新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章 第07講 離散型隨機變量及其分布列和數(shù)字特征 精講（原卷版）

第07講離散型隨機變量及其分布列和數(shù)字特征(精講）目錄第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：離散型隨機變量分布列的性質(zhì)題型二：求離散型隨機變量的分布列題型三：離散型隨機變量的均值與方差角度1：期望、方差的計算角度2：決策問題第四部分：高考真題感悟第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶知識點一：離散型隨機變量一般地，對于隨機試驗樣本空間SKIPIF1<0中的每個樣本點SKIPIF1<0都有唯一的實數(shù)SKIPIF1<0與之對應(yīng)，我們稱SKIPIF1<0為隨機變量．表示：用大寫英文字母表示隨機變量，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．知識點二：離散型隨機變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機變量SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，我們稱SKIPIF1<0取每一個值SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的概率分布列，簡稱分布列．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0知識點三：離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②SKIPIF1<0注意：①.列出隨機變量的所有可能取值；②.求出隨機變量的每一個值發(fā)生的概率.知識點四：離散型隨機變量的均值與方差（1）離散型隨機變量的均值的概念一般地，若離散型隨機變量SKIPIF1<0的概率分布為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0則稱SKIPIF1<0為隨機變量SKIPIF1<0的均值(mean)或數(shù)學(xué)期望(mathematicalexpectation),數(shù)學(xué)期望簡稱期望.（2）離散型隨機變量的方差的概念一般地，若離散型隨機變量SKIPIF1<0的概率分布列為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0…SKIPIF1<0則稱SKIPIF1<0SKIPIF1<0為隨機變量SKIPIF1<0的方差，有時也記為SKIPIF1<0.稱SKIPIF1<0為隨機變量SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)差.知識點五：均值與方差的性質(zhì)（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試1．（2022·河南·鄧州市第一高級中學(xué)校高二期末（理））一臺機器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)一件次品，要賠20元，已知這臺機器生產(chǎn)出甲等、乙等和次品的概率分別為0.6、0.3和0.1，則這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，平均預(yù)期可獲利（

）A．36元 B．37元 C．38元 D．39元2．（2022·北京·東直門中學(xué)高二階段練習(xí)）若隨機變量SKIPIF1<0的分布列如表，則SKIPIF1<0的方差SKIPIF1<0是（

）SKIPIF1<0SKIPIF1<001SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·四川眉山·高二期末（文））若樣本數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)差為4，則數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)差為___________.4．（2022·廣東潮州·高二期末）隨機變量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.5．（2022·廣西玉林·模擬預(yù)測（理））離散型隨機變量SKIPIF1<0的分布列如表，則實數(shù)a＝________；E（SKIPIF1<0）＝________．SKIPIF1<0－101PSKIPIF1<0aSKIPIF1<0第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：離散型隨機變量分布列的性質(zhì)典型例題例題1．（2022·江西撫州·高二期末（理））設(shè)隨機變量SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·全國·高二期末）某射擊運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)SKIPIF1<0的分布列如下表所示.SKIPIF1<045678910SKIPIF1<00.030.050.070.080.26SKIPIF1<00.23則SKIPIF1<0（

）A．0.72 B．0.75 C．0.85 D．0.90例題3．（2022·安徽·合肥市第九中學(xué)高二期中）若離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0同類題型歸類練1．（2022·吉林省實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)隨機變量X的概率分布列如下：則SKIPIF1<0（

）X－1012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（多選）（2022·廣東·深圳市寶安第一外國語學(xué)校高二期中）已知隨機變量ξ的分布如下：則實數(shù)a的值為（

）ξ123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．－SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·吉林·長春市第二實驗中學(xué)高二期中）設(shè)隨機變量SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04（2022·山東·青島二中高二階段練習(xí)）隨機變量SKIPIF1<0的分布列如圖，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0______．SKIPIF1<0-101SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0題型二：求離散型隨機變量的分布列典型例題例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知隨機變量SKIPIF1<0的分布列如表所示．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)求隨機變量SKIPIF1<0的分布列；(2)若SKIPIF1<0，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．例題2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）有2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束．(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)SKIPIF1<0表示總檢測費用（單位：元），求SKIPIF1<0的分布列．例題3．（2022·廣東·深圳市高級中學(xué)高二期中）某市衛(wèi)生防疫部門為了控制某種病毒的傳染，提供了批號分別為SKIPIF1<0的四批疫苗，供全市所轄的SKIPIF1<0三個區(qū)市民注射，每個區(qū)均能從中任選一個批號的疫苗接種．(1)求三個區(qū)市民接種的疫苗批號中恰好有兩個區(qū)相同的概率；(2)記SKIPIF1<0三個區(qū)選擇的疫苗批號的中位數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列．同類題型歸類練1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）有一種密碼，明文由三個字母組成，密碼由明文的這三個字母對應(yīng)的五個數(shù)字組成，編碼規(guī)則如下表．明文由表中每一排取一個字母組成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，對應(yīng)的密碼由明文所取的這三個字母對應(yīng)的數(shù)字按相同的次序排成一組組成，如明文取的三個字母為AFP，則與它對應(yīng)的五個數(shù)字（密碼）就為11223．第一排明文字母ABC對應(yīng)數(shù)字111213第二排明文字母EFG對應(yīng)數(shù)字212223第三排明文字母MNP對應(yīng)數(shù)字123(1)假設(shè)明文是BGN，求這個明文對應(yīng)的密碼；(2)設(shè)隨機變量SKIPIF1<0表示密碼中所含不同數(shù)字的個數(shù)．①求SKIPIF1<0；②求隨機變量SKIPIF1<0的分布列．2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個，從袋中任取3個小球，每個小球被取出的可能性都相等，用SKIPIF1<0表示取出的3個小球上的最大數(shù)字．(1)求取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2)求隨機變量SKIPIF1<0的分布列．3．（2022·重慶市朝陽中學(xué)高二期中）一個箱子里裝有5個大小相同的球，有3個白球，2個紅球，從中摸出2個球．(1)求摸出的2個球中有1個白球和1個紅球的概率；(2)用X表示摸出的2個球中的白球個數(shù)，求X的分布列．4．（2022·山西省長治市第二中學(xué)校高二階段練習(xí)）甲乙參加英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6道題，乙能答對其中的8道題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3道題進行考試，至少答對2道題才算合格．(1)若一次考試中甲答對的題數(shù)是SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的概率分布列，并求甲合格的概率；(2)若答對1題得5分，答錯1題扣5分，記SKIPIF1<0為乙所得分?jǐn)?shù)，求SKIPIF1<0的概率分布列．題型三：離散型隨機變量的均值與方差角度1：期望、方差的計算典型例題例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）某網(wǎng)約車司機統(tǒng)計了自己一天中出車一次的總路程SKIPIF1<0（單位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它們出現(xiàn)的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的分布列，并求SKIPIF1<0的均值和方差；(2)若網(wǎng)約車計費細則如下：起步價為5元，行駛路程不超過3km時，收費5元，行駛路程超過3km時，則按每超出1km（不足1km也按1km計程）收費3元計費．試計算此人一天中出車一次收入的均值和方差．例題2．（2022·陜西西安·高二期末（理））如圖，小明家住SKIPIF1<0小區(qū)，他每天早上騎自行車去學(xué)校SKIPIF1<0上學(xué)，從家到學(xué)校有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩條路線，SKIPIF1<0路線上有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三個路口，每個路口遇到紅燈的概率均為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0路線上有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩個路口，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0路口遇到紅燈的概率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若走SKIPIF1<0路線，求遇到3次紅燈的概率；(2)若走SKIPIF1<0路線，變量SKIPIF1<0表示遇到紅燈次數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列及數(shù)學(xué)期望.例題3．（2022·貴州遵義·高二期末（理））不透明袋中裝有質(zhì)地，大小相同的4個紅球，SKIPIF1<0個白球，現(xiàn)從中不放回地取出2個球，若第一個取出的球是紅球，第二個取出的球是白球的概率為SKIPIF1<0．(1)求白球的個數(shù)SKIPIF1<0；(2)若有放回的取出兩個求，記取出的紅球個數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．例題4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知隨機變量SKIPIF1<0的分布列如表所示，且SKIPIF1<0．SKIPIF1<001SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(3)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．同類題型歸類練1．（2022·廣東·廣州市第十六中學(xué)高二期中）甲?乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投籃；已知每次投籃甲.乙命中的概率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求第三次由乙投籃的概率；(2)在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列；(3)求SKIPIF1<0的期望及標(biāo)準(zhǔn)差.2．（2022·廣東·廣州市玉巖中學(xué)高二期中）已知隨機變量SKIPIF1<0的分布列如下，SKIPIF1<0012PSKIPIF1<0ba(1)求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)當(dāng)a為何值時，SKIPIF1<0取最大值？并求出SKIPIF1<0的最大值.3．（2022·北京通州·高二期末）一個袋子中裝有8個大小相同的球，其中有5個紅球，3個白球．(1)從袋子中任取1個球，設(shè)隨機變量SKIPIF1<0，X的分布列及SKIPIF1<0；(2)從袋子中依次不放回的取出3個球作為樣本，用隨機變量Y表示紅球的個數(shù)，求Y的分布列及SKIPIF1<0．4．（2022·新疆·八一中學(xué)高二期末（理））袋中裝有大小相同的2個白球和3個黑球．(1)采取放回抽樣方式，從中依次摸出兩個球，求兩球顏色不同的概率；(2)采取不放回抽樣方式，從中依次模出兩個球，記SKIPIF1<0為摸出兩球中白球的個數(shù)，求SKIPIF1<0的期望和方差．角度2：決策問題典型例題例題1．（2022·陜西·寶雞市金臺區(qū)教育體育局教研室高二期末（理））為了響應(yīng)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)的號召，小李畢業(yè)后開了水果店，水果店每天以每個5元的價格從農(nóng)場購進若干西瓜，然后以每個10元的價格出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的西瓜作贈品處理．(1)若水果店一天購進16個西瓜，求當(dāng)天的利潤SKIPIF1<0（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量SKIPIF1<0（單位：個，SKIPIF1<0）的函數(shù)解析式；(2)水果店記錄了100天西瓜的日需求量（單位：個），整理得下表：日需求量SKIPIF1<014151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．①若水果店一天購進16個西瓜，SKIPIF1<0表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求SKIPIF1<0的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；②若水果店計劃一天購進16個或17個西瓜，你認為應(yīng)購進16個還是17個？請說明理由．例題2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高二期末）為迎接黨的“二十大”勝利召開，學(xué)校計劃組織黨史知識競賽.某班設(shè)計一個預(yù)選方案：選手從6道題中隨機抽取3道進行回答.已知甲6道題中會4道，乙每道題答對的概率都是SKIPIF1<0，且每道題答對與否互不影響.(1)分別求出甲、乙兩人答對題數(shù)的概率分布列；(2)你認為派誰參加知識競賽更合適，請說明你的理由.例題3．（2022·全國·高二專題練習(xí)）某公司全年圓滿完成預(yù)定的生產(chǎn)任務(wù)，為答謝各位員工一年來的銳意進取和辛勤努力，公司決定在聯(lián)歡晚會后，擬通過摸球兌獎的方式對500位員工進行獎勵，規(guī)定：每位員工從一個裝有4種面值的獎券的箱子中，一次隨機摸出2張獎券，獎券上所標(biāo)的面值之和就是該員工所獲得的獎勵額．(1)若箱子中所裝的4種面值的獎券中有1張面值為80元，其余3張均為40元，試比較員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率的大小；(2)公司對獎勵總額的預(yù)算是6萬元，預(yù)定箱子中所裝的4種面值的獎券有兩種方案：第一方案是2張面值20元和2張面值100元；第二方案是2張面值40元和2張面值80元．為了使員工得到的獎勵總額盡可能地符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎勵額相對均衡，請問選擇哪一種方案比較好？并說明理由．同類題型歸類練1．（2022·河北張家口·高二期末）已知投資甲?乙兩個項目的利潤率分別為隨機變量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.經(jīng)統(tǒng)計分析，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的分布列分別為表1：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0表2：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)若在甲?乙兩個項目上各投資100萬元，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別表示投資甲?乙兩項目所獲得的利潤，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望和方差，并由此分析投資甲?乙兩項目的利弊；(2)若在甲?乙兩個項目總共投資100萬元，求在甲?乙兩個項目上分別投資多少萬元時，可使所獲利潤的方差和最??？注：利潤率SKIPIF1<0.2．（2022·浙江·溫州市第八高級中學(xué)高二期中）某運動隊擬派出甲、乙兩人去參加自由式滑雪比賽．比賽分為初賽和決賽，其中初賽有兩輪，只有兩輪都獲勝才能進入決賽，已知甲在每輪比賽中獲勝的概率均為SKIPIF1<0；乙在第一輪和第二輪獲勝的概率分別是p和SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(1)甲、乙兩人中，誰進入決賽的可能性最大；(2)若甲、乙兩人中恰有1人進入決賽的概率為SKIPIF1<0，設(shè)進入決賽的人數(shù)為ξ，試比較ξ的方差與SKIPIF1<0大?。?．（2022·重慶·萬州純陽中學(xué)校高二