重慶市烏江新高考協(xié)作體2024屆高考模擬監(jiān)測（一）數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

重慶市烏江新高考協(xié)作體2024屆高考模擬監(jiān)測（一）數(shù)學(xué)試題（分?jǐn)?shù)：150分，時間：120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，求出集合，再利用集合的運算，即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，所以，又，所以，故選：C.2.若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先化簡復(fù)數(shù)，再求共軛復(fù)數(shù).【詳解】，則.故選：D3.已知等比數(shù)列的前項和為且成等差數(shù)列，則為（）A.245 B.244 C.242 D.241【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)條件求公比，再代入等比數(shù)列的前項和公式，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為成等差數(shù)列，所以，即，①又因為，所以，②由①②解得，，所以故選：B4.如圖1是一棟度假別墅，它的屋頂可近似看作一個多面體，圖2是該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖，其中四邊形和四邊形是兩個全等的等腰梯形，和是兩個全等的正三角形．已知該多面體的棱與平面成的角，，則該屋頂?shù)膫?cè)面積為（）A.80 B. C.160 D.【答案】D【解析】【分析】先求兩個等腰梯形的高，進(jìn)而計算出屋頂?shù)膫?cè)面積.【詳解】設(shè)分別是的中點，連接，根據(jù)對稱性可知，在平面的射影在上，設(shè)其為，連接，則平面，而平面，所以，所以是與平面成的角，即，所以，過作，垂足為，連接，由于平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，，所以，所以，所以，所以該屋頂?shù)膫?cè)面積為：.故選：D5.數(shù)學(xué)美表現(xiàn)形式多種多樣，我們稱離心率（其中）的橢圓為黃金橢圓，現(xiàn)有一個黃金橢圓方程為，若以原點為圓心，短軸長為直徑作為黃金橢圓上除頂點外任意一點，過作的兩條切線，切點分別為，直線與軸分別交于兩點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意O、A、P、B四點在以O(shè)P為直徑的圓上，可設(shè)點P坐標(biāo)為，從而得出四點所在圓的方程為，利用兩圓方程之差求得切點A、B所在直線方程，進(jìn)而求得M、N兩點坐標(biāo)即可解決本題.【詳解】依題意有OAPB四點共圓，設(shè)點P坐標(biāo)為，則該圓的方程為：，將兩圓方程：與相減，得切點所在直線方程為，解得，因為，所以故選：A6.在不等式組所確定的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點，則該點到此三角形的三個頂點的距離均大于1的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出可行域，如圖所示，陰影部分即為所求，利用幾何概型公式計算得到答案.【詳解】如圖所示：畫出可行域，陰影部分即為所求區(qū)域..故選：.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃中的可行域，幾何概型，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.7.已知與都是非零有理數(shù)，則在，，中，一定是有理數(shù)的有（）個.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】令，分別用表示，，，進(jìn)而求得在，，中一定是有理數(shù)的個數(shù).【詳解】，，則，則，令，則為非零有理數(shù)，若，則，結(jié)合上述限制條件可得，此時，故三者中有理數(shù)的個數(shù)為3個.若，則，解之得，令，則，由，可得，t為有理數(shù)，則，，則均為有理數(shù).綜上，在，，中，一定是有理數(shù)的有3個.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是得到是有理數(shù)且，從而即可順利得解.8.定義，對于任意實數(shù)，則的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值進(jìn)而得，化簡即可求解.【詳解】設(shè)，則，得，設(shè)，則，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，得，所以，得，即.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是由構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得即為題意所求.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分.9.已知，，且，則（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)基本不等式可判定A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判定B，根據(jù)基本不等式、對數(shù)運算及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷C，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】，，且，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A正確.，，且，，，，，故B正確.由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，故C錯誤，又，，故D錯誤.故選：AB.10.已知，，則（）A.函數(shù)在上的最大值為3 B.，C.函數(shù)在上沒有零點 D.函數(shù)的極值點有2個【答案】AC【解析】【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得，.因為在上遞增，根據(jù)函數(shù)零點的存在性判斷零點在之間，設(shè)為，再代入計算可以求出函數(shù)在上的最值，判斷AB的真假；求的導(dǎo)數(shù)，得，，利用其單調(diào)性得至多一解，可判斷D；再根據(jù)函數(shù)零點的存在性，可判斷C的真假.【詳解】對A,B，因為，.所以，.設(shè)，，則，因，所以在上恒成立.所以在上單調(diào)遞增，且，，所以，使得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，，，因為，所以，因為，所以.故A正確，B錯誤；對D，又，.所以，.設(shè)，則，，所以在恒成立.所以在上單調(diào)遞增，所以至多一個解，故D錯誤；對C，又因為，，所以只有一解，在區(qū)間內(nèi).所以在上單調(diào)遞增，且，所以在上無零點.故C正確.故選：AC11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，為坐標(biāo)原點，直線交雙曲線的右支于，兩點（不同于右頂點），且與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，則（）A.為定值B.C.點到兩條漸近線的距離之和的最小值為D.不存在直線使【答案】BD【解析】【分析】對于A，根據(jù)，取垂直于x軸的直線，結(jié)合條件可判斷A；對于B，設(shè)直線的方程為，利用韋達(dá)定理可得，聯(lián)立直線與漸近線方程，可分別解得，，結(jié)合弦長公式可判斷B；對于C，設(shè)，可得P到兩漸近線距離可判斷C；由題可得恒成立可判斷D.【詳解】雙曲線的漸近線為，對于A：因為，作直線，，且，分別交軸上方漸近線于，，交軸下方漸近線于，，有對稱性可知：，此時，又因為為定值，所以，即不是定值，故A錯誤；

對于B，由題意可知：直線不與y軸垂直，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，得，則，且,所以，聯(lián)立，得，聯(lián)立，得，所以，則，結(jié)合弦長公式可得，即，故B正確；對于C，設(shè)，則，漸近線為，所以P到兩漸近線距離為：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C錯誤；對于D，設(shè)，則，可得，由圖可得，即恒成立，故不存在直線使，故D正確.

故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題D選項可借助，結(jié)合，得到，從而得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正三角形的邊長為2，點滿足，且，，，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】取的中點，由題意可得，從而推得三點共線，進(jìn)而得出，即可得出答案.【詳解】取的中點，則，又，又因為，故三點共線，即點在中線上運動，在正三角形中，，又，，則，故.故答案為：13.從教學(xué)樓一樓到二樓共有11級臺階（從下往上依次為第1級，第2級，，第11級），學(xué)生甲一步能上1級或2級臺階，若甲從一樓上到二樓使用每一種方法都是等概率的，則甲踩過第5級臺階的概率是______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合題意求得學(xué)生甲上每級臺階的方法數(shù)，從而利用古典概型的概率公式即可得解.【詳解】記學(xué)生甲上到第級臺階共有種上法，則，當(dāng)時，學(xué)生甲上到第級臺階，可以從第級或第級上去，所以，于是，，，其中甲踩過第5級臺階的上臺階方法數(shù)，可分兩步計算，第一步，從第1級到第5級，共有種方法；第二步，從第6級到第11級，相當(dāng)于從第1級到第6級的方法數(shù)，共有種方法；所以甲踩過第5級臺階的上臺階方法數(shù)有，則甲踩過第5級臺階的概率是．故答案：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是得到遞推關(guān)系式，從而得解.14.若函數(shù)存在唯一極值點，則實數(shù)的取值范圍是_______________.【答案】【解析】【分析】由，可得出，可知直線與函數(shù)的圖象有一個交點（非切點），利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍．【詳解】，則，若函數(shù)存在唯一極值點，則在上有唯一的根，所以由可得，則有唯一的根，直線與函數(shù)的圖象有一個交點（非切點），又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，函數(shù)的極大值為，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)得圖象如下圖所示：所以，當(dāng)時，即當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有一個交點（非切點），因此，實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在圓錐中，為圓錐頂點，為圓錐底面的直徑，為底面圓的圓心，為底面圓周上一點，四邊形為矩形．（1）求證：平面平面；（2）若，，，求平面和平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，平面，從而得到，即可證明平面，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，通過求解法向量的夾角余弦值來求解平面和平面夾角的余弦值；【小問1詳解】∵為圓錐底面的直徑，為底面圓周上一點，∴．∵四邊形為矩形，平面，∴，平面，又平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面．又平面，∴平面平面．【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點，，所在直線分別為，軸，過點且與平行的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，所以．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，所以，所以，所以平面和平面夾角的余弦值為．16.已知冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù).（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）對任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)可得，解不等式可得整數(shù)的值，檢驗是否符合奇函數(shù)即可；（2）對任意實數(shù)，不等式恒成立，而在上為減函數(shù)，由此可得解．【小問1詳解】依題意為奇函數(shù)，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，可得，解得，由于,故，1，2，當(dāng)和時，，此時為奇函數(shù)，符合要求，當(dāng)時，，此時為偶函數(shù)，不符合要求，；【小問2詳解】不等式，即，又在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)，所以，則，所以實數(shù)的取值范圍為．17.某景區(qū)的索道共有三種購票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票．為提高服務(wù)水平，現(xiàn)對當(dāng)日購票的120人征集意見，當(dāng)日購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為36、60和24．（1）若按購票類型采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這120人中隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取4人，求隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．（2）記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見時要求把購買單程上山票的2人和購買回程票的m（且）人組成一組，負(fù)責(zé)人從某組中任選2人進(jìn)行詢問，若選出的2人的購票類型相同，則該組標(biāo)為A，否則該組標(biāo)為B，記詢問的某組被標(biāo)為B的概率為p．（i）試用含m的代數(shù)式表示p；（ii）若一共詢問了5組，用表示恰有3組被標(biāo)為B的概率，試求的最大值及此時m的值．【答案】（1）（2）（i）；（ii）時，．【解析】【分析】（1）由古典概型結(jié)合組合數(shù)公式即可求得答案；（2）（i）由古典概型結(jié)合對立事件的概率公式即可求得答案；（ii）由n次獨立重復(fù)試驗的概率公式結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識即可求解.【小問1詳解】因為購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)之比為，所以這10人中，購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為：，，，故隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率．【小問2詳解】（i）從人中任選2人，有種選法，其中購票類型相同的有種選法，則詢問的某組被標(biāo)為B的概率．（ii）由題意，5組中恰有3組被標(biāo)為B的概率，所以，，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，且最大值為．由，且，得．當(dāng)時，5組中恰有3組被標(biāo)為B的概率最大，且的最大值為．18.已知橢圓的左、右頂點分別為，直線的斜率為，直線與橢圓交于另一點，且點到軸的距離為．（1）求橢圓的方程．（2）若點是上與點不重合的任意一點，直線與軸分別交于點．①設(shè)直線的斜率分別為，求的取值范圍．②判斷是否為定值．若為定值，求出該定值；若不為定值，說明理由．【答案】（1）（2）①，②是定值，16【解析】【分析】（1）由直線的斜率為，結(jié)合斜率公式可得，由三點共線可表示出點，將它代入橢圓方程求出即可；（2）①由斜率公式可得，結(jié)合的范圍即可求解；②由三點共線，三點共線，可表示出的坐標(biāo)，再由兩點間距離公式得的表達(dá)式，由此即可得解.【小問1詳解】由題意知，．由直線的斜率為，得，所以．直線的方程為．設(shè)，則．由點到軸的距離為，得．由點在直線上，得，所以．由點在橢圓上，得，解得．所以．所以橢圓的方程為．【小問2詳解】①設(shè)（或）．由（1）知，，則，所以．由或，得或，所以或．故的取值范圍是．②由①知，即．設(shè)．因為三點共線，所以，得．因為三點共線，所以，得．所以．故為定值16．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問的關(guān)鍵是首先化簡所求表達(dá)式，結(jié)合相應(yīng)的范圍以及所滿足的條件等式即可求解.19.青島膠東國際機(jī)場的顯著特點之一是彎曲曲線的運用，衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率．考察圖所示的光滑曲線上的曲線段，其弧長為，當(dāng)動點從A沿曲線段運動到B點時，A點的切線也隨著轉(zhuǎn)動到B點的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當(dāng)弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此