遼寧省凌源二中2022年高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計(jì)的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法,將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系;用均勻投點(diǎn)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬和抽樣,以獲得問題的近似解,故又稱統(tǒng)計(jì)模擬法或統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)法.現(xiàn)向一邊長為的正方形模型內(nèi)均勻投點(diǎn),落入陰影部分的概率為,則圓周率()A. B.C. D.2.已知集合A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},則下列結(jié)論正確的是()A.﹣3∈AB.3BC.A∩B=BD.A∪B=B3.已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn),在橢圓上,其中,,若,,則橢圓的離心率的取值范圍為()A. B.C. D.4.已知函數(shù)()的部分圖象如圖所示,且,則的最小值為()A. B.C. D.5.已知拋物線:,直線與分別相交于點(diǎn),與的準(zhǔn)線相交于點(diǎn),若,則()A.3 B. C. D.6.已知,,,則a,b,c的大小關(guān)系為()A. B. C. D.7.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成,爻分為陽爻“——”和陰爻“——”.如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦,則該重卦至少有2個(gè)陽爻的概率是()A. B. C. D.8.已知函數(shù)(,)的一個(gè)零點(diǎn)是,函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線,則當(dāng)取得最小值時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.() B.()C.() D.()9.若集合,,則()A. B. C. D.10.設(shè)全集集合,則()A. B. C. D.11.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是()A. B. C. D.12.已知集合,,若,則實(shí)數(shù)的值可以為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某校初三年級共有名女生,為了了解初三女生分鐘“仰臥起坐”項(xiàng)目訓(xùn)練情況,統(tǒng)計(jì)了所有女生分鐘“仰臥起坐”測試數(shù)據(jù)(單位:個(gè)),并繪制了如下頻率分布直方圖,則分鐘至少能做到個(gè)仰臥起坐的初三女生有_____________個(gè).14.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且,則__________.15.根據(jù)如圖的算法,輸出的結(jié)果是_________.16.已知函數(shù),若函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知點(diǎn)到拋物線C:y1=1px準(zhǔn)線的距離為1.(Ⅰ)求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo);(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作不經(jīng)過點(diǎn)O的直線與C交于兩點(diǎn)A,B,直線PA,PB,分別交x軸于M,N兩點(diǎn),求的值.18.(12分)某早餐店對一款新口味的酸奶進(jìn)行了一段時(shí)間試銷,定價(jià)為元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應(yīng),每天的銷售數(shù)據(jù)按照,,,分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷量的頻率估計(jì)概率.從試銷售期間任選三天,求其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶的概率;試銷結(jié)束后,這款酸奶正式上市,廠家只提供整箱批發(fā):大箱每箱瓶,批發(fā)成本元;小箱每箱瓶,批發(fā)成本元.由于酸奶保質(zhì)期短,當(dāng)天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考,決定每天僅批發(fā)一箱(計(jì)算時(shí)每個(gè)分組取中間值作為代表,比如銷量為時(shí)看作銷量為瓶).①設(shè)早餐店批發(fā)一大箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤為隨機(jī)變量,批發(fā)一小箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤為隨機(jī)變量,求和的分布列和數(shù)學(xué)期望;②以利潤作為決策依據(jù),該早餐店應(yīng)每天批發(fā)一大箱還是一小箱?注:銷售額=銷量×定價(jià);利潤=銷售額-批發(fā)成本.19.(12分)已知函數(shù),.(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,且函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的值;(2)求證:(,且).20.(12分)已知是圓:的直徑,動(dòng)圓過,兩點(diǎn),且與直線相切.(1)若直線的方程為,求的方程;(2)在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得以為直徑的圓恰好與軸相切?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.21.(12分)的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,.求C;若,求,的面積22.(10分)如圖,在四棱錐中,平面,,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】

計(jì)算出黑色部分的面積與總面積的比,即可得解.【詳解】由,∴.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了面積型幾何概型的概率的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.2.C【解析】試題分析:集合考點(diǎn):集合間的關(guān)系3.C【解析】

根據(jù)可得四邊形為矩形,設(shè),,根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理可得,再分析的取值范圍,進(jìn)而求得再求離心率的范圍即可.【詳解】設(shè),,由,,知,因?yàn)?在橢圓上,,所以四邊形為矩形,;由,可得,由橢圓的定義可得,①,平方相減可得②,由①②得;令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義運(yùn)用以及構(gòu)造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.4.A【解析】

是函數(shù)的零點(diǎn),根據(jù)五點(diǎn)法求出圖中零點(diǎn)及軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)可得.【詳解】由題意,,∴函數(shù)在軸右邊的第一個(gè)零點(diǎn)為,在軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)是,∴的最小值是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性,考查函數(shù)的對稱性.函數(shù)的零點(diǎn)就是其圖象對稱中心的橫坐標(biāo).5.C【解析】

根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線,斜率的定義表示即可求得答案.【詳解】顯然直線過拋物線的焦點(diǎn)如圖,過A,M作準(zhǔn)線的垂直,垂足分別為C,D,過M作AC的垂線,垂足為E根據(jù)拋物線的定義可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M為AN的中點(diǎn),所以MD為三角形NAC的中位線,故MD=CE=EA=AC設(shè)MF=t,則MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的焦點(diǎn)弦的斜率,常見于利用拋物線的定義構(gòu)建關(guān)系,屬于中檔題.6.D【解析】

與中間值1比較,可用換底公式化為同底數(shù)對數(shù),再比較大?。驹斀狻?,,又,∴,即,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查冪和對數(shù)的大小比較,解題時(shí)能化為同底的化為同底數(shù)冪比較,或化為同底數(shù)對數(shù)比較,若是不同類型的數(shù),可借助中間值如0,1等比較.7.C【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對立事件,即該重卦沒有陽爻或只有1個(gè)陽爻的概率,再根據(jù)兩對立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設(shè)“該重卦至少有2個(gè)陽爻”為事件.所有“重卦”共有種;“該重卦至少有2個(gè)陽爻”的對立事件是“該重卦沒有陽爻或只有1個(gè)陽爻”,其中,沒有陽爻(即6個(gè)全部是陰爻)的情況有1種,只有1個(gè)陽爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個(gè)陽爻的概率是.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了對立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎(chǔ)題.8.B【解析】

根據(jù)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是,得出,再根據(jù)是對稱軸,得出,求出的最小值與對應(yīng)的,寫出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得,,即,解得或(其中,).①又,即(其中).②由①②得或,即或(其中,,),因此的最小值為.因?yàn)椋裕ǎ?又,所以,所以,令(),則().因此,當(dāng)取得最小值時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間是().故選:B【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的對稱軸和對稱點(diǎn),在對稱軸處取得最值,對稱點(diǎn)處函數(shù)值為零,屬于較易題目.9.B【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得集合A,由集合性質(zhì)表示形式即可求得,進(jìn)而可知滿足.【詳解】依題意,;而,故,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用,集合的包含關(guān)系與補(bǔ)集關(guān)系的應(yīng)用,屬于中檔題.10.A【解析】

先求出,再與集合N求交集.【詳解】由已知,,又,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算,涉及到補(bǔ)集、交集運(yùn)算,是一道容易題.11.D【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體為正四棱錐,由此計(jì)算出幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可知,該幾何體為正四棱錐.底面積為.側(cè)面的高為,所以側(cè)面積為.所以該幾何體的表面積是.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖判斷原圖,考查錐體表面積的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】

由題意可得,根據(jù),即可得出,從而求出結(jié)果.【詳解】,且,,∴的值可以為.故選:D.【點(diǎn)睛】考查描述法表示集合的定義,以及并集的定義及運(yùn)算.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)先求出,再求出分鐘至少能做到個(gè)仰臥起坐的初三女生人數(shù)即可.【詳解】解:,.則分鐘至少能做到個(gè)仰臥起坐的初三女生人數(shù)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】

由題意知,繼而利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和為的公式代入求值即可.【詳解】解:由題意知,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式,屬于中檔題.15.55【解析】

根據(jù)該For語句的功能,可得,可得結(jié)果【詳解】根據(jù)該For語句的功能,可得則故答案為:55【點(diǎn)睛】本題考查For語句的功能,屬基礎(chǔ)題.16.【解析】

由題意首先研究函數(shù)的性質(zhì),然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于a的不等式,求解不等式即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,很明顯,且存在唯一的實(shí)數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,且當(dāng)時(shí),,考查函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì),由二次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn),即方程有6個(gè)根,也就是有6個(gè)根,即與有6個(gè)不同交點(diǎn),注意到函數(shù)關(guān)于直線對稱,則函數(shù)關(guān)于直線對稱,繪制函數(shù)的圖像如圖所示,觀察可得:,即.綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)C的方程為,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0);(Ⅱ)1【解析】

(Ⅰ)根據(jù)拋物線定義求出p,即可求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo);

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(?1,?1),由題意直線AB斜率存在且不為0,設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)?1(k≠0),與拋物線聯(lián)立可得ky1-4y+4k-8=0,利用韋達(dá)定理以及弦長公式,轉(zhuǎn)化求解|MF|?|NF|的值.【詳解】(Ⅰ)由已知得,所以p=1.所以拋物線C的方程為,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0);(II)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(?1,?1),由題意直線AB斜率存在且不為0.設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)?1(k≠0).由得,則,.因?yàn)辄c(diǎn)A,B在拋物線C上,所以,.因?yàn)镻F⊥x軸,所以,所以|MF|?|NF|的值為1.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與拋物線中的定值問題,常用韋達(dá)定理設(shè)而不求來求解,本題解題關(guān)鍵是找出弦長與斜率之間的關(guān)系進(jìn)行求解,屬于中等題.18.;①詳見解析;②應(yīng)該批發(fā)一大箱.【解析】

酸奶每天銷量大于瓶的概率為,不大于瓶的概率為,設(shè)“試銷售期間任選三天,其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件,則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.利用對立事件概率公式求解即可.①若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,,,四種情況,分別求出相應(yīng)概率,列出分布列,求出的數(shù)學(xué)期望,若早餐店批發(fā)一小箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,兩種情況,分別求出相應(yīng)概率,由此求出的分布列和數(shù)學(xué)期望;②根據(jù)①中的計(jì)算結(jié)果,,從而早餐應(yīng)該批發(fā)一大箱.【詳解】解:根據(jù)圖中數(shù)據(jù),酸奶每天銷量大于瓶的概率為,不大于瓶的概率為.設(shè)“試銷售期間任選三天,其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件,則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.所以.①若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,,,四種情況.當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤為元;當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤為元;當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤為元;當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤為元.隨機(jī)變量的分布列為所以(元)若早餐店批發(fā)一小箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,兩種情況.當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤為元;當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤為元.隨機(jī)變量的分布列為所以(元).②根據(jù)①中的計(jì)算結(jié)果,,所以早餐店應(yīng)該批發(fā)一大箱.【點(diǎn)睛】本題考查概率,離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法,考查古典概型、對立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識,屬于中檔題.19.(1)1;(2)見解析【解析】

(1)分別求得與的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求得的值;(2)由(1)可知當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因而,構(gòu)造,由對數(shù)運(yùn)算及不等式放縮可證明,從而不等式可證明.【詳解】(1)∵函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴,即在上恒成立,∴,又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴,即在上恒成立,,∴綜上可知,.(2)證明:由(1)知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),而,∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.∴∴即,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,放縮法在證明不等式中的應(yīng)用,屬于難題.20.(1)或.(2)存在,;【解析】

(1)根據(jù)動(dòng)圓過,兩點(diǎn),可得圓心在的垂直平分線上,由直線的方程為,可知在直線上;設(shè),由動(dòng)圓與直線相切可得動(dòng)圓的半徑為;又由,及垂徑定理即可確定的值,進(jìn)而確定圓的方程.(2)方法一:設(shè),可得圓的半徑為,根據(jù),可得方程為并化簡可得的軌跡方程為.設(shè),,可得的中點(diǎn),進(jìn)而由兩點(diǎn)間距離公式表示出半徑,表示出到軸的距離,代入化簡即可求得的值,進(jìn)而確定所過定點(diǎn)的坐標(biāo);方法二:同上可得的軌跡方程為,由拋物線定義可求得,表示出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)到軸的距離可得等量關(guān)系,進(jìn)而確定所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】(1)因?yàn)檫^點(diǎn),,所以圓心在的垂直平分線上.由已知的方程為,且,關(guān)于于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,所以在直線上,故可設(shè).因?yàn)榕c直線相切,所以的半徑為.由已知得,,又,故可得,解得或.故的半徑或,所以的方程為或.(2)法一:設(shè),由已知得的半徑為,.由于,故可得,化簡得的軌跡方程為.設(shè),,則得,的中點(diǎn),則以為直徑的圓的半徑為:,到軸的距離為,令,①化簡得,即,故當(dāng)時(shí),①式恒成立.所以存在定點(diǎn),使得以為直徑的圓與軸相切.法二:設(shè),由已知得的半徑為,.由于,故可得,化簡得的軌跡方程為.設(shè),因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)在拋物線上,所以,線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,則到軸的距離為,而,故以為徑的圓與軸切,所以當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí),符合題意,所以存在定點(diǎn),使得以為直徑的圓與軸相切.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法,動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法,拋物線定義及定點(diǎn)問題的解法綜合應(yīng)用,屬于難題.21.(1).(2).【解析】

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