人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)-10.1 隨機(jī)事件與概率【導(dǎo)學(xué)案】

10.1隨機(jī)事件與概率知伿概要1.隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)事件可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個(gè);每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè),但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.2.樣本點(diǎn)和樣本空間通常情況下,我們用表示樣本空間,用表示樣本點(diǎn).3.事件的分類(1)隨機(jī)事件:是樣本空間的子集,簡(jiǎn)稱“事件”,只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.(2)必然事件:作為自身的子集,包含了所有的樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生,所以總會(huì)發(fā)生,我們稱為必然事件.(3)不可能事件:空集不包含任何樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生,我們稱為不可能事件.4.古典概型一般地,如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是有限的(簡(jiǎn)稱為有限性),而且可以認(rèn)為每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性是相等的(簡(jiǎn)稱為等可能性),則將這樣的隨機(jī)試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn),其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型(簡(jiǎn)稱為古典概型).5.概率的性質(zhì)性質(zhì)1:對(duì)任意的事件,都有.性質(zhì)2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為,即.性質(zhì)3:如果事件與事件互斥,那么 推廣:如果事件兩兩互斥,那么事件發(fā)生的概率等于這個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和,即.性質(zhì)如果事件和事件互為對(duì)立事件,那么.性質(zhì)5:如果,那么.性質(zhì)6:設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,我們有.高妙思想【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件:(1)中國(guó)運(yùn)動(dòng)員將在下屆奧運(yùn)會(huì)上獲得首枚金牌;(2)三角形的兩邊之和大于第三邊;(3)沒(méi)有空氣和水,人類可以生存下去;(4)下屆奧運(yùn)會(huì)上,我國(guó)運(yùn)動(dòng)員取得的金牌數(shù)排名第一;(5)無(wú)論科學(xué)技術(shù)多少發(fā)達(dá),“永動(dòng)機(jī)”都不會(huì)出現(xiàn).解析由題意知,(1)(4)中事件可能發(fā)生,也可能不發(fā)生,所以是隨機(jī)事件.(2)所有三角形的兩邊之和都大于第三邊,所以是必然事件.(3)空氣和水是人類生存的必要條件,沒(méi)有空氣和水,人類無(wú)法生存,所以是不可能事件.(5)由能量守恒定律可知,不需任何能量的“永動(dòng)機(jī)”不會(huì)出現(xiàn),所以是必然事件.點(diǎn)睛判斷一個(gè)事件是哪類事件的方法:一看條件,因?yàn)槿N事件都是相對(duì)于一定條件而言的;二看結(jié)果是否發(fā)生,一定發(fā)生的是必然事件,不一定發(fā)生的是隨機(jī)事件,一定不發(fā)生的是不可能事件.【例2】同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,記轉(zhuǎn)盤甲得到的數(shù)為,轉(zhuǎn)盤乙得到的數(shù)為,結(jié)果為.（1）寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間;（2）求這個(gè)試驗(yàn)包含的樣本點(diǎn)的總數(shù);（3）用集合表示下列事件:=1\*GB3①;=2\*GB3②,且”;=3\*GB3③"".解析(1),.(2)樣本點(diǎn)總數(shù)為16.(3)(1)“”包含以下4個(gè)樣本點(diǎn):.所以.(2)“,且”包含以下6個(gè)樣本點(diǎn):.所以,.(3)“”包含以下3個(gè)樣本點(diǎn):,.所以.點(diǎn)睛本題關(guān)鍵是不漏不重,用枚舉的方法去計(jì)算要求的指定事件.【例3】在試驗(yàn)“連續(xù)拋鄭一枚硬幣3次,觀察落地后正面、反面出現(xiàn)的情況”中,設(shè)事件表示隨機(jī)事件“第一次出現(xiàn)正面”,事件表示隨機(jī)事件“3次出現(xiàn)同一面”,事件表示隨機(jī)事件“至少1次出現(xiàn)正面”.(1)試用樣本點(diǎn)表示事件,(2)試用樣本點(diǎn)表示事件,(3)試判斷事件與與與是否為互斥事件.解析用代表“出現(xiàn)正面”,用代表“出現(xiàn)反面”.,THT,TTH,TTT},,，,.(1),,,THH,THT,TTH,.(2)THH,THT,TTH,TTT,,,(3)因?yàn)镠HH,HHT,HTT,HTH,所以與不互斥,與不互斥,與不互斥.變式1:（多選)下列各組事件中是互斥事件的是（）A.一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊,命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6B.統(tǒng)計(jì)一個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī),平均分不低于90分與平均分不高于90分C.播種100粒菜籽,發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒D.檢驗(yàn)?zāi)撤N產(chǎn)品,合格率高于與合格率低于解析對(duì)于,一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊,命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6不可能同時(shí)發(fā)生,故中兩事件為互斥事件.對(duì)于,設(shè)事件為平均分不低于90分,事件為平均分不高于90分,則為平均分等于90分,可能同時(shí)發(fā)生,故它們不是互斥事件.對(duì)于C，播種菜籽100粒,發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒不可能同時(shí)發(fā)生,故中兩事件為互斥事件.對(duì)于,檢驗(yàn)?zāi)撤N產(chǎn)品,合格率高于與合格率低于不可能同時(shí)發(fā)生,故中兩事件為互斥事件.故選ACD.變式2:拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子,有如下隨機(jī)事件:“點(diǎn)數(shù)為”,其中,“點(diǎn)數(shù)不大于“點(diǎn)數(shù)大于"點(diǎn)數(shù)大于“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”.判斷下列結(jié)論是否正確.(1)與互斥;(2)為對(duì)立事件;(3);(4);(5),(6)(7);(8)為對(duì)立事件;(9).解析該試驗(yàn)的樣本空間可表示為,由題意知,.(1),滿足,所以與互斥,故正確.(2),滿足但不滿足,所以為互斥事件,但不是對(duì)立事件,故錯(cuò)誤.根據(jù)對(duì)應(yīng)的集合易得,(3)(4)(5)(9)(10)正確.(6),所以,故正確.(7),故,正確.(8)因?yàn)?所以,為對(duì)立事件,故正確.點(diǎn)睛互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系:兩個(gè)事件與是互斥事件,包括如下三種情況:(1)若事件發(fā)生,則事件就不發(fā)生;(2)若事件發(fā)生,則事件就不發(fā)生;(3)事件都不發(fā)生.而兩個(gè)事件是對(duì)立事件,僅有前兩種情況,因此事件與是對(duì)立事件,則是必然事件,但若與是互斥事件,則不一定是必然事件,即事件的對(duì)立事件只有一個(gè),而事件的互斥事件可以有多個(gè).【例4】袋中有6個(gè)大小、質(zhì)地完全相同的球,其中4個(gè)白球,2個(gè)紅球,從袋中任意取出兩球,求下列事件的概率:(1)事件:取出的兩球都是白球;(2)事件:取出的兩球一個(gè)是白球,另一個(gè)是紅球.解析設(shè)4個(gè)白球的編號(hào)為,2個(gè)紅球的編號(hào)為5,6.從袋中的6個(gè)球中任取2個(gè)球的樣本空間,4),,,6),共有15個(gè)樣本點(diǎn).(1)因?yàn)?所以,從而.(2)因?yàn)?,所以,從而.變式1:小李在做一份調(diào)查問(wèn)卷,共有5道題,其中有兩種題型,一種是選擇題,共3道,另一種是填空題,共2道.(1)小李從中任選2道題解答,每一次選一題(不放回),求所選的題不是同一種題型的概率;(2)小李從中任選2道題解答,每一次選一題(有放回),求所選的題不是同一種題型的概率.解析將3道選擇題依次編號(hào)為1,2,道填空題依次編號(hào)為4,5.(1)從5道題中任選2道題解答,每一次選一題(不放回),則樣本空間,,,,共20個(gè)樣本點(diǎn),而且這些樣本,點(diǎn)發(fā)生的可能性是相等的.設(shè)事件為“所選的題不是同一種題型”,則事件,共12個(gè)樣本點(diǎn),所以(2)從5道題中任選2道題解答,每一次選一題(有放回),則樣本空間,,,,,共25個(gè)樣本點(diǎn),而且這些樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性是相等的.設(shè)事件為“所選的題不是同一種題型”,由(1)知所選題不是同一種題型的樣本點(diǎn)共12個(gè),所以.點(diǎn)睛古典概型的計(jì)算一般經(jīng)歷三個(gè)步驟:(1)算出樣本空間所包含的樣本點(diǎn)的總個(gè)數(shù)(2)求出事件所包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù);(3)代入公式求出概率.變式從含有2件正品和1件次品的三件產(chǎn)品中,每次任取一件.(1)若每次取后不放回,連續(xù)取2次,求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率;(2)若每次取后放回,連續(xù)取2次,求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率.解析(1)每次取出一個(gè),取后不放回地連續(xù)取兩次,其一切可能的結(jié)果組成的樣本點(diǎn)有6個(gè),即,.其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品,右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品.總的事件個(gè)數(shù)為6,而且可以認(rèn)為這些樣本點(diǎn)是等可能的.設(shè)事件為“取出的兩件中恰有一件次品",所以,所以.從而.(2)有放回地連續(xù)取出兩件,其所有可能的結(jié)果為,,共9個(gè)樣本點(diǎn).由于每一件產(chǎn)品被取到的機(jī)會(huì)均等,故可以認(rèn)為這些樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的.設(shè)事件為“恰有一件次品”,則,所以,從而.【例5】古代“五行”學(xué)說(shuō)認(rèn)為:“物質(zhì)分金、木、水、火、土五種屬性,金克木，木克土，土克水,水克火,火克金."從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機(jī)抽取兩種,則抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率為（）A. B. C. D.解析試驗(yàn)的樣本空間金木,金水,金火,金土,木水,木火,木土,水火,水土,火土},共10個(gè)樣本點(diǎn),事件“抽取的兩種物質(zhì)不相克”包含5個(gè)樣本點(diǎn),故其概率為.故選C.變式1:某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為.計(jì)算這個(gè)運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中,（1）射中10環(huán)或9環(huán)的概率;（2）至少射中7環(huán)的概率;（3）射中環(huán)數(shù)小于8環(huán)的概率.解析設(shè)“射中10環(huán)”“射中9環(huán)”“射中8環(huán)”“射中7環(huán)”“射中7環(huán)以下”的事件分別為,則(1).所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率為.（2）因?yàn)樯渲?環(huán)以下的概率為,所以由對(duì)立事件的概率公式得,至少射中7環(huán)的概率為.(3)事件“射中環(huán)數(shù)小于8環(huán)”包含事件“射中7環(huán)"與事件“射中7環(huán)以下”兩個(gè)事件,則(射中環(huán)數(shù)小于8環(huán)).變式2:在擲骰子的游戲中,向上的數(shù)字是5或6的概率是（）A. B. C. D.1解析事件“向上的數(shù)字是5”與事件“向上的數(shù)字是6”為互斥事件,且二者發(fā)生的概率都是,所以“向上的數(shù)字是5或6”的概率是.故選B.點(diǎn)睛回答含“至多”“至少”等詞語(yǔ)的概率問(wèn)題應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)互斥事件的概率加法公式;(2)當(dāng)求解的問(wèn)題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語(yǔ)時(shí),常?？紤]其反面,通過(guò)求其反面,然后轉(zhuǎn)化為所求問(wèn)題.【例6】聯(lián)歡會(huì)上設(shè)有一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲.抽獎(jiǎng)箱中共有12張紙條,分一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)、謝謝光臨四種.從中任取一張,不中獎(jiǎng)的概率為,中二等獎(jiǎng)或三等獎(jiǎng)的概率為.(1)求任取一張,中一等獎(jiǎng)的概率;(2)若中一等獎(jiǎng)或二等獎(jiǎng)的概率是,求任取一張,中三等獎(jiǎng)的概率.解析(1)設(shè)任取一張,抽得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)、謝謝光臨的事件分別為,,它們是互斥事件.由題意得.由對(duì)立事件的概率公式得,所以任取一張,中一等獎(jiǎng)的概率為.(2)因?yàn)?又,所以,又,所以,所以任取一張,中三等獎(jiǎng)的概率為.點(diǎn)睛求復(fù)雜互斥事件概率的兩種方法:(1)將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和;(2)先求該事件的對(duì)立事件的概率,再由求解.當(dāng)題目涉及“至多”“至少”問(wèn)題時(shí)，多考慮間接法.鞏固提高強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1.關(guān)于樣本點(diǎn)、樣本空間,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.樣本點(diǎn)是構(gòu)成樣本空間的元素 B.樣本點(diǎn)是構(gòu)成隨機(jī)事件的元素C.隨機(jī)事件是樣本空間的子集 D.隨機(jī)事件中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能比樣本空間中的多2.易經(jīng)》是中國(guó)文化的精髓,下圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兄八卦)，每一卦由三根線組成(一表示一根陽(yáng)線,一口表示一根陰線).從八卦中任取一卦,這一卦的三根線中恰有3根陽(yáng)線的概率為（）A. B. C. D.3.一批產(chǎn)品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.從這批產(chǎn)品中任意抽取5件,現(xiàn)給出以下四個(gè)事件:事件:恰有1件次品; 事件:至少有2件次品;事件:至少有1件次品； 事件:至多有1件次品.并給出以下結(jié)論:(1);(2)是必然事件;(3)（4）其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.(1)(2) B.(3)(4) C.(1)(3) D.(2)(3)4.從裝有3個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋里任取3個(gè)球,那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A.至少2個(gè)白球,都是紅球 B.至少1個(gè)白球,至少1個(gè)紅球C.至少2個(gè)白球,至多1個(gè)白球 D.恰好1個(gè)白球,恰好2個(gè)紅球5.將一枚質(zhì)地均勻的骰子向上拋鄭1次.設(shè)事件表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),事件表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3,事件表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4,則（）A.與是互斥而非對(duì)立事件 B.與是對(duì)立事件C.與是互斥而非對(duì)立事件 D.與是對(duì)立事件6.生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子,只有其中3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo),若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只,則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為（）A. B. C. D.7.如果事件互斥,記分別為事件的對(duì)立事件,那么（）A.是必然事件 B.是必然事件C.與一定互斥 D.與一定不互斥8.某袋中有編號(hào)為的6個(gè)小球(小球除編號(hào)外完全相同),甲先從袋中摸出一個(gè)球,記下編號(hào)后放回,乙再?gòu)拇忻鲆粋€(gè)球,記下編號(hào),則甲、乙兩人所摸出球的編號(hào)不同的概率是（）A. B. C. D.二、多選題9.射擊訓(xùn)練中,某運(yùn)動(dòng)員最近幾次的環(huán)數(shù)情況如下表：射擊次數(shù)射中7環(huán)或8環(huán)的次數(shù)射中9環(huán)或10環(huán)的次數(shù)1005518記該運(yùn)動(dòng)員在一次射擊訓(xùn)練中,射中7環(huán)或8環(huán)為事件,射中9環(huán)或10環(huán)為事件,低于7環(huán)為事件.用頻率估計(jì)概率的方法,得到的下述結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.10.某人有6把鑰匙,其中把能打開門.如果隨機(jī)地取一把鑰匙試著開門,把不能開門的鑰匙扔掉,設(shè)第二次才能打開門的概率為,則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí), B.當(dāng)時(shí),C.當(dāng)時(shí), D.當(dāng)時(shí),11.下列命題不正確的是（）A.事件發(fā)生的概率等于事件發(fā)生的頻率.B.一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子鄭一次得到3點(diǎn)的概率是,說(shuō)明這個(gè)骨子擲6次一定會(huì)出現(xiàn)一次3點(diǎn).C.鄭兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,事件為“一枚正面朝上,一枚反面朝上",事件為“兩枚都是正面朝上”,則.D.對(duì)于兩個(gè)事件,若,則事件與事件互斥.三、填空題12.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,落地后記事件為“奇數(shù)點(diǎn)向上”,事件為“偶數(shù)點(diǎn)向上”,事件為“向上的點(diǎn)數(shù)是2的倍數(shù)”,事件為“2點(diǎn)或4點(diǎn)向上”.則下列每對(duì)事件互斥但不對(duì)立的是.(填序號(hào))(1)與; (2)與; (3)與; (4)與.13.對(duì)飛機(jī)連續(xù)射擊兩次,每次發(fā)射一枚炮彈.設(shè)兩次都擊中飛機(jī)兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)至少有一枚炮彈擊中飛機(jī),其中互為互斥事件的是,互為對(duì)立事件的是14.甲、乙兩人做擲骰子游戲,兩人鄭同一枚骰子各一次,則至少出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率是;如果誰(shuí)鄭的點(diǎn)數(shù)大誰(shuí)就取勝,則甲取勝的概率為15.若隨機(jī)事件互斥,發(fā)生的概率均不等于0,且分別為,,則實(shí)數(shù)的取值范圍為四、解答題16.一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球,其中有2個(gè)紅色球(標(biāo)號(hào)為1和2)、2個(gè)綠色球(標(biāo)號(hào)為3和4),從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球.設(shè)事件為“第一次摸到紅球”,事件為“第二次摸到紅球”,事件為“兩次都摸到紅球”,事件為“兩次都摸到綠球”,事件為“兩次摸到的球顏色相同”,事件為“兩次摸到的球顏色不同”.(1)用集合的形式分別寫出試驗(yàn)的樣本空間以及上述各事件；(2)事件與與與之間各有什么關(guān)系?(3)事件與事件的并事件與事件有什么關(guān)系?事件與事件的交事件與事件有什么關(guān)系?17.判斷下列給出的每對(duì)事件,是否為互斥事件,是否為對(duì)立事件,并說(shuō)明理由.從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從各10張)中,任取一張.(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”;(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”;(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”.18.為了解一種植物果實(shí)的情況,隨機(jī)抽取一批該植物果實(shí)樣本測(cè)量重量(單位:克),按照，分為5組,其頻率分布直方圖如圖所示.(1)求圖中的值;(2)估計(jì)這種植物果實(shí)重量的平均數(shù)和方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);（3）已知這種植物果實(shí)重量不低于克的即為優(yōu)質(zhì)果實(shí).若所取樣本容量40,從該樣本分布在和,的果實(shí)中,隨機(jī)抽取2個(gè),求抽到的都是優(yōu)質(zhì)果實(shí)的概率.1