人教A版新教材高中數(shù)學(xué)第二冊學(xué)案2：6. 2 . 4 向量的數(shù)量積

6.2.4向量的數(shù)量積

『課標(biāo)要求』

課程標(biāo)準(zhǔn)：1.通過物理中功等實例,理解平面向所數(shù)量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數(shù)量:積.2.通過幾何直

觀,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.

教學(xué)重點：1.平面向量數(shù)呈積的含義與幾何意義.2.向星數(shù)呈積的性質(zhì)與運算律及其應(yīng)用.

教學(xué)難點:1.平面向量數(shù)量積的概念.2.平面向量數(shù)量積的運算律的證明.

『知識導(dǎo)學(xué)J

知識點一向量的夾角

條件兩個通］非零向量。和

O是平面上的任意一點，作Kb/

產(chǎn)生=a.Q^=b.則＞NAO8叫做.

過程向量a與b的夾角（合一"1

范圍

0=0a與b畫同向

特殊

a與b眄1垂直，記作畫aj_b

情況

0=ita與b啦!反向

知識點二向量數(shù)量積的概念

已知條件兩個非零向量a與b.它們的夾角為。

晅數(shù)量1al1b|cos。叫做向量a與8的數(shù)量積

定義

（或內(nèi)積）

記法a?b=\a\\b\cos。

規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為靶

知識點三投影向量

如圖1,設(shè)a,8是兩個非零向量，AB=a,CD=b,我們考慮如下的變換：過4B的起點A

和終點B,分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為4,Bi，得到AiB，我們稱上述變換為

向量a向向量b里，4百叫做向量a在向量b上的磐.

?

如圖2,我們可以在平面內(nèi)任取一點0,作0M=a,0N=Z>.過點例作直線ON的垂線，垂

足為Mi，則。Mi就是向量a在向量6上的投影向量.

知識點四向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運算律

（1）向量的數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是仇e是與b方向相同的單位向量，則

①a?e=e-a=批.

②小修四

③當(dāng)“與8同向時，國.

當(dāng)a與b反向時，ab=^.

④。a=面或⑷="7^=V?.

⑤8$。=西

@|a-Z>|S|?||Z>|.

（2）向量數(shù)量積的運算律

①例（交換律）.

②（癡）仍=笆=母結(jié)合律）.

③H（分配律）.

「新知拓展J

1.對數(shù)量積的理解

（1）求a,5的數(shù)量積需知道三個量，即⑷，|加及a,b的夾角，這三個量有時并不是直接給出

來的，需根據(jù)題意去巧妙求解.

(2)兩個向量的數(shù)量積是兩個向量之間的運算，其結(jié)果不再是向量，而是數(shù)量，它的符號由

夾角確定，當(dāng)夾角為銳角或。時，符號為正；當(dāng)夾角為鈍角或兀時，符號為負；當(dāng)夾角為直

角時，其值為零.

向量的投影是一個數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負，也可為零.

(3)兩個向量?的數(shù)量積與代數(shù)中兩個數(shù)”，〃的乘積必是兩碼事，但表面看來又有點相

似，因此要注意兩個向量?的數(shù)量積是記作ab,中間的實心小圓點不能省略，也不能把

實心小圓點用乘號“X”代替，寫成aXb.

2.要靈活掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)

(\)a±b^ab=O,既可以用來證明兩向量垂直，也可以由垂直進行有關(guān)計算.

(2)a-a=a2=\a\2與|0=祠=4滔也用來求向量的模，以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)

化.

(3)用8$。=箭求兩向量的夾角，且夾角的取值與ab的符號有關(guān).

設(shè)兩個非零向量a與b的夾角為仇則

當(dāng)0=0時，cos0=l,a-b=\a\\b\；

當(dāng)0為銳角時,cosft>0,ab>0；

當(dāng)6?為鈍角時,cos6k0,ab<0；

當(dāng)6為直角時，cos(9=0.ab=0；

當(dāng)6=兀時,cos0=—1,ab=—\a\\b\.

(4)|a3|W|a||b|可以用來通過構(gòu)造向量來證明不等式問題或解決最值問題.

(5)①向量的數(shù)量積不滿足消去律：若a,b,c均為非零向量，且oc="c,但得不到a=A.

②(a彷)c#a("c).

『評價自測』

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)若a力=a-c且aWO,則》=c.()

(2)若0乃=0,則a=0或6=0.()

(3)^a±b,則a,=0.()

(4)向量a在b上的投影向量是一個模等于|acos，|(6是a與b的夾角)，方向與b相同或相反

的一個向量.()

2.做一做

(1)若向量“，力的夾角為30。，則向量一a,一〃的夾角為()

A.60°B.30°C.120°D.150°

(2)已知向量。和向量力的夾角為30。，⑷=2,制=正，則向量a和向量6的數(shù)量積

(3)已知向量a,b滿足步|=2,a與b的夾角為60°,設(shè)占在a上的投影向量是c,則|c|=.

(4)若向量a,b的夾角為120。，|a|=l,步|=3,貝ij|5a—臼=.

「題型探究』

題型一平面向量數(shù)量積的概念

例1(1)已知a,兒c是三個非零向量，則下列命題中真命題的個數(shù)是()

①|(zhì)a2|=|a||b|=a〃岳

②a,)反向0a-b=一⑷回；

③aJ_/>Q|a+Z>|=|a一例；

④⑷=|臼=|℃|=|"c|.

A.1B.2C.3D.4

(2)已知⑷=5,|臼=2,若：①a〃6?alb；③a與方的夾角為30。.分別求

『規(guī)律方法」

(1)求平面向量的數(shù)量積的一般步驟

(2)a與b垂直當(dāng)且僅當(dāng)ab=0.

(3)非零向量a與b共線當(dāng)且僅當(dāng)a-b—±\a\\b\.

『跟蹤訓(xùn)練1J

(1)已知下列命題：

①若層+〃=0,則Q=b=o；②已知a,b,c是三個非零向量，若a+5=0,則|℃|=|"d；

③同向＜a?b；?a-a-a=|a|3；⑤若向量a,6滿足a仍＞0,則a與5的夾角為銳角.

其中判斷正確的是.

(2)給出下列命題：

—?—?

①在△ABC中，若AB-8C＜0,則△48C是銳角三角形；

—?—?

②在△4BC中，若AB8C0,則△4BC是鈍角三角形；

―?-?

③△ABC是直角三角形=AaBC=0.

其中，正確命題的序號是.

題型二投影向量

例2如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=2,NABC=30。，。為BC的中點.

?I)C

⑴求BA在CD上的投影向量;

-A-A

(2)求CQ在BA上的投影向量.

［規(guī)律方法J

求一個向量在另一個向量上的投影向量時，關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)拇咕€，根據(jù)題意確定向量的模

及兩向量的夾角.

r跟蹤訓(xùn)練21

—?—?—?—?—?—?—?

在△ABC中，己知|A8|=|AC|=6,且4B-AC=18,則84在3c上的投影向量為(用BC

表示).

題型三平面向量數(shù)量積的運算

例3(1)已知同=4,|*|=5,且向量a與舟的夾角為60。,求(2a+3b>(3a-2b)：

—?—?

(2)在RtZXABC中,ZC=90°,AB=5,AC=4,求ABAC.

『綜合探究」將本例改為：(1)已知⑷=4,|“=5,且向量a,b的夾角為30°,求(2a+3b)(3a

-2b)；

—?—?

(2)在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,求A88C.

『規(guī)律方法」向量數(shù)量積的求法

(1)求兩個向量的數(shù)量積，首先確定兩個向量的模及兩個向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩個向

量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵.

(2)根據(jù)數(shù)量積的運算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運算類似于多項式的乘法運算.

『跟蹤訓(xùn)練3J

—?―?―?—?

如圖，在△ABC中，。是BC的中點，E,尸是AO上的兩個三等分點，BACA=4,BFCF=

-1,則BECE的值是

題型四與向量模有關(guān)的計算

例4已知向量a,b的夾角為60。，且|a|=2,向=1,若c=2af,d=a+2b,求:

⑴cd：

⑵|c+2dl.

『規(guī)律方法」求向量的模的常見思路及方法

(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2=\a\2,勿忘記開方.

(2)“刈=/=同2或同=而，可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化.

『跟蹤訓(xùn)練4J

TT

己知⑷=|臼=5,向量a與方的夾角為求|a+Z>|,la—bj.

題型五兩向量的夾角問題

例5已知|a|=2,\b\=\,“與匕的夾角為60。，求向量/n=2@+b與向量“=a—45的夾角

的余弦值.

「規(guī)律方法J求向量a與b夾角的思路

(1)求向量夾角的關(guān)鍵是計算ab及⑷向，在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計算cos6=

儡p最后借助9?『0,?！唬蟪?的值.

(2)在個別含有⑷，向與a力的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計算cos。的值.

「跟蹤訓(xùn)練5」

已知向量a,b滿足(a+2)>(a—。)=-6,且|a|=l,\b\=2,則。與5的夾角為.

題型六兩向量的垂直問題

例6已知向量a,5不共線，且|2a+b|=|a+2加,求證：(a+b)_L(a—6).

『規(guī)律方法」求(證明)兩向量垂直的基本步驟

(1)計算ab的值;

(2)若為零，則aJ_b,否則不垂直.

f跟蹤訓(xùn)練6J

己知⑷=1,步|=2,“一6與a垂直，求當(dāng)你為何值時，依a-b)，(a+2b)?

『隨堂達標(biāo)』

1.已知非零向量a，b,若a+2b與a—23互相垂直，則號=()

A.〃B.4C.；D.2

—?—?―?―?―?

2.在△ABC中，若A8-BC+AB2=0,則BC在BA上的投影向量為()

—?—?-?―>■

A.BAB.^ABC.ACD.1c4

3.己知向量a,b滿足同=2,步|=1,(a-b)b=Q,那么向量a與b的夾角為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

—>—?—?-A

4.已知△ABC是邊長為啦的等邊三角形，貝ijBCC4+4B8C=.

5.已知|a|=l,ab=^,(a+b)-(a—b)—^.

(1)求步|的值;

(2)求向量a-b與a+b夾角的余弦值.

★參*考*答*案★

「知識導(dǎo)學(xué)」

知識點三投影向量

投影投影向量

知識點四向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運算律

⑴①|(zhì)a|cos。

②。6=0

③同網(wǎng)一同步I

@|a|2

⑥W

(2)@ab—ba

@X(ab)a-(Ab)

@(a+b)c=ac+bc.

『評價自測』

1.r答案J(l)x(2)X(3)J(4)V

2.「答案」(1)B(2)3(3)1(4)7

『題型探究」

題型一平面向量數(shù)量積的概念

例1

［「解析」」(1)①力=同網(wǎng)cos仇.,.由|。物=|。|向及。，一均為非零向量可得|cosO|=L

；.9=0或。=兀，；.a〃b,且以上各步均可逆，故命題①是真命題；②若a,b反向,則a,

h的夾角為it,.*.a-Z>=|a||i|cos7t=—且以上各步均可逆，故命題②是真命題；③當(dāng)a

，力時，將向量a，8的起點確定在同一點，則以向量”，?為鄰邊作平行四邊形，則該平行

四邊形一定為矩形，于是它的兩對角線的長度相等，即有|a+D|=|a—臼.反過來，若應(yīng)+臼=

\a-b\,則以a,b為鄰邊的平行四邊形為矩形，..?。，人因此命題③也是真命題；④當(dāng)同

=|可但是Q與c的夾角和6與c的夾角不等時，就有|a-c|r|"c|.反過來，由|a?c|=|Zrc|也推不

出|a|=|例,故命題④是假命題.故選C.

(2)①當(dāng)a〃b時，若。與b同向，則它們的夾角為0。，

“力=|a||b|cos0°=5X2X1=10；

若a與B反向，則它們的夾角為180°,

二a亦=|a||例cos180°=5X2X(-l)=-10.

②當(dāng)a_Lb時，則它們的夾角為90。，：.ab=|a||*|cos90°=5X2X0=0.

③當(dāng)a與b的夾角為30。時，a力=|a||臼cos3(T=5X2X牛=55.

「「答案」」(DC⑵見『解析』

『跟蹤訓(xùn)練1J

［答案」⑴①②⑵②

『解析」(1)對于①，,.,/+從=0,.?.⑷2+向2=0,.?.同=|臼=0,，a=b=0,故①正確；

對于②，：a+b=0,二。與5互為相反向量，設(shè)a與c的夾角為仇則6與c的夾角為兀一

0,則ac=|a||c|cos0>"c=|臼|c|cos(兀-6)=一|b||c|cos。，\a-c\=\b-c\,故②正確：對于③，

由于|a?例=|a||A||cose|W|a||b|,故③錯誤；對于④，由于aaa—^a,其結(jié)果為向量，故④錯

誤；對于⑤，當(dāng)a與b為同向的非零向量時，ob=|a||“cosO=|a||Z)|>0,但夾角不是銳角，故

⑤錯誤.

(2)利用向量數(shù)量積的符號，可以判斷向量的夾角是銳角、直角，還是鈍角.

—?—?—?—?—?-?

?'：ABBC<0,：.BABC^-ABBC>0,

???N8是銳角，但并不能斷定其余的兩個角也是銳角.

所以推不出△A8C是銳角三角形.故命題①是假命題.

—?—*—?—?—>—?

：.BABC=~ABBC<0,

/B是鈍角，因而AABC是鈍角三角形.故命題②是真命題.

③若aABC是直角三角形，則直角可以是NA,也可以是NB,ZC.

而ABBC=0僅能保證是直角.故命題③是假命題.

題型二投影向量

例2

「解J(1)如圖，連接AD

?.?。為BC的中點，AB=AC,J.ADLBC.

設(shè)與CO同方向的單位向量為e.

—?—?

又BD=DC=?且BA與CO的夾角為150。，

-A

―?—?—?―?―?

CD

：.54在CD上的投影向量為|BA|cos150°e=一小e=一小二~=一CD=BD.

\CD\

(2)如圖，延長C8至點例，使8M=C￡>,

過點M作AB延長線的垂線MN,并交AB的延長線于點N.

A

3

易知8M=C。，8N=/.C。在84上的投影向量即為8M在B4上的投影向量.

—?—?

3

又MN1BN,BN=&,3M與A4的夾角為150。，

-?—?—?—?

3

故8M在84上的投影向量為BN=一/A,

—?—?-?

3

即C力在B4上的投影向量為一]BA.

『跟蹤訓(xùn)練2J

—?

「答案」|BC

—?—?—?—?

,

『解析」設(shè)乙4=aAB-AC=\AB\\AC\cosO=\Sf.*.cos0=2?*?^—60°.

—?—?

又...△4BC為等邊三角形.

過點4作AD1BC交BC于點D則BD=DC.

—?—?―?—?

故BA在BC上的投影向量為3D,即為48c.

題型三平面向量數(shù)量積的運算

例3

「解」(1)(2。+3b)Oa-2b)=6a2~4ab+9ab~6b2

=6X42+5X4X5XCOS600-6X52=-4.

4

(2)AB-AC=|AB|HC|cosZBAC=5X4X^=16.

［綜合探究」

解(l)(2a+3Z>)-(3a-2b)=6a2+5ab~6b2

=6X42+5X5X4Xcos30°—6X52=5075—54.

(2)在RtZiABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,故BC=3,

-A-?

3

且cosNA8C=§,A8與BC的夾角。=180。一乙48。，

―?—?—?-?

3

故ABBC=一|4陰18cleos/ABC=-5X3Xg=-9.

「跟蹤訓(xùn)練3J

7

-

8

「解析J解法一：設(shè)8O=a,DF=b,則84c4=(。+3。)?(一。+3b)=9步產(chǎn)一間2=4,BFCF

—>—?

135

=(〃+》).(-a+b)=|例2-同2=一］,解得國2=|例2=則3ECE=(a+2b)?(—°+2彷=4步|2

OO

-|a|2=1-

解法二：設(shè)AB=a,AC=b,根據(jù)題意有

rff

B4C4=Q)=4,"a〃=4,

22

~2(a+b)+5a-b=-91

<8尸9尸=像等)&等)=-1,整理得j__

—5(a2+b2)+26ab

BE,CE=-----------晨-----,

、3o

、BECE=僅磊)(9-汕

527

一"*2X(-9)+f><47

T'是BE?CE=Q7='Q-

題型四與向量模有關(guān)的計算

例4

「解」因為向量a與b的夾角為60。，同=2,|Z>|=1,

所以06=同處:。$60。=1,因為c=2a-"d=a+2b.

(l)cd=(2a—"-(a+2b)=2，+3a歷一2尻=2⑷2+3Xl-2|5|2=2X22+3-2X12=9.

(2)因為c+2d=(2a—b)+2(a+2b)=4a+3b,

(c+2團2=(4。+3力2=]6a2+24。0+9〃=i6|aF+24X1+9|肝=16X2?+24X1+9X1=97,

所以|c+2rfF=97,所以|c+2rf|=亞.

「跟蹤訓(xùn)練4」

例5

「解」a乃=2XlXcos600=l,

|/n|2=|2a+Z>|2=4|a|2+4a-Z>+|Z>|2=4X22+4Xl+l=21,

|n|2=|a-4/>|2=|a|2-8a-*+16|/>|2=22-8X1+16X1=12,

\m\=^21,\n\=2y[3,

m"=(2a+b>(a-46)=2|aF—7ab—4|A|2=2X22-7X1-4X1=-3.

設(shè)機，”的夾角為仇m-n=\m\\n\cos6,

-3=-\[2\X2小Xcos仇即cos8=一蟲.

『跟蹤訓(xùn)練5」

「答案」!

『解析」設(shè)。與〃的夾角為仇依題意有(a+2b>(a—方)=/+。6一2廬=-7+2cos9=一

17T

6,所以cos8=],因為OWeWn,故。=多

題型六兩向量的垂直問題

例6

「證明」'：\2a+b\=\a+2b\,A(2a+ft)2=(a+2f