人教版高中數學必修第一冊4.4對數函數 課時11 不同函數增長的差異【課件】VIP

4.4對數函數課時11不同函數增長的差異教學目標1.通過自主探究一次函數、指數函數和對數函數的圖象特征和增長速度,掌握由特殊到一般、由具體到抽象的數學研究方法.2.歸納總結一次函數、指數函數、對數函數等的增長差異,體會“直線上升”“指數爆炸”和“對數增長”等不同類型函數增長特征的含義.3.能運用不同函數的增長差異,解決一些簡單的實際問題,感悟函數模型的用途與價值,提升分析問題、解決問題的能力.學習目標課程目標學科核心素養(yǎng)理解和掌握幾種常見函數的增長差異,掌握由特殊到一般、由具體到抽象的數學研究方法通過自主探究函數的圖象特征和增長速度，培養(yǎng)數學抽象、直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)體會“直線上升”“指數爆炸”和“對數增長”等不同類型函數增長特征的含義借助圖象體會不同函數的增長速度，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)能夠利用不同函數增長的差異,通過構建函數模型,運用函數的圖象和性質解決實際問題利用不同函數的增長差異解決相關問題，培養(yǎng)數學運算、數據分析等素養(yǎng)情境導學

在日常生活中，增長現象到處都是．比如我國GDP(國內生產總值)的增長，澳大利亞的兔子在短時間內迅速繁殖，某地區(qū)房價的上漲，等等．事實上，在我們學過的函數中，也有很多是增長型的．你能列舉出以前學過的增長型函數嗎？它們的增長速度是否一樣？【活動1】探究指數函數與一次函數的增長差異【問題1】請用描點法畫出函數y＝2x和y＝2x的圖象，它們的圖象有什么特點？初探新知【問題2】上述兩個函數的增長速度分別是怎樣的？【問題3】如果取更大的x的值，這兩個函數圖象的增長速度如何？【問題4】指數函數y＝ax(a>1)與一次函數y＝kx(k>0)的增長有何差異？【活動2】探究對數函數與一次函數的增長差異【問題6】上述兩個函數的增長速度分別是怎樣的？【問題7】如果取更大的x的值，這兩個函數圖象的增長速度如何？

典例精析

思路點撥：函數值增長的快慢取決于函數類型，不同函數的圖象是不一樣的，因而不同函數類型對應的增長特點也是不一樣的．指數函數和對數函數圖象的增長趨勢取決于底數的大?。瓵D【方法規(guī)律】一次函數的增長速度是不變的，底數不同的指數函數和對數函數的增長差異是不同的．當a>1時，指數函數的底數越大，其函數值的增長速度越快；對數函數的底數越大，其函數值的增長速度越慢．

【解】根據指數函數的增長特點，可知底數越大，其函數值的增長速度越快，故正確A，B錯誤；根據對數函數的增長特點，可知底數越小，其函數值的增長速度越快，故C錯誤，D正確．故選AD

AD【解】對于A,一次函數的增長速度保持不變,正確;對于BC,當0<a<1時,顯然不成立;對于D,當a>1,n>0時,一定存在x0,使得當x>x0時,總有ax>xn>logax,但若去掉限制條件“a>1,n>0”,則結論不成立.故選AD.思路點撥：利用函數的圖象，結合選項逐一計算判斷即可．【例2】[教材改編題]假設你有一筆資金用于投資,現有三種投資方案供選擇,這三種方案每天的回報如圖,橫軸為投資時間,縱軸為每天的回報.根據以上信息,若使回報最多,下列說法中錯誤的是 (

)例2A.投資3天以內(含3天),采用方案一B.投資4天,不采用方案三C.投資6天,采用方案一D.投資12天,采用方案二【解】由圖可知，投資3天(含3天)內的，結合圖象對應的高低，可得方案一的回報最多，所以A正確；投資4天，方案一的回報約為40×4＝160(元)，方案二的回報約為10＋20＋30＋40＝100(元)，結合圖象對應的高低，可知方案一、方案二都比方案三高，所以B正確；投資6天，方案一的回報約為40×6＝240(元)，方案二的回報約為10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，結合圖象對應的高低，可知方案一比方案二、方案三高，所以C正確；投資12天，根據圖象的變化可知，方案三高很多，所以采用方案三，所以D錯誤．故選D.【方法規(guī)律】解題時，需熟練掌握指數函數的增長特點，即指數函數y＝ax(a>1)在［0，+∞）上單調遞增，圖象的增長速度越來越快．

【變式訓練2】(多選)[2020·江西宜春模擬]某池塘中有一塊浮草，浮草蔓延后的面積y(m2)與時間t(月)之間的函數解析式是y＝at－1(a>0，且a≠1)，它的圖象如圖所示．以下結論中正確的有(

)A.池塘中原有浮草的面積是0.5m2B.第8個月浮草的面積超過60m2C.浮草每月增加的面積都相等D.若浮草面積達到10m2，20m2，30m2所經過的時間分別為t1，t2，t3，則2t2>t1＋t3ABD

思路點撥

先根據表中所給的數據作出散點圖，然后根據圖象的增長速度，再結合松樹生長的實際情況綜合判斷應該用哪種函數模型，之后用待定系數法求出函數模型中的參數，進而就可以利用得到的函數模型進行預測．

【例3】某人對東北一種松樹的生長進行了研究，收集了其高度h(m)與生長時間t(年)的相關數據如下表若選擇h＝mt＋b與h＝loga(t＋1)來擬合h與t的關系，你認為哪個符合？并預測第8年的松樹高度．

【解】據題表中數據作出散點圖如圖：

【變式訓練3】

洪澤湖是中國大湖中唯一的活水湖，水質優(yōu)良，有利于優(yōu)質大閘蟹的生產．泗洪中學數學興趣小組進行社會調查，了解到某大閘蟹生產銷售公司為了實現100萬元的利潤目標，準備制定如下銷售獎勵方案：在銷售利潤超過6萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數不超過3萬元，同時獎金不能超過總利潤的20%.同學們利用所學函數知識，設計了甲：y＝0.04x，乙：y＝log11(3x－10)兩種函數模型，其中符合公司要求的是________．(填“甲”或“乙”，參考數據：1.015100≈4.432，lg11≈1.041)乙

思路點撥

根據表中所給的數據初步判斷圖象的增長速度,通過給定的函數模型進行綜合判斷,之后用待定系數法求出函數模型中的參數,進而就可以利用得到的函數模型進行預測.（備選例題）某汽車制造商在2022年初公告:公司計劃2022年的生產目標定為43萬輛.已知該公司近三年的汽車生產量如下表所示:如果我們分別將2019、2020、2021、2022定義為第一、二、三、四年.現在有兩個函數模型:二次函數模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指數函數模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),哪個模型能更好地反映該公司生產量y與年份x的關系?年份201920202021產量/萬輛81830【解】

【方法規(guī)律】不同的函數模型能刻畫現實世界中不同的變化規(guī)律:(1)線性函數增長模型適合于描述增長速度不變的變化規(guī)律;(2)指數函數增長模型適合于描述增長速度急劇的變化規(guī)律;(3)對數函數增長模型適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律;(4)冪函數增長模型適合于描述增長速度一般的變化規(guī)律.

課堂反思通過本節(jié)課的學習，你學到了什么？2.你認為本節(jié)課的重點和難點是什么？隨堂演練

A2.[2022·陜西省西安市第五十七中學高一期末]已知三個變量y1，y2，y3隨變量x的變化而變化的數據如下表：x12468…y1241664256…y214163664…y30122.5853…

B3.(多選)[教材改編題]根據函數y＝3x和y＝5x的圖象，下列描述中正確的是()A.在區(qū)間(0.6，0.9)上，函數y＝3x的函數值比函數y＝5x的函數值小B.在區(qū)間(1，2)上，函數y＝3x的函數值比函數y＝5x的函數值大C.在區(qū)間(0，＋∞)上，函數y＝5x的增長速度保持不變D.在區(qū)間(6，＋∞)