《數(shù)字圖像處理及工程應(yīng)用》課件第4章

2024/8/21第1頁(yè)第4章圖像變換4.1圖像的幾何變換

圖像幾何變換是指用數(shù)學(xué)建模的方法來(lái)描述圖像位置、大小、形狀等變化的方法，是通過(guò)數(shù)學(xué)建模實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行幾何變換的處理。

圖像幾何變換主要包括圖像的平移變換、比例縮放、旋轉(zhuǎn)、仿射變換、透視變換和圖像插值等，其實(shí)質(zhì)是改變像素的空間位置或估算新空間位置上的像素值。2024/8/21第2頁(yè)1.圖像幾何變換的一般表達(dá)式

圖像幾何變換就是建立一幅圖像與其變換后的圖像中所有各點(diǎn)之間的映射關(guān)系，其通用數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(4.1)式中，為變換后圖像像素的笛卡爾坐標(biāo)；為原始圖像像素的笛卡爾坐標(biāo)；和分別定義了在水平和垂直兩個(gè)方向上的空間變換的映射函數(shù)。這樣就得到了原始圖像與變化后圖像的像素的對(duì)應(yīng)關(guān)系。第4章圖像變換2024/8/21第3頁(yè)如果，,則有,即變換后圖像僅僅是原圖像的簡(jiǎn)單復(fù)制。2.平移變換

圖像的平移變換就是將圖像中的所有像素點(diǎn)按照要求的偏移量進(jìn)行垂直、水平移動(dòng)。

平移變換只是改變了原有景物在畫(huà)面上的位置，而圖像的內(nèi)容不發(fā)生變化。第4章圖像變換2024/8/21第4頁(yè)第4章圖像變換若將圖像像素點(diǎn)平移到，則變換函數(shù)為，，其矩陣表達(dá)式為

(4.2)式中,和分別為和的坐標(biāo)平移量。2024/8/21第4章圖像變換

【例4.1】用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的平移變換。

【解】MATLAB程序如下。closeall;clearall;clc;I=imread('lena.bmp');%讀取圖像a=50;b=50;%設(shè)置平移坐標(biāo)J1=move(I,a,b);%移動(dòng)原圖像a=-50;b=50;%設(shè)置平移坐標(biāo)J2=move(I,a,b);%移動(dòng)原圖像figure,subplot(1,3,1),imshow(I),axison;subplot(1,3,2),imshow(J1),axison;subplot(1,3,3),imshow(J2),axison;第5頁(yè)2024/8/21第4章圖像變換程序運(yùn)行的結(jié)果如圖4.1所示。(a)原始圖像(b)右下平移后的圖像

(c)右上平移后的圖像圖4.1【例4.1】運(yùn)行結(jié)果

第6頁(yè)2024/8/21第7頁(yè)第4章圖像變換3.比例縮放

圖像縮放是指將給定的圖像在x軸方向按比例縮放倍，在y軸方向按比例縮放倍，從而獲得一幅新的圖像。如果，則稱這樣的比例縮放為圖像的全比例縮放。如果，則圖像比例縮放會(huì)改變?cè)紙D像像素間的相對(duì)位置，產(chǎn)生幾何畸變。若圖像坐標(biāo)縮放到倍，則變換函數(shù)為(4.3)式中，分別為和坐標(biāo)的縮放因子，其大于1表示放大，小于1表示縮小。2024/8/21第8頁(yè)第4章圖像變換【例4.2】用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的縮放操作?！窘狻縈ATLAB程序如下。

[X,map]=imread('trees.tif')%讀取圖像J1=imresize(X,0.25);%設(shè)置縮放比例，實(shí)現(xiàn)縮放圖像并顯示J2=imresize(X,3.5);figure，subplot(131),imshow(X);subplot(132),imshow(J1);subplot(133),imshow(J2);2024/8/21第9頁(yè)第4章圖像變換程序運(yùn)行的結(jié)果如圖4.2所示。(a)原始圖像(b)縮小后的圖像(c)放大后的圖像圖4.2【例4.2】運(yùn)行結(jié)果

2024/8/21第10頁(yè)第4章圖像變換4.旋轉(zhuǎn)變換

圖像的旋轉(zhuǎn)是指以圖像中的某一點(diǎn)為原點(diǎn)以逆時(shí)針或順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定的角度。圖像的旋轉(zhuǎn)屬于圖像的位置變換，通常是以圖像的中心為原點(diǎn)，將圖像上的所有像素都旋轉(zhuǎn)一個(gè)相同的角度。旋轉(zhuǎn)后，圖像的大小一般會(huì)改變。將輸入圖像繞笛卡爾坐標(biāo)系的原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度，則變換后圖像坐標(biāo)為(4.4)2024/8/21第11頁(yè)第4章圖像變換【例4.3】用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的旋轉(zhuǎn)變換。【解】MATLAB程序如下：I=imread('office_2.jpg');%讀取圖像J1=imrotate(I,30);%設(shè)置旋轉(zhuǎn)角度，實(shí)現(xiàn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30oJ2=imrotate(I,-30);%設(shè)置旋轉(zhuǎn)角度，實(shí)現(xiàn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30ofigure,%顯示旋轉(zhuǎn)處理結(jié)果subplot(131),imshow(I);subplot(132),imshow(J1);subplot(133),imshow(J2);2024/8/21第12頁(yè)第4章圖像變換程序運(yùn)行的結(jié)果如圖4.3所示。(a)原始圖像(b)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30o后的圖像(c)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30o后的圖像圖4.3【例4.3】運(yùn)行結(jié)果

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第4章圖像變換

5.仿射變換

平移變換、比例縮放和旋轉(zhuǎn)變換都是仿射變換的特殊情況。仿射變換的一般表達(dá)式為

仿射變換具有如下性質(zhì)：

(4.5)2024/8/21第14頁(yè)第4章圖像變換(1)仿射變換只有6個(gè)自由度（對(duì)應(yīng)變換中的6個(gè)系數(shù)），因此，仿射變換后互相平行直線仍然為平行直線，三角形映射后仍是三角形。但不能保證四邊形以上的多邊形映射為等邊數(shù)的多邊形。(2)仿射變換的乘積和逆變換仍是仿射變換。(3)仿射變換能夠?qū)崿F(xiàn)平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等幾何變換。2024/8/21第15頁(yè)第4章圖像變換(4.6)顯然上式是線性的，故可以表示成如下的線性表達(dá)式圖像先進(jìn)行平移，然后進(jìn)行比例變換，最后進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的復(fù)合幾何變換表達(dá)式為2024/8/21第16頁(yè)

第4章圖像變換(4.7)由上式可知，平移、比例縮放和旋轉(zhuǎn)變換是仿射變換的特殊情況。設(shè)定加權(quán)因子和的值，可以得到不同的變換。2024/8/21第17頁(yè)

第4章圖像變換【例4.4】用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的仿射變換?！窘狻縈ATLAB程序如下：I=imread('cameraman.tif');%讀取圖像tform=maketform('affine',[100;.510;001]);%定義仿射變換結(jié)構(gòu)J=imtransform(I,tform);%進(jìn)行仿射變換subplot(121),imshow(I),axison;%顯示原始圖像subplot(122),imshow(J),axison;%顯示仿射處理結(jié)果2024/8/21第18頁(yè)第4章圖像變換程序運(yùn)行的結(jié)果如圖4.4所示。(a)原始圖像(b)仿射變換后的圖像圖4.4【例4.4】運(yùn)行結(jié)果2024/8/21第19頁(yè)第4章圖像變換6.透視變換把物體的三維圖像表示轉(zhuǎn)變?yōu)槎S表示的過(guò)程，稱為透視變換（投影映射），其表達(dá)式為透視變換的向前映射函數(shù)可以表示為(4.8)(4.9)2024/8/21第20頁(yè)第4章圖像變換式中，，。與仿射變換類(lèi)似，透視變換也是一種平面映射，并且正變換和逆變換都是單值的，而且可以保證任意方向上的直線經(jīng)過(guò)透視變換后仍然保持是直線，但是由于透視變換具有9個(gè)自由度（其變換系數(shù)為9個(gè)），故可以實(shí)現(xiàn)平面四邊形到四邊形的映射。2024/8/21第21頁(yè)第4章圖像變換【例4.5】用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的透視變換?！窘狻縈ATLAB程序如下：I=imread('cameraman.tif');%讀取圖像tform=maketform('projective',[00;10;11;01],%根據(jù)定義的透視結(jié)構(gòu)進(jìn)行變換[-42;-8-3;-3-5;63]);[B,xdata,ydata]=imtransform(I,tform,'bicubic',%立方卷積插值'udata',udata,...%定義輸出空間'vdata',vdata,...'size',size(I),...%定義輸出圖像大小'fill',128);%變換數(shù)據(jù)外的空間用128灰度填充subplot(121),imshow(I),axison;%顯示原始圖像subplot(122),imshow(B),axison;%顯示透視變換后的圖像2024/8/21第22頁(yè)第4章圖像變換程序運(yùn)行的結(jié)果如圖4.5所示。(a)原始圖像(b)透視變換后的圖像圖4.5【例4.5】運(yùn)行結(jié)果2024/8/21第23頁(yè)第4章圖像變換7.灰度插值

在數(shù)字圖像中，由于其灰度值只在整數(shù)位置被定義，即規(guī)定所有的像素值都位于采樣?xùn)鸥竦恼麛?shù)坐標(biāo)處。而通過(guò)幾何變換后的灰度值往往會(huì)出現(xiàn)在原始圖像中相鄰像素值的點(diǎn)之間。為此，需要通過(guò)插值運(yùn)算來(lái)獲得變換后不在采樣點(diǎn)上的像素的灰度值。常用的灰度值插值方法有最近鄰插值法、雙線性插值法和卷積插值法等3種。2024/8/21第24頁(yè)第4章圖像變換（1）.最近鄰插值法

最近鄰插值也稱作零階插值，也就是令變換后像素的灰度值等于距它最近的輸入像素的灰度值。該方法所造成的空間偏移誤差為像素單位，計(jì)算簡(jiǎn)單。但當(dāng)圖像中的像素灰度級(jí)有細(xì)微變化時(shí)，該方法會(huì)在圖像中產(chǎn)生人工的痕跡。2024/8/21第25頁(yè)第4章圖像變換（2）.雙線性插值法雙線性插值也稱作一階插值，該方法通常是沿圖像矩陣的每一列（行）進(jìn)行插值，然后對(duì)插值后所得到的矩陣再沿著行（列）方向進(jìn)行線性插值。例如，令表示坐標(biāo)處的像素灰度值，根據(jù)四點(diǎn)(0,0)、(0,1)、(1,0)和(1,1)來(lái)進(jìn)行雙線性插值。首先對(duì)(0,0)和(1,0)兩點(diǎn)進(jìn)行線性插值，得到點(diǎn)的像素灰度值為(4.10)2024/8/21第26頁(yè)第4章圖像變換對(duì)(0,1)和(1,1)兩點(diǎn)進(jìn)行線性插值，得到然后進(jìn)行水平方向的線性插值，得到(4.11)(4.12)當(dāng)對(duì)相鄰4個(gè)像素點(diǎn)采用雙線性插值時(shí)，所得表面在鄰域處是吻合的，但斜率不吻合，并且雙線性灰度值插值的平滑作用可能使圖像的細(xì)節(jié)產(chǎn)生退化，這種現(xiàn)象在進(jìn)行圖像放大時(shí)尤其明顯。2024/8/21第27頁(yè)第4章圖像變換（3）.卷積插值法

當(dāng)圖像放大時(shí)，圖像像素的灰度值插值可以通過(guò)卷積來(lái)實(shí)現(xiàn)。卷積插值法就是在輸入圖像的兩行兩列中間插零值，然后通過(guò)低通模板濾波便可得到插值后的圖像。輸入圖像鄰域插零的鄰域2024/8/21第28頁(yè)第4章圖像變換常用的低通模板有柱形棱錐形鐘形三次B樣條2024/8/21第29頁(yè)第4章圖像變換【例4.6】用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的灰度插值?！窘狻縈ATLAB程序如下：I=imread('lena.bmp');%讀取圖像J=imresize(I,0.25);%縮小圖像Z1=interp2(double(J),2,'nearest');%最鄰近插值法Z1=uint8(Z1);figure(1),subplot(121),imshow(J);subplot(122),imshow(Z1);Z2=interp2(double(J),2,'linear');%雙線性內(nèi)插法Z2=uint8(Z2);figure(2),imshow(Z2);Z3=interp2(double(J),2,'cubic');%立方卷積插值法Z3=uint8(Z3);figure(3),imshow(Z3);2024/8/21第30頁(yè)第4章圖像變換程序運(yùn)行的結(jié)果如圖4.6所示。(a)待插值圖像(b)最鄰近插值法(c)雙線性內(nèi)插法(d)立方卷積插值法圖4.6【例4.6】運(yùn)行結(jié)果2024/8/21第31頁(yè)第4章圖像變換4.2圖像的正交變換

正交變換一般是線性變換，其基本線性運(yùn)算式是嚴(yán)格可逆的，并且滿足一定的正交條件，因此，也將其稱作酉變換。目前，在圖像處理技術(shù)中正交變換被廣泛地運(yùn)用于圖像特征提取、圖像增強(qiáng)、圖像復(fù)原、圖像識(shí)別以及圖像編碼等處理中。下面我們將對(duì)幾種主要的正交變換進(jìn)行討論。2024/8/21第32頁(yè)第4章圖像變換1.離散傅里葉變換(DFT)

離散傅里葉變換（discreteFouriertransform，DFT）建立了離散空域和離散頻域之間的聯(lián)系，在數(shù)字信號(hào)處理和數(shù)字圖像處理中得到了廣泛的應(yīng)用。利用計(jì)算機(jī)對(duì)變換后的信號(hào)進(jìn)行頻域處理，比在空域直接處理更加方便。并且，由于DFT具有快速算法(fastFouriertransform，F(xiàn)FT)，可大大減少運(yùn)算量，提高處理速度。2024/8/21第33頁(yè)第4章圖像變換（1）.一維離散傅里葉變換(1D-DFT)對(duì)于有限長(zhǎng)序列,其DFT定義為則傅里葉逆變換(IDFT)定義為(4.13)(4.14)2024/8/21第34頁(yè)第4章圖像變換

由式(4.13)和式(4.14)可見(jiàn)，離散傅里葉變換是直接處理離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換。如果要對(duì)一個(gè)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行計(jì)算機(jī)數(shù)字處理，那么就必須經(jīng)過(guò)離散化處理。這樣，對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行的傅里葉變換的積分過(guò)程就會(huì)自然地蛻變?yōu)榍蠛瓦^(guò)程。（2）.二維離散傅里葉變換（2D-DFT）

一幅靜止的數(shù)字圖像可看作是二維數(shù)據(jù)陣列。因此，數(shù)字圖像處理主要是二維數(shù)據(jù)處理。2024/8/21第35頁(yè)第4章圖像變換二維離散傅里葉變換的定義可用下面二式來(lái)表示。正變換式為逆變換式為(4.15)(4.16)2024/8/21第36頁(yè)第4章圖像變換

在圖像處理中，一般總是選擇方形陣列，所以通常情況下總是M=N。因此，二維離散傅里葉變換多采用下面兩式形式：(4.17)(4.18)式中，都為整數(shù)，它們的取值范圍均為。2024/8/21第37頁(yè)第4章圖像變換通常傅里葉變換為復(fù)數(shù)形式，可表示為式中，和分別為的實(shí)部和虛部。上式也可表示成指數(shù)形式通常稱為的頻譜或幅度譜，為的相位。(4.19)(4.20)(4.21)(4.22)2024/8/21第38頁(yè)第4章圖像變換頻譜的平方稱為功率譜，即二維離散傅里葉變換的可分離性是顯而易見(jiàn)的：該性質(zhì)說(shuō)明二維離散傅里葉變換可通過(guò)兩次一維離散傅里葉變換實(shí)現(xiàn)。(4.23)(4.24)(4.25)2024/8/21第39頁(yè)第4章圖像變換即：或除此之外，二維離散傅里葉變換還有平移特性，即周期性，即(4.26)(4.27)(4.28)2024/8/21第40頁(yè)第4章圖像變換共軛對(duì)稱性，即

二維離散傅里葉變換也具有線性、旋轉(zhuǎn)性、相關(guān)定理、卷積定理、比例性等性質(zhì)。

用傅里葉變換分析處理圖像信息有許多優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用也相當(dāng)普遍。但是，它也有一些缺點(diǎn)，其一是傅里葉變換需要計(jì)算復(fù)數(shù)而不是實(shí)數(shù)，其二是收斂速度慢。因此，在有些場(chǎng)合下，傅里葉變換不一定是理想的變換方法。(4.29)2024/8/21第41頁(yè)第4章圖像變換【例4.7】用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的傅里葉變換?！窘狻縈ATLAB程序如下：I=imread('lena.bmp');%讀取圖像imshow(I);%顯示圖像F1=fft2(I);%計(jì)算二維傅里葉變換figure,imshow(log(abs(F1)+1),[]);%顯示對(duì)數(shù)變換后的頻譜圖F2=fftshift(F1);%將直流分量移到頻譜圖的中心figure,imshow(log(abs(F2)+1),[]);%顯示對(duì)數(shù)變換后中心化的頻譜圖2024/8/21第42頁(yè)第4章圖像變換程序運(yùn)行的結(jié)果如圖4.7所示。(a)原始圖像(b)圖像的頻譜圖(c)中心化的頻譜圖圖4.7【例4.7】運(yùn)行結(jié)果2024/8/21第43頁(yè)第4章圖像變換2.離散余弦變換(DCT)（1）．一維離散余弦變換(1D-DCT)一維離散余弦變換的定義如下：式中，是第個(gè)余弦變換系數(shù)，是廣義頻率變量；是時(shí)域N點(diǎn)序列。(4.30)(4.31)2024/8/21第44頁(yè)第4章圖像變換一維離散余弦逆變換的定義如下：

顯然，式(4.30)，式(4.31)和式(4.32)構(gòu)成了一維離散余弦變換對(duì)。比較式(4.31)和式(4.32)可以清楚地看到，離散余弦變換具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：a.在廣義頻域上，離散余弦變換的系數(shù)為實(shí)數(shù)；b.正變換的核與逆變換的核相同。(4.32)2024/8/21第45頁(yè)第4章圖像變換(2).二維離散余弦變換(2D-DCT)二維離散余弦變換的定義如下：式中的符號(hào)意義同正變換式一樣。式(3.36)和式(3.37)是離散余弦變換的解析式定義，更為簡(jiǎn)潔的定義方法是采用矩陣式定義。(4.37)2024/8/21第46頁(yè)第4章圖像變換一維離散余弦變換的矩陣定義可寫(xiě)成如下形式：同理，可得到逆變換展開(kāi)式，即：類(lèi)似地，二維離散余弦變換也可以寫(xiě)成矩陣的形式，即(4.38)(4.39)(4.40)(4.41)2024/8/21第47頁(yè)第4章圖像變換

式中，是空間域數(shù)據(jù)陣列，是變換系數(shù)陣列，是與式(4.36)相關(guān)的系數(shù)陣列,變換矩陣是的轉(zhuǎn)置。

離散余弦變換是一種正交的線性變換。因此，為了方便計(jì)算與分析，離散余弦變換還可以用矩陣的形式來(lái)表示。下面介紹一個(gè)簡(jiǎn)單的離散余弦變換例子。2024/8/21第48頁(yè)第4章圖像變換【例4.8】用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的DCT變換?！窘狻縈ATLAB程序如下：I=imread('lena.bmp');%讀取圖像J=dct2(I);%計(jì)算圖像的2-DCT變換figure,subplot(121),imshow(I);%顯示原圖像subplot(122),mesh(J);colormap(jet),colorbar;%顯示DCT圖像2024/8/21第49頁(yè)第4章圖像變換程序運(yùn)行的結(jié)果如圖4.8所示。(a)原始圖像(b)DCT結(jié)果圖4.8【例4.8】運(yùn)行結(jié)果2024/8/21第50頁(yè)第4章圖像變換3.離散沃爾什-哈達(dá)瑪變換（1）.沃爾什變換(DWT)沃爾什函數(shù)有三種排列或編號(hào)方式，即列率排列、佩利(Paley)排列（自然排列）和哈達(dá)瑪排列。按沃爾什排列的沃爾什函數(shù)實(shí)際上就是按列率排列的沃爾什函數(shù)。通常把正交區(qū)間內(nèi)波形變號(hào)次數(shù)的1/2稱為列率。2024/8/21第51頁(yè)第4章圖像變換a.一維沃爾什變換。設(shè),一維沃爾什變換核為式中，。沃爾什變換核是一個(gè)對(duì)稱陣列，其行和列是正交的。對(duì)離散函數(shù)序列可以定義一維沃爾什變換為(4.42)(4.43)2024/8/21第52頁(yè)第4章圖像變換一維沃爾什逆變換為一維沃爾什逆變換核為(4.44)(4.45)2024/8/21第53頁(yè)第4章圖像變換b.二維沃爾什變換。對(duì)于二維圖像，沃爾什變換要求圖像的大為逆變換核為正交變換核為(4.46)(4.47)2024/8/21第54頁(yè)第4章圖像變換二維沃爾什變換和逆變換分別為對(duì)于二維沃爾什變換，其正變換核、逆變換核均為可分離的和對(duì)稱的。即(4.48)(4.49)(4.50)2024/8/21第55頁(yè)第4章圖像變換因此，二維沃爾什變換可以像二維DFT一樣，分為兩次一維沃爾什變換實(shí)現(xiàn)。二維沃爾什變換的矩陣形式為式中，G為N階沃爾什變換的核矩陣。二維沃爾什逆變換的矩陣形式為(4.51)(4.52)2024/8/21第56頁(yè)第4章圖像變換(2).哈達(dá)瑪變換(DHT)

哈達(dá)瑪變換本質(zhì)上是一種特殊排序的沃爾什變換。達(dá)瑪變換矩陣是元素僅由+1和-1組成的正交方陣，它的任意兩行或兩列都彼此正交，即它們的對(duì)應(yīng)元素之和為零。a.一維哈達(dá)瑪變換。一維哈達(dá)瑪變換核為式中，。(4.53)2024/8/21第57頁(yè)第4章圖像變換一維哈達(dá)瑪變換為式中，。一維哈達(dá)瑪逆變換為(4.54)(4.55)2024/8/21第58頁(yè)第4章圖像變換b.二維哈達(dá)瑪變換。二維哈達(dá)瑪變換為二維哈達(dá)瑪逆變換為可見(jiàn)，二維哈達(dá)瑪變換和逆變換具有相同的形式。哈達(dá)瑪變換核是可分離的和對(duì)稱的。因此，二維哈達(dá)瑪變換和逆變換都可通過(guò)兩個(gè)一維變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。(4.56)(4.57)2024/8/21第59頁(yè)第4章圖像變換哈達(dá)瑪變換核的構(gòu)造具有遞推關(guān)系。2N階哈達(dá)瑪矩陣H2N與N階哈達(dá)瑪矩陣HN的遞推關(guān)系為：最低階的哈達(dá)瑪矩陣為則(4.58)(4.59)(4.60)2024/8/21第60頁(yè)第4章圖像變換可見(jiàn)，對(duì)于任意N階哈達(dá)瑪矩陣，其元素仍然只含有+1和-1,而且可以根據(jù)上一階的矩陣求得，這就使得該變換的復(fù)雜度降低了。為了方便變換表達(dá)式的書(shū)寫(xiě)，往往利用對(duì)相應(yīng)的矩陣規(guī)格化。例如，N=8的哈達(dá)瑪矩陣為(4.61)矩陣右端的值代表該行的列率，即該行中信號(hào)符號(hào)改變的次數(shù)?？梢?jiàn)其列率的排列是無(wú)規(guī)則的2024/8/21第61頁(yè)第4章圖像變換將無(wú)序的哈達(dá)瑪核進(jìn)行列率排序，即可得到有序的沃爾什變換核：二維WHD有快速算法，其統(tǒng)計(jì)特性與二維DFT類(lèi)似，圖像中的直流成分和低序率成分占絕大部分能量，且大部分高序率的變換幅度為零。(4.62)2024/8/21第62頁(yè)第4章圖像變換【例4.9】已知二維圖像信號(hào)是均勻分布的，即求此圖像的二維沃爾什變換和二維哈達(dá)瑪變換?！窘狻坑捎趫D像是4×4矩陣，則2D-DWT和2D-DHT為可知，DWT和DHT都具有能量集中的性質(zhì)，原始圖像數(shù)據(jù)越是均勻分布能量越集中，這個(gè)特性可用于圖像信息的壓縮。2024/8/21第63頁(yè)第4章圖像變換【例4.10】用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的哈達(dá)瑪變換?！窘狻縈ATLAB程序如下：I=imread('peppers.png');%讀取RGB圖像I=rgb2gray(I);%轉(zhuǎn)換為灰度圖像I=im2double(I);h1=size(I,1);%圖像的行h2=size(I,2);%圖像的列H1=hadamard(h1);%Hadamard矩陣H2=hadamard(h2);J=H1*I*H2/sqrt(h1*h2);%Hadamard變換2024/8/21第64頁(yè)第4章圖像變換figure;set(0,'defaultFigurePosition',[100,100,1000,500]);set(0,'defaultFigureColor',[111])subplot(121),imshow(I);%顯示原始圖像subplot(122),imshow(J);%顯示Hadamard變換后的圖像程序運(yùn)行的結(jié)果如圖4.9所示。(a)原始圖像(b)DHT結(jié)果圖4.9【例4.10】運(yùn)行結(jié)果2024/8/21第65頁(yè)第4章圖像變換4.K-L變換不同于前面介紹的傅里葉變換、離散余弦變換、沃爾什-哈達(dá)瑪變換，離散K-L變換是以變換矢量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)為基礎(chǔ)，在均方誤差最小意義下得到的最佳變換，因此常被用來(lái)作為衡量其他變換性能的標(biāo)準(zhǔn)。K-L變換首先由Karhunen和Leoeve引入，用來(lái)處理隨機(jī)過(guò)程中的連續(xù)信號(hào)的去相關(guān)問(wèn)題。2024/8/21第66頁(yè)第4章圖像變換（1）.圖像的向量表示和統(tǒng)計(jì)參數(shù)若一幅N×N的圖像在信道中傳送了L次，或一物體形成了L個(gè)波段的多光譜圖像，則會(huì)得到L幅（幀）圖像組成的圖像集合為由于成像或傳輸過(guò)程中受到噪聲或干擾的影響，圖像中不可避免地包含有一些隨機(jī)的成分，因此對(duì)圖像可計(jì)算其統(tǒng)計(jì)特性。(4.63)2024/8/21第67頁(yè)第4章圖像變換a.圖像的向量表示。對(duì)圖像集合中的每一個(gè)樣本可以用堆疊方式表示成N2維向量,即其中的元素式中，為圖像集合中的第i個(gè)樣本；為第i幀第j行元素形成的列向量。(4.64)(4.65)2024/8/21第68頁(yè)第4章圖像變換b.圖像的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。圖像f向量的協(xié)方差陣定義為式中，為f的均值向量，E[·]為求統(tǒng)計(jì)平均。在L幀圖像樣本組成的集合中，可用如下兩式近似，求得和式中，均值向量為N2維的列向量；方差向量為維的矩陣。(4.66)(4.67)(4.68)2024/8/21第69頁(yè)第4章圖像變換(2).的特征值和特征向量a.的特征值。由矩陣?yán)碚摽芍?，?duì)于為的矩陣,有個(gè)標(biāo)量，i=1,2,…,N2，能使式中，為矩陣的特征值。b.的特征向量。重新排列特征值，使得若設(shè)是的維特征向量，則有(4.69)(4.70)(4.71)2024/8/21第70頁(yè)第4章圖像變換因此，是一個(gè)實(shí)對(duì)稱方陣，則一定存在有個(gè)互為正交的實(shí)特征向量，構(gòu)成一個(gè)維的完備正交向量集。特征向量所組成的正交矩陣B為式中，為第i個(gè)特征向量的第j個(gè)分量。(4.72)2024/8/21第71頁(yè)第4章圖像變換(3).離散K-L變換及其性質(zhì)