高中數(shù)學(xué)絕對值不等式的解法

絕對值不等式的解法2024/8/22南粵名?！虾Ｖ袑W(xué)一、知識聯(lián)系1、絕對值的定義|x|=x,x>0－x,x<00,x=02、絕對值的幾何意義0x|x|x1x|x－x1|2024/8/22南粵名?！虾Ｖ袑W(xué)3、函數(shù)y＝|x|的圖象y=|x|=x,x>0－x,x<00,x=0oxy11－12024/8/22南粵名?！虾Ｖ袑W(xué)二、探索解法探索：不等式|x|<1的解集。方法一：利用絕對值的幾何意義觀察方法二：利用絕對值的定義去掉絕對值符號，需要分類討論方法三：兩邊同時平方去掉絕對值符號方法四：利用函數(shù)圖象觀察這是解含絕對值不等式的四種常用思路

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42024/8/22南粵名?！虾Ｖ袑W(xué)0-1不等式|x|<1的解集表示到原點的距離小于1的點的集合。1所以，不等式|x|<1的解集為{x|-1<x<1}探索：不等式|x|<1的解集。方法一：利用絕對值的幾何意義觀察2024/8/22南粵名?！虾Ｖ袑W(xué)探索：不等式|x|<1的解集。①當x≥0時，原不等式可化為x＜1②當x＜0時，原不等式可化為－x＜1，即x＞－1∴0≤x＜1∴－1＜x＜0綜合①②得，原不等式的解集為{x|－1<x<1}方法二：利用絕對值的定義去掉絕對值符號，需要分類討論2024/8/22南粵名?！虾Ｖ袑W(xué)探索：不等式|x|<1的解集。對原不等式兩邊平方得x2<1即x2－1<0即(x+1)(x－1)<0即－1<x<1所以，不等式|x|<1的解集為{x|-1<x<1}方法三：兩邊同時平方去掉絕對值符號2024/8/22南粵名?！虾Ｖ袑W(xué)oxy11－1探索：不等式|x|<1的解集。從函數(shù)觀點看，不等式|x|<1的解集表示函數(shù)y=|x|的圖象位于函數(shù)y=1的圖象下方的部分對應(yīng)的x的取值范圍。y=1所以，不等式|x|<1的解集為{x|-1<x<1}方法四：利用函數(shù)圖象觀察2024/8/22南粵名校——南海中學(xué)如果c是正數(shù)，那么①②0-cc①②②題型1:如果c是正數(shù)，那么①②題型2:2024/8/22南粵名?！虾Ｖ袑W(xué)題型3:形如n＜|ax+b|＜m(m＞n＞0)不等式等價于不等式組①②-m-nnm0①②2024/8/22南粵名校——南海中學(xué)①|(zhì)f(x)|<g(x)型不等式|f(x)|<g(x)?-g(x)<f(x)<g(x),②|f(x)|>g(x)型不等式|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)題型4:題型5:含有多個絕對值的不等式的解法－－－零點分段法|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式2024/8/22南粵名?！虾Ｖ袑W(xué)例1、(1)不等式|x－1|＜2的解集是_____.【解析】由|x－1|＜2得－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.答案：(－1,3)(2)不等式|4－3x|≥2的解集是_____.【解析】|4－3x|≥2?|3x－4|≥2?3x－4≤－2或3x－4≥2，解得或x≥2.答案：三、例題講解

2024/8/22南粵名?！虾Ｖ袑W(xué)三、例題講解

例2、解不等式3<|3-2x|≤5.03-142024/8/22南粵名?！虾Ｖ袑W(xué)三、例題講解

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解不等式3<|3-2x|≤5.2024/8/22南粵名?！虾Ｖ袑W(xué)三、例題講解

例2

解不等式3<|3-2x|≤5.03-142024/8/22南粵名校——南海中學(xué)例3、解不等式|2x－1|<2－3x.三、例題講解

形如|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x)型不等式.①|(zhì)f(x)|<g(x)?-g(x)<f(x)<g(x),②|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)2024/8/22南粵名?！虾Ｖ袑W(xué)例4、解不等式591解：三、例題講解

平方法2024/8/22南粵名?！虾Ｖ袑W(xué)例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.三、例題講解

題型：|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法.【思路點撥】可用零點分段討論，可用圖象法，也可用絕對值幾何意義求解．2024/8/22南粵名校——南海中學(xué)方法一：當x≤-1時,原不等式可以化為-(x+1)-(x-1)≥3,解得當-1＜x＜1時,原不等式可以化為x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,無解.當x≥1時,原不等式可以化為x+1+x-1≥3.所以綜上,可知原不等式的解集為例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.2024/8/22南粵名?！虾Ｖ袑W(xué)方法二：將原不等式轉(zhuǎn)化為|x+1|+|x-1|-3≥0.構(gòu)造函數(shù)y=|x+1|+|x-1|-3,即作出函數(shù)的圖象(如圖).函數(shù)的零點是從圖象可知當或時,y≥0.即|x+1|+|x-1|-3≥0.所以原不等式的解集為例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.2024/8/22南粵名?！虾Ｖ袑W(xué)解：方法三：如圖,設(shè)數(shù)軸上與-1,1對應(yīng)的點分別為A,B,那么A,B兩點間的距離為2,因此區(qū)間［-1,1］上的數(shù)都不是不等式的解.設(shè)在A點左側(cè)有一點A1到A,B兩點的距離和為3,A1對應(yīng)數(shù)軸上的.同理設(shè)B點右側(cè)有一點B1到A,B兩點的距離和為3，B1對應(yīng)數(shù)軸上的,從數(shù)軸上可看到，點A1的左邊或點B1的右邊的任何點到A，B的距離之和都大于3，所以原不等式的解集是例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.2024/8/22南粵名?！虾Ｖ袑W(xué)小結(jié)：|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法.(1)利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想,理解絕對值的幾何意義,給絕對值不等式以準確的幾何解釋.(2)以絕對值的零點為分界點,將數(shù)軸分為幾個區(qū)間,利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)分類討論的思想.確定各個絕對值符號內(nèi)多項式的_______性，進而去掉絕對值符號.(3)通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.正確求出函數(shù)的_____并畫出函數(shù)圖象(有時需要考查函數(shù)的增減性)是關(guān)鍵.

正、負零點2024/8/22南粵名?！虾Ｖ袑W(xué)

(1)對任意x∈R，若|x－3|＋|x＋2|>a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．(2)關(guān)于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|的解集非空，求實數(shù)a的取值范圍．(3)關(guān)于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|在R上無解，求實數(shù)a的取值范圍．形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)a恒成立的問題例6【思路點撥】

對(1)(2)(3)來說，問題的關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化，求出函數(shù)f(x)＝|x－3|＋|x＋2|的最值,則問題獲解．2024/8/22南粵名校——南海中學(xué)【解】

(1)問題可轉(zhuǎn)化為對一切x∈R恒有a<f(x)?a<f(x)min，

∵f(x)＝|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，即f(x)min＝5，∴a<5.(2)問題可轉(zhuǎn)化為a>f(x)的某些值，由題意a>f(x)min，同上得a>5.(3)問題可轉(zhuǎn)化為對一切x∈R恒有a≤f(x