人教A版（2019）選擇性必修第二冊第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用本章達(dá)標(biāo)檢測（含答案解析）

人教A版(2019)選擇性必修第二冊過關(guān)斬將第五章一元函

數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用本章達(dá)標(biāo)檢測

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.函數(shù)"x)=d在區(qū)間［-1,2］上的平均變化率為()

A.-1B.1C.2D.3

2.下列導(dǎo)數(shù)運算正確的是()

rr

A.(2，'=犬,2XTB.(sinxcosx+l)=cos2xC.(1gx)=—

D.(一)'=/

3.已知函數(shù)/(x)=x(2018+lnx),若/'(%)=2019,則%=()

2

A.eB.1C.In2D.e

4.函數(shù)y=/(x)在R上可導(dǎo)，且=2尤2(l>x-3,則〃l)+r⑴=

A.0B.1C.-1D.不確定

5.已知函數(shù)/(x)=/-2cosx,貝1］/(。),/［一￡|,/［|］的大小關(guān)系是()

兒"㈢OB.(小…自

C./0<L(O)口.訃/㈢

6.函數(shù)/。)=2/_111|劃的部分圖像大致為()

7.已知函數(shù)/（x）=lnx+￡,直線y=-x+3與曲線y=/（x）相切，則。=（）

A.1B.2C.3D.4

8.設(shè)函數(shù)/(x)=_%(%_〃)2(XER),當(dāng)〃〉3時，不等式/(-左_sin8_1)N/(左之一sir?8)

對任意的左e［-L0］恒成立，則。的可能取值是（）

n

A.——

3-T

二、多選題

9.下列結(jié)論中正確的有（)

A.若；y=siti],貝ijy'=。B.若/(%)=3,一尸⑴x,則廣⑴二3

C.若>=-?+無，貝!]，'=D.若y=sin%+cos%,則y'=cosx+sinx

A十】

一；,4上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)r（x）圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確

10.定義在區(qū)間

的是（）

函數(shù)“X）在區(qū)間［J,。］單調(diào)遞減

B.

C.函數(shù)/（可在x=1處取得極大值

D.函數(shù)/■（X）在X=0處取得極小值

11.若實數(shù)m的取值使函數(shù)在定義域上有兩個極值點，則稱函數(shù)/（x）具有“凹凸趨

向性"，已知/'（X）是函數(shù)/（X）的導(dǎo)數(shù)，且尸（無）=--21nx,當(dāng)函數(shù)F（X）具有“凹凸趨向

x

性''時，機的取值范圍的子集有（）

2二,。221

A.—,+ooB.C.—00,------D.

eee

12.已知定義在0,3上的函數(shù)”X）的導(dǎo)函數(shù)為了'⑴，且〃0）=0,

試卷第2頁，總4頁

f'(x)cosx+/(x)sinx<0,則下列判斷中正確的是

三、填空題

13.己知/(%)=根，則lim"“。一3一)一〃尤。)=.

-Ax

14.己知函數(shù)/(%)=32_23_°111尤在(1,2)上單調(diào)遞減,則實數(shù)。的取值范圍是.

1+Inx,x>1

15.已知函數(shù)/(尤)=?尤+1,若存在玉力尤2，使得/(石)+/(馬)=2,則占+々的

-----,X<1

12

取值范圍是.

四、雙空題

16.已知/(》)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x?0時，/(%)=2X3-3X2+?,則〃-2)=

；曲線y=/(X)在點(-2,〃-2))處的切線方程為.

五、解答題

17.已知函數(shù)f(x)=工.

ex

(1)求函數(shù)了。)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域.

18.已知函數(shù)/1(x)=(a-6)x2-x-xlnx.

(1)若曲線y=/(無)在點處的切線與x軸平行，且7?⑴=環(huán)求a,b的值；

(2)若。=1,/("NO對xe(O,+w)恒成立，求b的取值范圍.

19.已知函數(shù)/'(■x)=cosx+;tsinx—l.

(I)若xe(0,兀)，求f(x)的極值；

(II)證明：當(dāng)xe[0,%]吐2sinx-xcosx2尤.

20.如圖，已知A、8兩個城鎮(zhèn)相距20公里，設(shè)Af是中點，在A3的中垂線

上有一高鐵站P,PM的距離為10公里.為方便居民出行，在線段尸M上任取一點。

(點。與尸、M不重合)建設(shè)交通樞紐，從高鐵站鋪設(shè)快速路到。處，再鋪設(shè)快

速路分別到A、8兩處.因地質(zhì)條件等各種因素，其中快速路尸0造價為1.5百萬元/

公里，快速路OA造價為1百萬元/公里，快速路OB造價為2百萬元/公里，設(shè)

N0A"=6rad,總造價為y（單位：百萬元）.

（1）求y關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的定義域；

（2）求總造價的最小值，并求出此時。的值.

21.已知函數(shù)/（x）=+（。+1）%.

（1）討論函數(shù)〃x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)函數(shù)/（x）圖象上不重合的兩點A說,乂）,8（七%）（%＞馬）.證明：左加＞/（七匹）.

（左轉(zhuǎn)是直線A3的斜率）

22.已知函數(shù)/（x）=g（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

e

（1）求函數(shù)/（尤）的零點九0，以及曲線＞=/（%）在％=%處的切線方程；

（2）設(shè)方程/（%）=皿根＞。）有兩個實數(shù)根，求證：歸-馬|＜2-皿1+1）.

試卷第4頁，總4頁

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參考答案

1.B

【分析】

直接利用平均變化率公式一?進(jìn)行求值.

x2一%

【詳解】

因為/(%)=X2,

所以在區(qū)間［-1,2］上的平均變化率為八，-=1.

故選：B

【點睛】

本題考查函數(shù)的平均變化率，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.B

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計算公式，以及導(dǎo)數(shù)的運算法則，逐項判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】

對于A,(2*j=21n2,A錯誤；

對于B,(sinxcos%+l)f=(sincosx+sinx(cosx)'=cos2x—sin2x=cos2x,B正確；

對于C,(lgx)'=—J,C錯誤；

xlnlO

對于D,(一)'=—一,D錯誤.

故選：B.

3.B

【分析】

先求出/(x)=2019+lnx,再代入求解即可.

【詳解】

解:由函數(shù)〃x)=M2018+lnx),

貝l|/(x)=2018+lnx+x.L=2019+ln尤，

又）=2019,

答案第1頁，總16頁

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則InX。=0,

即尤o=1>

故選：B.

【點睛】

本題考查了導(dǎo)函數(shù)的求法，重點考查了運算能力，屬基礎(chǔ)題.

4.C

【分析】

求出/(無)，尤=1代入求出/(1),/(%),進(jìn)而求出“1),即可求解.

【詳解】

/(X)=2X2-/(1).X-3,得7''(X)=4X-〃1),

.'./(I)=4-/(1),/")=2"(x)=2X2-2X-3,

/(l)=-3,.-./，(l)+/(l)=-l.

故選:C

【點睛】

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及簡單的運用，屬于基礎(chǔ)題.

5.A

【分析】

判斷了(元)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)判斷(01)上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性以及奇偶性比較大小即可.

【詳解】

易知/(x)=x2-2cosx為偶函數(shù)

"IT"

?.?/'(%)=2%+2sin%,當(dāng)尤￡(0,1)時,f\x)＞0,；?/(%)在(0,1)上為增函數(shù)

"(。)＜《［＜佃

故選：A

6.A

【分析】

答案第2頁，總16頁

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根據(jù)奇偶性的定義，結(jié)合函數(shù)極限以及利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，即可判斷和選擇.

【詳解】

容易得了（X）定義域為（F,0）5。,?。╆P(guān)于原點對稱，

又/(x)=2x2-ln|x|=/(-x),

故函數(shù)/（X）是偶函數(shù)，

,/（龍）的圖象關(guān)于y軸對稱，

故排除B,

又lim/（x）T+oo,

故排除D.

當(dāng)x>0時，f'（x）=4x-1,令尸（x）=0,解得x=g；

故當(dāng)時，/（x）單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

止匕時=

故排除C.

故選：A.

【點睛】

本題考查函數(shù)圖象的辨識，涉及函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷，屬綜合基礎(chǔ)題.

7.B

【分析】

設(shè)切點為伍,為）,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義與仇,兄）在〃x）=lnx+￡與y=-x+3上聯(lián)立求解即

可.

【詳解】

設(shè)切點為（%,%）,則尸（月=：-￡,又直線y=r+3與曲線y=〃x）相切故%=-飛+3

1a

%=1口玉）+——%。

八1aa",

消去為有_%o+3=In/+—=>一=-x0+3-lnx0，代入第一個式子有

玉）xo

答案第3頁，總16頁

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/\I41

—

I(--^)+3—Inx0)=—x0n2x0+lnXo—2=0.易得%=1.代入^=一]有a=2.

xoxo

故選：B

【點睛】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運用，需要根據(jù)在某點處導(dǎo)函數(shù)的值等于在該點處切線的

斜率以及切點在切線方程與函數(shù)式上聯(lián)立求解即可.屬于中等題型.

8.D

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)〃x)的單調(diào)性，得到-24此-sine-KL-lVf—sirevi,把不等式恒

成立，轉(zhuǎn)化為得$m20-$也，一14左2+左=,+￡|2一；對任意的左€[_1,0]恒成立，求得

--<sin0<l,結(jié)合選項，即可求解.

2

【詳解】

由題意，函數(shù)/(x)=-x(x-a)2,可得/'(無)=—(3x-a>(x-a),

令廣。)=0,解得尤=5或苫=.,當(dāng)a>3時，可得]<a,

所以/⑴在+◎上單調(diào)遞減，在已a]上單調(diào)遞增，

又當(dāng)a>3時，|>1,所以/(X)在(ro,l]上為減函數(shù)，

xe[-1,0],sinG[-1,1],所以一2〈一左一sin6—l?l,—lV左2—sin2，vi,

由不等式f(-k-sin0-l)>/(r_sin?對任意的丘恒成立，

得sin26?-sin6-\<k2+k=[k+^一:對任意的ke[-1,0]恒成立，

ii31

所以si/d-sin，一14一一恒成立，解得--VsinOV—,即——<sin0<l,

4222

57r

結(jié)合選項知，可得。的可能取值是

6

故選：D.

【點睛】

易錯警示：利用單調(diào)性解決相關(guān)應(yīng)用問題時，要注意單調(diào)區(qū)間的判定，當(dāng)自變量都在同一個

單調(diào)區(qū)間內(nèi)才能利用相應(yīng)的單調(diào)性，解題時防止漏證導(dǎo)致解題錯誤.

答案第4頁，總16頁

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9.ABC

【分析】

根據(jù)常見的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和常用的導(dǎo)數(shù)運算法則求解即可.

【詳解】

選項4中，若丁=5由工=立，則y=0,故A正確；

32

選項8中，若/（刀=3/一/⑴?無,則尸（x）=6x-1f⑴,

令x=l,則廣(D=6-尸(1),解得/(1)=3,故B正確;

則丫'=-5%+1,故C正確;

選項C中，若y=-&+x

選項。中，若y=sin尤+cos尤，則y'=cosx-sinxx,故。錯誤.

故選:ABC

【點睛】

1.常見的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

（1）（C），=O（C為常數(shù)）;

⑵（尤"y=i（〃eN+）；

(3)(sinx),=cosx；(GQSX)，=-sinx；

(4)(^x)-ex；(優(yōu)戶axlna(a>0,且aw1)；

(5)(Inx)^-；(logaX)'=‘logae(a>0,且aw1).

XX

2.常用的導(dǎo)數(shù)運算法則

法則L[w(x)±v(x)I=^(x)±V(x).

法則2：\u(x)v(-V)]-(x)v(x)+w(%)V(x).

法則3：臥皿券詈1%⑺/o）

10.ABD

【分析】

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性和極值，由此判斷出正確選項.

【詳解】

答案第5頁，總16頁

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根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像可知，〃尤)在區(qū)間(e,0)上，/(x)<0,/(尤)單調(diào)遞減，在區(qū)間(o,+功上，

/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.所以/(尤)在x=0處取得極小值，沒有極大值.

所以A,B,D選項正確，C選項錯誤.

故選：ABD

【點睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)圖像判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值，屬于基礎(chǔ)題

11.BD

【分析】

首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，/,(x)=--21nx=m_2x—,(x>0),由題意可知若函數(shù)具有“凹凸趨

XX

向性”時，機=2xlnx在(0,+e)有2個不同的實數(shù)根，貝。設(shè)函數(shù)g(x)=2xlnx,根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷

函數(shù)的范圍，求得優(yōu)的取值范圍.

【詳解】

口?、mim—2x\nx八、

依意思得f(%)=-----21nx=----------(z%>0),

XX

若函數(shù)/(X)具有“凹凸趨向性”，則根=2xInX在(0,+8)上有2個不同的實數(shù)根,

令g(x)=2xlnx,貝ljg'(x)=2(l+lnx),

令g'(x)>0,解得x>L令g，(x)<0,解得0<x/，

ee

g(x)在(o,1上單調(diào)遞減，在仁,+8)上單調(diào)遞增，

故g(x)的最小值是g[']=-2,當(dāng)x->0時，g(x)f0,故二

\e)ee

故選：BD.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵是得到7〃=2xlnx在(0,+8)上有2個不同的實數(shù)根，進(jìn)而研究

不含參數(shù)的函數(shù)圖像特征解決問題即可.

12.CD

【分析】

先令g(x)=@,對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題意，得到g(x)=上在10,0上單調(diào)遞減，再逐項

判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】

答案第6頁，總16頁

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令g(x)=/^2,xe0,y\

COSXizy

ff(x)cosx+f(x)sinx

則g'(x)=

cos2x

因為/'(%)cosx+/(x)sinx<0,

所以g，(x)=3*I0<o在心］上恒成立,

因此函數(shù)g(x)=3在Jo,上單調(diào)遞減，

cosxL)

又〃0)=0,所以g(0)=2”=0,所以g(x)=」迫40在上恒成立,

cosOcosxLZ)

因為In^e所以故B錯；

故C正確;

故D正確;

故選：CD.

【點睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性等，屬于?？?/p>

題型.

13.—3m

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的定義可得答案.

【詳解】

廣(%)=根,

原式=-3limJ、-3Ax)T(x。)

——3Ax

，

=-3/(-x0)=-3m.

故答案為：-3m

答案第7頁，總16頁

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14.

【分析】

根據(jù)題意求出f(x)的導(dǎo)函數(shù)7'(X),然后令/'(X)在(1,2)上小于等于零恒成立，由二次函數(shù)

的性質(zhì)求出函數(shù)值的范圍，即可得到。的取值范圍.

【詳解】

由/(X)=工f-2ov-qlnx可得：f\x)=x-2a--=-——,

2xx

,,,函數(shù)/(尤)=(龍2-2依-<7111》在(1,2)上單調(diào)遞減，

廣(X)=廠一340在(1,2)上恒成立,

x

g(x)=f-2ax-aW0在(1,2)上恒成立，

根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)可知要使g(x)=V-2依-。W0在(1,2)上恒成立，

1

a>—

g(l)=l-3?<03

則:g(2)=4-5fl<0,解付：

4，

a>—

5

的取值范圍是寸十°°j,

故答案為:+°°]

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的知識,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸思想的運用能力，屬于中檔題.

15.[3—2In2,+oo)

【分析】

由函數(shù)的解析式，得出國+%=尤2-21119+1,尤2>1，令+

利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g(%)的單調(diào)性和最值，即可求解.

【詳解】

因為尤1*馬，所以不妨設(shè)不<三.

Y+1

當(dāng)無之1時，/(x)=l+lnx>l,當(dāng)尤vl時，f(x)=—^—<l,

根據(jù)〃西)+/伍)=2,可知占<1<%,所以="J(%)=l+lnx2，

答案第8頁，總16頁

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所以/(%)+/(々)=^^+1+111%=2,故玉=l_21n%,

所以項+々=%2-2In%2+1,光2>1.

JQ—2

記g(%)=%-21nx2+1(々>1)，則g'(%)=亡—,

當(dāng)X2€(1,2)時，g'(N)<0,所以g(w)在(1,2)上單調(diào)遞減，

當(dāng)代￡(2,+00)時,81巧)>0,所以g(z)在(2,+00)上單調(diào)遞增,

所以g(W"g(2)=3-21n2,

又當(dāng)々f+8時，g(%)-xo,所以g(N)的值域是［3-21n2,zo).

所以Xi+x2的取值范圍是［3-2In2,+oo).

故答案為：［3-21n2,+co).

【點睛】

方法總結(jié)：解答此類問題，首項根據(jù)分段函數(shù)的解析式明確自變量的取值范圍，找到網(wǎng)、尤2

的關(guān)系.進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的值域，從而得到取值范圍.

16.—412%—y+20-0

【分析】

根據(jù)奇函數(shù)得到。=0,計算〃-2)=-"2)=-(16-12)=-4,求得x<0時的解析式為

/(X)=2X3+3X2,求導(dǎo)得到切線方程.

【詳解】

〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，貝|〃0)=。=0,故。=0,

⑵=-(16-12)=T,

當(dāng)x<0時，-x>0,故〃一力=一2工3一3f,〃尤)=—〃r)=2/+3x2,

f\x)=6x1+6x,尸(—2)=12,故切線方程為：y=12(x+2)—4,

即12x-y+20=0.

故答案為：-4;12x-y+20=0.

【點睛】

本題考查了函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)值，函數(shù)的切線方程，意在考查學(xué)生對于函數(shù)知識的綜合

答案第9頁，總16頁

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應(yīng)用.

-4

17.(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(f,0),(2,一)；(2)0,—

e

【分析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值點，從而求出函數(shù)的最值即可.

【詳解】

解：(1)由題意得，((尤)=9*,令/得0。<2,

ex

令尸(x)v。，得兀>2或兀<0,故函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間為

(-co,0),(2,+oo).

(2)易矢口/(0)=0,/(2)=：,

因為/⑵-小｝:％中

16-2/8-e2(2A/I+C)(2忘一e)八

>---z-=---Z—=---------Z------>0，

4e22e22e2

所以八

(或由/閆邛<先邛可得,

r2

又當(dāng)x>0時，f(x)=一>0,

e

1「4-

所以函數(shù)/(X)在區(qū)間-彳，+8上的值域為0—.

【點睛】

確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：

第一步，確定函數(shù)〃x)的定義域;

第二步，求了'(X);

第三步，解不等式/(尤)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式f(x)<0,

解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

答案第10頁，總16頁

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[6Z=0I

18.(1)\；(2)&e(z^x),O]

[b=-1

【分析】

(1)對“X)求導(dǎo)，/(1)=0,/'(1)=。解方程組求出。，匕即可.(2)將a=l代入，利用

參變分離可以將問題轉(zhuǎn)化為6W1-'-則在(0,口)恒成立，求出g(x)=l-L-啊的最小

XXXX

值，令(%)式即可.

【詳解】

(1)/(x)=(tz-Z?)x2-x-xlnx,//(x)=2(tz-Z?)x-lnx-2,

Jf[i}=a-b-\=aU=0

田[廣⑴=2(a_b)-2=0,付[b=-T

(2)因為a=l,/(A:)=(1-Z2)X2-x-xlnx,

等價于

XX

令g(x)=」一螞，"坐

XXX

當(dāng)x?0,l)時，g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(l,y)時，g'(x)>0,所以g(x)在。,包)上單調(diào)遞增，

所以8()「8(1)=°，

所以6e(-co,0].

【點睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，屬于中檔題.

71

19.(I)——1

2

(H)見解析

【分析】

(I)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極值；

(II)構(gòu)造函數(shù)g(x)=2sin尤-xcosx-x,證明函數(shù)在xe[0,加時g(尤)20恒成立.

【詳解】

解(I)/(x)=cosx+xsinx-l

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/'(%)=xcos%,

當(dāng)Xe[o,gJ時,廣(X)>o；當(dāng)時，/(x)<0

當(dāng)x變化時，/'(尤)J(x)的變化情況如下表：

71

X7

/‘(X)+0-

fM單調(diào)遞增--1單調(diào)遞減

2

因此當(dāng)無與時,〃無)有極大值,并且極大值為“X)蛆值=應(yīng))=]-1,沒有極小值.

(II)令函數(shù)g(jv)=2sinx-xcosx-x,g'(x)=cosx+;rsinx—l=/(x)

由(I)知〃x)在區(qū)間(0,會上單調(diào)遞增，在區(qū)間15，"上單調(diào)遞減.

又/(0)=0,/(1)=^-1>0,/(乃)=-2<0

故f(x)在(0,71)存在唯一零點.設(shè)為七，則g，(％)=/(%)=0

當(dāng)xe(O,x())時,g，(尤)>0；當(dāng)時,g，(x)<0,

所以g(x)在區(qū)間(。,不)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(不，兀)上單調(diào)遞減

又g(o)=o,gOr)=0，所以，當(dāng)尤e[0,兀]時,g(x)20.

故2sinx-xcosx2x.

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立問題，屬于綜合題.

20.(1)y=15|-tan6>|+15,(0<，<￡)(2)最小值為15君+15,此時。=工

〈cos。J46

【分析】

(1)由題意，根據(jù)三角形的性質(zhì)，即可得到>=15(三-1211。]+15,(0<。<彳)；

(2)構(gòu)造函數(shù)/(e)=W-tand=”^,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)

COSacos”

的最值.

【詳解】

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(1)\-ZOAM=0,PM±AB

AO=BO=-^―,OM=10tan^,OP=10-10tan^

cosG

/.y=x1+x2+(10-10tan^)xl.5=——15tan^+15,

cos。cos。cos。

=15|——-tan1+15\Q<0<-\

(cos。JI4J

22-sin。

Q)設(shè)/⑻=^Tan*

cos。

-cos2^+sin6(2-sin8)2sin<9—l

則廣(e)=

cos?。cos?。

令尸⑻=0,sine=^0<”(,所以6」.

jr1

當(dāng)0＜。＜9,5皿。＜：,尸（6）＜0,丁=/（6）單調(diào)遞減；

62

當(dāng)?＜"&ine＞g尸⑻＞0,y=/⑻單調(diào)遞增;

所以的最小值為了國=A

答：y的最小值為15石+15（百萬元），此時6=9

6

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)的實際應(yīng)用問題，以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性與最值問題，其中解答

中認(rèn)真審題,合理建立函數(shù)的關(guān)系式,準(zhǔn)確利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵,

著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.

21.（1）①當(dāng)時，函數(shù)/（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增；②當(dāng)。＜0時，函數(shù)f（x）在（0,_1）上

a

單調(diào)遞增，在（-工,+⑹上單調(diào)遞減.（2）證明見解析

a

【分析】

（1）先由題意，得到函數(shù)定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，分別討論。20和。＜0兩種情況，解對應(yīng)的

不等式，即可得出其單調(diào)性；

（2）根據(jù)斜率公式，由題意，得到"8=上二^=史五二達(dá)±+生?+（。+1）,再由

xx-x2xx-x22

「（三盧）=二+"J：%）+5+1）,將證明的問題轉(zhuǎn)化為證明

2玉+%2

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ln五>蟲二J—,令土=々>1),即證fe(l,+⑹時，3>也心成立，設(shè)

X

X2X1+X2i+12才+1

x2

g(f)=ln-"2,(t>l),對其求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法求其范圍，即可得出結(jié)果.

t+1

【詳解】

(1)函數(shù)/(X)的定義域為(。,+8),

且「(幻」+辦+3+1)="2+(a+l)x+l=3+D(x+l)

①當(dāng)a20時，f\x)=-+ax+(<7+l)>0,此時f(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增；

②當(dāng)avO時，令尸(x)=O可得X=—1或x=—l(舍)，-->0,

aa

由((x)>0得0<%<」，由(a)vo得元〉」，

aa

所以/(元)在(0,-3上單調(diào)遞增，在(-士+8)上單調(diào)遞減.

aa

綜上：①當(dāng)a20時，函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)。<。時，函數(shù)”元)在(0,-工)上單調(diào)遞增，在(-L+⑹上單調(diào)遞減.

aa

(2)由題意得%=ln玉+(6Z+1)^,y2=lnx2+(a+I)x2,

1212

_]n%i+—QX]+(a+l)玉一(In/+一〃=2+(〃+l)%2)

所以歸_%_______22_____________

^AB——

x1-x2-x2

Jx-ln%igi+w)gi)

x1-x22

又八寧)='+”^+(a+l),

2x{+x22

要證磯>r(S三)成立，

Inx,一Iny,2

即證：一!------>-----成立，

xx-x2xx+x2

9/_\2(土-1)

即證：ln±」(…)」成立.

ZXl+X2五+1

令%=々>1),即證fe(l,+8)時，Int>至二^成立.

x2t+1

設(shè)g(r)=lnr-2"J),(r>l)

t+1

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,1410-I)?

貝Ig(o=——-T=R\>o,a>i)

t(r+1)-z-(f+l)

所以函數(shù)gQ)在(i,y)上是增函數(shù)，

所以Vte(l,+oo),都有g(shù)(f)>g⑴=0,

即V/e(l,+oo),

r+1

所以現(xiàn)>d七衛(wèi))

【點睛】

本題主要考查用導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，以及用導(dǎo)數(shù)的方法證明不等式恒成立，通常需

要對函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，以及最值等，屬于?？碱}型.

2

22.(1)尤。=±1,切線方程為'=2心+1)和、=一(廠1)；(2)證明見解析.

e

【分析】

(1)由/。)=0,求得x=±l,得到函數(shù)的零點七=±1,求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾

何意義，即可求得曲線y=/(x)在X