寧夏固原第一中學(xué)2022年高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則a的值為（）A．3 B．－3 C．2 D．－22．已知平面向量，，，則實(shí)數(shù)x的值等于（）A．6 B．1 C． D．3．已知數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，若、滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．4．已知雙曲線(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A． B．(1,2), C． D．5．若滿足約束條件則的最大值為（）A．10 B．8 C．5 D．36．為實(shí)現(xiàn)國(guó)民經(jīng)濟(jì)新“三步走”的發(fā)展戰(zhàn)略目標(biāo)，國(guó)家加大了扶貧攻堅(jiān)的力度．某地區(qū)在2015年以前的年均脫貧率（脫離貧困的戶數(shù)占當(dāng)年貧困戶總數(shù)的比）為．2015年開(kāi)始，全面實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策后，扶貧效果明顯提高，其中2019年度實(shí)施的扶貧項(xiàng)目，各項(xiàng)目參加戶數(shù)占比（參加該項(xiàng)目戶數(shù)占2019年貧困戶總數(shù)的比）及該項(xiàng)目的脫貧率見(jiàn)下表：實(shí)施項(xiàng)目種植業(yè)養(yǎng)殖業(yè)工廠就業(yè)服務(wù)業(yè)參加用戶比脫貧率那么年的年脫貧率是實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的（）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍7．定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，已知是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．以上情況均有可能8．復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，其中為虛部單位，則實(shí)數(shù)()A．3 B． C． D．9．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F作雙曲線C的一條弦AB，且，若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的左頂點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C．2 D．10．展開(kāi)式中x2的系數(shù)為()A．－1280 B．4864 C．－4864 D．128011．已知復(fù)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限12．如圖所示程序框圖，若判斷框內(nèi)為“”，則輸出（）A．2 B．10 C．34 D．98二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知關(guān)于空間兩條不同直線m、n，兩個(gè)不同平面、，有下列四個(gè)命題：①若且，則；②若且，則；③若且，則；④若，且，則.其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)_____.14．若，則______.15．若，i為虛數(shù)單位，則正實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.16．已知向量，，且，則________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）若，不等式的解集；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且軸，直線交軸于點(diǎn)，，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且滿足，求的面積.19．（12分）在四棱錐的底面是菱形，底面，，分別是的中點(diǎn)，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（III）在邊上是否存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.20．（12分）設(shè)橢圓，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線直線，且直線分別與橢圓相交于兩點(diǎn)和兩點(diǎn).(Ⅰ)若分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且直線軸，求四邊形的面積;(Ⅱ)若直線的斜率存在且不為0，四邊形為平行四邊形，求證:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，判斷四邊形能否為矩形，說(shuō)明理由.21．（12分）在綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)的某個(gè)維度的測(cè)評(píng)中，依據(jù)評(píng)分細(xì)則，學(xué)生之間相互打分，最終將所有的數(shù)據(jù)合成一個(gè)分?jǐn)?shù)，滿分100分，按照大于或等于80分的為優(yōu)秀，小于80分的為合格，為了解學(xué)生的在該維度的測(cè)評(píng)結(jié)果，在畢業(yè)班中隨機(jī)抽出一個(gè)班的數(shù)據(jù).該班共有60名學(xué)生，得到如下的列聯(lián)表：優(yōu)秀合格總計(jì)男生6女生18合計(jì)60已知在該班隨機(jī)抽取1人測(cè)評(píng)結(jié)果為優(yōu)秀的概率為.（1）完成上面的列聯(lián)表；（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為性別與測(cè)評(píng)結(jié)果有關(guān)系？（3）現(xiàn)在如果想了解全校學(xué)生在該維度的表現(xiàn)情況，采取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式在全校學(xué)生中抽取少數(shù)一部分來(lái)分析，請(qǐng)你選擇一個(gè)合適的抽樣方法，并解釋理由.附：0.250.100.0251.3232.7065.02422．（10分）如圖，三棱臺(tái)中，側(cè)面與側(cè)面是全等的梯形，若，且.（Ⅰ）若，，證明：∥平面；（Ⅱ）若二面角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

求出，對(duì)分類討論，求出單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征，即可求解.【詳解】，若，，在單調(diào)遞增，且，在不存在零點(diǎn)；若，，在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，熟練掌握函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.2．A【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】，，，，即，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于容易題.3．B【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)冪的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得再根據(jù)此范圍求的最小值．【詳解】數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，、滿足，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得，即，，可得，且、都是正整數(shù)，求的最小值即求在，且、都是正整數(shù)范圍下求最小值和的最小值，討論、取值.當(dāng)且時(shí)，的最小值為.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)冪的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力和分類討論思想，是中等題．4．A【解析】

若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率．根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．【詳解】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率，，離心率，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意挖掘隱含條件．5．D【解析】

畫(huà)出可行域,將化為,通過(guò)平移即可判斷出最優(yōu)解,代入到目標(biāo)函數(shù),即可求出最值.【詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,.由圖可知當(dāng)直線過(guò)時(shí),直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題.一般第一步畫(huà)出可行域,然后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式,在可行域內(nèi)通過(guò)平移找到最優(yōu)解,將最優(yōu)解帶回到目標(biāo)函數(shù)即可求出最值.注意畫(huà)可行域時(shí),邊界線的虛實(shí)問(wèn)題.6．B【解析】

設(shè)貧困戶總數(shù)為，利用表中數(shù)據(jù)可得脫貧率，進(jìn)而可求解.【詳解】設(shè)貧困戶總數(shù)為，脫貧率，所以.故年的年脫貧率是實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的倍.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了概率與統(tǒng)計(jì)，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.7．B【解析】

由已知可求得函數(shù)的周期，根據(jù)周期及偶函數(shù)的對(duì)稱性可求在上的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可比較．【詳解】由可得，即函數(shù)的周期，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋卿J角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，所以且即，所以即，．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．8．B【解析】

利用乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)即可得到答案.【詳解】由已知，，所以，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.9．C【解析】

由得F是弦AB的中點(diǎn).進(jìn)而得AB垂直于x軸，得，再結(jié)合關(guān)系求解即可【詳解】因?yàn)椋訤是弦AB的中點(diǎn).且AB垂直于x軸.因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的左頂點(diǎn)，所以，即，則，故.故選：C【點(diǎn)睛】本題是對(duì)雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查，是考查基本知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．10．A【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的公式得到具體為：化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式得到可以第一個(gè)括號(hào)里出項(xiàng)，第二個(gè)括號(hào)里出項(xiàng)，或者第一個(gè)括號(hào)里出，第二個(gè)括號(hào)里出，具體為：化簡(jiǎn)得到-1280x2故得到答案為：A.【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略：(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫(xiě)出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫(xiě)出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).11．A【解析】

利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，由此求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】依題意，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第一象限.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)所在象限，屬于基礎(chǔ)題.12．C【解析】

由題意，逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況，即可得解.【詳解】由題意運(yùn)行程序可得：，，，；，，，；，，，；不成立，此時(shí)輸出.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖，只需在理解程序框圖的前提下細(xì)心計(jì)算即可，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．③④【解析】

由直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義判斷．【詳解】①若且，的位置關(guān)系是平行、相交或異面，①錯(cuò)；②若且，則或者，②錯(cuò)；③若，設(shè)過(guò)的平面與交于直線，則，又，則，∴，③正確；④若，且，由線面垂直的定義知，④正確．故答案為：③④．【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義，考查空間線面間的位置關(guān)系，掌握空間線線、線面、面面位置關(guān)系是解題基礎(chǔ)．14．【解析】

直接利用關(guān)系式求出函數(shù)的被積函數(shù)的原函數(shù)，進(jìn)一步求出的值．【詳解】解：若，則，即，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：定積分的應(yīng)用，被積函數(shù)的原函數(shù)的求法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．15．【解析】

利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，即可得答案．【詳解】由已知可得：，，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16．【解析】

根據(jù)垂直向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】，且，則，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量垂直求參數(shù)，涉及垂直向量的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）依題意可得，再用零點(diǎn)分段法分類討論可得；（2）依題意可得對(duì)恒成立，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義將絕對(duì)值去掉，分別求出解集，則兩解集的并集為，得到不等式即可解得；【詳解】解：（1）若，，則，即，當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得，所以；當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得；綜上，原不等式的解集為；（2）即，得或，由解得，由解得，要使得的解集為，則解得，故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．18．（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)離心率以及，即可列方程求得，則問(wèn)題得解；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，根據(jù)題意中轉(zhuǎn)化出的，即可求得參數(shù)，則三角形面積得解.【詳解】（1）設(shè)，由題意可得.因?yàn)槭堑闹形痪€，且，所以，即，因?yàn)檫M(jìn)而得，所以橢圓方程為（2）由已知得兩邊平方整理可得.當(dāng)直線斜率為時(shí)，顯然不成立.直線斜率不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去，得，所以，由得將代入整理得，展開(kāi)得，整理得，所以.即為所求.【點(diǎn)睛】本題考查由離心率求橢圓的方程，以及橢圓三角形面積的求解，屬綜合中檔題.19．（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）見(jiàn)解析.【解析】

(Ⅰ)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得平面，據(jù)此證明題中的結(jié)論即可；(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量與平面的一個(gè)法向量，然后求解線面角的正弦值即可；(Ⅲ)假設(shè)滿足題意的點(diǎn)存在，設(shè)，由直線與的方向向量得到關(guān)于的方程，解方程即可確定點(diǎn)F的位置.【詳解】(Ⅰ)由菱形的性質(zhì)可得：，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可知：，故，底面，底面，故，且，故平面，平面，(Ⅱ)由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知，，，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則：，據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，而，設(shè)直線與平面所成角為，則.(Ⅲ)由題意可得：，假設(shè)滿足題意的點(diǎn)存在，設(shè)，，據(jù)此可得：，即：,從而點(diǎn)F的坐標(biāo)為，據(jù)此可得：,，結(jié)合題意有：，解得：.故點(diǎn)F為中點(diǎn)時(shí)滿足題意.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，線面角的向量求法，立體幾何中的探索性問(wèn)題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.20．(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見(jiàn)解析；(Ⅲ)不能，證明見(jiàn)解析【解析】

(Ⅰ)計(jì)算得到故，，，，計(jì)算得到面積.(Ⅱ)設(shè)為，聯(lián)立方程得到，計(jì)算，同理，根據(jù)得到，得到證明.(Ⅲ)設(shè)中點(diǎn)為，根據(jù)點(diǎn)差法得到，同理，故，得到結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)，，故，，，.故四邊形的面積為.(Ⅱ)設(shè)為，則，故，設(shè)，，故，，同理可得，，故，即，，故.(Ⅲ)設(shè)中點(diǎn)為，則，，相減得到，即，同理可得：的中點(diǎn)，滿足，故，故四邊形不能為矩形.【點(diǎn)睛】本題考查