考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷2（共212題）

考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷2（共9套）（共212題）考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、曲線y=x+arccotx的漸近線條數(shù)為()A、0。B、1。C、2。D、3。標準答案：C知識點解析：函數(shù)y=x+arccotx的定義域為R，則曲線沒有垂直漸近線。因為(x+arccotx)和(x+arccotx)都不存在，所以曲線沒有水平漸近線。又因為所以曲線有斜漸近線y=x和y=x+π。2、設f’(x0)=0，f"(x0)＞0，則必存在一個正數(shù)δ，使得()A、曲線y=f(x)在(x0-δ，x0+δ)上是凹的。B、曲線y=f(x)在(x0-δ，x0+δ)上是凸的。C、曲線y=f(x)在(x0-δ，x0]上單調(diào)減少，而在[x0，x0+δ)上單調(diào)增加。D、曲線y=f(x)在(x0-δ，x0]上單調(diào)增加，而在[x0，x0+δ)上單調(diào)減少。標準答案：C知識點解析：已知f"(x0)=＞0，由極限的不等式性質(zhì)可知，存在δ＞0，當x∈(x0-δ，x0+δ)且x≠x0時，＞0。因此，當x∈(x0-δ，x0)時，f’(x)＜0；當x∈(x0，x0+δ)時，f’(x)＞0。又f(x)在x=x0連續(xù)，所以f(x)在(x0-δ，x0]上單調(diào)減少，在[x0，x0+δ)上單調(diào)增加，故選C。3、累次積分∫0π／2dθ∫0cosθf(ρcosθ，ρsinθ)ρdρ采用直角坐標系可表示為()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：根據(jù)題意，ρ=cosθ表示圓x2+y2=x的上半部分，積分區(qū)域如圖所示：可得∫0π／2dθ∫0cosθf(ρcosθ，ρsinθ)ρdρ=∫01dxf(x，y)dy，故選D。4、設f(x)可導，F(xiàn)(x)=f(x)(1+|sinx|)，則f(0)=0是F(x)在x=0處可導的()A、充分必要條件。B、充分條件但非必要條件。C、必要條件但非充分條件。D、既非充分又非必要條件。標準答案：A知識點解析：充分性：因為f(0)=0，所以即F(x)在x=0處可導。必要性：設F(x)=f(x)(1+|sinx|)在x=0處可導。因f(x)可導，所以f(x)|sinx|在x=0處可導，由此可知即f(0)=-f(0)，所以f(0)=0。故選A。5、設A，B為n階對稱矩陣，下列結論不正確的是()A、AB為對稱矩陣。B、設A，B可逆，則A-1+B-1為對稱矩陣。C、A+B為對稱矩陣。D、kA為對稱矩陣。標準答案：A知識點解析：根據(jù)(A+B)T=AT+BT=A+B，可得A+B為對稱矩陣；根據(jù)(A-1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=A-1+B-1，得A-1+B-1為對稱矩陣；由(kA)T=kAT=kA，得kA為對稱矩陣。故選A。6、設三維列向量α1，α2，α3線性無關，k，l任意實數(shù)，則向量組kα1-lα2，kα2-lα3，kα3-lα1()A、線性相關性只與k有關。B、線性相關性只與l有關。C、線性相關性與k和l都有關。D、無論k和l取何值，總是線性相關。標準答案：C知識點解析：由于α1，α2，α3線性無關，可以把α1，α2，α3看作一組基，則(kα1-lα2，kα2-lα3，kα3-lα1)=(α1，α2，α3)且=k3-l2。當且僅當k=l時行列式為零，此時kα1-lα2，kα2-lα3，kα3-lα1線性相關。故選C。7、設相互獨立的隨機變量X和Y均服從P(1)分布，則P{x=1|X+Y=2}的值為()A、1／2。B、1／4。C、1／6。D、1／8。標準答案：A知識點解析：根據(jù)條件概率的定義P{X=1|X+Y=2}=P{X+Y=2}=P{X=k，Y=2-k}=P{X=k}P{Y=2-k}=e-2()=2e-2，P{X=1，X+Y=2}=P{X=1，Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=e-1e-1=e-2，因此P{X=1|X+Y=2}==1／2。故選A。8、設二維隨機變量(X1，X2)的概率密度函數(shù)為f(x1，x2)，則隨機變量(Y1，Y2)(其中Y1=2X1，Y2=X2)的概率密度函數(shù)f1(y1，y2)等于()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：設(X1，X2)的分布函數(shù)為F(x1，x2)，(Y1，Y2)的分布函數(shù)為F1(y1，y2)，則有F1(y1，y2)=P{y1≤y1，Y2≤y2}=P{2X1≤y1，X2≤y2}=P{X1≤y1／2，X2≤3y2}=F(y1／2，3y2)，所以f1(y1，y2)=f(y1／2，3y2)。故選B。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、數(shù)列極限I==_______。標準答案：1／2知識點解析：=(arctant)’|t=1=|t=1=1／2。10、已知函數(shù)y=|ln|x||與直線y=kx有且只有兩個交點，則k=_______。標準答案：±1／e或0知識點解析：首先畫出函數(shù)y=|ln|x||的圖形，注意到函數(shù)y=|ln|x||關于y軸對稱，直線y=kx恒過原點(0，0)。當k=0時，直線y=kx和y=|ln|x||恰好只有兩個交點，分別是(-1，0)和(1，0)。當k≠0時，由于對稱性，只需考慮x＞0的情況：注意到當0＜x＜1時，無論k取何值，二者總有一個交點，故只需當x＞1時，直線y=kx與曲線y=lnx似有且只有一個交點，即可轉(zhuǎn)化成當x＞1時，直線y=kx與曲線y=lnx相切的問題。假設切點為(t，lnt)，則過(0，0)點與y=lnx相切的直線為y=1／tx，即k=1／t，注意到切點在直線上，故lnt=1／t．t=1，解得t=e，所以k=1／e。由對稱性可知，當k=-1／e時也符合題意。綜上所述，k=±1／e或0。11、設z=z(x，y)由方程F(x+)=0所確定，其中F是任意可微函數(shù)，則x=_______。標準答案：z-xy知識點解析：方程兩邊分別對x，y求偏導得12、曲線y=(0≤x≤1)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面的面積為_______。標準答案：直接應用公式S=2π∫abf(x)dx進行計算。知識點解析：由旋轉(zhuǎn)曲面面積的計算公式可得13、設A為n階實對稱正交矩陣，且1為A的r重特征根，則|3E-A|=_______。標準答案：22n-r知識點解析：由于A為n階實對稱正交矩陣，所以A可以相似對角化，且|A|=±1。由A可以相似對角化可知，存在可逆矩陣P，使得P-1AP=diag(1，1，…，1，-1，-1，…，-1)，其中1有r個，-1有n-r個。所以|3E-A|=|P(3E-P-1AP)P-1|=|P||3E-P-1AP||P-1|=|3E-P-1AP|，注意到3E-P-1AP是對角矩陣，對角線上有r個2，n-r個4，所以|3E-A|=2r4n-r=2n-r。14、設隨機變量X和Y的相關系數(shù)為1／3，且E(X)=0，E(Y)=1，E(X2)=4，E(Y2)=10，則E[(X+Y)2]=_______。標準答案：18知識點解析：由已知及方差的計算公式得D(X)=E(X2)-[E(x)]2=4，D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=9，Cov(X，Y)=ρXY．=2，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=4+9+4=17，則有E[(X+Y)2]=D(X+Y)+[E(X+Y)]2，其中E(X+Y)=K(X)+E(Y)=1，所以E[(X+Y)2]=17+1=18。三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)15、設f(x)在[-π，π]上連續(xù)，且有f(x)=+∫-ππf(x)sinxdx，求f(x)。標準答案：令∫-ππf(x)sinxdx=A，則f(x)=+A，該式兩邊同乘sinx；并在[-π，π]上求積分得∫-ππf(x)sinxdx=∫-ππdx+∫-ππAsinxdx。由于是關于x的偶函數(shù)，Asinx是關于戈的奇函數(shù)，因此∫-ππf(x)sinxdx=2∫0πdx+0，則A=∫-ππf(x)sinxdx=2∫0πdx，對∫0πdx進行變量替換，令x=π-t，則知識點解析：暫無解析設函數(shù)f(x)=1-，數(shù)列{xn}滿足0＜x1＜1且xn+1=f(xn)。16、證明f(x)在(-1，1)上有且只有一個零點；標準答案：注意到函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故只需討論f(x)在[0，1)上零點的情況：設0≤x＜1，因f’(x)=＞0，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，而f(0)=0，f(1)=1，故0≤f(x)＜1且f(x)有且只有一個零點，該零點就是x=0。由對稱性可知，在(-1，0)上f(x)不存在零點，故f(x)在(-1，1)上有且只有一個零點。知識點解析：暫無解析17、數(shù)列{xn}是否收斂，若收斂，求出極限xn；若不收斂，請說明理由。標準答案：由上可知，0＜xn＜1，n=1，2，3，…。xn+1-xn=f(xn)-xn=1--1)＜0，故{xn}單調(diào)遞減有界，所以收斂。在xn+1=1-兩邊同時取極限，得xn=1(舍去，因為{xn}單調(diào)遞減)。知識點解析：暫無解析18、求由方程x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0所確定的函數(shù)z=z(x，y)的極值。標準答案：方程x2+y2+2x-2y+2y-4z-10=0兩端分別對x和y求偏導數(shù)，可得令z’x=z’y=0，則x=1，y=-1，z=6或x=1，y=-1，z=-2。等式2x+2zz’x-2-4z’x=0兩端分別繼續(xù)對x和y求偏導，可得解得等式2y+2zz’y+2-4z’y=0兩端對y繼續(xù)求偏導可得z"yy=在點(1，-1，6)處，AC-B2=1／16＞0，A=-1／4＜0，函數(shù)在該點取極大值6。在點(1，-1，-2)處，AC-B2=1／16＞0，A=1／4＞0，函數(shù)在該點取極小值-2。知識點解析：暫無解析19、設函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)上可導，且f(0)=0，f(1)=1，證明：對于任意正數(shù)a，b，總存在x1，x2∈(0，1)，使得=a+b成立。標準答案：只需證明=1即可。因a，b均為正數(shù)，所以有0＜＜1。又因為f(0)=0，f(1)=1，所以f(0)＜＜f(1)，則由連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，必存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=成立，于是有在[0，ξ]與[ξ，1]上分別使用拉格朗日中值定理，得f(ξ)-f(0)=f’(x1)ξ，x1∈(0，ξ)，f(1)-f(ξ)=f’(x2)(1-ξ)，x2∈(ξ，1)，知識點解析：暫無解析20、設V(t)是曲線y=在x∈[0，t]的弧段繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積，求常數(shù)c使得V(c)=V(t)。標準答案：曲線y=在x∈[0，t]的弧段繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V(t)=π∫0ty2dx=-π∫0t解得c=1。知識點解析：暫無解析21、線性方程組有公共的非零解，求a，b的值和全部公共解。標準答案：因為線性方程組(I)、(II)有公共的非零解，所以它們的聯(lián)立方程組(III)有非零解，即(III)系數(shù)矩陣A的秩小于4。對矩陣A進行初等行變換，得所以a=-2，b=3。且r(a)=3。此時可解方程組得ε=(0，2，-3，1)T，即為(III)的一個非零解。又r(a)=3，所以ε構成(III)的基礎解系。因此，(I)和(II)的全部公共解為k(0，2，-3，1)T(其中k為任意常數(shù))。知識點解析：暫無解析設二次型f(x1，x2，x3)=4x22-3x32+2ax1x2-4x1x3+8x2x3(其中a為整數(shù))經(jīng)過正交變換化為標準形f=y12+6y22+by32，求：22、參數(shù)a，b的值；標準答案：二次型矩陣為A=，由二次型的標準形f=y12+6y22+by32，可知該二次型矩陣的特征值為λ1=1，λ2=6，λ3=b，根據(jù)特征值的和與乘積的性質(zhì)可得方程組知識點解析：暫無解析23、正交變換矩陣Q。標準答案：二次型矩陣A=的特征值為λ1=1，λ2=6，λ3=-6。根據(jù)(E-A)x=0得特征值λ1=1對應的特征向量為ξ1=根據(jù)(6E-A)x=0得特征值λ2=6對應的特征向量為ξ2=根據(jù)(-6E-A)x=0得特征值λ3=-6對應的特征向量為ξ3=由于不同特征值所對應的特征向量必正交，故只需單位化，得γ1=，于是正交變換矩陣為知識點解析：暫無解析設隨機變量U在區(qū)間[-2，2]上服從均勻分布。隨機變量試求：24、X和Y的聯(lián)合概率分布；標準答案：(X，Y)所有可能的取值為(1，-1)，(-1，1)，(-1，-1)，(1，1)，又U在[-2，2]上服從均勻分布，有P{X=-1，Y=-1}=P{U≤-1，U≤1}=P{U≤-1}=1／4，P{X=-1，Y=1}=P{U≤-1，U＞1}=0，P{X=1，Y=1}=P{U＞-1，U≤1}=1／2，P{X=1，Y=1}=P{U＞-1，U＞1}=P{U＞1}-1／4。于是得X和Y的聯(lián)合概率分布為知識點解析：暫無解析25、D(X+Y)。標準答案：由上可知X+Y的分布為于是E(X+Y)=-2×=0，E[(X+Y)2]=(-2)2×=2。故D(X+Y)=E[(X+Y)2]-[E(X+Y)]2=2。知識點解析：暫無解析已知總體X的概率密度f(x)=(λ＞0)，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，Y=X2。26、求Y的數(shù)學期望E(Y)；標準答案：E(Y)=E(X2)=∫2+∞x2λe-λ(x-2)dx∫0+∞t2λe-λtdt+4∫0+∞tλe-λtdt+4∫0+∞λe-λtdt=+1)2+2。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設函數(shù)，其中函數(shù)φ具有二階導數(shù)，ψ具有一階導數(shù)，則必有A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：2、A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：3、A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：4、A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：5、齊次方程組的系數(shù)矩陣為A，若存在三階矩陣B≠O，使得AB＝O，則()．A、λ＝﹣2且｜B｜＝0B、λ＝﹣2且｜B｜≠0C、λ＝1且｜B｜＝0D、λ＝1且｜B｜≠0標準答案：C知識點解析：暫無解析6、A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：7、當x→0時，下列四個無窮小量中，哪一個是比其他三個更高階的無窮小量?()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、設3階矩陣A的特征值為2，3，λ．若行列式｜2A｜=-48，則λ=________.標準答案：-1知識點解析：暫無解析9、標準答案：4知識點解析：10、平面曲線L為下半圓周y=，則曲線積分=__________．標準答案：∫L1dS=π(半徑為1的半圓周長)知識點解析：L的方程又可寫成x2+y2=1(y≤0)，被積函數(shù)在L上取值，于是原積分=∫L1dS=π(半徑為1的半圓周長)．11、標準答案：知識點解析：12、過點A(3，2，1)且平行于L1的平面方程為______標準答案：x—2y-5z+6=0知識點解析：s1={1，一2，1}，s2={2，1，0}，則所求平面方程的法向量為n=s1×s2={一1，2，5}所求平面方程為π：一(x一3)+2(y一2)+5(z一1)=0，即π：x-2y一5z+6=0．13、設y=y(x)為方程y"+(x一1)y’+x2y=ex的滿足初始條件的解，則=________標準答案：1知識點解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、標準答案：知識點解析：暫無解析15、標準答案：知識點解析：暫無解析16、標準答案：知識點解析：暫無解析17、標準答案：知識點解析：暫無解析18、標準答案：知識點解析：暫無解析19、標準答案：知識點解析：暫無解析20、設函數(shù)y=y(x)由方程ylny－x＋y＝0確定，判斷曲線y＝y(tǒng)(x)在點(1，1)附近的凹凸性．標準答案：對方程ylny－X＋Y＝0．知識點解析：暫無解析21、設a＞0，a≠1，證明：ax－1～x㏑a(x→0)．標準答案：知識點解析：暫無解析22、設函數(shù)求：(1)函數(shù)的定義域；(2)f(0)，f(－1)，f(3)，f(a)，f(f(－1))標準答案：解：(1)函數(shù)的定義域是(－∞，0]∪(0，＋∞]，即(－∞，＋∞)；(2)因0∈(－∞，0]，－1∈(－∞，0]由f(x)＝2＋x，得f(0)＝2＋0＝2，f(－1)＝2＋(－1)＝1因Шx∈(0，＋∞)，由f(x)＝2x，得f(3)＝23＝8當a≤0時，由f(x)＝2＋x得f(a)＝2＋a；當a＞0時，由f(x)＝2x，得f(a)＝2a．因f(－1)＝1，所以f(f(－1))＝f(1)＝21＝2．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f(x)=，則f(x)有()．A、兩個可去間斷點B、兩個無窮間斷點C、一個可去間斷點，一個跳躍間斷點D、一個可去間斷點，一個無窮間斷點標準答案：C知識點解析：顯然x=0，x=1為f(x)的間斷點．由f(0+0)=f(0—0)=0，得x=0為f(x)的可去間斷點；由f(1—0)≠f(1+0)，得x=1為f(x)的跳躍間斷點，應選C2、設f(x)連續(xù)，且則下列結論正確的是()．A、f(1)是f(x)的極大值B、f(1)是f(x)的極小值C、(1，f(1))不是曲線y=f(x)的拐點D、f(1)不是f(x)的極值，但(1，f(1))是曲線y=f(x)的拐點標準答案：B知識點解析：因為=2，所以由極限的保號性，存在δ＞0，當0＜|x一1|＜δ時，有，即當x∈(1一δ，1)時，f’(x)＜0；當x∈(1，1+δ)時，f’(x)＞0．根據(jù)極值的定義，f(1)為f(x)的極小值，選B3、函數(shù)f(x)=x2一12x+q的零點個數(shù)為()．A、1個B、2個C、3個D、零點個數(shù)與q取值有關標準答案：D知識點解析：令f’(x)=3x2一12=0，得駐點x1=一2，x2=2，f"(x)=6x，因為f"(一2)=一12＜0，f"(2)=12＞0，所以x1=一2為極大值點，x2=2為極小值點，極大值和極小值分別為f(一2)=16+q及f(2)=一16+q，且當f(2)=一16+q＞0，即q＞16時，f(x)=x3-12x+q只有一個零點；當f(2)=一16+q=0，即q=16時，f(x)=x3一12x+q有兩個零點，其中一個為x=2；當f(一2)=16+q＞0，f(2)=一16+q＜0，即|q|＜16時，f(x)=x3一12x+q有三個零點；當f(一2)=16+q=0，即q=一16時，f(x)=x3+12x+q有兩個零點，其中一個為x=一2；當f(一2)=16+q＜0，即q＜一16時，f(x)=x3一12x+q只有一個零點，故選D4、設正項級數(shù)發(fā)散，令Sn=a1+a2+…+an，則下列結論正確的是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：5、設A為m階可逆矩陣，B為n階可逆矩陣，|A|=a，|B|=b，則等于()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：選D6、設A為n階實對稱矩陣，P為n階可逆矩陣，設n維向量α是A的屬于特征值λ的特征向量，則(P-1AP)T的屬于特征值λ的特征向量是()．A、P-1αB、PTαC、PαD、(P-1)Tα標準答案：B知識點解析：(P1AP)T=PTAT(PT)-1=PTA(PT)-1，由Aα=λα，得PTAα=λPTα，從而PTA(PT)1PTα=λpTα或者(P-1AP)TPTα=λPTα，于是(P-1AP)T的屬于特征值λ的特征向量為PTα，選B7、設事件A，B，C兩兩獨立，則A，B，C相互獨立的充分必要條件是()．A、AB與A+C獨立B、AB與AC獨立C、A與BC獨立D、A+B與A+C獨立標準答案：C知識點解析：由A與BC獨立，得P(ABC)=P(A)P(BC)，因為A，B，C兩兩獨立，所以P(BC)=P(B)P(C)，于是P(ABC)=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C)，即A，B，C相互獨立，選(C)．8、設X，Y相互獨立，且都服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，下列結論正確的是()．A、X+Y～E(2λ)B、X～Y～E(2λ)C、min{X，Y}～E(2λ)D、max{X，Y}～E(2λ)標準答案：C知識點解析：因為X～E(λ)，Y～E(λ)，所以Fx(x)=令Z=min{X，Y)，則Fz(z)=P{Z≤z}=1-P{Z＞z}=1一P{X＞z，Y＞z}=1一P{X＞z}P{Y＞z}=1一[1一P(X≤z}].[1一P{Y≤z}]=1一[1一Fx(z)].[1一Fy(z)]當z＜0時，F(xiàn)z(z)=0；當z≥0時，F(xiàn)z(z)=1一e-2λz．于是Fz(z)=即Z～E(2λ)，選C二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、設f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，改變?yōu)闃O坐標的累次積分為=_______標準答案：知識點解析：10、標準答案：知識點解析：11、兩容器盛鹽水20L，濃度為15g／L，現(xiàn)以1L／min的速度向第一只容器注入清水(同時攪拌均勻)，從第一只容器以1L／min的速度將溶液注入第二只容器，攪拌均勻后第二只容器以1L／min的速度排出，則經(jīng)過________分鐘第一只容器溶液濃度為原來的一半，t時刻第二只容器含鹽量為_________．標準答案：知識點解析：設t時刻第一、二只容器含鹽分別為m1(t)，m2(t)g，m1(0)=m2(0)=300g，在時間[t，t+dt]內(nèi)，解得m1(t)=，由m1(0)=300，得C1=300，于是m1(t)=令m1(t)=150，得t=20ln2min．12、設A為三階實對稱矩陣，ξ1=為方程組AX=0的解，ξ2=為方程組(2E—A)X=0的一個解，|E+A|=0，則A=______．標準答案：知識點解析：顯然為A的特征向量，其對應的特征值分別為λ1=0，λ2=2，因為A為實對稱陣，所以ξ1Tξ2=k2一2k+1=0，解得k=1，于是又因為|E+A|=0，所以λ3=一1為A的特征值，令λ3=一1對應的特征向量為13、設總體X～E(λ)，且X1，X2，…，Xn為總體X的簡單隨機樣本，令S12=則E(S12)=_____．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、設f(x)=且g(x)的一個原函數(shù)為ln(x+1)，求∫01f(x)dx．標準答案：知識點解析：暫無解析15、設f(x)在[0，1]上二階連續(xù)可導，且f’(0)=f’(1)．證明：存在ξ∈(0，1)，使得2∫01f(x)dx=f(0)+f(1)+(ξ)．標準答案：令F(x)=∫0xf(f)dt，則F(x)三階連續(xù)可導且F’(x)=f(x)，由泰勒公式得知識點解析：暫無解析16、設f(x)為[-a,a]上的連續(xù)的偶函數(shù)且f(x)＞0，令F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt．(Ⅰ)證明：F’(x)單調(diào)增加．(Ⅱ)當x取何值時，F(xiàn)(x)取最小值?(Ⅲ)當F(x)的最小值為f(a)一a2一1時，求函數(shù)f(x)．標準答案：(Ⅰ)F(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt=∫-ax(x—t)f(t)dt+∫xa(t一x)f(t)dt=x∫-axf(t)dt-∫-aatf(t)dt+∫xatf(t)dt-x∫xaf(t)dt=x∫-axf(t)dt-∫-aatf(t)dt-∫axtf(t)dt+x∫axf(t)dtF’(x)=∫-axf(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+∫axf(t)dt+xf(x)=∫axf(t)dt—∫taf(t)dt因為F"(x)=2f(x)＞0，所以F’(x)為單調(diào)增加的函數(shù)．(Ⅱ)因為F’(0)=∫-a0f(x)dx—∫0a∫(x)dx且f(x)為偶函數(shù)，所以F’(0)=0，又因為F"(0)＞0，所以x=0為F(x)的唯一極小點，也為最小點．故最小值為F(0)=∫-aa|t|f(t)dt=2∫0atf(t)dt．(Ⅲ)由2∫0atf(t)dt=f(a)一a2一1兩邊求導得2af(a)=f’(a)-2a，于是f’(x)一2xf(x)=2x，解得f(x)=[∫2xe∫-2xdxdx+C]e-∫-2xdx=一1，在2∫0atf(t)dt=f(a)一a2一1中令a=0得f(0)=1，則C=2，于是f(x)=一1．知識點解析：暫無解析17、設其中L是繞過原點的正向閉曲線，φ(y)可導且φ(1)=4．(Ⅰ)求φ(y)；(Ⅱ)求A．標準答案：任取一條不繞過原點的正向閉曲線L，在L上任取兩點A，B，將L分成L1，L2，過A，B作一條曲線L3，使L3與L1，L2圍成繞原點的閉曲線，由格林公式得(Ⅱ)作L0：x2+4y2=r2(其中r＞0，L0在L內(nèi)，取逆時針方向)，設由L0圍成的區(qū)域為D1，由L0，L1圍成的區(qū)域為D2，由格林公式知識點解析：暫無解析18、計算其中∑為圓柱面x2+y2=1及平面z=x+2，z=0所圍立體的表面．標準答案：∑1：z=x+2(x2+y2≤1)．在xOy坐標平面上投影區(qū)域為D1：x2+y2≤1．∑2：x2+y2=1(0≤z≤x+2)．在xOz坐標平面上投影區(qū)域為D2：|x|≤1，0≤z≤x+2．又∑2關于xOz坐標平面左右對稱，被積函數(shù)關于y是偶函數(shù)，∑21(右半部分)：知識點解析：暫無解析19、就a，b的不同取值情況討論方程組何時無解、何時只有唯一解、何時有無數(shù)個解，在有無數(shù)個解時求其通解．標準答案：1)當a≠一1，a≠6時，方程組只有唯一解；2)當a=一1時，當a=一1，b≠36時，方程組無解；當a=-1，b=36時，方程組有無數(shù)個解，方程組的通解為3)當a=6，b為任意取值時，因為r(A)==3＜4，所以方程組有無數(shù)個解，通解為知識點解析：暫無解析20、設α=(1，1，一1)T是A=的一個特征向量．(Ⅰ)確定參數(shù)a，b及特征向量α所對應的特征值；(Ⅱ)問A是否可以對角化?說明理由．標準答案：(Ⅰ)由Aα=λα，得解得a=一3，b=0，λ=一1．(Ⅱ)由|λE一A|=(λ+1)3=0，得λ=一1是三重特征值．因為r(-E—A)=2，所以λ=-1對應的線性無關的特征向量只有一個，所以A不可以對角化．知識點解析：暫無解析21、設X的概率密度為且P{X≤1}=(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)求隨機變量X的分布函數(shù)；(Ⅲ)求Y=X3的密度函數(shù)．標準答案：(Ⅱ)當x＜一2時，F(xiàn)(x)=0；當一2≤x＜一1時，F(xiàn)(x)=∫-2x(x+2)dx=,當一1≤x＜0時,F(x)=∫2-1(x+2)dx=當x≥0時，(Ⅲ)FY(y)=P{X3≤y}，當y＜一8時，F(xiàn)Y(y)=0；知識點解析：暫無解析22、設X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，且總體X的密度函數(shù)為(Ⅰ)求θ的矩估計量；(Ⅱ)求θ的極大似然估計量．標準答案：(Ⅰ)E(x)=∫-∞+∞xf(x)dx=θ2∫0+∞x2eθxdx=，則θ的矩估計量為(Ⅱ)L(θ)=f(x1)f(x2)…f(xn)=θ2nx1x2…xn.e-θ(x1+x2+…+xn)，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設函數(shù)f(u)可微，且f(0)=0，f’(0)≠0，記F(t)=(x2+y2+z2)dv，其中Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}．若當t→0+時，F(xiàn)t(t)與tk是同階無窮小，則k等于A、1B、2C、3D、4標準答案：D知識點解析：本題考查無窮小階的問題——想“三法”，即等價無窮小代換定階法，泰勒公式定階法，求導定階法．此處要先把三重積分化為累次積分，可得F(t)是t的變限積分函數(shù)，再由“求導定階法”可得．解：因F(t)=，故F’(t)=4πt2f(t2)=4πt4.～4πf’(0)t4(t→0+)，即t→0+時，F(xiàn)’(t)與t4是同階的無窮小，故k=4．2、曲線y=xln(1+)的漸近線的條數(shù)為A、0B、1C、2D、3標準答案：C知識點解析：本題考查求曲線的漸近線問題——求水平漸近線就是求極限f(x)或f(x)或f(x)；求鉛直漸近線就是找f(x)的無窮間斷點；求斜漸近線y=ax+b，要先求斜率a=，再求截距b=[f(x)-ax]或[f(x)-ax]或[f(x)-ax]，按上述提示方法逐一求解即可，注意，要先求函數(shù)的定義域．解：函數(shù)y=xln(1+)的定義域為(-∞，-1)∪(0，+∞)．因=1，故y=1是曲線的一條水平漸近線．顯然x=0，-1是函數(shù)的間斷點，而可見x=-1是曲線的一條鉛直漸近線，x=0不是曲線的鉛直漸近線．又故曲線沒有斜漸近線．3、設非齊次線性方程組Ax=b無解，則必有A、A的行向量組線性無關B、A的行向量組線性相關C、A的列向量組線性無關D、A的列向量組線性相關標準答案：B知識點解析：本題考查線性方程組解的判定與其系數(shù)矩陣行、列向量組線性相關性的聯(lián)系．非齊次線性方程組Ax=b有無解就看“兩秩”是否相等．本題是已知r(A)≠r(A，b)，考查其系數(shù)矩陣A的行、列向量組的線性相關性．解：因Am×nx=b無解r(Am×n)≠r(A，b)，以此可推得，r(Am×n)＜m．否則，若r(Am×n)=m，則必有r(A)=r(A，b)=m，與條件矛盾．故應選(B)．注：由r(Am×n)≠r(A，b)是不能推得r(A)=n或是r(A)＜n的，請讀者自行舉出反例．4、設A為n×m實矩陣，且秩r(A)=n，考慮以下命題：①AAT的行列式｜AAT｜≠0；②AAT必與n階單位矩陣等價；③AAT必與一個對角矩陣相似；④AAT必與n階單位矩陣合同，其中正確的命題數(shù)為A、1B、2C、3D、4標準答案：D知識點解析：本題主要考查矩陣的三大關系一一等價、相似、合同，求解的關鍵是要清楚矩陣秩的結論r(A)=r(AAT)=r(ATA)．解：顯然AAT為n階矩陣．由條件可知r(AAT)=R(A)=n，故①，②正確．由于AAT是實對稱矩陣，所以必可相似對角化，從而③正確．因AAT的秩為n，故二次型xTAATx的秩為n，從而xTAATx=(ATx)T(ATx)＞0，即xTAATx是正定二次型，故AAT與n階單位矩陣合同，④也正確．5、設隨機變量X與Y相互獨立，且X服從區(qū)間[-1，2]上的均勻分布，y的分布律為Y～，則概率P{X＜Y}=A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：本題考查混合型隨機變量求概率問題，其一般的處理方法是把離散型隨機變量取各個可能值看成完備事件組，用全概公式求解．解：P{X＜Y}=P{X＜Y，Y=-1}+P{X＜Y，Y=0)+P{X＜Y，Y=1}=P{X＜-11}P{Y=-1}+P{X＜0}P{Y=0}+P{X＜1}P{Y=1}=6、設總體X與Y都服從標準正態(tài)分布N(0，1)，X1，X2，…，Xn與Y1，Y2，…，Yn是分別來自總體X和Y的兩個相互獨立的簡單隨機樣本，其樣本均值與方差分別為，則A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：本題考查統(tǒng)計量的分布問題——見到確定統(tǒng)計量分布問題，就要想到考查它的構成——想χ2分布、t分布、F分布定義的典型模式．解：因而相互獨立，故由F分布與χ2分布定義，知可見選項(D)正確，(B)錯誤．對于選項(A)，(C)，因X～N相互獨立，故可見(A)，(C)都不正確．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)7、設f’(x)=，且f(1)=1，則f(x)dx=_____標準答案：知識點解析：本題考查定積分計算問題．由條件特點，要先求出f(x)，再計算．解：因f(x)=由f(1)=1，得C=0，故f(x)=于是注要結合定積分的幾何意義，記住以下常用結果(其中a＞0)：8、設x2=cosnx(-π≤x＜π)，則a2=________．標準答案：1知識點解析：本題考查傅里葉級數(shù)展開問題，只要清楚其系數(shù)表達式即可．解：由題設條件可知，本題將f(x)=x2展開成了余弦級數(shù)，故a2=9、函數(shù)u=在點P(1,-1,0)處的最大方向?qū)?shù)為______標準答案：知識點解析：本題考查求多元函數(shù)在某點處的最大方向?qū)?shù)問題，只要求出函數(shù)在該點處的梯度的模即可．解：因故函數(shù)u在點P(1，-1，0)處的梯度為gradu(P)=又函數(shù)u在點P處沿任一方向l的方向?qū)?shù)為其中l(wèi)0={cosα，cosβ，cosγ}是方向l的單位向量，故方向?qū)?shù)的最大值方向即為梯度方向，其值為該點處梯度的模，即10、以P(x，y，z)=z2為密度的空間物體Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤1}的質(zhì)量為_____標準答案：知識點解析：本題考查三重積分的物理應用問題，所求物體Ω的質(zhì)量為m=ρ(x，y，z)dV．解：所求質(zhì)量為m=z2dV．由于被積函數(shù)只與z有關，且用垂直于z軸的平面截Ω所得區(qū)域為D(z)={(x，y)｜x2+y2≤1-z2}，其面積為π(1-z2)，故由“先二后一”法，有m=11、若二次型f(x1，x2，x3)=+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3經(jīng)正交變換x=Qy化為標準形，則a2+b2=_______．標準答案：2知識點解析：本題考查用正交變換化二次型為標準形問題——見到二次型xTAx經(jīng)正交變換x=Qy化為標準形yTAy，就知它們所對應的矩陣相似，即A～A，從而矩陣A與A有“四等五相似”．解：二次型f(x1，x2，x3)的矩陣為A=由題設條件可知，A～，從而可知矩陣A的特征值為λ1=0，λ2=1，λ3=4，進而可得｜A｜=0，｜E-A｜=0，即經(jīng)計算上述行列式可得a=b=±1，因此a2+b2=2．12、設一本書各頁的印刷錯誤的個數(shù)X服從泊松分布．已知該書中有一個和兩個印刷錯誤的頁數(shù)相同，現(xiàn)任意隨機抽查3頁，則此3頁中都沒有印刷錯誤的概率為p=_______．標準答案：e-6知識點解析：本題考查已知泊松分布求概率問題．要由條件先求出泊松分布的參數(shù)．解：由題設條件有P{X=1)=P{X=2}，即λe-λ=，得λ=2(λ=0舍去)．以Xk(k=1，2，3)表示抽取的第k頁上印刷錯誤的個數(shù)，則X1，X2，X3相互獨立且與X同分布，于是所求概率為p=P{X1=0，X2=0，X3=0}=P{X1=0}P{X2=0}P{X3=0}=(e-2)3=e-6．三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)13、求極限標準答案：因x→0時，1-，故原極限=知識點解析：本題考查求型未定式極限問題——先“四化處理”，再用洛必達法則求解:即可．注意，由于分子的變限積分函數(shù)的被積函數(shù)中有積分上限變量x，故求導前要先處.14、已知曲線C：求C上距離原點最遠的點和最近的點的坐標．標準答案：設M(x，y，z)是曲線C上任意一點，則點M到原點的距離為d=．求曲線C上到原點最遠和最近的點等價于求函數(shù)u=x2+y2+z2在條件x2+y2-z=1與2x-y=z=1下的最大值點和最小值點．在約束條件2x-y-z=1中解出z(或y或x均可)，分別代入到目標函數(shù)與另一約束條件中，可化為二元函數(shù)的條件極值．即求u=x2+y2+(2x-y-1)。在條件知識點解析：本題考查多元函數(shù)條件極值問題，只要搞清目標函數(shù)與約束條件，利用拉格朗日乘數(shù)法求解即可．注：類似本題的雙條件極值問題，若能轉(zhuǎn)化為單條件極值甚至無條件極值問題，要盡量轉(zhuǎn)化，這樣一般會使計算大大簡化．請讀者直接以雙條件極值問題求解本題，進行對比．15、設對xOy面上任意的簡單光滑有向閉曲線L，都有∮L[y(f(x)+ex)+y2]dx+[f’(x)-ex+xy]dy=0，其中f(x)具有二階導數(shù)，且曲線y=f(x)在x=0處與直線y=2x相切，求f(x)．標準答案：由題設條件可知，即[f’(x)-ex+xy]，由此可得f’’(x)-f(x)=2ex．解之得f(x)=C1ex+C2e-x+xex又曲線y=f(x)在x=0處與直線y=2x相切，故f(0)=0，f’(0)=2．由此可得C1=，C2=，因此f(x)=(ex<知識點解析：本題考查平面曲線積分與路徑無關問題．由建立f(x)滿足的微分方程，解之即可．16、計算曲面積分I=其中∑是由曲線(1≤y≤3)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，其法向量正向與y軸正向夾角恒大于標準答案：曲線方程亦為故∑的方程為y=x2+z2+1，1≤y≤3．顯然y－x2－z2=1，因而I=(4xy+x2)dydz+(1-y2)dzdx－(yz－z2)dxdy補一塊曲面∑’：y=3，x2+z2≤2，取其右側，由高斯公式，有I=(4xy+x2)dydz+(1－y知識點解析：本題考查第二類曲面積分的計算問題，利用高斯公式解之，但要先寫出旋轉(zhuǎn)曲面∑的方程——繞“誰”轉(zhuǎn)誰不變，另一變量用其余兩個變量的平方和的平方根替換．17、求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)．標準答案：由ρ==1，得收斂半徑R=1，收斂區(qū)間為(-1，1)．當x=±1時，｜un(n)｜≤收斂，故原級數(shù)絕對收斂，因而收斂域為[-l，1]．設s(x)=，x∈[-1，1]．顯然x=0時，s(0)=0當x∈(-1，1]且x≠0時s(x)=而=ln(1+x)故s(x)=[(x+1)ln(1+x)-x]．因s(x)在x=1處連續(xù)，故s(1)=ln2-；x=-1時，原級數(shù)為因此s(x)=知識點解析：本題考查求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)問題．這是一個標準形式的冪級數(shù)，可先求出收斂半徑，定出收斂區(qū)間，再討論端點處的收斂性可得收斂域，然后用間接法即逐項求導、積分等分析運算性質(zhì)求解．注：上述求解過程中用到了ln(1+x)=，x∈(-1，1]．若不清楚此式，則還要求導一次．所以請讀者要熟記一些常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式，如ex，sinx，cosx，(1+x)m，ln(1+x)，ln(1-x)，arctanx，等等．18、設n元(n>3)線性方程組Ax=b，其中試問a滿足什么條件時，該方程組有解、無解?有唯一解時求出x1；有無窮多解時，求其通解.標準答案：因故當a≠1-n且a≠0時，｜A｜≠0，此時方程組Ax=b有唯一解．又D1==an，故由克拉默法則，得x1=當a=0時，Ax=b為齊次線性方程組Ax=0，由A=知r(A)=1，n=r(A)=n-1，由得基礎解系為ξ1=，ξ2=，…，ξn-1=方程組Ax=0的通解為x=k1ξ1知識點解析：本題考查非齊次線性方程組的求解問題，由于系數(shù)矩陣是方陣，故可考慮用克拉默法則，即從系數(shù)矩陣的行列式入手分析．19、設實對稱矩陣A=，求可逆矩陣P，使P-1AP為對角矩陣，并問a滿足什么關系時，矩陣A+E正定?標準答案：由｜λE-A｜==(λ-a-1)2(λ-a+2)得矩陣A的特征值為λ1=λ2=a+1，λ3=a-2．對于λ1=λ2=a+1，求解方程組[(a+1)E-A]x=0的基礎解系，可得λ1=λ2=a+1對應的特征向量為α1=(1，1，0)T，α2=(1，知識點解析：本題主要考查實對稱矩陣的相似對角化問題，按實對稱矩陣對角化的程序化的方法步驟求解即可．然后利用“特征值法”容易得到a滿足什么條件時，矩陣A+E正定．設隨機變量X與Y相互獨立，且X服從區(qū)間(0，1)上的均勻分布，Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布．20、求概率P{X+Y≤1}標準答案：由題設條件可知隨機變量X與Y的概率密度分別為fX(x)=因X與Y相互獨立，故(X，Y)的概率密度為f(x,y)=于是P{X+Y≤1}=知識點解析：本題考查二維連續(xù)型隨機變量的有關問題．對于求概率P{X+Y≤1}，就想“基本法”與“化二維為一維法”，此處用“基本法”——找交集、定類型、重轉(zhuǎn)定，即計算一個二重積分；對于求函數(shù)z=的概率密度問題，就用分布函數(shù)法，即先求出Z的分布函數(shù)FZ(z)，再求導可得Z的概率密度．21、令z=，求Z的概率密度Fz(z)．標準答案：因Fz(z)=P{Z≤z}=Pi)當z≤0時，由≤z知x，y必異號，此時≤z與f(x，y)的非零區(qū)域無交集，F(xiàn)z(z)=0．ii)當z>0時，由≤z，得y≤zx(x>0)，如圖所示，故Fz(z)=因此知識點解析：暫無解析設總體x的概率密度為f(x)=其中θ(0<θ<1)為未知參數(shù)，又X1，X2，…，Xn是來自總體X的一個簡單隨機樣本，為樣本均值．22、求常數(shù)k的值.標準答案：由概率密度的性質(zhì)得因0<θ<1，故=0，從而可得k=-1.知識點解析：本題主要考查求連續(xù)型總體中禾知參數(shù)的點估計問題．第(Ⅰ)問求概率密度中的常數(shù)，由f(x)dx=1可得．第(Ⅱ)問按最大似然估計的方法步驟——“造似然求導數(shù)，找駐點得估計”計算即可，然后求數(shù)學期望可得．23、求θ的最大似然估計量，并問是否為lnθ的無偏估計?標準答案：構造似然函數(shù)L(x1，…，xn；θ)=取對數(shù)InL=nln(-lnθ)+求導，得令=0，得θ=，故θ的最大似然估計量為因，故而EX=故E()lnθ，即是lnθ的無偏估計．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設，則F(x)在[0，2]上A、有界，不可積B、可積，有間斷點C、連續(xù)，有不可導點D、可導標準答案：C知識點解析：先求出分段函數(shù)f(x)的變限積分．當0≤x≤1時，當1易驗證F(x)在[0，2]上連續(xù)(關鍵是考察sinπx｜x=1=(x－1)2x=1)．當x≠1時顯然F(x)可導，且F’－(1)=(sinπx)’｜x=1=πcosx｜x=1=－π，F(xiàn)’+(1)=((x－1)2)’｜x=1=(x－1)｜x=1=0，F(xiàn)’+(1)≠F’－(1)，F(xiàn)(x)在點x=1處不可導．故應選(C)2、設f(x)=xex+1+，則f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)A、沒有零點B、只有一個零點C、恰有兩個零點D、恰有三個零點標準答案：C知識點解析：求f’(x)，分析其單調(diào)性區(qū)間．由于因此x=－1是f(x)的最小值點，且f(－1)=．又由連續(xù)函數(shù)的介值定理，在(－∞，－1)與(－1，+∞)內(nèi)必存在f(x)的零點．又因f(x)在(－∞，－1)與(－1，+∞)均單調(diào)，所以在每個區(qū)間上也只能有一個零點．因此，f(x)在(－∞，+∞)恰有兩個零點．故應選(C)．3、設f(x)在[－δ，δ]有定義，且f(0)=f(0)=0，=a>0，又收斂，則p的取值范圍是A、[，+∞)B、(，+∞)C、(1，+∞)D、[1，+∞)標準答案：B知識點解析：實質(zhì)上是確定n→+∞時無窮小關于的階．由泰勒公式，4、設F(x，y)在點(x0，y0)某鄰域有連續(xù)的偏導數(shù)，F(xiàn)(x0，y0)=0，則(x0，y0)≠0是F(x，y)=0在點(x0，y0)某鄰域能確定一個連續(xù)函數(shù)y=y(x)，它滿足y0=y(x0)，并有連續(xù)的導數(shù)的條件．A、必要非充分B、充分非必要C、充分且必要D、既不充分又不必要標準答案：B知識點解析：由隱函數(shù)定理知，在題設條件下，F(xiàn)’y(x0，y0)≠0是方程F(x，y)=0在點(x0，y0)某鄰域能確定一個連續(xù)函數(shù)y=y(x)，滿足y0=y(x0)并有連續(xù)導數(shù)的充分條件，但不是必要條件．如F(x，y)=x3－xy，F(xiàn)(0，0)=0，F(xiàn)’y(0，0)=－x｜x=0=0，但F(x，y)=0確定函數(shù)y=x2(滿足y(0)=0)．因此選(B)．5、設A為n階矩陣，對于齊次線性方程(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，則必有A、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解D、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解標準答案：A知識點解析：若α是(Ⅰ)的解，即Anα=0，顯然An+1α=A(Anα)=A0=0，即必是(Ⅱ)的解．可排除(C)和(D)．若η是(Ⅱ)的解，即An+1η=0．假若η不是(Ⅰ)的解，即Anη≠0，那么對于向量組η，Aη，A2η，…，Anη，一方面這是n+1個n維向量必線性相關；另一方面，若kη+k1Aη+k2A2η+…+knAnη=0，用An左乘上式，并把An+1η=0，An+2η=0，…，代入，得kAnη=0．由于Anη≠0，必有k=0．對k1Aη+k2A2η+…+knAnη=0，用An－1左乘上式可推知k1=0．類似可知ki=0(i=2，3，…，n)．于是向量組η，Aη，A2η，…，Anη線性無關，兩者矛盾．所以必有Anη=0，即(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．由此可排除(B)．故應選(A)．6、已知4維列向量α1，α2，α3線性無關，若βi(i=1，2，3，4)非零且與α1，α2，α3均正交，則秩r(β1，β2，β3，β4)=A、1B、2C、3D、4標準答案：A知識點解析：設α1=(a11，a12，a13，a14)T，α2=(a21，a22，a23，a24)T，α3=(a31，a32，a33，a34)T，那么βi與α1，α2，α3均正交，即內(nèi)積=0(j=1，2，3，4)．亦即βj(j=1，2，3，4)是齊次方程組的非零解由于α1，α2，α3線性無關，故系數(shù)矩陣的秩為3．所以基礎解系有4－3=1個解向量．從而r(β1，β2，β3，β4)=1．故應選(A)．7、設二維離散型隨機變量(X，Y)的聯(lián)合概率分布如下表所示其中a>0，b>0，則一定有A、X與Y不相關B、X2與Y2不相關C、X+Y與X－Y不相關D、X2+Y2與X2－Y2不相關標準答案：A知識點解析：從題設條件可得EX=EY=0，EXY=a－a－a+a=0．cov(X，Y)=EXY－EXEY=0，ρ=0，即X與Y不相關，故應選(A)．進一步分析，X2與Y2的聯(lián)合概率分布應為EX2=4a+2b，EY2=6a，EX2Y2=4a．對于選項(B)：X2與Y2不相關EX2Y2=EX2EY26a(4a+2b)=4a6a+3b=1．與6a+2b=1且b>0相矛盾，故選項(B)不成立．對于選項(C)和(D)：X+Y與X－Y不相關cov(X+Y，X－Y)=0DX=DYEX2=EY24a+2b=6aa=b．X2+Y2與X2－Y2不相關cov(X2+Y2，X2－Y2)=0DX2=DY22a(4a+2b)=6a．2ba=b．若令a=0．15，b=0．05，a≠b，則X+Y與X－Y相關且X2+Y2與X2－Y2也相關，故選項(C)與(D)均不成立．8、設X1，X2，…，Xn+1是來自正態(tài)總體N(μ，σ2)的簡單隨機樣本，記，S2=已知，則k，m的值分別為A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：故k=，m=n－1，所以選(A)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、數(shù)列極限I==_______．標準答案：1／2知識點解析：這是求0．∞型數(shù)列的極限，先轉(zhuǎn)化為型極限：10、設曲線的參數(shù)方程為則對應于t∈的曲線段的弧長s=_______．標準答案：ln2知識點解析：因從而，當t∈時曲線的弧微分于是，相應曲線段的弧長11、函數(shù)F(x)=的值域區(qū)間是_______．標準答案：知識點解析：由題設知F(x)是(－∞，+∞)上連續(xù)的偶函數(shù)，且由F(x)在(－∞，0]↘，在[0，+∞)↗由于F(0)=0，又因此，函數(shù)F(x)的值域區(qū)間是12、累次積分I=(x2+y2)dy=_______．標準答案：3／4π知識點解析：直接計算是不方便的，這是二重積分(x2+y2)dxdx的累次積分，其中D：0≤x≤2，0≤y≤它是由y=，即(x－1)2+y2=1(y≥0)與x軸圍成的區(qū)域，如圖所示．現(xiàn)改用極坐標變換，D的極坐標表示0≤θ≤1／2π，0≤r≤2cosθ．于是13、已知，則Ax=0解空間的規(guī)范正交基是_______．標準答案：知識點解析：對Ax=0的系數(shù)矩陣A作初等行變換，有得基礎解系α1=(1，5，3，0)T，α2=(－2，－1，0，3)T．正交化有β2=α1=(1，5，3，0)T，β2=(－2，－1，0，3)T－(1，5，3，0)T=(－3，0，1，5)T，單位化得γ1=(1，5，3，0)T，γ2=(－3，0，1，5)T．14、設試驗的成功率p=20％，現(xiàn)在將試驗獨立地重復進行100次，則試驗成功的次數(shù)介于16次和32次之間的概率a=_______．(Φ(1)=0．8413，Φ(3)=0．9987)標準答案：0．84知識點解析：以X表示“100次獨立重復試驗成功的次數(shù)”，則X服從參數(shù)為n=100，P=0．20的二項分布，且EX=np=20，==4．根據(jù)棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理可知隨機變量近似服從分布N(0，1)，于是α=P{16≤X≤32}=≈Φ(3)－Φ(－1)=Φ(3)－[1－Φ(1)]=0．9987－0．1587=0．84，其中Φ(u)是標準正態(tài)分布函數(shù)．三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)15、設f(x)在(－∞，+∞)有連續(xù)的導數(shù)，且f(0)=0，f’(0)=1，(Ⅰ)求常數(shù)A使得F(x)在(－∞，+∞)連續(xù)．(Ⅱ)確定A后，求F’(x)并證明F’(x)在(－∞，+∞)連續(xù)．標準答案：本題討論的函數(shù)F(x)是分段函數(shù)，且表達式中含變限積分，被積函數(shù)還含參變量x，先作變量替換化為純變限積分的情形：(Ⅰ)因x≠0時顯然F(x)連續(xù)，要使F(x)在(－∞，+∞)連續(xù)，只需F(x)在x=0連續(xù)，即A=(Ⅱ)x≠0時，由連續(xù)性運算法則及變限積分函數(shù)的連續(xù)性知，x≠0時F’(x)連續(xù)，又F’(0)=，從而F’(x)在x=0也連續(xù)，因此F’(x)在(－∞，+∞)處處連續(xù)．知識點解析：暫無解析16、計算二重積分I=，其中D為x2+y2=1，x2+y2=2x所圍中間一塊區(qū)域．標準答案：D如圖，關于x軸對稱于是其中D1=D∩{y≥0}在Oxy直角坐標系中先x后y的積分順序(不必分塊)其中，兩圓周的交點是于是知識點解析：暫無解析17、求函數(shù)f(x)=的麥克勞林展開式．標準答案：用分解法及逐項求導法求f(x)的展開式．先將f(x)分解，即知識點解析：暫無解析18、設f(x)在[0，1]連續(xù)，在(O，1)可導，且f(0)=0，f(1)=1，求證：使得．標準答案：按題設與要證的結論，要在[0，1]的某兩個區(qū)間上用拉格朗日中值定理：取c∈(0，1)，分別在[0，c]與[c，1]上用拉格朗日中值定理∈(0，c)，η∈(c，1)使得關鍵是取c∈(0，1)及f(c)使得左端為2，只需取f(c)使得則達目的．因為0=f(0)<1／2∈(0，c)，77∈(c，1)，使得故得證．知識點解析：暫無解析19、已知向量β=(a1，a2，a3，a4)T可以由α1=(1，0，01)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，－1，－3)T，α4=(0，0，3，3)T線性表出．(Ⅰ)求a1，a2，a3，a4應滿足的條件；(Ⅱ)求向量組α1，α2，α3，α4的一個極大線性無關組，并把其他向量用該極大線性無關組線性表出；(Ⅲ)把向量β分別用α1，α2，α3，α4和它的極大線性無關組線性表出．標準答案：(Ⅰ)β可由α1，α2，α3，α4線性表出，即方程組x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β有解．對增廣矩陣作初等行變換，有聽以向量β可以由α1，α2，α3，α4線性表出的充分必要條件是：α1－α2+α3－α4=0．(Ⅱ)向量組α1，α2，α3，α4的極大線性無關組是：α1，α2，α3，而α4=－6α1+6α2－3α3．②(Ⅲ)方程組①的通解是：x1=a1－a2+2a3－6t，x2=a2－2a3+6t，x3=a3－3t，x4=t，其中t為任意常數(shù)，所以β=(a1－a2+2a3－6t)α1+(a2－2a3+6t)α2+(a3－3t)α3+tα4，其中t為任意常數(shù)．由②把α4代入，得β=(a1－a2+2a3)α1+(a2－2a3)α2+a3α3．知識點解析：暫無解析20、已知矩陣，試判斷矩陣A和B否相似，若相似則求出可逆矩陣P，使P－1AP=B，若不相似則說明理由．標準答案：由矩陣A的特征多項式得到矩陣A的特征值是λ1=3，λ2=λ3=－1．由矩陣B的特征多項式得到矩陣B的特征值也是λ1=3，λ2=λ3=－1．當λ=－1時，由秩知(－E－A)x=0有2個線性無關的解，即λ=－1時矩陣A有2個線性無關的特征向量，矩陣A可以相似對角化．而(－E－B)x=0只有1個線性無關的解，即λ=－1時矩陣B只有1個線性無關的特征向量，矩陣B不能相似對角化．因此矩陣A和B不相似．知識點解析：暫無解析21、袋中裝有5個白球，3個紅球，第一次從袋中任取一球，取后不放回，第二次從袋中任取2球，用Xi表示第i次取到的白球數(shù)，i=1，2．(Ⅰ)求(X1，X2)的聯(lián)合分布；(Ⅱ)求P{X1=0，X2≠0}，P{X1X2=0}；(Ⅲ)判斷X1，X2是否相關，是正相關還是負相關．標準答案：(Ⅰ)X1的可能取值為0，1；X2的取值為0，1，2．由乘法公式可得得聯(lián)合分布與邊緣分布如下表(Ⅱ)P{X1=0，X2≠0}=P{X1=0，X2=1}+P{X1=0，X2=2}=P{X1X2=0}=1－P{X1X2≠0}=1－[P{X1=1，X2=1}+P{X1=1，X2=2}]=1－或P{X1X2=0}=P{X1=0，X2=0}+P{X1=0，X2≠0}+P{X1≠0，X2=0}=(Ⅲ)由邊緣分布知EX1=5／8，EX2=，而EX1X2=故cov(X1，X2)=EX1X2－EX1EX2=由于協(xié)方差不為零且為負數(shù)，故知X1，X2負相關．知識點解析：暫無解析22、設隨機變量Xi～N(0，1)，i=1，2且相互獨立，令Y1=[*234]，Y2=+，試分別計算隨機變量Y1與Y2的概率密度．標準答案：(Ⅰ)因X1與X2獨立且同服從標準正態(tài)分布N(0，1)，故(X1，X2)的聯(lián)合概率密度為f(x1，x2)=當y≤0時，P{Y1≤y}=0；當y>0時，于是Y1的概率密度為(Ⅱ)f(x1，x2)=于是Y2的概率密度為知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設X1，X2為來自正態(tài)總體N(μ，σ2)的樣本，則X1+X2與X1-X2必()．A、線性相關B、不相關C、相關但非線性相關D、不獨立標準答案：B知識點解析：假設Y1=X1+X2，Y2=X1-X2所以E(Y2)=E(X1)-E(X2)=0．cov(Y1，Y2)=E(Y1Y2)-E(Y1)E(Y2)=E(X12-X22)=E(X12)-E(X22)=0．(B)是答案．2、A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：3、A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：4、A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：5、設A是n階矩陣，下列不是命題“0是矩陣A的特征值”的充分必要條件的是()．A、A的行向量組線性相關B、方程組AX＝0有非零解C、對任何非零向量b，方程組Ax＝b都沒有唯一解D、存在自然數(shù)k，使得Ak＝O標準答案：B知識點解析：暫無解析6、A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：7、設A為三階方陣，A1，A2，A3表示A中三個列向量，則｜A｜＝()．A、｜A3，A2，A1｜B、｜A1＋A2，A2＋A3，A3＋A1｜C、｜﹣A1，A2，A3｜D、｜A1，A1＋A2，A1＋A2＋A3｜標準答案：D知識點解析：暫無解析8、(2010年試題，一)設m，n為正整數(shù)，則反常積分的收斂性()．A、僅與m有關B、僅于n有關C、與m，n都有關D、與m，n都無關標準答案：D知識點解析：無界函數(shù)的反常積分有兩個瑕點x=0和x=1，因x→0+時，ln2(1一x)一x2，設g為一個常數(shù)，則又因為m，n是正整數(shù)，所以則必然存在q∈(0，1)，使得極限存在同理，因x→1-時，對于任意小的δ∈(0，1)，有所以，根據(jù)無界函數(shù)的反常積分的審斂法可知，該反常積分始終是收斂的，即它的斂散性與m，n均無關，故正確答案為D．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、微分方程y"-4y=e2x的通解為__________．標準答案：y=C1e2x+C2e-2x+x/4e2x．知識點解析：特征方程r2-4=0的兩個根為r1=2,r2=-2．由于非齊次項eαx中α=2=r1為單特征根，可設非齊次方程的特解為y=x.e2x，代人方程得a=1/4．故所求通解為y=C1e2x+C2e-2x+x/4e2x．10、標準答案：0知識點解析：11、標準答案：2,-3,-4知識點解析：12、標準答案：知識點解析：13、設隨機變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為f(x，y)和F(x，y)，令U=Y，V=2X，則隨機變量(U，V)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為_________．標準答案：知識點解析：設(U，V)的聯(lián)合分布函數(shù)為則(U，V)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為14、(2004年試題，2)已知f1(ex)=xe-s，且f(1)=0，則f(x)=__________.標準答案：由已知f’(ex)=xe-x，令t=ex，則x=lnt，從而，又由已知f(1)=0，代入上式得C=0，所以．解析二本題也可由f’(ex)=xe-x兩邊同乘ex，即f’(ex)ex=x，將此式兩邊積分得由已知廠(1)=0，則在上式中令x=0，則f(1)=C=0，因此，令ex=t，則x=lnt,即得．知識點解析：暫無解析三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、一男子到鬧市區(qū)去，他遇到背后襲擊并被搶劫，他斷言兇手是個白人，然而當調(diào)查這一案件的法院在可比較的光照條件下多次重復展現(xiàn)現(xiàn)場情況時，受害者正確識別襲擊者種族的次數(shù)約占80％，襲擊者確實是白人的概率是0．8嗎?試給出說明．標準答案：不對．如果調(diào)查中白人與其他種族的人數(shù)分別占60％和40％，且在襲擊者為白人的條件下，受害者正確識別的概率為70％；在襲擊者為其他種族的條件下，受害者正確識別的概率為95％，則利用全概率公式可得受害者的正確識別襲擊者種族的次數(shù)占80％．但在受害者正確識別的前提下，襲擊者確為白人的概率只有0．525．(計算可用貝葉斯公式)知識點解析：暫無解析16、設隨機變量X在(1，4)上服從均勻分布，當X=x(1＜x＜4)時，隨機變量Y的聯(lián)合密度函數(shù)為fY|X(y|x)=(Ⅰ)求Y的密度函數(shù)；(Ⅱ)求X，Y的相關系數(shù)；(Ⅲ)令Z=X—Y，求Z的密度函數(shù)．標準答案：(Ⅰ)隨機變量X的邊緣密度函數(shù)為fx(x)=則(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x，y)=fx(x)fY|X(y|x)=則Y的邊緣密度函數(shù)為fY(y)=∫-∞+∞f(x，y)dx．當y≤0或y≥4時，fY(y)=0；當0＜y＜1時，fY(y)=當1≤y＜4時，fY(y)=所以(Ⅲ)Fz(z)=P{Z≤z}=P{X—Y≤z}=當z＜0時，F(xiàn)z(z)=0；當0≤z＜1時，F(xiàn)z(z)=當1≤z＜4時，F(xiàn)z(z)=當z≥4時，F(xiàn)z(z)=1．所以知識點解析：暫無解析17、標準答案：知識點解析：暫無解析18、標準答案：知識點解析：暫無解析19、標準答案：知識點解析：暫無解析20、標準答案：知識點解析：暫無解析21、設，求a,b.標準答案：原式知識點解析：暫無解析22、用洛必達法則求下列極限：標準答案：知識點解析：暫無解析23、標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學（數(shù)學一）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設f(x)=則f(x)在x=0處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導C、可導但導數(shù)不連續(xù)D、連續(xù)可導標準答案：B知識點解析：因為f(0一0)=f(0)=f(0+0)=0，所以f(x)在x=0處連續(xù)，又因為不存在，所以f(x)在x=0處連續(xù)但不可導，選B2、當x＞0時，f(lnx)=，則∫-22xf’(x)dx為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：選C3、設f(x，y)=則f(x，y)在(0，0)處()．A、連續(xù)但不可偏導B、可偏導但不連續(xù)C、連續(xù)、可偏導但不可微D、可微標準答案：C知識點解析：因為0≤|f(x，y)一0|=所以=0=f(0，0)，故f(x，y)在(0，0)處連續(xù)．所以fx’(0，0)=0，同理fy’(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)處可偏導．所以f(x，y)在(0，0)處不可微，選C4、設∑為由直線繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的曲面，則∑上點P=(一1，1，一2)處的法線方程為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：設M(x，y，z)為曲面∑上的任意一點，過M點且垂直于x軸的圓交直線于點M0(x，y0，z0，圓心為T(x，0，0)，由|MT|=|M0T|得y2+z2=y02+z02．因為．所以y0=-x，z0=2x，故曲面∑的方程為5x2一y2一z2=0．曲面∑上點P(一1，1，一2)處的法向量為n={10x，一2y，一2z}p={一10，一2，4}，法線為，選D5、設A為m×n矩陣，以下命題正確的是()．A、若AX=0只有零解，則AX=b只有唯一解B、若AX=0有非零解，則AX=b有無數(shù)個解C、若r(A)=n，則AX=b有唯一解D、若r(A)=m，則Ax=b一定有解標準答案：D知識點解析：因為當r(A)=m時，則r(A)==m，于是若r(A)=m，則AX=b一定有解，選(D)．6、設A，B為n階方陣，令A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，則下列命題正確的是()A、若矩陣A，B等價，則向量組α1，α2，…，αn與向量組β1，β2，…，βn等價B、若A，B的特征值相同，則A，B等價C、若AX=0與BX=0同解，則A，B等價D、若A，B等價，則AX=0與BX=0同解標準答案：C知識點解析：由A，B等價得r(A)=r(B)，從而向量組α1，α2，…，αn與向量組β1，β2，…，βn的秩相等，但兩向量組秩相等不一定可相互線性表示，即不一定等價，不選(A)；若A，B特征值相同，r(A)與r(B)不一定相等，從而A，B不一定等價，顯然A，B的特征值相同，但r(A)=1≠r(B)=2，故A，B不等價，不選(B)；若方程組AX=0與BX=0同解，則r(A)=r(B)，從而A，B等價，反之不對，應選(C)．7、設隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則隨機變量Y=min(X，2)的分布函數(shù)()．A、是階梯函數(shù)B、恰有一個間斷點C、至少有兩個間斷點D、是連續(xù)函數(shù)標準答案：B知識點解析：Fy(y)=P{Y≤y}=P{min(X，2)≤Y}=1一P{min(X，2)＞y}=1一P{X＞y，2＞y}=1一P{X＞y)P{2＞y}，當y≥2時，F(xiàn)y(y)=1；當y＜2時，F(xiàn)y(y)=1一P{X＞y}=P{X≤y}=則顯然FY(y)在y=2處間斷，選B8、設X1，X2，…，X16為正態(tài)總體X～N(μ，4)的簡單隨機樣本，設H0：μ=0，H1：μ≠0的拒絕域為，則犯第一類錯誤的概率為()A、2ψ(1)一1B、2—2ψ(1)C、D、標準答案：B知識點解析：因為σ2=4已知，所以取檢驗統(tǒng)計量．犯第一類錯誤的概率為二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、若當x→0時，(1+2x)x一cosx一ax2，則a=_______．標準答案：知識點解析：因為當x→0時，(1+2x)x一1=exln(1+2x)一1～xln(1+2x)～2x2，所以(1+2x)x一cosx=(1+2x)x一1+1一cosx～2x2+10、標準答案：知識點解析：11、設直線L：繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的曲面為∑，則∑介于z=0與z=1之間的體積為______．標準答案：知識點解析：任取M(x，y，z)∈∑，過M(x，y，z)垂直于z軸的圓交直線L于點M0(x0，y0，z)，圓心為T(0，0，z)，由|MT|=|M0T|得x2+y2=x02+y02．則曲面∑的方程為x2+y2=5z2+14z+10，于是幾何體的體積為V=12、設函數(shù)y=y(x)在(0，+∞)上滿足則y(x)=_____．標準答案：x(1一cosx)知識點解析：由可微的定義，函數(shù)y=y(x)在(0，+∞)內(nèi)可微，且由一階非齊次線性微分方程的通解公式得13、設矩陣，矩陣A滿足B-1=B*A+A，則A=_______．標準答案：知識點解析：=2，B-1=B*A+A兩邊左乘B得E=2A+BA，即(B+2E)A=E，則A=(B+2E)-1=14、設隨機變量且Coy(X，Y)=則(X，Y)的聯(lián)合分布律為______．標準答案：知識點解析：由Cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=E(XY)一，得因為