人教版數(shù)學(xué)九年級下冊教案-27.2.1-第3課時-兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似

27.2．1相似三角形的判定

第３課時兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似１．理解“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”的含義，能分清條件和結(jié)論,并能用文字、圖形和符號語言表示;(重點)2．會運用“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”判定兩個三角形相似,并解決簡單的問題．(難點)一、情境導(dǎo)入利用刻度尺和量角器畫兩個三角形，使它們的兩條對應(yīng)邊成比例，并且夾角相等.量一量第三條對應(yīng)邊的長,計算它們的比與前兩條對應(yīng)邊的比是否相等．另兩個角是否對應(yīng)相等？你能得出什么結(jié)論?二、合作探究探究點:兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似【類型一】直接利用判定定理判定兩個三角形相似已知：如圖,在△AＢC中,∠C=９0°,點Ｄ、E分別是AB、CB延長線上的點,CE＝9，AＤ＝1５,連接DＥ．若ＢC=6，AＣ＝８,求證:△ABC∽△ＤBE.解析：首先利用勾股定理可求出AＢ的長，再由已知條件可求出ＤB，進而可得到ＤＢ∶AB的值，再計算出EB∶BＣ的值，繼而可判定△ABＣ∽△DBE.證明:∵在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°,BＣ=6,AC=8，∴AB＝eq\r（ＢC２＋AＣ2)＝10，∴DB=AＤ-AB=15-１0＝5，∴DB∶ＡB＝１∶2.又∵EＢ＝CＥ-BC＝9－６＝3，∴EＢ∶BC=1∶２,∴EＢ∶BC=DB∶AB,又∵∠DBE=∠ＡＢC=９0°，∴△ABＣ∽△DBＥ.方法總結(jié):解本題時一定要注意必須是兩邊對應(yīng)的夾角才行,還要注意一些隱含條件,如公共角、對頂角等.變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第２題【類型二】添加條件使三角形相似如圖,已知△ABＣ中,D為邊AＣ上一點，P為邊AB上一點,AB=12,AC＝8，ＡD=6,當(dāng)AP的長度為____＿___時,△ADＰ和△ABC相似．解析:當(dāng)△ADP∽△ＡCB時，eq＼f(AP,AB）＝eq\ｆ（ＡＤ,ＡC),∴eq＼ｆ（ＡＰ,1２)=eq＼f(6，8)，解得AＰ=9．當(dāng)△ADＰ∽△AＢＣ時，eq\f(AD，ＡB)＝ｅｑ\f(AP,AC）,∴eq\f(6,1２）＝eq\ｆ(ＡＰ,8）,解得AP＝４,∴當(dāng)ＡP的長度為4或9時,△AＤP和△AＢＣ相似.故答案為4或9.方法總結(jié):添加條件時,先明確已知的條件，再根據(jù)判定定理尋找需要的條件，對應(yīng)本題可先假設(shè)兩個三角形相似，再利用倒推法以及分類討論解答．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第５題【類型三】利用三角形相似證明等積式如圖，ＣD是Ｒt△ABC斜邊AB上的高,E為BＣ的中點，ED的延長線交CA的延長線于F.求證：AC·CＦ＝BC·DF．解析：先證明△ADC∽△CDB可得eq＼f(AＤ,ＣD)=eq\f（AC,ＢＣ)，再結(jié)合條件證明△FＤC∽△FAD,可得eｑ\f（AＤ,CＤ)＝eｑ\f(DF，CF)，則可證得結(jié)論.證明:∵∠ACB=90°,CＤ⊥ＡB,∴∠DAC＋∠Ｂ=∠B+∠DCB=９0°,∴∠DAＣ=∠DCB,且∠ADC=∠CDB，∴△ＡＤC∽△ＣDB，∴eｑ＼f(AD,CD)＝eq\ｆ(AC，BＣ).∵E為BC的中點,CＤ⊥ＡB,∴DE＝ＣE，∴∠EDC=∠DＣE,∵∠ＥDC+∠FDA=∠ECD＋∠ＡＣD，∴∠FＣＤ＝∠FDA,又∠F=∠Ｆ,∴△FDＣ∽△FＡD，∴ｅq＼ｆ（DＦ,ＣF)=eq＼f(AD,DC),∴ｅq\ｆ(AC，BC）=eｑ\f(DＦ,ＣF),∴ＡC·CF＝ＢC·ＤF.方法總結(jié):證明等積式或比例式的方法：把等積式或比例式中的四條線段分別看成兩個三角形的對應(yīng)邊，然后證明兩個三角形相似,得到要證明的等積式或比例式.【類型四】利用相似三角形的判定進行計算如圖所示,BC⊥CＤ于點C，BE⊥ＤE于點E，BE與CD相交于點A，若ＡＣ=３，ＢＣ＝４，AE=2，求CＤ的長.解析:因為ＡC＝３,所以只需求出AＤ即可求出CD.可證明△ＡBC與△ＡDＥ相似，再利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出AD．解:在Rt△ABＣ中,由勾股定理可得AB＝eq＼ｒ(BC2+AC2)＝eｑ\r(４2+3２)=5.∵BC⊥CD,BE⊥DE,∴∠C=∠Ｅ,又∵∠CAB＝∠ＥAＤ，∴△ABC∽△ADE，∴ｅq\f（AB,AD)=eq\f（AＣ,AＥ），即eq\f(5,ＡD)＝ｅq\f（3，２),解得AD=eｑ\ｆ（1０，3)，∴ＣD＝AD＋ＡC＝ｅｑ\ｆ（10，3）+3=eｑ＼ｆ(19，3）．方法總結(jié):利用相似三角形的判定進行邊角計算時,應(yīng)先利用條件證明三角形相似或通過作輔助線構(gòu)造相似三角形，然后利用相似三角形對應(yīng)角相等和對應(yīng)邊成比例進行求解．變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第７題【類型五】利用相似三角形的判定解決動點問題如圖,在△AＢC中,∠C＝90°，ＢＣ＝8cm,5ＡＣ－３ＡB＝0，點P從B出發(fā)，沿BC方向以２cm/s的速度移動,與此同時點Q從C出發(fā),沿CA方向以１ｃm/s的速度移動,經(jīng)過多長時間△ＡＢC和△PQC相似？解析：由AC與AB的關(guān)系,設(shè)出AC=3xcm，AＢ＝5xcm,在直角三角形ＡBＣ中,利用勾股定理列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到x的值，進而得到AB與AC的長.然后設(shè)出動點運動的時間為ｔs，根據(jù)相應(yīng)的速度分別表示出ＰC與ＣQ的長,由△ABＣ和△PQＣ相似，根據(jù)對應(yīng)頂點不同分兩種情況列出比例式,把各邊的長代入即可得到關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值,從而得到所有滿足題意的時間t的值．解:由５A(chǔ)C－3ＡＢ＝0,得到5AC＝3AB，設(shè)ＡB為5xｃｍ，則AC=3ｘcm,在Rt△ＡBC中,由BC=8cm,根據(jù)勾股定理得25x２＝9x2+6４,解得ｘ=２或x=－２(舍去),∴AB=5x=１0cm,AC=3x＝6cｍ.設(shè)經(jīng)過t秒△ABC和△PＱC相似,則有BP＝2tcｍ,PC=（8-2ｔ)ｃm,CQ=ｔｃm,分兩種情況:①當(dāng)△ABC∽△PQC時,有eq＼f(BC，QC)＝eｑ\f(AＣ,PC)，即eq\ｆ（8,t)=ｅq\ｆ（6,８-2t)，解得t=ｅq\ｆ(3２,１1);②當(dāng)△AＢC∽△QPC時,有eq\f(AＣ,ＱＣ)＝eｑ\f(BＣ，PC),即ｅｑ＼ｆ(6，t）=eq\f(8,8－2t),解得t=eq\f(1２，5)．綜上可知,經(jīng)過ｅq\f(１２,5)或ｅq\f(32,１1)秒△ABC和△PQＣ相似.方法總結(jié)：本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形相似的對應(yīng)頂點不同,分兩種情況△AＢC∽△PQC與△AＢC∽△QPＣ分別列出比例式來解決問題.變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第8題三、板書設(shè)計1．三角形相似的判定定理:兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似;2.應(yīng)用判定定理解決簡單的問題