人教版初中數(shù)學(xué)同步講義八年級(jí)上冊(cè)第03講 等腰三角形（解析版）

第03講等腰三角形課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①等腰三角形的性質(zhì)②等腰三角形的判定掌握等腰三角形的性質(zhì)并能夠?qū)ζ涫炀殤?yīng)用。掌握等腰三角形的判定方法，能夠運(yùn)用已知條件熟練判定等腰三角形。知識(shí)點(diǎn)01等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的概念：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。相等的兩邊叫做等腰三角形的腰，所對(duì)的角叫做等腰三角形的底角，另一邊是三角形的底，所對(duì)的角是等腰三角形的頂角。等腰三角形的性質(zhì)：如圖①等腰三角形的兩腰相等。即AB＝AC。②等腰三角形的兩個(gè)底角相等。即∠B＝∠C。【簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高相互重合。【簡(jiǎn)稱(chēng)底邊上三線(xiàn)合一】即∠ABD＝∠CAD，BD＝CD，AD⊥BC。題型考點(diǎn)：①熟練性質(zhì)。②利用性質(zhì)計(jì)算?！炯磳W(xué)即練1】1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．等腰三角形的高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)互相重合 B．三角形兩邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等 C．等腰三角形的兩個(gè)底角相等 D．等腰三角形頂角的外角是底角的二倍【解答】解：A、等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線(xiàn)、頂角的角平分線(xiàn)互相重合，故A錯(cuò)誤；B、三角形兩邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故B正確；C、等腰三角形的兩個(gè)底角相等，故C正確；D、等腰三角形頂角的外角是底角的二倍，故D正確，故選：A．【即學(xué)即練2】2．已知等腰三角形的一個(gè)頂角為120°，則這個(gè)等腰三角形的底角為（）A．30° B．60° C．80° D．120°【解答】解：∵等腰三角形的兩個(gè)底角相等，∴底角為（180°﹣120°）÷2＝30°，故選：A．【即學(xué)即練3】3．如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2cm和5cm，那么它的周長(zhǎng)是（）A．9cm B．12cm C．9cm或12cm D．以上答案都不對(duì)【解答】解：當(dāng)腰長(zhǎng)為2cm時(shí)，則三邊分別為2cm，2cm，5cm，因?yàn)?+2＜5，所以不能構(gòu)成直角三角形；當(dāng)腰長(zhǎng)為5cm時(shí)，三邊長(zhǎng)分別為5cm，5cm，2cm，符合三角形三邊關(guān)系，此時(shí)其周長(zhǎng)為：5+5+2＝12cm．故選：B．【即學(xué)即練4】4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，則∠DEC＝（）A．90° B．100° C．105° D．110°【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠ABC＝20°，∴∠BDE＝∠BED＝80°，∴∠DEC＝100°．故選：B．【即學(xué)即練5】5．在等腰△ABC中，AB＝AC，其周長(zhǎng)為16cm，則AB邊的取值范圍是（）A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm【解答】解：∵在等腰△ABC中，AB＝AC，其周長(zhǎng)為16cm，∴設(shè)AB＝AC＝xcm，則BC＝（16﹣2x）cm，∴，解得4cm＜x＜8cm．故選：C．知識(shí)點(diǎn)02等腰三角形的判定利用等角對(duì)等邊判定：一個(gè)三角形中如有兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角所對(duì)的兩條邊也相等。（等角對(duì)等邊）則這個(gè)三角形是等邊三角形。利用三線(xiàn)合一性質(zhì)判定：若三角形有一邊上的中線(xiàn)、高線(xiàn)以及它對(duì)角的角平分線(xiàn)重合，則這個(gè)三角形是等腰三角形。題型考點(diǎn)：①利用內(nèi)角和公式求內(nèi)角和或求多邊形的邊數(shù)。②利用多邊形的內(nèi)外角關(guān)系計(jì)算?！炯磳W(xué)即練1】6．在△ABC中，與∠A相鄰的外角是130°，要使△ABC為等腰三角形，則∠B的度數(shù)是（）A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或65°或80°【解答】解：∠A＝180°﹣130°＝50°．當(dāng)AB＝AC時(shí)，∠B＝∠C＝（180°﹣50°）＝65°；當(dāng)BC＝BA時(shí)，∠A＝∠C＝50°，則∠B＝180°﹣50°﹣50°＝80°；當(dāng)CA＝CB時(shí)，∠A＝∠B＝50°．∠B的度數(shù)為50°或65°或80°，故選：D．【即學(xué)即練2】7．下列能確定△ABC為等腰三角形的是（）A．∠A＝50°、∠B＝80° B．∠A＝42°、∠B＝48° C．∠A＝2∠B＝70° D．AB＝4、BC＝5，周長(zhǎng)為15【解答】解：A、∵∠A＝50°、∠B＝80°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，∴∠A＝∠C，∴△ABC為等腰三角形；故本選項(xiàng)能確定△ABC為等腰三角形；B、∵∠A＝42°、∠B＝48°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，∴∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC不是等腰三角形；故本選項(xiàng)能確定△ABC不是等腰三角形；C、∵∠A＝2∠B＝70°，∴∠B＝35°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，∴∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC不是等腰三角形；故本選項(xiàng)能確定△ABC不是等腰三角形；D、∵AB＝4、BC＝5，周長(zhǎng)為15，∴AC＝15﹣4﹣5＝6，∴AB≠BC≠AC，∴△ABC不是等腰三角形；故本選項(xiàng)能確定△ABC不是等腰三角形．故選：A．【即學(xué)即練3】8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC，交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．（1）求∠ADB的度數(shù)；（2）求證：△ADE是等腰三角形．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；（2）證明：∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠C＝72°，∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴△ADE是等腰三角形．【即學(xué)即練4】9．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為∠ABC的平分線(xiàn)BD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作EF∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接CD，若BE+CF＝EF．求證：△CFD是等腰三角形．【解答】證明：∵BD為∠ABC的平分線(xiàn)，∴∠ABD＝∠CBD，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB．∴BE＝DE．∵BE+CF＝EF，∴DE+CF＝DE+DF，∴CF＝DF，∴△DFC是等腰三角形．題型01等腰三角形與周長(zhǎng)【典例1】若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5，則它的周長(zhǎng)為（）A．9 B．7 C．12 D．9或12【解答】解：（1）若2為腰長(zhǎng)，5為底邊長(zhǎng)，由于2+2＜5，則三角形不存在；（2）若5為腰長(zhǎng)，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．所以這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為5+5+2＝12．故選：C．【典例2】一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為8和10，則它的周長(zhǎng)m的取值為（）A．26或28 B．26 C．28 D．26＜m＜28【解答】解：若8是底邊，則三角形的三邊分別為8、10、10，能組成三角形，周長(zhǎng)＝8+10+10＝28，8是腰長(zhǎng)，則三角形的三邊分別為8、8、10，能組成三角形，周長(zhǎng)＝8+8+10＝26．綜上所述，它的周長(zhǎng)m的取值為26或28．故選：A．【典例3】已知等腰三角形的兩邊a，b滿(mǎn)足，則等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．12 B．16 C．20 D．16或20【解答】解：∵+|b﹣8|＝0，∴a﹣4＝0，b﹣8＝0，∴a＝4，b＝8．當(dāng)a＝4為底時(shí)，腰長(zhǎng)為8，8，4+8＞8，能組成三角形，故周長(zhǎng)為4+8+8＝20．當(dāng)b＝8為底時(shí)，腰長(zhǎng)為4，4，4+4＝8，不能組成三角形．所以等腰三角形的周長(zhǎng)為20．故選：C．【典例4】已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足|x﹣3|+＝0，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．10 B．11 C．10或11 D．以上答案均不對(duì)【解答】解：∵|x﹣3|+＝0，∴x﹣3＝0，y﹣4＝0，∴x＝3，y＝4，分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為4，底邊長(zhǎng)為3時(shí)，∴等腰三角形的周長(zhǎng)＝4+4+3＝11；當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為3，底邊長(zhǎng)為4時(shí)，∴等腰三角形的周長(zhǎng)＝3+3+4＝10；綜上所述：等腰三角形的周長(zhǎng)是10或11，故選：C．題型02等腰三角形的性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)度【典例1】如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分線(xiàn)分別交AB、AC于D、E，若CD＝1，則BD等于（）A．1 B． C． D．【解答】解：∵AC的垂直平分線(xiàn)分別交AB、AC于D、E，∴AD＝CD＝1，∴∠A＝∠ACD＝45°，∴∠ADC＝90°，∴，∴，∴；故選：D．【典例2】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，點(diǎn)E在AC上，EF垂直平分AC，交AB于F，BF＝1，則EF的長(zhǎng)為（）A．4 B．3 C． D．【解答】解：∵AB＝AC＝6，EF垂直平分AC，∴AE＝CE＝AC＝3，∵BF＝1，∴AF＝AB﹣BF＝6﹣1＝5，∴AF＝CF＝5，在Rt△AEF中，EF＝，故選：A．【典例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，DE＝5cm，則BF＝（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，得△ADB≌△ADC，∴，∵S△ADB＝AB?DE，S△ACB＝AC?BF，∴AB?DE×2＝AC?BF，∴BF＝2DE，∵DE＝5cm，∴BF＝10cm．故選：B．【典例4】如圖，在△ABC中，AC＝18cm，BC＝20cm，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)以每秒1.6cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△CMN是以MN為底的等腰三角形時(shí)，則這時(shí)等腰三角形的腰長(zhǎng)是（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【解答】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，在△ABC中，BC＝20cm，AC＝18cm，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)以每秒1.6cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△CMN是等腰三角形時(shí)，CM＝CN，CM＝18﹣2x，CN＝1.6x即18﹣2x＝1.6x，解得x＝5．∴CM＝CN＝8（cm），故選：D．題型03等腰三角形的性質(zhì)求角度【典例1】等腰三角形的一個(gè)底角是a°，它的頂角是（）A．a(chǎn)° B．90°﹣a° C．180°﹣2a°【解答】解：∵等腰三角形的一個(gè)底角是a°，∴它的頂角＝180°﹣2a°，故選：C．【典例2】如圖，直線(xiàn)a∥b，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在直線(xiàn)a和b上，點(diǎn)C在直線(xiàn)a、b之間，且BC＝AC，∠ACB＝120°，∠1＝45°，則∠2的度數(shù)是（）A．60° B．65° C．70° D．75°【解答】解：如圖，∵BC＝AC，∠ACB＝120°，∴∠ABC＝∠BAC＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠1＝45°，∴∠ABD＝∠1+∠ABC＝75°，∵a∥b，∴∠2＝∠ABD＝75°，故選：D．【典例3】如圖所示的五邊形花環(huán)是用五個(gè)全等的等腰三角形拼成的，則∠BAC的度數(shù)為（）A．28° B．36° C．45° D．72°【解答】解：如圖所示，五個(gè)全等的等腰三角形拼成內(nèi)外兩個(gè)正五邊形，∴∠EAB＝∠ACD＝，∴∠ACB＝∠EAC＝180°﹣108°＝72°，∴∠BAC＝∠EAB﹣∠EAC＝108°﹣72°＝36°，故選：B．【典例4】如圖，在等腰△EBC中，EB＝EC，AB＝BC，∠E＝40°，∠ACD的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．25° D．30°【解答】解：∵BE＝EC，∠E＝40°，∴∠B＝∠BCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝（180°﹣70°）÷2＝55°，∴∠ACD＝∠BCE﹣∠ACB＝70°﹣55°＝15°，故選：B．【典例5】定義：等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值k稱(chēng)為這個(gè)等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝50°，則它的特征值k等于（）A． B． C．或 D．或【解答】解：分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°，∴等腰三角形的兩個(gè)底角都＝×（180°﹣50°）＝65°，∴這個(gè)等腰三角形的“特征值”k＝＝；當(dāng)?shù)妊切蔚囊粋€(gè)底角為50°時(shí)，那么另一個(gè)底角也是50°，∴等腰三角形的頂角＝180°﹣2×50°＝80°，∴這個(gè)等腰三角形的“特征值”k＝＝；綜上所述：或，故選：D．題型04等腰三角形的判定【典例1】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE∥AD交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，求證：△ACE是等腰三角形．【解答】證明：∵AD是△ABC中∠BAC的平分線(xiàn)，∴∠BAD＝∠DAC，又∵CE∥AD，∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，∴∠E＝∠ACE，∴AE＝AC，∴△ACE是等腰三角形．【典例2】如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，CE平分∠ACD，且CE∥AB，求證：△ABC為等腰三角形．【解答】證明：∵CE平分∠ACD，∴，∵CE∥AB，∴∠A＝∠ACE，∠B＝∠DCE，∴∠B＝∠A，∴BC＝AC，∴△ABC為等腰三角形．【典例3】如圖，已知在△ABC中，D、E是BC上兩點(diǎn)，且∠ADE＝∠AED，∠BAD＝∠EAC，求證：AB＝AC．【解答】證明：∵∠ADE＝∠AED．∴∠BAD+∠B＝∠EAC+∠C，∵∠BAD＝∠EAC∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．【典例4】如圖，在△ABC中，P是BC邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線(xiàn)，交AB于點(diǎn)Q，交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)R．若AQ＝AR，求證：△ABC是等腰三角形．【解答】證明：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR．又∵∠BQP＝∠AQP，∴∠R＝∠BQP．在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B+∠BQP＝90°，∠C+∠R＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．【典例5】如圖，在△ABC中，AB＝AC，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線(xiàn)交∠ABC的角平分線(xiàn)于點(diǎn)D，連接CD．求證：△ACD為等腰三角形．【解答】證明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∵AB＝AC，∴AD＝AC，∴△ACD是等腰三角形．題型05等腰三角形的判定與性質(zhì)【典例1】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD．（1）求證：AD＝CD；（2）若AC＝BC，∠D＝120°，求∠B的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵AC平分∠BCD，∴∠ACD＝∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD；（2）解：∵∠D＝120°，∴∠DAC＝∠ACD＝＝30°，∴∠ACB＝30°，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝＝75°．【典例2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線(xiàn)MN交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．（1）求證：△ABD是等腰三角形；（2）若AE＝6，△CBD的周長(zhǎng)為20，求△ABC的周長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵AB的垂直平分線(xiàn)MN交AC于點(diǎn)D，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形；（2）∵AB的垂直平分線(xiàn)MN交AC于點(diǎn)D，AE＝6，∴AB＝2AE＝12，∵△CBD的周長(zhǎng)為20，∴BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝20，∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB+AC+BC＝12+20＝32．【典例3】如圖，已知點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊BA和BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，作∠DAC的平分線(xiàn)AF，若AF∥BC．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）作∠ACE的平分線(xiàn)交AF于點(diǎn)G，若∠B＝40°，求∠AGC的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∵AF∥BC，∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠ACB＝∠B＝40°，∴∠BAC＝100°，∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，∵CG平分∠ACE，∴ACE＝70°，∵AF∥BC，∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°．【典例4】已知在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，∠BCD＝∠A．（1）如圖1，試說(shuō)明CD＝CB的理由；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，BE與CD相交于點(diǎn)F．①試說(shuō)明∠BCD＝2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度數(shù)．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BDC是△ADC的一個(gè)外角，∴∠BDC＝∠A+∠ACD，∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，∴∠BDC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠BDC．∴CD＝CB；（2）①∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠ACB＝90°，設(shè)∠CBE＝α，則∠ACB＝90°﹣α，∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α，∴∠BCD＝2∠CBE；②∵∠BFD是△CBF的一個(gè)外角，∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α，分三種情況：當(dāng)BD＝BF時(shí)，∴∠BDC＝∠BFD＝3α，∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，∴90°﹣α＝3α，∴α＝22.5°，∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；當(dāng)DB＝DF時(shí)，∴∠DBE＝∠BFD＝3α，∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，∴90°﹣2α＝3α，∴α＝18°，∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；當(dāng)FB＝FD時(shí)，∴∠DBE＝∠BDF，∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，∴不存在FB＝FD，綜上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度數(shù)為45°或36°．【典例5】（1）如圖1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過(guò)點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則圖中共有5個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是BE+CF＝EF，△AEF的周長(zhǎng)是20（2）如圖2，若將（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改為“若△ABC為不等邊三角形，AB＝8，AC＝10”其余條件不變，則圖中共有2個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你的結(jié)論，并求出△AEF的周長(zhǎng)（3）已知：如圖3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則EF與BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系呢？直接寫(xiě)出結(jié)論不證明．【解答】解：（1）BE+CF＝EF．理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF，∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5個(gè)，∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF，△AEF的周長(zhǎng)＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+FC＝AB+AC＝20．故答案為：5；BE+CF＝EF；20；（2）BE+CF＝EF，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，∴BE＝DE，CF＝DF，∴等腰三角形有△BDE，△CFD，∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF．可得△AEF的周長(zhǎng)為18．（3）BE﹣CF＝EF，由（1）知BE＝ED，∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，∴CF＝DF，又∵ED﹣DF＝EF，∴BE﹣CF＝EF．1．等腰三角形的兩個(gè)底角相等，頂角的度數(shù)比一個(gè)底角度數(shù)的2倍多20°，則這個(gè)底角的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【解答】解：設(shè)底角的度數(shù)是x°，則頂角的度數(shù)為（2x+20）°，根據(jù)題意得：x+x+2x+20＝180，解得：x＝40，故選：B．2．已知等腰三角形一邊長(zhǎng)等于4，一邊長(zhǎng)等于9，它的周長(zhǎng)是（）A．17或22 B．22 C．17 D．13【解答】解：分兩種情況：當(dāng)腰為4時(shí)，4+4＜9，所以不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰為9時(shí)，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)是：9+9+4＝22．故選：B．3．如圖，在等腰△EBC中，EB＝EC，AB＝BC，∠B＝70°，∠ACD的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．25° D．30°【解答】解：∵EB＝EC，∴∠BCE＝∠B＝70°，∵AB＝BC，∠B＝70°，∴∠ACB＝∠BAC＝×（180°﹣70°）＝55°，∴∠ACD＝∠ECB﹣∠ACB＝70°﹣55°＝15°．故選：B．4．“廊橋凌水，樓閣傲天，狀元故里狀元橋，綬溪橋上看綬溪”．莆田綬溪公園開(kāi)放“狀元橋”和“狀元閣”游覽觀(guān)光，其中“狀元閣”的建筑風(fēng)格堪稱(chēng)“咫尺之內(nèi)再造乾坤”．如圖，“狀元閣”的頂端可看作等腰三角形ABC，AB＝AC，D是邊BC上的一點(diǎn)．下列條件不能說(shuō)明AD是△ABC的角平分線(xiàn)的是（）A．∠ADB＝∠ADC B．BD＝CD C．BC＝2AD D．S△ABD＝S△ACD【解答】解：∵∠ADB＝∠ADC，∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD是△ABC的高線(xiàn)，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴AD是△ABC的角平分線(xiàn)，故A選項(xiàng)不符合題意；∵△ABC是等腰三角形，BD＝CD，∴AD是△ABC的角平分線(xiàn)，故B選項(xiàng)不符合題意；若BC＝2AD，不能說(shuō)明AD是△ABC的角平分線(xiàn)，故C選項(xiàng)符合題意；∵S△ABD＝S△ACD，∴BD＝CD，∴AD是△ABC的角平分線(xiàn)，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．5．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，DE＝6，則BF＝（）A．8 B．9 C．12 D．18【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中線(xiàn)，∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB?DE＝AB?DE＝6AB，∵S△ABC＝AC?BF，∴AC?BF＝6AB，∵AC＝AB，∴BF＝6，∴BF＝12，故選：C．6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（3，﹣3），在坐標(biāo)軸上確定一點(diǎn)B，使△AOB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)B共有（）個(gè)．A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：分三種情況討論：當(dāng)AO＝AB時(shí)，B的坐標(biāo)為：（6，0）或（0，﹣6）；當(dāng)OA＝OB時(shí)，B的坐標(biāo)為：（，0），（0，），（，0），或（0，）；當(dāng)BO＝BA時(shí)，B的坐標(biāo)為：（3，0）或（0，﹣3），所以：符合條件的點(diǎn)B共有8個(gè)，故選：D．7．如圖，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，若AB+AC＝8，則△ADE的周長(zhǎng)為（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)F，∴∠ABF＝∠FBC，∠ACF＝∠FCB，∵DE∥BC，∴∠BFD＝∠FBC，∠CFE＝∠FCB，∴∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠CFE，∴BD＝FD，CE＝FE，∵AB+AC＝8，∴△ADE的周長(zhǎng)為：AD+DE+AE＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+CE+AE＝AB+AC＝8．故選：B．8．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D為線(xiàn)段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線(xiàn)段AC于E，以下四個(gè)結(jié)論：①∠CDE＝∠BAD；②當(dāng)D為BC中點(diǎn)時(shí)，DE⊥AC；③當(dāng)△ADE為等腰三角形時(shí)，∠BAD＝20°；④當(dāng)∠BAD＝30°時(shí)，BD＝CE．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE；故①正確；②∵D為BC中點(diǎn)，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝50°，∵∠C＝40°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥AC，故②正確；③∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE為等腰三角形，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝60°，或∵△ADE為等腰三角形，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝30°，故③錯(cuò)誤，④∵∠BAD＝30°，∴∠CDE＝30°，∴∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∴∠DAC＝∠ADC，∴CD＝AC，∵AB＝AC，∴CD＝AB，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD＝CE；故④正確；故選：C．9．在△ABC中，AB＝AC，且過(guò)△ABC某一頂點(diǎn)的直線(xiàn)可將△ABC分成兩個(gè)等腰三角形，則∠BAC的度數(shù)為．【解答】解：①如圖①，∵AB＝AC，BD＝CD，CD＝AD，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，∠C＝45°，∠BAC＝90°．②如圖②，∵AB＝AC，AD＝BD，AC＝CD，∴∠B＝∠C＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA，∵∠CDA＝∠B+∠BAD＝2∠B，∴∠BAC＝3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，∠C＝36°，∠BAC＝108°．③如圖③，∵AB＝AC，AD＝BD＝BC，∴∠B＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°，∠C＝72°，∠ABC＝72°．④如圖④，∵AB＝AC，AD＝BD，CD＝BC，∴∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠CDB＝∠CBD，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝3∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴7∠A＝180°，∴∠A＝（）°，∠C＝（）°，∠ABC＝（）°．故答案為：．10．定義：如果一個(gè)三角形的一條邊是另一條邊長(zhǎng)度的兩倍，則稱(chēng)這個(gè)三角形為倍長(zhǎng)三角形．若等腰△ABC是倍長(zhǎng)三角形，且一邊長(zhǎng)為6，則△ABC的底邊長(zhǎng)為3或6．【解答】解：∵等腰△ABC是倍長(zhǎng)三角形，∴腰長(zhǎng)＝底邊長(zhǎng)的2倍或底邊長(zhǎng)＝腰長(zhǎng)的2倍，如果腰長(zhǎng)是6，底邊長(zhǎng)是3或12，∵6+6＝12，∴此時(shí)不能構(gòu)成三角形，∴底邊長(zhǎng)是3，腰長(zhǎng)是6；如果底邊長(zhǎng)是6，腰長(zhǎng)是12或3，3+3＝6，∴此時(shí)不能構(gòu)成三角形，∴底邊長(zhǎng)是6，腰長(zhǎng)是12，∴△ABC的底邊長(zhǎng)是3或6．故答案為：3或6．11．如圖，在△ABC中，D為邊AC上一點(diǎn)，且BD平分∠ABC，過(guò)A作AE⊥BD于點(diǎn)E．若∠ABC＝64°，∠C＝29°，AB＝4，BC＝10，則AE＝3．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)F．∵BD平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE．在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AE＝EF，AB＝BF＝4，∴．∵∠C＝29°，∴∠CAF＝∠AFB﹣∠C＝29°，∴∠CAF＝∠C，∴AF＝CF．∵BC＝10，∴CF＝BC﹣BF＝6，∴AF＝6，∴AE＝3．故答案為：3．12．如圖，∠BOC＝9°，點(diǎn)A在OB上，且OA＝1，按以下要求畫(huà)圖：以點(diǎn)A為圓心，1為半徑向右畫(huà)弧交OC于點(diǎn)A1，得第一條線(xiàn)段AA1；再以A1為圓心、1為半徑向右畫(huà)弧交OB于點(diǎn)A2，得第二條線(xiàn)段A1A2；再以A2為圓心，1為半徑向右畫(huà)弧交OC于點(diǎn)A3，得第三條線(xiàn)段A2A3……這樣一直畫(huà)下去，最多能畫(huà)9條線(xiàn)段．【解答】解：∵AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，∴∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度數(shù)，∠A4A3C＝45°，…，∴9°n＜90