2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-立體幾何中的動點及其軌跡問題-專項訓(xùn)練【含答案】

INCLUDEPICTURE"高分訓(xùn)練.tif"INCLUDEPICTURE"E:\\數(shù)學(xué)課件\\高分訓(xùn)練.tif"INETINCLUDEPICTURE"F:\\陳麗2022年\\2022\\課件\\二輪\\2023版創(chuàng)新設(shè)計二輪專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材通用版（魯津京……）\\教師word文檔\\板塊三立體幾何與空間向量\\高分訓(xùn)練.tif"INET2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-立體幾何中的動點及其軌跡問題-專項訓(xùn)練一、基本技能練1.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點，若P到直線BC與到直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡為()A.直線 B.圓C.雙曲線 D.拋物線2.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為底面ABCD上的動點.PE⊥A1C于E，且PA＝PE，則點P的軌跡是()A.線段 B.圓弧C.橢圓的一部分 D.拋物線的一部分3.如圖，圓錐的底面直徑AB＝2，母線VA＝3，點C在母線VB上，且VC＝1，有一只螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點A到達點C，則這只螞蟻爬行的最短距離是()A.eq\r(13) B.eq\r(7)C.eq\f(4\r(3),3) D.eq\f(3\r(3),2)4.如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，長為2的線段MN的一個端點M在棱DD1上運動，另一端點N在正方形ABCD內(nèi)運動，則MN中點軌跡的面積為()A.4π B.2πC.π D.eq\f(π,2)5.已知MN是長方體外接球的一條直徑，點P在長方體表面上運動，長方體的棱長分別是1，1，eq\r(2)，則eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，1))6.點P為棱長是2eq\r(5)的正方體ABCD－A1B1C1D1的內(nèi)切球O球面上的動點，點M為B1C1的中點，若滿足DP⊥BM，則動點P的軌跡的長度為()A.π B.2πC.4π D.2eq\r(5)π7.已知正三棱錐P－ABC的六條棱長均為6，S是△ABC及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合.設(shè)集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，則T表示的區(qū)域的面積為()A.eq\f(3π,4) B.πC.2π D.3π8.如圖，三角形PAB所在的平面α和四邊形ABCD所在的平面β垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，∠APD＝∠CPB，則點P在平面α內(nèi)的軌跡是()A.圓的一部分 B.橢圓的一部分C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分9.已知正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為1，點M，N分別為線段AB′，AC上的動點，點T在平面BCC′B′內(nèi)，則MT＋NT的最小值是()A.eq\r(2) B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(\r(6),2) D.110.如圖，長方體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝BC＝eq\r(2)，AA′＝eq\r(3)，上底面A′B′C′D′的中心為O′，當(dāng)點E在線段CC′上從C移動到C′時，點O′在平面BDE上的射影G的軌跡長度為()A.eq\f(2π,3) B.eq\f(\r(3)π,3)C.eq\f(π,3) D.eq\f(\r(3)π,6)11.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認為是正確的條件即可).12.如圖，P是棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1表面上的動點，且AP＝eq\r(2)，則動點P的軌跡的長度為________.二、創(chuàng)新拓展練13.在棱長為3的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中點，P是底面ABCD所在平面內(nèi)一動點，設(shè)PD1，PE與底面ABCD所成的角分別為θ1，θ2(θ1，θ2均不為0)，若θ1＝θ2，則三棱錐P－BB1C1體積的最小值是()A.eq\f(9,2) B.eq\f(5,2)C.eq\f(3,2) D.eq\f(5,4)14.(多選)如圖，設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E為A1D1的中點，F(xiàn)為CC1上的一個動點，設(shè)由點A，E，F(xiàn)構(gòu)成的平面為α，則()A.平面α截正方體的截面可能是三角形B.當(dāng)點F與點C1重合時，平面α截正方體的截面面積為2eq\r(6)C.當(dāng)點D到平面α的距離的最大值為eq\f(2\r(6),3)D.當(dāng)F為CC1的中點時，平面α截正方體的截面為五邊形15.已知面積為2eq\r(3)的菱形ABCD如圖①所示，其中AC＝2，E是線段AD的中點.現(xiàn)沿AC折起，使得點D到達點S的位置，此時二面角S－AC－B的大小為120°，連接SB，得到三棱錐S－ABC如圖②所示，則三棱錐S－ABC的體積為________；若點F在三棱錐的表面運動，且始終保持EF⊥AC，則點F的軌跡長度為________.16.如圖，三棱錐S－ABC的所有棱長均為1，SH⊥底面ABC，點M，N在直線SH上，且MN＝eq\f(\r(3),3)，若動點P在底面ABC內(nèi)，且△PMN的面積為eq\f(\r(2),12)，則動點P的軌跡長度為________.參考答案與解析一、基本技能練1.答案D解析點P到直線C1D1的距離即為點P到點C1的距離，所以在平面BB1C1C中，點P到定點C1的距離與到定直線BC的距離相等，由拋物線的定義可知，動點P的軌跡為拋物線，故選D.2.答案A解析由題意知，△A1AP≌△A1EP，則點P為在線段AE的中垂面上運動，從而與底面ABCD的交線為線段.3.答案B解析在圓錐側(cè)面的展開圖中，AA′＝2π，所以∠AVA′＝eq\f(\o(AA′,\s\up8(︵)),VA)＝eq\f(2,3)π，所以∠AVB＝eq\f(1,2)∠AVA′＝eq\f(π,3)，由余弦定理得AC2＝VA2＋VC2－2VA·VC·cos∠AVB＝32＋12－2×3×1×eq\f(1,2)＝7，所以AC＝eq\r(7).所以這只螞蟻爬行的最短距離是eq\r(7)，故選B.4.答案D解析易知DD1⊥平面ABCD，∠MDN＝90°，取線段MN的中點P，則DP＝eq\f(1,2)MN＝1，所以點P的軌跡是以D為球心，1為半徑的eq\f(1,8)球面，故S＝eq\f(1,8)×4π×12＝eq\f(π,2).5.答案B解析根據(jù)題意，以D為坐標原點，eq\o(DA,\s\up6(→))為x軸正方向，eq\o(DC,\s\up6(→))為y軸正方向，eq\o(DD1,\s\up6(→))為z軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示.設(shè)長方體外接球球心為O，則DB1為外接球的一條直徑，設(shè)O為DB1的中點，不妨設(shè)M與D重合，N與B1重合.則外接球的直徑長為eq\r(12＋12＋（\r(2)）2)＝2，所以半徑r＝1，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→)))＝(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－|eq\o(OM,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－1，由P在長方體表面上運動，所以|eq\o(PO,\s\up6(→))|∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，即|eq\o(PO,\s\up6(→))|2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，所以|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0))，即eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0)).6.答案C解析根據(jù)題意知，該正方體的內(nèi)切球半徑為r＝eq\r(5)，如圖，取BB1的中點N，連接CN，則CN⊥BM，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，CN為DP在平面B1C1CB中的射影，∴點P的軌跡為過D，C，N的平面與內(nèi)切球的交線，∵正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2eq\r(5)，∴O到過D，C，N的平面的距離為1，∴截面圓的半徑為eq\r(（\r(5)）2－1)＝2，∴點P的軌跡的長度為2π×2＝4π.7.答案B解析設(shè)頂點P在底面上的投影為O，連接BO，則O為△ABC的中心，且BO＝eq\f(2,3)×6×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，故PO＝eq\r(36－12)＝2eq\r(6).因為PQ＝5，故OQ＝1，故Q的軌跡為以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，而△ABC內(nèi)切圓的圓心為O，半徑為eq\f(2×\f(\r(3),4)×36,3×6)＝eq\r(3)>1，故Q的軌跡圓在△ABC內(nèi)部，故其面積為π.8.答案A解析由條件易得AD∥BC，且∠APD＝∠CPB，AD＝4，BC＝8，可得tan∠APD＝eq\f(AD,PA)＝eq\f(CB,PB)＝tan∠CPB，即eq\f(PB,PA)＝eq\f(CB,AD)＝2，在平面PAB內(nèi)以AB所在的直線為x軸，AB的中點O為坐標原點，建立直角坐標系(圖略)，則A(－3，0)，B(3，0)，設(shè)P(x，y)，則有eq\f(PB,PA)＝eq\r(\f(（x－3）2＋y2,（x＋3）2＋y2))＝2，整理可得x2＋y2＋10x＋9＝0(x≠0).由于點P不在直線AB上，故此軌跡為圓的一部分，故答案選A.9.答案B解析A點關(guān)于BC的對稱點為E，M關(guān)于BB′的對稱點為M′，記d為直線EB′與AC之間的距離，則MT＋NT＝M′T＋NT≥M′N≥d，由B′E∥D′C，d為E到平面ACD′的距離，因為VD′－ACE＝eq\f(1,3)×1×S△ACE＝eq\f(1,3)×1×1＝eq\f(1,3)，而VD′－ACE＝VE－ACD′＝eq\f(1,3)×d×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝eq\f(\r(3),6)d＝eq\f(1,3)，故d＝eq\f(2\r(3),3).10.答案B解析如圖，以CA，CC′分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標系，則有C(0，0)，O(1，0)，O′(1，eq\r(3))，設(shè)G(x，y)，由O′G⊥OG，可得eq\f(y,x－1)·eq\f(y－\r(3),x－1)＝－1，整理可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋(x－1)2＝eq\f(3,4)，所以點O′在平面BDE上的射影G的軌跡是以Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))為圓心，半徑為eq\f(\r(3),2)的eq\o(OG,\s\up8(︵)).因為tan∠GOF＝eq\f(O′C′,OO′)＝eq\f(\r(3),3)，所以O(shè)′G＝O′O·sin∠GOF＝eq\f(\r(3),2)，所以△O′GF是等邊三角形，即∠GFO＝eq\f(2π,3)，所以圓弧OG的長l＝eq\f(2π,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3)π,3).11.答案DM⊥PC(或BM⊥PC)解析連接AC，BD，則AC⊥BD，因為PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，PC?平面PAC，所以BD⊥PC，所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時，有PC⊥平面MBD，PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.12.答案eq\f(3π,2)解析由已知AC＝AB1＝AD1＝eq\r(2)，在平面BC1，平面A1C1中，BP＝A1P＝DP＝1，所以動點P的軌跡是在平面BC1，平面A1C1，平面DC1內(nèi)分別以B，D，A1為圓心，1為半徑的三段圓弧，且長度相等，故軌跡長度和為eq\f(π,2)×3＝eq\f(3π,2).二、創(chuàng)新拓展練13.答案C解析以D為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，因為正方體的棱長為3，則Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0，\f(3,2)))，D1(0，0，3)，設(shè)P(x，y，0)(x≥0，y≥0)，則eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－x，－y，\f(3,2)))，eq\o(PD1,\s\up6(→))＝(－x，－y，3).因為θ1＝θ2，平面ABCD的一個法向量z＝(0，0，1)，所以eq\f(|\o(PE,\s\up6(→))·z|,|\o(PE,\s\up6(→))|·|z|)＝eq\f(|\o(PD1,\s\up6(→))·z|,|\o(PD1,\s\up6(→))|·|z|)，得eq\f(\f(3,2),\r(（3－x）2＋y2＋\f(9,4)))＝eq\f(3,\r(x2＋y2＋9))，整理得x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4(0≤y≤2)，則動點P的軌跡為圓的一部分，所以點P到平面BB1C1的最小距離為1，所以三棱錐P－BB1C1體積的最小值是eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×3×1＝eq\f(3,2).14.答案BCD解析如圖，建立空間直角坐標系，延長AE與z軸交于點P，連接PF并延長與y軸交于點M，則平面α由平面AEF擴展為平面APM.由此模型可知A錯誤.當(dāng)點F與點C1重合時，截面是一個邊長為eq\r(5)的菱形，該菱形的兩條對角線長度分別AC1＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3)和eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，則此時截面的面積為eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(2)＝2eq\r(6).當(dāng)F為CC1的中點時，平面α截正方體的截面為五邊形，B，D正確.D(0，0，0)，A(2，0，0)，P(0，0，4)，設(shè)點M的坐標為(0，t，0)(t∈[2，4])，eq\o(DA,\s\up6(→))＝(2，0，0)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－2，t，0)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2，0，－4)，則可知點P到直線AM的距離為d＝eq\r(|\o(PA,\s\up6(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PA,\s\up6(→))·\o(AM,\s\up6(→)),|\o(AM,\s\up6(→))|)))\s\up12(2))＝eq\r(\f(20t2＋64,4＋t2))，S△APM＝eq\f(1,2)eq\r(t2＋4)·d＝eq\r(5t2＋16).S△PAD＝eq\f(1,2)×2×4＝4，設(shè)點D到平面α的距離為h，利用等體積法VD－APM＝VM－PAD，即eq\f(1,3)·S△APM·h＝eq\f(1,3)·S△PAD·t，可得h＝eq\f(4t,\r(5t2＋16))，則h＝eq\f(4,\r(5＋\f(16,t2)))，由h＝eq\f(4,\r(5＋\f(16,t2)))在t∈[2，4]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t＝4時，h取到最大值為eq\f(2\r(6),3).故選BCD.15.答案eq\f(\r(3),2)eq\r(3)＋eq\f(3,2)解析依題意，eq\f(1,2)AC·BD＝BD＝2eq\r