新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章 第10講 立體幾何與空間向量（綜合測(cè)試）（教師版）

第10講第七章立體幾何與空間向量（綜合測(cè)試）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（2022·黑龍江·大慶中學(xué)高一期末）一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的球面上，該正方體的棱長(zhǎng)為a，則球的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D正方體的對(duì)角線是球的直徑，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以球的表面積SKIPIF1<0故選：D.2．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高一期末）若水平放置的四邊形SKIPIF1<0按“斜二測(cè)畫(huà)法”得到如圖所示的直觀圖，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則原四邊形中SKIPIF1<0的長(zhǎng)度為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B解：過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,垂足為SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，所以原四邊形中SKIPIF1<0的長(zhǎng)度為2SKIPIF1<0.故選：B3．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））1750年，歐拉在給哥德巴赫的一封信中列舉了多面體的一些性質(zhì)，其中一條是：如果用V，E和F分別表示簡(jiǎn)單凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)，則有如下關(guān)系：SKIPIF1<0．已知一個(gè)正多面體每個(gè)面都是全等的等邊三角形，每個(gè)頂點(diǎn)均連接5條棱，則SKIPIF1<0（

）A．50 B．52 C．60 D．62【答案】D由已知條件得出SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：D．4．（2022·重慶長(zhǎng)壽·高二期末）如圖，在斜棱柱SKIPIF1<0中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ASKIPIF1<0-SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：A．5．（2022·山東濟(jì)南·高一期末）已知正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B設(shè)該正面體的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，所以有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根據(jù)異面直線所成角的定義可知直線BN與直線DM所成角的余弦值為SKIPIF1<0，故選：B6．（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】DSKIPIF1<0則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0故選：D7．（2022·湖北·石首市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖（1），在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上一點(diǎn)（不是端點(diǎn)），沿線段SKIPIF1<0將SKIPIF1<0折成SKIPIF1<0（如圖（2）），使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即二面角SKIPIF1<0的平面角，所以SKIPIF1<0．在圖（1）中，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，可知直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，與直線SKIPIF1<0的方程聯(lián)立解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．在圖（2）中，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進(jìn)而可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0．故選：D8．（2022·浙江·樂(lè)清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為a，E是棱SKIPIF1<0的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的（

）個(gè)．①若E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0②三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值SKIPIF1<0③E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)時(shí)，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角正切值為SKIPIF1<0④過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，C，E的截面的面積的范圍是SKIPIF1<0A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B如圖,以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(a,0,0)，C(a,a,0)，D(0,a,0)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.對(duì)于①：當(dāng)E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0.設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，不妨令x=1,則SKIPIF1<0，所以平面A1BD的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0.又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，所以直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0不成立.故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：三棱錐SKIPIF1<0的體積等于三棱錐SKIPIF1<0的體積.又SKIPIF1<0，高為a,所以SKIPIF1<0.故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：當(dāng)E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0.平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0.設(shè)直線B1E與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角正切值為SKIPIF1<0.故③正確；對(duì)于④：設(shè)SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上得到投影為SKIPIF1<0.所以點(diǎn)E到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.當(dāng)z=0，即D、E重合時(shí)，截面為矩形，其面積為SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，截面為等腰梯形.設(shè)截面交SKIPIF1<0于F.所以SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0，所以其面積為SKIPIF1<0.記SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減函數(shù)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0當(dāng)z=a，即D1、E重合時(shí)，截面為邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正三角形，其面積為SKIPIF1<0.綜上所述：SKIPIF1<0.故④正確.故選：B二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高一期末）下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．空間向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若空間四個(gè)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0三點(diǎn)共線C．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為鈍角D．任意向量SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0【答案】AB對(duì)于A：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有公共點(diǎn)，所以SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，故B正確；對(duì)于C：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為鈍角：則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不共線，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不共線得SKIPIF1<0，于是得當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為鈍角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的共線向量，而SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的共線向量，故D錯(cuò)誤，故選：AB10．（2022·遼寧·高一期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個(gè)不同的平面，m，n，l是三條不同的直線，則下列命題中正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】BC選項(xiàng)A：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0相交或SKIPIF1<0互為異面直線.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.判斷正確；選項(xiàng)C：設(shè)平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0設(shè)平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.判斷正確；選項(xiàng)D：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的位置關(guān)系為相交，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0.判斷錯(cuò)誤.故選：BC11．（2022·重慶南開(kāi)中學(xué)高一期末）如圖，將一副三角板拼成平面四邊形，將等腰直角SKIPIF1<0沿BC向上翻折，得三棱錐SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BC，BD的中點(diǎn)，M為線段AE上的動(dòng)點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在某個(gè)位置，使SKIPIF1<0B．存在某個(gè)位置，使SKIPIF1<0C．當(dāng)三棱錐SKIPIF1<0體積取得最大值時(shí)，AD與平面ABC成角的正切值為SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0【答案】ABCD解：當(dāng)平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0垂直時(shí)，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故AB正確；當(dāng)三棱錐SKIPIF1<0體積取得最大值時(shí)，頂點(diǎn)A到底面距離最大，即平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0垂直時(shí)，由上面可知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故AD與平面ABC成角為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C正確；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，如圖將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)，使其與SKIPIF1<0在同一平面內(nèi)，則當(dāng)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，SKIPIF1<0最小，即SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故D正確.故選：ABCD.12．（2022·廣東廣州·高二期末）正方形SKIPIF1<0，的棱長(zhǎng)為1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0垂直B．平面SKIPIF1<0截正方體所得的截面周長(zhǎng)為SKIPIF1<0C．在線段SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角是30°D．在棱SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離相等【答案】BD對(duì)A，由正方體的性質(zhì)，體對(duì)角線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0垂直，又平面SKIPIF1<0不平行于平面SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不垂直，A錯(cuò)；對(duì)B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0截正方體所得的截面為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0截正方體所得的截面周長(zhǎng)為SKIPIF1<0，B對(duì)；對(duì)C，SKIPIF1<0，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在等腰直角SKIPIF1<0上，易得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，命題不成立，C錯(cuò)；對(duì)D，若點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離相等，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，MN是SKIPIF1<0的中位線，故SKIPIF1<0上的點(diǎn)與C到MN的距離相等，SKIPIF1<0，故G在SKIPIF1<0點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0，命題成立，D對(duì)，故選：BD三?填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2022·湖南衡陽(yáng)·高二期末）已知某圓錐的底面周長(zhǎng)為4π，側(cè)面積為2SKIPIF1<0π，則該圓錐的體積為_(kāi)______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則該圓錐的高SKIPIF1<0，故該圓錐的體積為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<014．（2022·遼寧撫順·高一期末）已知SKIPIF1<0的頂點(diǎn)都在半徑為SKIPIF1<0的球SKIPIF1<0的球面上，球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積為_(kāi)__________.【答案】SKIPIF1<0解：在底面SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，所在SKIPIF1<0外接圓的半徑SKIPIF1<0，如圖，即SKIPIF1<0球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.15．（2022·廣西桂林·高一期末）十月一日是國(guó)慶節(jié)，也是小明爸爸的生日，小明到商店買(mǎi)了一個(gè)生日蛋糕和家人一起慶祝．賣(mài)蛋糕的售貨員說(shuō)，商店有圖①和圖②兩種捆扎方式供你選擇，但捆扎用的彩帶要根據(jù)帶子的長(zhǎng)度另外付費(fèi)．你選擇哪種捆扎方式？小明經(jīng)過(guò)計(jì)算，很快作出了自己的選擇．售貨員聽(tīng)后直夸小明聰明．說(shuō)，你選擇的捆扎方式比另一種所用的彩帶短，所需的費(fèi)用少，那么，小明選擇的捆扎方式是________(注：填圖①或圖②)．【答案】圖①由給定的幾何體及生活實(shí)際知，蛋糕盒是正四棱柱，設(shè)其底面正方形邊長(zhǎng)為a，高為b，圖②所用彩帶總長(zhǎng)為SKIPIF1<0，對(duì)于圖①，令彩帶與包裝盒的棱的部分公共點(diǎn)如圖，過(guò)E作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于F，由圖①的幾何體及對(duì)稱(chēng)性知，SKIPIF1<0，則彩帶總長(zhǎng)為SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，所以圖①所用彩帶總長(zhǎng)比圖②所用彩帶總長(zhǎng)短，所需的費(fèi)用少.故答案為：圖①16．（2022·河北保定·高一期末）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成角的正切值為2.已知螞蟻從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，沿著側(cè)面SKIPIF1<0走到SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，再沿著側(cè)面SKIPIF1<0繼續(xù)走到棱SKIPIF1<0上，則這只螞蟻從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)到達(dá)棱SKIPIF1<0的最短路程為_(kāi)______米，這只螞蟻的最短路線與SKIPIF1<0的交點(diǎn)到底面SKIPIF1<0的距離為_(kāi)_____米.【答案】

2SKIPIF1<0

SKIPIF1<0##1.5因?yàn)锳B⊥平面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD，又AB=4米，BC=3米，所以AC=5米.因?yàn)锳D與底面BCD所成的角為∠ADB，所以tan∠ADB=SKIPIF1<0=2，所以BD=2米.將側(cè)面ABD翻折至與平面ABC共面，如圖所示.AC=CD=5米，AD=2SKIPIF1<0米，取AD的中點(diǎn)E，連接CE，交AB于F，則CE⊥AD，螞蟻的最短路線為C→F→E，最短路程為CE=2SKIPIF1<0米，最短路線與AB的交點(diǎn)為F.取BD的中點(diǎn)G，連接EG，則EG=SKIPIF1<0AB=2米，BG=SKIPIF1<0BD=1米，根據(jù)△CBF∽△CGE，得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則FB=SKIPIF1<0EG=SKIPIF1<0，故這只螞蟻的最短路線與AB的交點(diǎn)到底面BCD的距離為SKIPIF1<0米.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.）17．（2022·內(nèi)蒙古包頭·高一期末）如圖，三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求三棱柱SKIPIF1<0的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0(1)證明：取BC中點(diǎn)O，連接OA，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等邊三角形．所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．(2)在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．同理，SKIPIF1<0．又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面ABC．所以SKIPIF1<018．（2022·四川·遂寧中學(xué)高一期末）如圖，正方體SKIPIF1<0，其外接球與內(nèi)切球的表面積之和為SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0與正方體的面相交，交線圍成一個(gè)正三角形.(1)在圖中畫(huà)出這個(gè)正三角形（不必說(shuō)明畫(huà)法和理由）；(2)平面SKIPIF1<0將該正方體截成兩個(gè)幾何體，求體積較大的幾何體的體積和表面積.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)解：連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為所求三角形（作法不唯一），如圖所示(2)解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，正方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，正方體的棱長(zhǎng)即為內(nèi)切球的直徑，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0將正方體截成三棱錐SKIPIF1<0和多面體SKIPIF1<0兩部分，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此體積較大的幾何體是多面體SKIPIF1<0，其體積為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故多面體SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0.19．（2022·湖南衡陽(yáng)·高二期末）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為PA，BC的中點(diǎn)．(1)證明：EF∥平面PCD(2)若PD⊥平面ABCD，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求直線AF與平面DEF所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0(1)證明：取PD的中點(diǎn)G，連接CG，EG，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PA，BC的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，又底面ABCD為菱形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以四邊形EGCF為平行四邊形，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面PCD．SKIPIF1<0平面PCD，所以EF//平面PCD．(2)解：連接SKIPIF1<0，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，SKIPIF1<0平面ABCD，所以SKIPIF1<0，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等邊三角形，因?yàn)镕為BC的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0兩兩垂直，所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以D（0，0，0），F(xiàn)(SKIPIF1<0，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），則SKIPIF1<0．設(shè)平面DEF的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．設(shè)直線AF與平面DEF所成的角為θ，則SKIPIF1<0，所以直線AF與平面DEF所成角的正弦值為SKIPIF1<020．（2022·海南·瓊海市嘉積第二中學(xué)高二期中）如圖1，四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為側(cè)棱SKIPIF1<0上靠近點(diǎn)SKIPIF1<0的四等分點(diǎn)．(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0(1)證明：取SKIPIF1<0上取一點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由題知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)解：因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，易知平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，由圖可知，二面角SKIPIF1<0的平面角為銳角，故二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.21．（2022·北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí)）圖1是直角梯形SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的菱形，并且SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為折痕將SKIPIF1<0折起，使點(diǎn)SKIPIF1<0到達(dá)SKIPIF1<0的位置，且SKIPIF1<0，如圖2.(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0？若存在，求出直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)存在點(diǎn)SKIPIF1<0且為SKIPIF1<0的中點(diǎn)；SKIPIF1<0.(1)證明：如圖所示：在圖1中連接AC，交BE于O，因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的菱形，并且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，在圖2中，相交直線SKIPIF1<0均與BE垂直，所以SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)由（1）分別以SKIPIF1<0為x，y，z建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0