第08講 二次函數(shù)與冪函數(shù)（解析版）

第08講二次函數(shù)與冪函數(shù)一、二次函數(shù)1．二次函數(shù)的概念形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).2．表示形式(1)一般式：.(2)頂點(diǎn)式：，其中為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).(3)兩根式：，其中是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).3．二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)解析式圖象(拋物線)定義域R值域?qū)ΨQ性函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱頂點(diǎn)坐標(biāo)奇偶性當(dāng)b=0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù).在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù).最值當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，4．常用結(jié)論(1)函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程的實(shí)根.(2)若為的實(shí)根，則在軸上截得的線段長(zhǎng)應(yīng)為.(3)當(dāng)且()時(shí)，恒有()；當(dāng)且()時(shí)，恒有().二、冪函數(shù)1．冪函數(shù)的概念一般地，形如()的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中底數(shù)為自變量，為常數(shù).2．幾個(gè)常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減過定點(diǎn)過定點(diǎn)過定點(diǎn)3．常用結(jié)論(1)冪函數(shù)在上都有定義.(2)冪函數(shù)的圖象均過定點(diǎn).(3)當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象均過定點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增.(4)當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象均過定點(diǎn)，且在上單調(diào)遞減.(5)冪函數(shù)在第四象限無圖象.考點(diǎn)一冪函數(shù)的解析式1．（寧夏長(zhǎng)慶高級(jí)中學(xué)高二期末（文））已知冪函數(shù)過點(diǎn)，則解析式為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)所求冪函數(shù)解析式為，由已知條件可得，可得，因此，所求冪函數(shù)的解析式為.故選：C.2．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：設(shè)，則，得，所以，所以，故選：D3．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則等于（）A． B． C．2 D．3【答案】A【詳解】解：因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，所以，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖像過點(diǎn)，所以，解得，所以，故選：A4．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）如圖，①②③④對(duì)應(yīng)四個(gè)冪函數(shù)的圖像，其中②對(duì)應(yīng)的冪函數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由圖知：①表示，②表示，③表示，④表示.故選：C.5．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則滿足成立的實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得：，得或當(dāng)時(shí)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，不成立；當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，成立；所以不等式轉(zhuǎn)化為，即，解得.故選：D6．（浙江高二期中）若冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是（）A．或3 B．3 C． D．0【答案】B【詳解】解：因?yàn)閮绾瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以，由，得或，當(dāng)時(shí)，，所以舍去，當(dāng)時(shí)，，所以，故選：B7．（湖南長(zhǎng)郡中學(xué)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值等于（）A． B．2 C．4 D．【答案】D【詳解】設(shè)冪函數(shù)，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)所以，解得所以，則故選：D8．（全國(guó)高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為（）A．3 B．9 C．27 D．【答案】C【詳解】?jī)绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，可得，解得，冪函數(shù)的解析式為：，可得（3）．故選：．9．（全國(guó)高一專題練習(xí)）函數(shù)是冪函數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得故選：D10．（全國(guó)高一專題練習(xí)）如果冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，那么的值是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】將點(diǎn)代入可得，即，可得：，解得：，故選：D考點(diǎn)二二次函數(shù)的解析式1．（四川眉山市·仁壽一中高一開學(xué)考試）函數(shù)，的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】A【詳解】解：函數(shù)的對(duì)稱軸為，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，即的值域?yàn)?故選：A.2．（昭通市昭陽區(qū)第二中學(xué)高一期末）已知函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】D【詳解】的對(duì)稱軸為，開口向上，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值是，故選：D.3．（江蘇揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)高一開學(xué)考試）已知函數(shù)有最大值，則的值為（）A． B． C．或 D．或【答案】D【詳解】，若，則，故；若，則，解得，舍去.若，則，綜上，或，故選：D.4．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)f(x)＝x2－4x＋1在[1，5]上的最大值和最小值分別是（）A．f（1），f（2） B．f（2），f（5）C．f（1），f（5） D．f（5），f（2）【答案】D【詳解】f′(x)＝2x－4＝0，解得x＝2，當(dāng)x<2時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)>0，∴x＝2是極小值點(diǎn)，f（2）＝－3．又f（1）＝－2，f(5)＝6，∴最大值是f(5)，最小值是f（2）．故選：D5．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）若二次函數(shù)滿足f（x＋1）－f（x）＝2x且f（0）＝1.（1）求f（x）的解析式；（2）若在區(qū)間[－1，1]上不等式f（x）>2x＋m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）f（x）＝x2－x＋1；（2）m<－1.【詳解】（1）設(shè)f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝1，∴c＝1，∴f（x）＝ax2＋bx＋1.∵f（x＋1）－f（x）＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，∴，∴，∴f（x）＝x2－x＋1.（2）由題意：x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立.令g（x）＝x2－3x＋1－m＝2－－m，其對(duì)稱軸為x＝，∴g（x）在區(qū)間[－1，1]上是減函數(shù)，∴g（x）min＝g（1）＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.6．（哈爾濱市第三十二中學(xué)校高二期末（文））已知二次函數(shù)，滿足，，試確定此二次函數(shù).【答案】.【詳解】，，所以，，即，，又因?yàn)樗?，所?7．（湖南高一期末）已知為二次函數(shù)，且滿足，．（1）求函數(shù)的解析式，并求圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出的圖象；【答案】（1），頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）圖象見解析.【詳解】（1）設(shè)函數(shù)的解析式為因?yàn)?，可得，解得，所以，令，可得，即圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）由（1）知，令，即，解得或，可函數(shù)的圖象如圖所示：8．（巴楚縣第一中學(xué)高二月考（文））已知二次函數(shù)，滿足，且的最小值是．（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最值.【答案】（1）；（2）最大值14，最小值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由二次函?shù)的性質(zhì)得，解得，所以（2）依題得：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，有最大值14當(dāng)時(shí)，有最小值9．（貴州省思南中學(xué)高三（理））已知函數(shù).（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的值域.（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為直線，而，故，故函數(shù)的值域?yàn)?（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故，故.考向三冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用1．（全國(guó)高一單元測(cè)試）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)y＝x－4為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減；函數(shù)y＝x－1為奇函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減；函數(shù)y＝x2為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增；函數(shù)y＝x為奇函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增．故選：A.2．（全國(guó)高一課前預(yù)習(xí)）已知冪函數(shù)y＝(m∈Z)的圖象與x軸和y軸沒有交點(diǎn)，且關(guān)于y軸對(duì)稱，則m等于（）A．1 B．0，2 C．－1，1，3 D．0，1，2【答案】C【詳解】∵冪函數(shù)y＝(m∈Z)的圖象與x軸、y軸沒有交點(diǎn)，且關(guān)于y軸對(duì)稱，∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)為偶數(shù)，由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，∴m＝－1，0，1，2，3.當(dāng)m＝－1時(shí)，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，為偶數(shù)，符合題意；當(dāng)m＝0時(shí)，m2－2m－3＝－3，為奇數(shù)，不符合題意；當(dāng)m＝1時(shí)，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，為偶數(shù)，符合題意；當(dāng)m＝2時(shí)，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，為奇數(shù)，不符合題意；當(dāng)m＝3時(shí)，m2－2m－3＝9－6－3＝0，為偶數(shù)，符合題意．綜上所述，m＝－1，1，3.故選：C.3．（全國(guó)高一課前預(yù)習(xí)）已知冪函數(shù)()為奇函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，則m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．3【答案】B【詳解】因?yàn)樵?0，＋∞)上是減函數(shù)，所以m－3<0,所以m<3.又因?yàn)閙∈N*，所以或.又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以m－3是奇數(shù)，所以m＝2.故選：B.4．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則函數(shù)是（）.A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．減函數(shù)D．增函數(shù)【答案】A【詳解】且，解得，，∴在定義域的奇函數(shù)，故選：A.5．（全國(guó)高一課前預(yù)習(xí)）函數(shù)是冪函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A． B．C． D．以上都不對(duì)【答案】A【詳解】∵為冪函數(shù)，∴，即，∴，∴在上是增函數(shù)，且，∴．故選：A6．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在和上都是單調(diào)遞減的，所以，由可得或或解得或，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：C.7．（全國(guó)高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，則m的取值集合是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得：或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn).所以的取值集合是.故選：B8．（全國(guó)高一專題練習(xí)）冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，那么函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)閮绾瘮?shù)過點(diǎn)，所以，解得，所以，那么可知函數(shù)的增區(qū)間為．故選：C9．（全國(guó)高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的值為（）A． B． C．1 D．或1【答案】A【詳解】由于為冪函數(shù)，所以或；又函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)符合條件，故選：A10．（高郵市臨澤中學(xué)高一月考）已知冪函數(shù)的圖象過函數(shù)的圖象所經(jīng)過的定點(diǎn)，則的值等于（）A． B． C．2 D．【答案】B【詳解】由于為冪函數(shù)，則，解得：，則；函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故的圖像所經(jīng)過的定點(diǎn)為，所以，即，解得：,故選：B.考向四二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用1．（北京交通大學(xué)附屬中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有成立，則函數(shù)值，，，中，最小的一個(gè)不可能是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵對(duì)任意實(shí)數(shù)都有成立，∴函數(shù)的對(duì)稱軸是，當(dāng)時(shí)，自變量取值離對(duì)稱軸距離越近函數(shù)值越小，函數(shù)值，，，中，最小的一個(gè)是.當(dāng)時(shí)，自變量取值離對(duì)稱軸距離越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，函數(shù)值，，，中，最小的一個(gè)是和.故選：B.2．（重慶市清華中學(xué)校高三月考）若函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，且，，∴，，即的取值范圍是.故選：B.3．（江蘇高三專題練習(xí)）已知命題“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：命題“，使”是假命題，命題“，使”是真命題，即判別式，所以，故選：D．4．（全國(guó)高三專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上是遞減的,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-3x+1顯然成立,當(dāng)a≠0時(shí),需解得-3≤a<0,綜上可得-3≤a≤0.5．（南京市秦淮中學(xué)高三開學(xué)考試）已知，函數(shù).若，則（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由f(0)＝f（4），得f(x)＝ax2＋bx＋c圖象的對(duì)稱軸為x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f（1），f（4）>f（1），∴f(x)先減后增，于是a>0，故選：A.6．（全國(guó)高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：函數(shù)的對(duì)稱軸為：，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，，解得，故選：．7．（河北衡水中學(xué)高三）在如圖所示中，二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象只可為A．B．C．D．【答案】C【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)可知，同號(hào)且不相等，則二次函數(shù)的對(duì)稱軸在軸左側(cè)，又過坐標(biāo)原點(diǎn)，故選：C．8．（上海外國(guó)語大學(xué)附屬大境中學(xué)高三月考）已知二次函數(shù)的值域?yàn)椋?）若此函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求在上的最小值，并求的值域．【答案】（1）；（2），.【詳解】（1）由題意可知數(shù)開口向上，且在對(duì)稱軸處取得最小值0，所以，且，即，因此，因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，所以，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（2）若，即，所以在上單調(diào)遞增，所以；若，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所