某校從初高中學(xué)生中抽取100名學(xué)生,收集了他們參加公益勞動時間(單位:小時)的數(shù)據(jù),繪制圖表的一部分如表.(1)從男生中隨機抽取一人,抽到的男生參加公益勞動時間在的概率:(2)從參加公益勞動時間的學(xué)生中抽取3人進行面談,記為抽到高中的人數(shù),求的分布列;(3)當(dāng)時,高中生和初中生相比,那學(xué)段學(xué)生平均參加公益勞動時間較長.(直接寫出結(jié)果)
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
由,,,再由向量在向量方向的投影為化簡運算即可【詳解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影為.故選:B.【點睛】本題考查向量投影的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題2.B【解析】
由拋物線的定義轉(zhuǎn)化,列出方程求出p,即可得到拋物線方程.【詳解】由拋物線y2=2px(p>0)上的點M到其焦點F的距離比點M到y(tǒng)軸的距離大,根據(jù)拋物線的定義可得,,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2x.故選B.【點睛】本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,拋物線方程的求法,屬于基礎(chǔ)題.3.A【解析】
詳解:由題意知,題干中所給的是榫頭,是凸出的幾何體,求得是卯眼的俯視圖,卯眼是凹進去的,即俯視圖中應(yīng)有一不可見的長方形,且俯視圖應(yīng)為對稱圖形故俯視圖為故選A.點睛:本題主要考查空間幾何體的三視圖,考查學(xué)生的空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題。4.C【解析】試題分析:由題意知,當(dāng)時,由,當(dāng)且僅當(dāng)時,即等號是成立,所以函數(shù)的最小值為,當(dāng)時,為單調(diào)遞增函數(shù),所以,又因為,使得,即在的最小值不小于在上的最小值,即,解得,故選C.考點:函數(shù)的綜合問題.【方法點晴】本題主要考查了函數(shù)的綜合問題,其中解答中涉及到基本不等式求最值、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用、全稱命題與存在命題的應(yīng)用等知識點的綜合考查,試題思維量大,屬于中檔試題,著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用,其中解答中轉(zhuǎn)化為在的最小值不小于在上的最小值是解答的關(guān)鍵.5.B【解析】
先求出向量,的坐標(biāo),然后由可求出參數(shù)的值.【詳解】由向量,,則,,又,則,解得.故選:B【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)運算和模長的運算,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】
設(shè),,,由可得,利用定義將用表示即可.【詳解】設(shè),,,由及,得,故,所以.故選:C.【點睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問題,考查學(xué)生等價轉(zhuǎn)化的能力,是一道容易題.7.D【解析】
由圖象可以求出周期,得到,根據(jù)圖象過點可求,根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】由圖象知,所以,,又圖象過點,所以,故可取,所以令,解得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為故選:.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),利用“五點法”求函數(shù)解析式,屬于中檔題.8.D【解析】
運用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,由對稱軸的方程,求得的值,得出函數(shù)的解析式,集合正弦函數(shù)的最值,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)為輔助角,由于函數(shù)的對稱軸的方程為,且,即,解得,所以,又由,所以函數(shù)必須取得最大值和最小值,所以可設(shè),,所以,當(dāng)時,的最小值,故選D.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中利用三角恒等變換的公式,化簡函數(shù)的解析式,合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.9.B【解析】
求出中不等式的解集確定出集合,之后求得.【詳解】由,所以,故選:B.【點睛】該題考查的是有關(guān)集合的運算的問題,涉及到的知識點有一元二次不等式的解法,集合的運算,屬于基礎(chǔ)題目.10.B【解析】
將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題,最終變?yōu)榍蠼獾缺葦?shù)列基本量的問題.【詳解】根據(jù)實際問題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題,在等比數(shù)列中,公比,前項和為,,,求的值.因為,解得,,解得.故選B.【點睛】本題考查等比數(shù)列的實際應(yīng)用,難度較易.熟悉等比數(shù)列中基本量的計算,對于解決實際問題很有幫助.11.D【解析】
求出圓心到直線的距離為:,得出,根據(jù)條件得出到直線的距離或時滿足條件,即可得出答案.【詳解】解:由已知可得:圓:的圓心為(0,0),半徑為2,則圓心到直線的距離為:,∴,而,與的面積相等,∴或,即到直線的距離或時滿足條件,根據(jù)點到直線距離可知,①②④滿足條件.故選:D.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,涉及點到直線的距離公式.12.C【解析】
根據(jù)不動點的定義,利用換底公式分離參數(shù)可得;構(gòu)造函數(shù),并討論的單調(diào)性與最值,畫出函數(shù)圖象,即可確定的取值范圍.【詳解】由得,.令,則,令,解得,所以當(dāng)時,,則在內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)時,,則在內(nèi)單調(diào)遞減;所以在處取得極大值,即最大值為,則的圖象如下圖所示:由有且僅有一個不動點,可得得或,解得或.故選:C【點睛】本題考查了函數(shù)新定義的應(yīng)用,由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與最值,分離參數(shù)法與構(gòu)造函數(shù)方法的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)正弦定理得,根據(jù)余弦定理得2PF1?PF2cos∠F1PF23,聯(lián)立方程得到,計算得到答案.【詳解】∵△PF1F2中,sin∠PF1F2═,sin∠PF1F2═,∴由正弦定理得,①又∵,tan∠PF2F1=﹣2,∴tan∠F1PF2=﹣tan(∠PF2F1+∠PF1F2),可得cos∠F1PF2,△PF1F2中用余弦定理,得2PF1?PF2cos∠F1PF23,②①②聯(lián)解,得,可得,∴雙曲線的,結(jié)合,得離心率.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.14.【解析】
根據(jù)題意計算,解得答案.【詳解】,故,解得.故答案為:.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積,意在考查學(xué)生的計算能力.15.【解析】
根據(jù)已知求出,利用向量的運算律,求出即可.【詳解】由可得,則,所以.故答案為:【點睛】本題考查向量的模、向量的數(shù)量積運算,考查計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
由向量平行坐標(biāo)表示計算.注意驗證兩向量方向是否相同.【詳解】∵,∴,解得或,時,滿足題意,時,,方向相反,不合題意,舍去.∴.故答案為:1.【點睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)運算,解題時要注意驗證方向相同這個條件,否則會出錯.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)先證明EF平面,即可求證;(2)根據(jù)二面角的余弦值,可得平面,以為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量計算線面角即可.【詳解】(1)連接,交于點,連結(jié).則,故面.又面,因此.(2)由(1)知即為二面角的平面角,且.在中應(yīng)用余弦定理,得,于是有,即,從而有平面.以為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,于是,,設(shè)平面的法向量為,則,即,解得于是平面的一個法向量為.設(shè)直線與平面所成角為,因此.【點睛】本題主要考查了線面垂直,線線垂直的證明,二面角,線面角的向量求法,屬于中檔題.18.(1)見解析(2)1【解析】
(1)選②,③.可得,結(jié)合,求得.即可;若選①,②.由可得由,求得.即可;若選①,③,可得,又,可得,即可;(2)化簡,根據(jù)角的范圍求最值即可.【詳解】(1)若選②,③.,,,,又,.的面積.若選①,②.由可得,,,又,.的面積.若選①,③,,又,,可得,的面積.(2),當(dāng)時,有最大值1.【點睛】本題考查了正余弦定理,三角三角恒等變形,考查了計算能力,屬于中檔題.19.(1)6種;(2);(3).【解析】
(1)從4條街中選擇2條橫街即可;(2)小明途中恰好經(jīng)過處,共有4條路線,即,,,,分別對4條路線進行分析計算概率;(3)分別對小明上學(xué)的6條路線進行分析求均值,均值越大的應(yīng)避免.【詳解】(1)路途中可以看成必須走過2條橫街和2條豎街,即從4條街中選擇2條橫街即可,所以路線總數(shù)為條.(2)小明途中恰好經(jīng)過處,共有4條路線:①當(dāng)走時,全程不等紅綠燈的概率;②當(dāng)走時,全程不等紅綠燈的概率;③當(dāng)走時,全程不等紅綠燈的概率;④當(dāng)走時,全程不等紅綠燈的概率.所以途中恰好經(jīng)過處,且全程不等信號燈的概率.(3)設(shè)以下第條的路線等信號燈的次數(shù)為變量,則①第一條:,則;②第二條:,則;③另外四條路線:;;,則綜上,小明上學(xué)的最佳路線為;應(yīng)盡量避開.【點睛】本題考查概率在實際生活中的綜合應(yīng)用問題,考查學(xué)生邏輯推理與運算能力,是一道有一定難度的題.20.(1)(2)2【解析】
(1)轉(zhuǎn)化條件得,進而可得,即可得解;(2)由化簡可得,由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】(1),,由正弦定理得,即,又,,又,,,由可得.(2)由(1)可得,,,,,,的最
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