空間向量及其線性運算（第1+課時） 高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

選擇必修1第一章1.1.1空間向量及其線性運算（第1課）教學目標學習目標數(shù)學素養(yǎng)1.理解空間向量及相關概念.1.數(shù)學抽象素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng).2.掌握空間向量線性運算的運算律．2.數(shù)學抽象素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng).新知引入

通過“平面向量及其應用”的學習，我們知道，平面內(nèi)的點、直線可以通過平面向量及其運算來表示，它們之間的平行、垂直、夾角、距離等關系可以通過平面向量運算而得到，從而有關平面圖形的問題可以利用平面向量的方法解決.

在“立體幾何初步”中，我們用綜合幾何方法研究了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及空間點、直線、平面的位置關系.一個自然地想法是，能否把平面向量推廣到空間向量，從而利用空間向量表示空間中點、直線、平面等基本元素，通過空間向量運算解決立體幾何問題.在本章，我們就來研究這些問題.

在本章學習中，我們要注意利用類比的方法理解空間向量的概念、運算、基本定理及其坐標表示，在此過程中體會平面向量與空間向量的共性和差異；在運用向量的方法研究空間基本圖形的位置關系和度量關系的過程中，體會向量方法與綜合幾何方法的共性和差異；通過用向量方法解決數(shù)學問題和實際問題，感悟向量在研究幾何問題中的作用.知識遷移零向量模為1相等相反互相平行或重合平行0∥a相同同向且等長b＋aa＋(b＋c)(λμ)aλa＋μaλa＋λb知識遷移知新探究與平面向量一樣，空間向量的線性運算滿足以下運算律(其中λ，μ∈R):

你能證明這些運算律嗎?證明結(jié)合律時，與證明平面向量的結(jié)合律

有什么不同？

由以上證明可以看出，證明空間向量的加法結(jié)合律時，由于三個向量可能不同在任何一個平面內(nèi)，因此證明方法與平面向量有所區(qū)別.對于空間向量線性運算的其他運算律，它們都只涉及同一平面內(nèi)的向量，因此證明方法與平面向量相同.abcACab+abcABCbc+ab+c+()ab+c+()知新探究

ABC'B'A'DCD'

利用向量的交換律和結(jié)合律，可以得到：有限個向量求和，交換相加向量的順序，其和不變.典例分析典例分析典例分析先利用交換或結(jié)合律進行字母關聯(lián)的運算，再考慮數(shù)形結(jié)合空間向量加法、減法運算的兩個技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加法、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結(jié)果．利用數(shù)乘運算進行向量表示的技巧(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運算解題時，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉(zhuǎn)化為已知向量．(2)明確目標：在化簡過程中要有